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Über natürliche Zahlen

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 14. Mai 2021, 19:16

Glaubst du man kann sequenzielles Folgen mit Zählen und Wertzuweisungen gleichsetzen?
Du hast da ja schon eine Richtung und Vergleichsoperator drin (Ordnung & Sortierung nach Größe).
Möglicherweise haben wir beide unterschiedliche Auffassungen davon, wie 'tief nach Unten' Elementarität geht. Zählen und Abfolgerichtung... sollte das da schon mit drin sein?
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 01:44

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2021, 19:16
Glaubst du man kann sequenzielles Folgen mit Zählen und Wertzuweisungen gleichsetzen?
Du hast da ja schon eine Richtung und Vergleichsoperator drin (Ordnung & Sortierung nach Größe).
Möglicherweise haben wir beide unterschiedliche Auffassungen davon, wie 'tief nach Unten' Elementarität geht. Zählen und Abfolgerichtung... sollte das da schon mit drin sein?
Hallo Skel,

das ist nur ein Missverständnis. Ich wollte eigentlich nur zeigen, dass ich diese Aussage von Dir für heikel halte:
Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2021, 02:10
Ich finde es etwas annormal, daß man das neutrale Element der Addition und die Addition als axiomatische Herleitungsgrundlage für die natürlichen Zahlen nimmt und nicht die Multiplikation mit der 1 als neutralem Element. In meinen Augen ist hier die Reihenfolge vertauscht - der Begriff der Größenordnungen/Verhältnisse ist mir elementarer als der der Addition.
Also ganz konkret, warum ich gar nicht der Meinung bin, dass die Reihenfolge vertauscht wurde.

Um das zu zeigen musste ich natürlich Argumente verwenden die letztlich sogar über die herkömmliche Mathematik hinausreichen, aber zumindest in 1.Stufe sind wir noch konform zu den Peano-Axiomen.

Und ja: Zählen und Abfolgerichtung sollte da natürlich nicht schon mit drin sein, da hast Du meines Erachtens völlig recht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 01:55

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2021, 02:10
ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Mai 2021, 10:38
Was wäre denn Deiner Meinung nach mehr elementar ?
Würde am ehesten darauf tippen, daß zwei unterschiedliche Dinge dieselbe Größe annehmen - also Gleichheit bzw Äquivalenz im selben Kontext zu haben. Da kann man dann den Zustand als Ursprung '1' eichen.
Hallo Skel,

ich weiss nicht, was ich dazu sagen soll: zwei unterschiedliche Dinge, die dieselbe Grösse annehmen.

Hierfür müsste man wissen, was ein "Ding" sein soll - z.B. eine Menge ? Oder ein Element einer Menge ? Oder etwas völlig anderes ?
Dann müsst eman wissen, was eine Grösse ist, also eine Art Bewertungsfunktion definieren, die einem "Ding" eine "Grösse" zuordnet, wobei eine Bewertungsfunktion meiner Einschätzung nach auch alles andere als elementar ist, und schliesslich muss noch definiert werden, wass "unterschiedlich" und was "gleich" sein soll.

Der Idee, "gleich" und "unterschiedlich" als elementar anzusehen, kann ich durchaus viel abgewinnen, nur - dann landen wir wieder in der Mengenlehre, und zwar bei den Begriffen "ist Element von" oder "ist nicht Element von".


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Siebenstein » 16. Mai 2021, 08:44

Durch die Grundgesetze der natürlichen Zahlenmenge (Fundamentalsatz der natürlichen Zahlen oder Peanosche Axiome), deren Gültigkeit im allgemeinen zweifellos als unmittelbar gewiss (evident) empfunden wird, nimmt die Folge der natürlichen Zahlen in der Gesamtheit mathematischer Denkgegenstände eine außerordentliche Sonderstellung ein, die folgenden berühmten Ausspruch verständlich macht:

"Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk."
[Zitat: Leopold Kronecker (1823 - 1891)]

