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Gesetz der grossen Zahlen

Mathematische Fragestellungen
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Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Pippen » 18. Feb 2021, 04:31

Das Gesetz der großen Zahlen besagt: Wenn ich ganz viele Zufallsexperimente zu einem Ereignis E mache, dann nähert sich für (gedacht) unendlich viele solcher Experimente die relative Häufigkeit von E der theoretischen Wahrscheinlichkeit P(E) beliebig nah an.

Nun gibt es dazu Beweise, die alle sehr technisch ausschauen. ME haben sie aber alle eine ganz wichtige Hintergrundprämisse, welche das Gesetz mehr oder weniger bereits "beweist", nämlich dass die theoretische Wahrscheinlichkeit so gewählt wird, dass sie im Idealfall (bei ganz ganz vielen Versuchen) mit der relativen Häufigkeit aus Zufallsversuchen übereinstimmen soll. Dann ist natürlich wenig(er) beeindruckend, dass man diesen Zusammenhang auch beweisen kann.

Ohne die o.g. Hintergrundprämisse gibt es kein Gesetz der großen Zahlen. Ich kann zB für einen Münzwurf P(Kopf)= 0.1 und P(Zahl) = 0.9 festlegen und das ist eine legitime Wahrscheinlichkeitsfunktion. Aber hier wird garantiert nicht gelten, dass die relativen Häufigkeiten gegen die Wahrscheinlichkeiten konvergieren.

Richtig?

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Diagnostiker » 18. Feb 2021, 08:39

Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2021, 04:31
Ich kann zB für einen Münzwurf P(Kopf)= 0.1 und P(Zahl) = 0.9 festlegen und das ist eine legitime Wahrscheinlichkeitsfunktion. Aber hier wird garantiert nicht gelten, dass die relativen Häufigkeiten gegen die Wahrscheinlichkeiten konvergieren.

Richtig?
Nein, nicht richtig, denn für einen Münzwurf musst Du eine Münze voraussetzen, so dass Du nicht willkürlich irgendwelche Phantasiewahrscheinlichkeiten festlegen kannst, sondern Dich an der Beschaffenheit der Münze orientieren musst, falls es Dir tatsächlich um die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Zustandekommens eines bestimmten Ergebnisses geht und nicht um hypothetische Ereignisse in einer abstrakten Parallelwelt, die auf reiner Imagination beruht. Und bei realen Münzen ist es nun mal so, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl jeweils 0,5 beträgt und nicht 0,1 und 0,9 - es sei denn, Du hast die Münze gezinkt ... :D

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Pippen » 19. Feb 2021, 08:15

Das ist ein Missverständnis. Mathematik interessiert sich nur und immer für reine Imagination (manchmal treffen diese Fantasien unsere Realität so gut, dass wir gar glauben, die Fantasien seien/beschreiben die Realität). So ist zB in dem Kolmogorov'schen Wahrscheinlichkeitsmodell festgelegt, was wann als Wahrscheinlichkeitsfunktion gelten soll. Die folgenden drei Funktionen sind Beispiele für zulässige W-Funktionen für die möglichen Ergebnisse A, B:

-P(A) = 0.1, P(B)=0.9
-P(A) = 0.5, P(B)=0.5
-P(A) = 0, P(B) = 1.
(Unzulässig wäre zB P(A) = Pi. P(B) = -2 oder P(A) = 0.6, P(B)=0.6)

Es scheint nun so, dass das Gesetz der großen Zahlen offensichtlich voraussetzen muss, dass die ausgewählte Wahrscheinlichkeitsfunktion der relativen Häufigkeit aus realen Zufallsexperimenten entspricht. Denn wieso sollte sonst die relative Häufigkeit gegen die Wahrscheinlichkeitsfunktion mathematisch beweisbar konvergieren? Dann verstünde ich zumindest, dass und wie man das Gesetz beweisen kann. Das Problem wäre allerdings eine wichtige Einschränkung: das Gesetz f. großen Zahlen gälte nur dort, wo Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit tatsächlich zwei Seiten einer Wahrheit sind. Wähle ich eine empirisch falsche W-Funktion, wie zB P(A) = 0.1, P(B)=0.9 für den Münzwurf (A stehe für Kopf, B für Zahl), dann gälte es nicht. Das Gesetz ist damit kein mathematisches, sondern eher ein mathematisch-empirisches per Festlegung aus gewisser Erfahrung heraus.

Meine Frage ist nun, ob ich damit des Pudels Kern treffe.