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 16. Mai 2021, 09:36

Ohne zählen keine natürlichen Zahlen...
Was ist überhaupt "zählen"?
Und wie definiert man das (Regress)?
Wie vermittelt man jemanden, was das sein soll, der es nicht weiß?
Was sind die Vorraussetzungen und notwendigen Vorab-Fähigkeiten, um es tun zu können?
Zählen ist eine Handlung zur Ermittlung der Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge von Objekten gleicher Art. Das Zählen erfolgt in Zählschritten, oft in Einerschritten, wobei die entsprechende Zahlenfolge, als Folge von Zahlwörtern, zum Beispiel „eins, zwei, drei“ oder „zwei, vier, sechs, sieben“ durchlaufen wird. Die Verwendung einer aufsteigenden Folge wird als „vorwärts zählen“ bezeichnet, die einer absteigenden Folge als „rückwärts zählen“.
https://de.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A4hlen

Schön und gut, aber das beantwortet meine Fragen nicht, nicht wirklich...
Ich weiß weder, was "Anzahl" ist, noch was "Elemente", noch was "Mengen", noch was "endlich", noch was "Objekte gleicher Art" sind.
Um all das wissen zu können, müsste ich zuerst wissen, was "Zählen" ist, das will ich aber gerade lernen.
Wie lerne ich das Zählen? :(
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 10:35

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 09:36
Ich weiß weder, was "Anzahl" ist, noch was "Elemente", noch was "Mengen", noch was "endlich", noch was "Objekte gleicher Art" sind.
Um all das wissen zu können, müsste ich zuerst wissen, was "Zählen" ist, das will ich aber gerade lernen.
Wie lerne ich das Zählen? :(
Hallo seeker,

bislang haben mich am meisten die Peano-Axiome aus dem Ansatz der leeren Menge, dann der Menge, die die leere Menge enthält u.s.w. überzeugt.

Aber tatsächlich wäre wie von Skel vorgeschlagen eine noch elementarere "mathematische Grundbasis" wünschenswert.

Vielleicht ist der Ausgangspunkt nicht die "1", wie von Skel vorgeschlagen, noch die "0" oder "leere Menge", der die Peano-Axiome zugrundeliegen, der Ausgangspunkt, sondern "-oo".

In eine "Gleichung" gefasst wäre das dann nicht die Lösung einer Gleichung n+x=x für alle x, sondern die Lösung einer Gleichung a+x=a für alle x, wobei die Buchstabenwahl "n" Neutralelement und die Buchstabenwahl "a" Absorptionselement andeuten soll.

Man beachte übrigens, dass trivialerweise a(*)=n(+) gilt. Ähnlich argumentierend "folgt" dann, dass n(Nachfolgeoperator) = a(+) ist, wobei man das noch ein besser ausformulieren muss, da -oo zunächst einmal gar nicht definiert ist. EIn solcher Zusammenhang besteht übrigens auch zum Potentieren, d.h. a(^) = n(*), wobei man hier linksseitig operieren muss, d.h. 1^x betrachten muss und nicht x^1.

Wenn man nun so "nach unten" weitermacht, erhält man eine Kaskade n(Nachfolgeoperator m+1.-ter Stufe) = a(Nachfolgeoperator m.-ter Stufe), wobei das alles nicht definiert ist. Man kann aber zeigen, dass es ein n(Nachfolgeoperator oo.-ter Stufe) nicht gibt, indem man versucht, den Nachfolgeoperator oo.-ter Stufe irgendwie plausibel zu definieren und dann seine Eigenschaften betrachtet, allerdings benötigt man dafür erweitere Metriken.

Ich schweife hier erneut ab, weil ich darlegen möchte, welche Probleme sich ergeben, wenn man "-oo" als Ausgangspunkt definieren möchte, andererseits liessen sich diese umgehen, wenn man sich auf den Standpunkt stellt, dass wenn es diese Nachfolgeopratoren m.-ter Stufe nicht gibt, dass man dann eben -oo als Ausgangspunkt verwendet, und wenn es sie gibt, dass man dann eben a(Nachfolgeoperator oo.-ter Stufe)=:a(oo) - dieses Element gäbe es - als Ausgangspunkt verwendet.

Nachteil dieser Vorgehensweise ist, dass sowohl -oo als auch a(oo) innerhalb ihrer "Metrik" unendlich weit vom "nächsten" Element entfernt sind, man also nicht zum nächsten "hochzählen" oder "nachfolgeoperieren" kann, während bei den Peanoaxiomen mit der (nota bene willkürlichen) 0 als Ausgangspunkt und der 1 als Schrittweite, weil man üblicherweise die 1 als Nachfolgeelement der 0 festlegt, oder wenn man bei der 1 startet, dann eben die 2 als Nachfolgeelement der 1 festlegt, was ja auch eine Schrittweite von 1 bedeutet.

Vielleicht ist dieser Nachteil aber auch eine Chance, weil man dann möglicherweise ein Axiom weniger benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 16. Mai 2021, 11:08

Wenn man von 0 ausgehend zählt, dann kommt man von der Null sozusagen nicht weg (man bleibt im Endlichen).
Wenn man von oo ausgehend zählt, dann kommt man von oo sozusagen nicht weg (man bleibt im Unendlichen).
Ich denke im Grunde bleibt sich das gleich. Man nimmt dann das, was besser und einfacher für uns funktioniert.
ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2021, 10:35
bislang haben mich am meisten die Peano-Axiome aus dem Ansatz der leeren Menge, dann der Menge, die die leere Menge enthält u.s.w. überzeugt.

Aber tatsächlich wäre wie von Skel vorgeschlagen eine noch elementarere "mathematische Grundbasis" wünschenswert.

Vielleicht ist der Ausgangspunkt nicht die "1", wie von Skel vorgeschlagen, noch die "0" oder "leere Menge", der die Peano-Axiome zugrundeliegen, der Ausgangspunkt, sondern "-oo".
Der Ausgangspunkt muss erst einmal das Zählen sein, ohne Zählen auch keine Zahlen. Und Axiome bedeuten nur dann etwas, wenn das, was man da aufschreibt, eine klare und eindeutige Bedeutung und einen eindeutigen, verständlichen, immer genau gleichen Sinn für uns alle hat. Axiome, die niemad verstünde oder jeder anders, wären sinnfrei.
Was braucht es zum Verstehen?
Wo kommen Sinn und Bedeutung her?
Was ist zählen?
Wie lernt und begreift ein Kind das, das ja zunächst noch gar nichts weiß?
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 11:28

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:08
Wenn man von 0 ausgehend zählt, dann kommt man von der Null sozusagen nicht weg (man bleibt im Endlichen).
Hallo seeker,

das stimmt nicht, denn 0' = 1, mit ' dem Nachfolgeoperator.

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:08
Wenn man von oo ausgehend zählt, dann kommt man von oo sozusagen nicht weg (man bleibt im Unendlichen).
Lass mich das präzisieren: man kommt mit dem normalen Nachfolgeoperator nicht weg. Mit dem Nachfolgeoperator 2.Stufe kommt man indes von -oo weg, direkt zur 2:

"-oo" ++_2 "-oo" = "-oo" ++_1 2 = 2, da n(++_1) = "-oo".

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:08
Der Ausgangspunkt muss erst einmal das Zählen sein, ohne Zählen auch keine Zahlen. Und Axiome bedeuten nur dann etwas, wenn das, was man da aufschreibt, eine klare und eindeutige Bedeutung und einen eindeutigen, verständlichen, immer genau gleichen Sinn für uns alle hat. Axiome, die niemad verstünde oder jeder anders, wären sinnfrei.
Für die Peano-Axiome, die sich aus der leeren Menge aufbauen, benötigst Du nur die Operation, ein Element zu einer Menge hinzuzufügen. Und solange die Mengen endlich bleiben bekommst Du auch keine Probleme mit dem Russel-Paradoxon.

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:08
Was braucht es zum Verstehen?
Wo kommen Sinn und Bedeutung her?
Was ist zählen?
Wie lernt und begreift ein Kind das, das ja zunächst noch gar nichts weiß?
Das Kind wählt den naiven Ansatz, d.h. es zählt das ganze einfach an den fünf Fingern einer Hand ab, und wenn es mehr braucht, dann nimmt das Kind eben noch die zweite Hand dazu.