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Diagnostiker » 19. Feb 2021, 10:11

Pippen hat geschrieben:
19. Feb 2021, 08:15
Das ist ein Missverständnis.
Ja, von Dir, denn bei der Wahrscheinlichkeitswert-Zuteilung bei einem Münzwurf steckt bei "Münzwurf" bereits die "Münze" drin, die Du berücksichtigen musst, wenn Du nachfolgend über Wahrscheinlichkeiten sprichst.

Und Münzen sind nun mal Dinge aus der Realität, die man zwar idealisiert, um sie mathematisch zugänglich zu machen (so werden Materialungleichverteilungen infolge der Prägungen vernachlässigt und der Münzrand wird bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht berücksichtigt bzw. mit dem Wahrscheinlichkeitswert Null belegt), aber dennoch sehr realitätsnah auch in der idealisierten Form sind.

Die idealisierte Form der Münzen hat nun mal nur zwei Seiten gleicher Beschaffenheit die berücksichtigt werden, so dass sich aus dieser gleichen Beschaffenheit nur zwei gleiche Wahrscheinlichkeiten ableiten lassen und nicht zwei ungleiche Wahrscheinlichkeiten. Da 1 geteilt durch 2 nun mal 0,5 ergibt, ergibt sich notwendigerweise für beide Wahrscheinlichkeiten des Münzwurfs nun mal 0,5 und nicht 0,1 und 0,9.

Was Du machst, ist hingegen nur abstrakte Rumrechnerei ohne Bezug auf reale Münzen, was ich für mich als reichlich sinnfrei betrachte ... :D

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von seeker » 19. Feb 2021, 11:40

Wenn man reale Ereignissen Wahrscheinlichkeitswerte zuordnet, dann gibt es grundsätzlich zwei Wege dies zu tun:

1. Man betrachtet möglichst viele gleichartige Ereignisse (z.B. Münzwürfe) und ordnet den empirischen Werten dann eine Wahrscheinlichkeit zu, so die Werte denn zu irgendeinem Wert konvergieren (annähern), insofern sich also überhaupt ein Muster erkennen lässt (bei ungezinkten Würfen konvergiert der Wert gegen 0,5 bei Kopf = 0 und Zahl = 1).

2. Man betrachtet den Gegenstand selber (z.B. eine Münze) und den Vorgang dazu (z.B. einen Münzwurf) und analysiert diesen und erstellt davon ein gesetzmäßig-physikalisch-mathematisches Modell, insbesondere unter Berücksichtigung der vorhandenen Symmetrien.

Im Fall der Münzwürfe kann man nun schon alleine aus 2. heraus vorhersagen, dass zu erwarten ist, dass bei vielen Würfen in etwa genauso oft Kopf wie Zahl erscheinen wird. Und das, ohne einen einzigen Wurf ausgeführt zu haben!

Und wenn man die Würfe dann tatsächlich (nach 1.) durchführt und nach z.B.1 Million Würfen 500.546x Kopf feststellt und 499.454x Zahl dann wird das Modell bestätigt. Bestätigt würde damit auch, dass es sich um eine gut ausbalancierte Münze handeln muss und der Wurf selbst auch genügend gut (das Ergebnis nicht relevant beeinflussend) ausgeführt wurde, dass also in das Modell ausreichend viele und gute Näherungs-Annahmen eingeflossen sind hat. (Modelle sind ja bezgl. den realen Gegebenheiten immer etwas idealisierend und vereinfachend.)
Pippen hat geschrieben:
19. Feb 2021, 08:15
Das Gesetz ist damit kein mathematisches, sondern eher ein mathematisch-empirisches per Festlegung aus gewisser Erfahrung heraus.
In gewisser Weise würde ich sagen "ja", es geht bei der Anwendung ja auch um die Modellierung und Vorhersage realer Vorgänge. Unter Berücksichtigung von 2. (wenn vorhanden) kann man allerdings p schon im Voraus nicht beliebig wählen. Und egal welches p man in Voraus annimmt, es sollte dann i.d.R. durch 1. bestätigt werden.
Dass dann tatsächlich z.B. p(Kopf) = p(Zahl) = 0,5 real vorliegt, ist mit beidem dennoch nicht streng bewiesen*, aber es ist beim o.g. genannten Ergebnis sehr viel plausibler, also vernünftiger, anzunehmen, dass p = ca. 0,5 vorliegt, als dass p = 0,1 vorliegt und bei den 1 Million Würfen ein Ausreißer detektiert wurde, der p = 0,5 nur vortäuschte und zudem die Modellierung 2. völlig daneben ging.