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 17. Mai 2021, 01:58

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2021, 01:55
ich weiss nicht, was ich dazu sagen soll: zwei unterschiedliche Dinge, die dieselbe Grösse annehmen.
Im Grunde ging es mit um die Komparation als grundlegend Erlerntes, der Rest ist Biologie, wie auch immer die aus dem Chaos heraus kristallisiert wurde. Die physikalische Größe von Dingen spielt beim Erlernen eine andere Rolle. Das ist wie Volumina bzw eine Wirkung zu vergleichen ohne die Skalenangabe auf dem Blatt zu haben und auch die Form des Objektes nicht zu kennen.
Ob der Kontext, indem zwei Inputs dieselbe Wirkung haben oder nicht, biologisch, physikalisch oder mathematisch ist, ist dabei egal.
Zählen kann erst stattfinden, nachdem man Dinge als äquivalente Ausdrücke unterschiedlicher Identität erkennt.
Wir nehmen dabei primär eigentlich erstmal nur die Größenordnungen der dimensionalen Ausmaße oder Wirkung sensorisch und dann geistig wahr.
Im Grunde hat man irgendwelche Größenordnungen zwischen Null und Unendlich und den Vergleich. Als '1' nimmt han halt irgendetwas 'nahe liegendes'.
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 17. Mai 2021, 17:05

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:28
das stimmt nicht
Was ich meinte war folgendes:

1.
Nehmen wir an, du hättest einen Sack mit unendlich vielen Kugeln drin.
Du nimmst nun Kugeln einzeln aus dem Sack heraus und zählst diese.
Ergebnis: Egal wie lange du das tust, im Sack verbeiben immer unendlich viele Kugeln.
Insofern kommst du dort von "unendlich nicht weg".
(Der Sack bleibt hier immer quasi voll.)

2.
Du tust dasselbe wie bei 1., tust aber die gezählten Kugeln in einen zweiten Sack.
Ergebnis: Egal wie lange du das tust, im 2. Sack werden immer nur endlich viele Kugeln sein.
Insofern kommst du dort von "endlich nicht weg".
(Im Verhältnis zu dem, was in Sack 1 ist, bleibt Sack 2 hier ja auch immer quasi leer.)

3. Der gesamte Vorgang aus 1. und 2. und was dabei mit der Anzahl der Kugeln in den beiden Säcken geschieht hat aber eine Art Symmetrie: Es ist in gewisser Weise dasselbe: "Hier raus, dort rein" ist ja ein-und-derselbe Vorgang.
Gleichzeitig kannst du aber nach gewöhnlicher Abstraktion des Vorgangs zu irgendeinem Zeitpunkt immer nur sagen, wie viele Kugeln in Sack 2 sind, nicht aber, wie viele in Sack 1 fehlen.

Ergo:
Dieser Unterschied kann also nicht am Vorgang selber liegen, sondern muss an der Art und Weise liegen, wie du abstrahierst und dies in deinem Formalismus ausdrückst.

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:28
Das Kind wählt den naiven Ansatz, d.h. es zählt das ganze einfach an den fünf Fingern einer Hand ab...
Schauen wir uns das etwas genauer an, was da alles nötig ist:

Das Kind muss zuerst einmal erkennen/annehmen/glauben, dass es Verschiedenes gibt, nämlich es selbst und dann noch das Andere. Das Andere ist die Welt.
Dann muss es abstrahierend begreifen, erkennen bzw. glauben/annehmen, dass dieses Andere strukturiert ist, dass es dort Verschiedenes gibt und nicht alles eins ist (abgegrenzte bzw. abgrenzbare Strukturen = Gegenstände) und dass es auch Gleiches (gleiche/ähnliche Gegenstände) gibt. Dann muss erkannt werden, dass es viel und wenig (von den Gegenständen) gibt, ein Tier muss diesen Unterschied auch erkennen, zwischen z.B. "viel Nuss" und "wenig Nuss". (Deshalb, aus evolutionären Gründen, können wir das auch.)
Dann erst, durch weitere Abstraktion kann dann die darauf aufbauende Frage gestellt bzw. erkannt werden: WIE viel weniger oder mehr? Und wann gleich-viel? Und wie stellt man das fest? Direktes Erfassen? Das geht gewöhnlich beim Menschen bei bis zu ca. 7 Gegenständen. Und darüber hinaus? Wie dann dort?
Erst hier kommt dann das Zählen auf, als Strategie/Erfindung, um über unser begrenztes direktes Erfassen hinausgehen zu können. Damit ist man aber noch nicht bei der abstrakten Zahl. Dazu muss man dann auch noch Anhäufungen realer Gegenstände durch abstrakt-gedachte Gegenstände ersetzen bzw. verallgemeinern. Erst diese Verallgemeinerung ist das abstrakte Objekt "natürliche Zahl" und "Menge". Und dann muss man das auch noch formulieren, man muss sich also einen Formalismus überlegen, um es konsistent festzuhalten und kommunizieren zu können.
D.h.: Es ist eine ganze Menge an Abstraktion und spezieller Perspektive und Annahme und Vorgehen notwendig, um Zählen zu können.
Das ist also nicht selbstverständlich.