*:
Für einen strengen Nachweis müsste man unter 1. unendlich viele Ereignisse betrachten, was unmöglich ist. Und unter 2. die absolut strenge Existenz und Gültigkeit der Naturgesetze und die völlig korrekte Modellierung im Voraus streng beweisen, was ebenso unmöglich ist.

Es geht daher auch hier -wie immer- nicht um apodiktisch strenge Nachweise, sondern darum, was vernünftigerweise anzunehmen sei.
Und es ist eben unvernünftig anzunehmen, dass bei einem fairen Münzwurf einer ungezinkten Münze p(Zahl) = 0,001 sei.
Grüße
seeker


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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Skeltek » 19. Feb 2021, 11:41

Ich hatte gestern meinen Text nicht abgeschickt, weil er zu kurz gekommen wäre. Pippen hat genau genommen Recht, wenn ich ihn richtig verstanden habe.
Der Satz zur großen Zahl wird in der Tegel tatsächlich falsch formuliert (und schwammig), um es zu vereinfachen und bei dem Wunsch, daß es jeder schon irgendwie grob verstehen wird.
Die relative Häufigkeit konvergiert nicht mathematisch beweisbar gegen den Erwartungswert. Gleichmäßige Konvergenz ist zu keinem Zeitpunkt garantiert oder beweisbar. Vielmehr meint der Satz einen anderen Sachverhalt, aber der ist für die Schulklassen, wo dieser eingeführt wird oft zu schwer bei deren Stand.

Man kann aber durchaus eine übergeordnete Wahrscheinlichkeitsfunktion definieren, nach welcher die Abweichung von der Relativen Häufigkeit bei einer größeren Anzahl Proben immer unwahrscheinlicher wird.
Während bei der Betrachtung von kleinen Zufallsreihen ein recht großer rleativer Anteil der Reihen um eine bestimmte Abweichung vom Erwartungswert der relativen Häufigkeit abweicht, so hat bei der Betrachtung größerer Zufallsreihen ein immer kleinerer Anteil der Reihen dieselbe Abweichung vom Erwartungswert. Das mathematisch auszuformulieren ist jedoch deutlich komplizierter, weshalb man bei der Einführung des Satzes in der x-ten Schulklasse leider auf den schwammig falsch formulierten Satz ausweicht.

Um genau zu sein spielen da mehrere verschiedene Arten von Grenzwerten in die Argumentation hinein, wie z.B. gleichmäßige Konvergenz, absolute Konvergenz, punktweise Konvergenz usw, die man aber so erst an der Uni im Fach Analysis erlernt, die man dann auf Bonomialverteilungen usw aus der Statistik anwenden muss.
Zu keinem Zeitpunkt ist die gleichmäßige Konvergenz, deren Verletzung du hier erkannt hast gegeben.
Ich glaube die Konvergenzbetrachtung, die hier verwendet wird ist nicht einmal auf https://de.wikipedia.org/wiki/Funktione ... nzbegriffe in ihrer erforderlichen Ausführung erwähnt.

Man hat eine ganze Schar an möglichen Münzwurf-Folgen der Länge n, die alle ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten haben. Davon haben x% eine Abweichung von d oder mehr von der erwarteten relativen Häufigkeit. Man kann nun unter gleichzeitiger Anwendung fast zur aller im Fach Analysis gelehrten Methoden zeigen, daß bei größerem n das x kleiner wird - also weniger % eine Abweichung von d oder mehr zum Erwartungswert haben.

Eine Konvergenz gegen den Erwartungswert der relativen Häufigkeit ist zu keinem Zeitpunkt gegeben. Die relative Häufigkeit kann zu einem beliebigen Zeitpunkt beliebig nahe gegen 0 oder 1 gehen, indem man dann plötzlich Milliarden mal Zahl würfelt.

Gruß

ps: Ist euch je aufgefallen, daß das Wort 'mal' bzw 'Male' von 'Mal' kommt? "kennzeichnender Fleck, Verfärbung in der Haut, oft als Wundmal oder Muttermal" Hat man wohl früher zum Zählen verwendet :)
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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Pippen » 20. Feb 2021, 19:19

Soweit ich verstehe ist das Gesetz der großen Zahlen ein mathematisches Theorem, wonach die relative Häufigkeit (was Empirisches) gegen die Wahrscheinlichkeit (Mathmatik, Theorie) konvergiert. Das macht so keinen Sinn. Es muss also irgendeine rein formale/definitorische Verbindung zwischen beiden geben. Und mE ist diese Verbindung - am Beispiel des Münzwurfs - dass h(Kopf) = Kopfwürfe/Würfe, während die Wahrscheinlichkeit P(Kopf) = Kopfwürfe/Würfe definiert wird. Dann und nur dann gilt das Gesetz der großen Zahlen und man kann es beweisen, weil's einfach so definiert ist, dass es unabhängig von der Realität funktionieren muss. Sobald man als P(Kopf) irgendwas anderes annimmt, klappt es nicht mehr.

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Frank » 20. Feb 2021, 19:49

Ich kenne das in einem anderen Zusammenhang........ vielleicht ist es aber auch dasselbe :wn:
Mit freundlichen Grüßen

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Diagnostiker » 20. Feb 2021, 19:54

@ Pippen

Dann verstehst Du es eben falsch. Macht aber nichts, kann ja mal passieren ... :)

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Diagnostiker » 20. Feb 2021, 20:05

@ Frank

Da hast Du etwas sehr Weises gesagt. :D

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Skeltek » 20. Feb 2021, 22:41

Pippen hat geschrieben:
20. Feb 2021, 19:19
Und mE ist diese Verbindung - am Beispiel des Münzwurfs - dass h(Kopf) = Kopfwürfe/Würfe, während die Wahrscheinlichkeit P(Kopf) = Kopfwürfe/Würfe definiert wird. Dann und nur dann gilt das Gesetz der großen Zahlen und man kann es beweisen, weil's einfach so definiert ist, dass es unabhängig von der Realität funktionieren muss. Sobald man als P(Kopf) irgendwas anderes annimmt, klappt es nicht mehr.
Dann würde es aber nicht konvergieren sondern immer exakt der Definition entsprechen?
Wie ich sagte, der Satz ist eigentlich falsch formuliert und kann in seiner so häufig zitierten Form nicht wirklich stimmen.
Es geht eigentlich 'grob' um Folgendes:
Umso länger die Anzahl hintereinander ausgeführter Zufallsereignisse ist, umso kleiner ist die zu erwartende Standardabweichung der relativen Häufigkeit vom Erwartungswert. Die Konvergenz der gerade tatsächlichen Reihe ist dadurch unbeeinflusst.
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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Feb 2021, 00:51

Hallo zusammen,

ich will nich ja nicht unnötig einmischen, zumal Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik nie meine Dinge waren, nur soviel: es gibt meiner Erinnerung nach 3 solche Gesetze der Grossen Zahlen.

Sollte man die nicht seperat anschauen ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Frank » 21. Feb 2021, 01:39

Ich bin ja schließlich Kaufmann und habe gelernt", Masse verkauft Masse!"
Das ist das kaufmännische Spiel mit den großen Zahlen...... :lol:
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Skeltek » 21. Feb 2021, 08:37

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Feb 2021, 00:51
es gibt meiner Erinnerung nach 3 solche Gesetze der Grossen Zahlen.
Was?
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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Diagnostiker » 21. Feb 2021, 11:01

@ Ralf Kannenberg

Pippen geht es vordringlich um Ontologie und nicht um mathematische Formalismen. Die Gesetze bezüglich der großen Zahl sind das eine, der Bezug zur Empirie das andere. Letzteres ist das, worauf Pippens Beitrag abzielt, und da kommt man bei Münzwürfen nun mal um reale Münzen nicht herum, auch wenn man sie idealisiert betrachtet.

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von seeker » 21. Feb 2021, 11:39

Starkes Gesetz der großen Zahlen
https://de.wikipedia.org/wiki/Starkes_G ... Fen_Zahlen
Das starke Gesetz der großen Zahlen trifft eine Aussage über die P-fast sichere Konvergenz der Zufallsvariablen, das schwache Gesetz der großen Zahlen hingegen über die stochastische Konvergenz der Zufallsvariablen.
...mit rot markierter Hervorhebung, weil das wichtig ist.
Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt immer das schwache Gesetz der großen Zahlen.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwaches ... Fen_Zahlen

Es gibt theoretisch-mathematische Untersuchungen und es gibt Anwendungen der Theorie auf die reale Welt. Das sind zwei paar Schuhe.