Was ist dann "zählen"?
Es ist die menschenmöglich zunächst weitgehendste abstrakte Verallgemeinerung und Vereinfachung aus einer funktionablen aber selbstgewählten, extrem speziellen Perspektive und Fragestellung auf die Welt heraus.

Abstraktion:
Das Wort Abstraktion (lateinisch abstractus ‚abgezogen‘, Partizip Perfekt Passiv von abs-trahere ‚abziehen‘, ‚entfernen‘, ‚trennen‘) bezeichnet meist den induktiven Denkprozess des erforderlichen Weglassens von Einzelheiten und des Überführens auf etwas Allgemeineres oder Einfacheres.
https://de.wikipedia.org/wiki/Abstraktion

Und wo es dann echt schwierig bzw. diskussionsbdürftig wird:
Wenn man nun auch noch vom Vorgang des Zählens abstrahiert, dann erst erhält man gedanklich das echte Ding "Zahl", als ein unabhängig (vom Zählen und dem Zählenden), also objektiv existierendes Ding.
Es ist aber unklar, ob man das darf.
Und an der Stelle gibt es dann zurecht platonische Positionen und konstruktivistische Positionen, etc.
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 18. Mai 2021, 08:27

Ich möchte meinen ersten Gedanken noch etwas ausbauen.
Folgendes Gedankenexperiment:

Wir stellen uns vor, wir hätten links von uns ein Lochraster mit unendlich vielen Löchern. Alle Löcher seien mit Kugeln gefüllt (so in etwa wie beim Billard, wo die Kugeln drin sind, wenn man sie abholt, nur halt unendlich groß).
Rechts von uns befindet sich ein weiteres Lochraster mit unendlich vielen Löchern. Alle Löcher dort sind leer.
Wir fangen nun an Kugeln von links zu nehmen und rechts einzusetzen und zählen dabei mit.

Wir sehen:
Bei diesem Vorgang nehmen links die leeren Löcher zu und rechts die mit Kugeln gefüllten Löcher. Wir haben hier eine Symmetrie.
Gleichzeitig nehmen aber auch links die Kugeln nicht ab und rechts die Löcher nicht ab, es bleiben immer unendlich viele.

Frage:
Verändern wir durch unsere Handlung dann überhaupt irgendetwas?

Anwort:
Das hängt von der Perspektive ab! Nämlich, ob wir links nach den Kugeln oder nach den Löchern fragen und rechts demenstsprechend umgekehrt.

Noch eine Frage:
Erschaffen wir bei unserer Handlung dann sozusagen "Etwas aus Nichts" (nämlich eine zuvor nicht-existierende, neue Struktur)?

Antwort:
Ja und nein, auch das hängt von der Perspektive ab.

Noch eine Betrachtung:
Beim o.g. Vorgang entstehen links Löcher. Dennoch ist es stets möglich, egal wie viele Kugeln wir schon entnommen haben, alle entstandenen Löcher durch Neuanordnung der dort verbliebenen Kugeln wieder zu füllen. (-> siehe Hilberts Hotel, diesen Vorgeng umkehren)
Das Umgekehrte scheint aber rechts nicht möglich zu sein: Wenn dort eine Kugel ist, bekommt man sie, wie es zunächst scheint, nicht mehr los.
Ist das so? Haben wir hier dann doch noch eine Asymmetrie?
Es geht aber doch, dann, wenn man rechts auch die Löcher neu anordnen darf, dann ist die Symmetrie wieder hergestellt: Dann kann man rechts ganz analog alles wieder mit einem Loch "füllen", das durch eine Kugel "geleert" wurde (diese wird dann sozusagen ins Unendliche weggeschoben).