Interpretation der formalen Aussagen
https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_de ... n_Aussagen
Anders als bei klassischen Folgen, wie sie in der Analysis untersucht werden, kann es in der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Regel keine absolute Aussage über die Konvergenz einer Folge von Zufallsergebnissen geben. Der Grund hierfür ist, dass zum Beispiel bei einer Serie von Würfelversuchen Folgen von Zufallsergebnissen wie 6, 6, 6, … nicht ausgeschlossen sind. Bei einer solchen Folge von Zufallsergebnissen würde die Folge der daraus gebildeten arithmetischen Mittel aber nicht gegen den Erwartungswert 3,5 konvergieren. Allerdings besagt das starke Gesetz der großen Zahlen, dass das Ereignis, bei dem die arithmetischen Mittelwerte nicht gegen den Erwartungswert 3,5 konvergieren, die Wahrscheinlichkeit 0 besitzt. Man nennt ein solches Ereignis auch fast unmögliches Ereignis.
(mit Hervorhebung)

Damit sollte doch das Wichtigste klar sein?
Pippen hat geschrieben:
20. Feb 2021, 19:19
Soweit ich verstehe ist das Gesetz der großen Zahlen ein mathematisches Theorem, wonach die relative Häufigkeit (was Empirisches) gegen die Wahrscheinlichkeit (Mathmatik, Theorie) konvergiert.
Es handelt sich hier um mathematische Sätze und es geht hier nur darum, dass fast sicher gilt, dass...
Und nein, man braucht die Realität nicht, wenn man nur theoretische Untersuchungen dürchführt, man braucht dann nur ein mathematisches Modell.
Grüße
seeker


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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Feb 2021, 11:39

Skeltek hat geschrieben:
21. Feb 2021, 08:37
ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Feb 2021, 00:51
es gibt meiner Erinnerung nach 3 solche Gesetze der Grossen Zahlen.
Was?
Hallo Skel,

auch die Wikipedia ist Dein Freund ;)

Die Prüfung zum Vordiplom zu diesem Thema war für einen Algebraiker wie mich der reinste Horror, denn in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik gilt für mich ebenso wie für den Dritten im Bunde, die Masstheorie: ;?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Feb 2021, 11:40

@Diagostiker: irgendwie verliere ich zur Zeit den Sekundentanz :oops:

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Pippen » 21. Feb 2021, 20:09

Skeltek hat geschrieben:
20. Feb 2021, 22:41
Pippen hat geschrieben:
20. Feb 2021, 19:19
Und mE ist diese Verbindung - am Beispiel des Münzwurfs - dass h(Kopf) = Kopfwürfe/Würfe, während die Wahrscheinlichkeit P(Kopf) = Kopfwürfe/Würfe definiert wird. Dann und nur dann gilt das Gesetz der großen Zahlen und man kann es beweisen, weil's einfach so definiert ist, dass es unabhängig von der Realität funktionieren muss. Sobald man als P(Kopf) irgendwas anderes annimmt, klappt es nicht mehr.
Dann würde es aber nicht konvergieren sondern immer exakt der Definition entsprechen?
Nein, weil relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit was Verschiedenes sind. Wahrscheinlichkeit ist einfach eine Funktion, die einen Zahlenwert zwischen 0 und 1 ausspuckt und zwar immer denselben. Relative Häufigkeit ist auch eine Funktion, die einen Zahlenwert zwischen 0 und 1 ausspuckt, aber nicht immer denselben, weil abhängig von Versuchsreihen. Aber weil man vorher beide gleich definiert, muss es letztendlich zum selben führen. Also wenn ich definiere, dass P(Kopf) = Kopf/Würfe ist und h(Kopf) das Gleiche, dann kann es zwar aufgrund der unterschiedlichen (mathematischen) Natur der beiden Konzepte einige Unterschiede geben, aber insgesamt bzw. auf das ganz Große gesehen muss es zum selben führen. So reime ich mir das zusammen, ansonsten verstehe ich nicht, wie ein math. Gesetz Empirie (rel. Häufigkeit) und Theorie (Wahrscheinlichkeit) zusammenführen kann. Dann wäre das Gesetz der großen Zahlen eine physikalische Theorie, nicht anders als die ART, die sich gut bewährt hat, aber mehr auch nicht, aber das ist nicht so. Man kann es math. beweisen, dass es so sein muss!