(Analog zum o.g. Gedankenexperiment könnten wir uns stattdessen auch vorstellen links wären unendlich viele positive Kugeln aufgereit und rechts unendlich viele negative Kugeln. Und wenn man beide zusammenbringt, indem man Kugeln von links nach rechts bringt, verschwinden beide und es entsteht links und rechts ein Loch. Es kommt dabei dasselbe heraus.)
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mai 2021, 11:57

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 08:27
wenn man rechts auch die Löcher neu anordnen darf, dann ist die Symmetrie wieder hergestellt: Dann kann man rechts ganz analog alles wieder mit einem Loch "füllen", das durch eine Kugel "geleert" wurde (diese wird dann sozusagen ins Unendliche weggeschoben).
Hallo seeker,

das Problem hier ist, dass Du eine Kugel nicht einfach so "ins Unendliche" wegschieben kannst, denn es gibt kein "unendlichstes Loch".

Wenn Du die Löcher durchnummerierst stellst Du fest, dass sich die Kugel nach jedem Verschiebungsschritt in einem Loch mit endlicher Nummer befindet.

Sobald Du also die erste Kugel vom linken Lochraster in das rechte verschoben hast hast Du eine "Antisymmetrie" erzeugt, weil Du nun links ein Loch hast und rechts eine Kugel hast.

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 08:27
Frage:
Verändern wir durch unsere Handlung dann überhaupt irgendetwas?

Anwort:
Das hängt von der Perspektive ab! Nämlich, ob wir links nach den Kugeln oder nach den Löchern fragen und rechts demenstsprechend umgekehrt.
Hängt das wirklich von der Perspektive ab ? Ist es nicht vielmehr so, dass wir keine wohldefinierte Vorschrift haben, welche unendlich viele Kugeln links bzw. unendlich viele Kugeln rechts addieren kann, wohl aber eine wohldefinierte Vorschrift, wie wir endlich viele Löcher links - diese Zahl kann auch 0 sein, aber nicht-negativ, und endlich viele Kugeln rechts - auch diese Zahl kann 0 sein, aber nicht-negativ, aufaddieren können.


Wobei Du an dieser Stelle sofort ein weiteres "Problem" erkennst: nimm den Ausgangszustand, d.h. links hast Du ein unendliches Lochraster und in jedem Loch ist eine Kugel. Jetzt kannst Du nicht einfach eine weitere Kugel nehmen und diese hinzufügen, weil es keinen freien Platz gibt. Du musst also erst ein Loch von rechts nach links "transportieren" und erst dann kannst Du eine weitere Kugel links zufügen. Und ob man ein Loch von rechts nach links transportieren darf hängt wiederum davon ab, wie Du die Lochraster und wie Du die Transport-Funktion definiert hast.


Was ich sagen möchte: ich denke, man sollte sich bei unendlichen Mengen wirklich auf Bijektionen, Injektionen und surjektive Abbildungen beschränken und nicht "anschaulich" vorgehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 18. Mai 2021, 13:03

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Mai 2021, 11:57
das Problem hier ist, dass Du eine Kugel nicht einfach so "ins Unendliche" wegschieben kannst
ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Mai 2021, 11:57
Wobei Du an dieser Stelle sofort ein weiteres "Problem" erkennst: nimm den Ausgangszustand, d.h. links hast Du ein unendliches Lochraster und in jedem Loch ist eine Kugel. Jetzt kannst Du nicht einfach eine weitere Kugel nehmen und diese hinzufügen, weil es keinen freien Platz gibt
'Einfach so' geht es nicht, aber schauen wir uns dazu Hilberts Hotel an:
Hilberts Hotel ist ein vom Mathematiker David Hilbert erdachtes Paradoxon bzw. Gedankenexperiment zur Veranschaulichung verblüffender Konsequenzen der Nutzung des Unendlichkeitsbegriffes in der Mathematik. Damit lässt sich zeigen, dass die Mengen der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen gleichmächtig sind.

In einem Hotel mit endlich vielen Zimmern können keine Gäste mehr aufgenommen werden, sobald alle Zimmer belegt sind (Schubfachprinzip). Hilberts Hotel hat nun unendlich viele Zimmer (durchnummeriert mit natürlichen Zahlen bei 1 beginnend). Man könnte nun annehmen, dass dasselbe Problem auch hier auftreten würde, nämlich dann, wenn alle Zimmer durch (unendlich viele) Gäste belegt sind.

Es gibt jedoch einen Weg, Platz für einen weiteren Gast zu machen, obwohl alle Zimmer belegt sind. Der Gast von Zimmer 1 geht in Zimmer 2, der Gast von Zimmer 2 geht in Zimmer 3, der von Zimmer 3 nach Zimmer 4 usw. Damit wird Zimmer 1 frei für den neuen Gast. Da die Anzahl der Zimmer unendlich ist, gibt es keinen „letzten“ Gast, der nicht in ein weiteres Zimmer umziehen könnte. Wiederholt man das, erhält man Platz für eine beliebige, aber endliche Zahl neuer Gäste.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel

So kann man also Löcher erzeugen, bei der Variante mit unendlich vielen Löchern, die anfangs alle mit Kugeln gefüllt sind: Ich transportiere alle Kugeln einfach gleichzeitig einen Platz weiter und schon wird ein Loch an der ersten Stelle frei.
Und wenn ich dieses Verfahren umgekehrt anwende, dann geht auch das Umgekehrte: Ich kann dann ein Loch auch wieder 'stopfen'.
ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Mai 2021, 11:57
Was ich sagen möchte: ich denke, man sollte sich bei unendlichen Mengen wirklich auf Bijektionen, Injektionen und surjektive Abbildungen beschränken und nicht "anschaulich" vorgehen.
Meinst du? Klar, aufpassen muss man. :)
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 18. Mai 2021, 13:10

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Mai 2021, 11:57
Hängt das wirklich von der Perspektive ab ? Ist es nicht vielmehr so, dass wir keine wohldefinierte Vorschrift haben, welche unendlich viele Kugeln links bzw. unendlich viele Kugeln rechts addieren kann, wohl aber eine wohldefinierte Vorschrift, wie wir endlich viele Löcher links - diese Zahl kann auch 0 sein, aber nicht-negativ, und endlich viele Kugeln rechts - auch diese Zahl kann 0 sein, aber nicht-negativ, aufaddieren können.
Hmm... Ist es vielleicht auch so, dass wir nur keine wohldefinierte Vorschrift kennen, ja möglicherweise sogar gar nicht denken können (weil unser Denkapparat nun einmal vorgegeben ist und so ist und arbeitet, wie er ist und arbeitet)?
Dann wäre es immer noch Perspktive, wenn auch eine, die uns sozusagen aufgezwungen ist.
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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ralfkannenberg
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mai 2021, 13:22

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 13:03
So kann man also Löcher erzeugen, bei der Variante mit unendlich vielen Löchern, die anfangs alle mit Kugeln gefüllt sind: Ich transportiere alle Kugeln einfach gleichzeitig einen Platz weiter und schon wird ein Loch an der ersten Stelle frei.
Hallo seeker,

das ist alles richtig, was Du schreibst, aber ich möchte auf etwas anderes hinaus: man muss so eine Transportfunktion finden, d.h. vom Himmel fällt die nicht. Wobei es genügt, deren Existenz zu beweisen, d.h. konkret zu definieren braucht man diese nicht. - Und das Hilbert-Hotel klappt zunächst auch nur deswegen, weil da von abzählbaren Unendlichkeiten die Rede ist.

Wenn Du überabzählbare Mengen hast, ist es schon einiges schwieriger; da kann dann man versuchen, diese mit abzählbaren Mengen zu "approximieren", was auch immer "approximieren" in diesem Zusammenhang bedeuten soll - siehe den Beweis, dass die Summe überabzählbar unendlich vieler echt positiver Zahlen stets über alle Grenzen anwächst.