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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von seeker » 22. Feb 2021, 08:03

Pippen hat geschrieben:
21. Feb 2021, 20:09
Aber weil man vorher beide gleich definiert, muss es letztendlich zum selben führen. Also wenn ich definiere, dass P(Kopf) = Kopf/Würfe ist und h(Kopf) das Gleiche, dann kann es zwar aufgrund der unterschiedlichen (mathematischen) Natur der beiden Konzepte einige Unterschiede geben, aber insgesamt bzw. auf das ganz Große gesehen muss es zum selben führen.
Wenn ich das mache, dann handelt es sich um ein mathematisches Modell.
Und dann gilt alles, was ich innerhalb des Modells herausfinde, zunächst ausschließlich für das Modell, also die reine mathematische Struktur aus rein theoretisch-gedanklichen Konzepten. Über die Natur ist damit noch überhaupt nichts ausgesagt. Und zwar sowohl bezüglich Wahrscheinlichkeiten als auch bezüglich Häufigkeiten, denn beide sind hier zunächst als reine theoretische Konstrukte zu verstehen, die ganz unabhängig davon bestehen, ob es einen Bezug zur realen Welt gibt oder nicht gibt.
Dennoch -und das ist gerade der Punkt- kann ich hier schon rein mathematische Gesetzmäßigkeiten über das Modell ableiten (wie z.B. Gesetze der großen Zahlen), also letztlich rein logische Ableitungen in einer rein logischen Wenn-Dann-Struktur finden, die aber über die Natur noch nichts, aber auch gar nichts aussagen. Das liegt vor allen Dingen daran, dass man nicht im Voraus (ohne erfolgreiche empirische Anwendung) wissen kann, ob das "Wenn" in der logischen Wenn-Dann-Struktur in der Natur eine passende Entsprechung hat.
Pippen hat geschrieben:
21. Feb 2021, 20:09
ansonsten verstehe ich nicht, wie ein math. Gesetz Empirie (rel. Häufigkeit) und Theorie (Wahrscheinlichkeit) zusammenführen kann. Dann wäre das Gesetz der großen Zahlen eine physikalische Theorie, nicht anders als die ART, die sich gut bewährt hat, aber mehr auch nicht, aber das ist nicht so.
Wenn ich das Modell dann auf irgendetwas in der Natur anwende und empirisch feststelle, dass es für meine angedachten Zwecke befriedigend gut funktioniert, also genügend gut passt/übereinstimmt, es also etwas in der Natur in meinen Augen gut genug beschreibt, dann habe ich tatsächlich so etwas wie eine physikalische Theorie (z.B. eine Theorie über genügend viele reale Münzwürfe). Und dann habe ich auch einen Bezug hergestellt: theoretische Wahrscheinlichkeit/Häufigkeit - empirisch festgestellte Wahrscheinlichkeit/Häufigkeit.

Wenn genau das nicht gelingt, dann besteht der Bezug nicht und das Modell ist für die angedachte Anwendung dann unbrauchbar. Und dann habe ich auch keine physikalische Theorie.

Um es noch einmal kurz zu sagen:

Mathematische Wahrscheinlichkeit ist ungleich physikalischer Wahrscheinlichkeit!
Mathematische Häufigkeit ist ungleich physikalischer Häufigkeit!
Grüße
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Re: Gesetz der grossen Zahlen

Beitrag von Pippen » 23. Feb 2021, 02:30

Ja. Meine Frage reduziert sich dann darauf, ob beim mathematischen Gesetz der großen Zahlen die relative Häufigkeit h(A) und die theoretische Wahrscheinlichkeit P(A) vorab gleich definiert werden. Und meines Erachtens ist das so und deshalb kann man das Gesetz auch mathematisch beweisen. In der Praxis bewährt es sich dann, weil für uns die relative Häufigkeit das Gleiche ist wie die theoretische Wahrscheinlichkeit. Wenn wir zum Beispiel sagen, eine Münze fallen mit 50 % Wahrscheinlichkeit auf Kopf, dann meinen wir damit doch nichts weiter als: bei n Versuchen kommt aufs große Ganze gesehen Kopf n/2-mal vor.

Hier gäbe es dann auch einen erheblichen unterschied zwischen einem frequentistischen (klassischen) Wahrscheinlichkeitsbegriff und den bayesianischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Denn bei Letzterem gibt es keine relative Häufigkeit (die ist dort ersetzt durch irgendwelche subjektiven „Gefühlslagen“) und damit dürfte dort das Gesetz der großen Zahlen nicht gehen. :o

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