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 13:03
Und wenn ich dieses Verfahren umgekehrt anwende, dann geht auch das Umgekehrte: Ich kann dann ein Loch auch wieder 'stopfen'.
Natürlich, das folgt ja direkt aus der Idee der Bijektionen. Man kann solche Fragestellungen also mit geeigneten injektiven und surjektiven Funktionen untersuchen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 18. Mai 2021, 15:44

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Mai 2021, 13:22
das ist alles richtig, was Du schreibst, aber ich möchte auf etwas anderes hinaus: man muss so eine Transportfunktion finden, d.h. vom Himmel fällt die nicht. Wobei es genügt, deren Existenz zu beweisen, d.h. konkret zu definieren braucht man diese nicht. - Und das Hilbert-Hotel klappt zunächst auch nur deswegen, weil da von abzählbaren Unendlichkeiten die Rede ist.
OK.

Wie würdest du diese Transportfunktion beim beschriebenen Fall beim Hilbert Hotel formulieren?
x -> x+1, für alle x e N ?

Ansonsten denke ich bei dieser Geschichte (ich kann leider nicht anders, es sei mir verziehen) auch über philosophisch-logische Konsequenzen nach.
Es doch nämlich so:

Wenn ich eine Unendlichkeit (statt einem Nichts) sozusagen als Hintergrund habe und daraus etwas schöpfen kann, ohne es dadurch wirklich zu verändern, dann kann ich daraus schlicht ein ganzes Universum schöpfen, ohne dass es zur Verletzung von irgendwelchen Erhaltungssätzen käme bzw. ohne dass es zu logischen Inkonsistenzen käme, wie das im Gegensatz dazu bei einem Creatio ex nihilo der Fall wäre.

Und diesen Gedanken finde ich halt auch interessant.
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Mai 2021, 16:41

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 15:44
Wie würdest du diese Transportfunktion beim beschriebenen Fall beim Hilbert Hotel formulieren?
x -> x+1, für alle x e N ?
Hallo seeker,

beispielsweise so, ja.

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 15:44
Ansonsten denke ich bei dieser Geschichte (ich kann leider nicht anders, es sei mir verziehen) auch über philosophisch-logische Konsequenzen nach.
Ist nicht mein Ding, aber dennoch ein Kommentar dazu:

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 15:44
Es doch nämlich so:

Wenn ich eine Unendlichkeit (statt einem Nichts) sozusagen als Hintergrund habe und daraus etwas schöpfen kann, ohne es dadurch wirklich zu verändern, dann kann ich daraus schlicht ein ganzes Universum schöpfen, ohne dass es zur Verletzung von irgendwelchen Erhaltungssätzen käme bzw. ohne dass es zu logischen Inkonsistenzen käme, wie das im Gegensatz dazu bei einem Creatio ex nihilo der Fall wäre.
Das Problem hier ist, dass unser Universum endlich ist, vielleicht unendlich ausgedehnt, aber meines Wissens nur mit endlicher Masse/Energie.

Und wie gesagt: "unendlich" ist nach wie vor nicht definiert. Mengen mit "unendlich" vielen Elementen sind definierbar, aber eine Zahl "unendlich" führt im Allgemeinen zu Widersprüchen.

seeker hat geschrieben:
18. Mai 2021, 15:44
Und diesen Gedanken finde ich halt auch interessant.
Selbstverständlich, doch müssen einem die Grenzen der Unendlichkeit bzw. des "Jonglierens" mit unendlichen Grössen bewusst sein.

Ich weiss, das ist ein "ja ..., aber" und somit ein verstecktes "nein", aber das meine ich gar nicht: vielleicht ist nun schon eher verständlich, warum Mathematiker wie Dedekind sich solche Mühe gegeben haben, Definitionen zu finden, die ohne das Wort "unendlich" auskommen, beispielesweise vorgenannte injektive, surjektive oder vielleicht sogar bijektive Funktionen.

Denn mit solchen bisweilen unhandlichen Begriffen wird aus dem "ja ..., aber" ein klares "ja" :)


Freundliche Grüsse, Ralf

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