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Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

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Pippen
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Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von Pippen » 27. Okt 2020, 05:11

1. Die sog. Kontinuumshypothese (CH) - es spielt hier keine Rolle, was das ist - wurde von Goedel und Cohen als von ZFC unabhängig bewiesen. Damit wären die Axiomensysteme ZFC + CH genauso wie ZFC + ~CH konsistent (ZFC wird sowieso als konsistent vorausgesetzt).

2. Aber feststeht andererseits aufgrund einfacher Logik, dass entweder CH oder ~CH falsch ist.

3. Daraus folgt für mich, dass entweder ZFC + CH oder ZFC + ~CH doch inkonsistent sein muss, weil in einem der beiden Axiomensysteme ein falsches Axiom drinsteckte und damit Beliebiges - auch Widersprüche - folgerbar wären; das betreffende Axiomensystem hätte kein Modell.

4. Das hieße wiederum, dass Mathematiker & Physiker Vabanque spielen, denn es stünde jetzt gerade fest, dass die Chance, mit inkonsistenter Mathematik zu operieren 50/50 wäre, denn logischerweise benutzen wir entweder ZFC + CH oder ZFC + ~CH.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bei 3. fühle ich mich im Recht. Richtig?

Bei 4. ist wohl ein Fehler, weil ich ZFC allein übersehe. Richtig?

Wer CH oder ~CH als Axiom zu ZFC hinzunimmt, der wäre aber ein Vabanquespieler, eben wg. 3. Richtig?

Zusatzfrage: Wg. Gödels 2. Unvollständigkeitssatz wären Mathematiker letztlich doch immer Vabanquespieler, weil ZFC entweder konsistent oder inkonsistent wäre und sie keine Ahnung hätten, was von beiden vorliegt - mit ZFC könnten sie es nicht beweisen und alle Beweise mittels stärkeren Systemen würde die Frage nur auf diese verlagern - nur die Hoffnung und eine soweit-ging's-gut-Erfahrung. (Das ginge allen anderen Wissenschaften nicht besser, weil die erst recht (implizit) ZFC benutzen, d.h. aus dem 2. Unvollständigkeitssatz von Gödel folgt ein globaler Skeptizismus für alles was stärker ist als IN, +, * und das ist praktisch alles.)

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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von tomS » 27. Okt 2020, 08:26

Pippen hat geschrieben:
27. Okt 2020, 05:11
1. Die sog. Kontinuumshypothese (CH) - es spielt hier keine Rolle, was das ist - wurde von Goedel und Cohen als von ZFC unabhängig bewiesen. Damit wären die Axiomensysteme ZFC + CH genauso wie ZFC + ~CH konsistent (ZFC wird sowieso als konsistent vorausgesetzt).

2. Aber feststeht andererseits aufgrund einfacher Logik, dass entweder CH oder ~CH falsch ist.

3. Daraus folgt für mich, dass entweder ZFC + CH oder ZFC + ~CH doch inkonsistent sein muss, weil in einem der beiden Axiomensysteme ein falsches Axiom drinsteckte und damit Beliebiges - auch Widersprüche - folgerbar wären.
Laut (1) wird zunächst ZFC als konsistent vorausgesetzt. Das schließt (3) aus.

Laut Beweis von Gödel und Cohen ist CH unabhängig von ZFC, d.h. in ZFC existiert weder ein syntaktisches korrekter und logisch konsistenter Beweis von CH noch von ~CH. Damit ist (2) d.h. deine Schlussfolgerung, „dass entweder CH oder ~CH falsch ist“ innerhalb ZFC falsch.

Und ohne (2) entfällt deine Schlussfolgerung bzgl. (3).


Bsp.:

Betrachte ZFC sowie die Aussage <es regnet jetzt>. Tatsächlich ist die Aussage <es regnet jetzt> hier bei mir zu jedem Zeitpunkt bezogen auf das Wetter draußen sicher entweder wahr oder falsch, aber im Rahmen von ZFC ist sie unbeweisbar. Der Satz „die Aussage <es regnet jetzt> muss aufgrund einfacher Logik entweder wahr oder falsch sein“ ist im Rahmen von ZFC falsch. Und in dem selben Sinn ist der Satz „Die Kontinuumshypothese muss im Kontext ZFC entweder wahr oder falsch sein“ falsch.

Begründung:

„Wahr“ innerhalb eines als konsistent vorausgesetzten Axiomensystems bedeutet nicht „in Übereinstimmung mit der Realität“, sondern lediglich, „nach den innerhalb des Axiomensystems ZFC syntaktisch korrekten und logisch konsistenten sowie zulässigen Schlussregeln ableitbar“, d.h. beweisbar; es handelt sich letztlich um eine formale Manipulation von Zeichenketten. Eine derartige Ableitung existiert aber weder für CH noch für ~CH, und daher ist weder CH noch ~CH „wahr im Kontext von ZFC“.
Gruß
Tom

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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von ralfkannenberg » 27. Okt 2020, 17:46

Pippen hat geschrieben:
27. Okt 2020, 05:11
Aber feststeht andererseits aufgrund einfacher Logik, dass entweder CH oder ~CH falsch ist.
Hallo Pippen,

Du verwendest die "einfache Logik" insgesamt zu vereinfacht.

Nimm die Aussage "Gleichung x+1=0 hat eine Lösung".

(1) Im Körper der komplexen Zahlen - ok, es genügt schon die Gruppe der ganzen Zahlen - hat diese Gleichung eine Lösung, nämlich -1.
(2) In der Halbgruppe der natürlichen Zahlen hat diese Gleichung keine Lösung, da -1 keine natürliche Zahl ist.

Somit haben wir zwei Situationen geschaffen; in der ersten ist die Aussage wahr, in der zweiten ist die identisch selbe Aussage falsch.

Es kommt also auf die Voraussetzungen an.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von Pippen » 1. Nov 2020, 23:53

tomS hat geschrieben:
27. Okt 2020, 08:26
„Wahr“ innerhalb eines als konsistent vorausgesetzten Axiomensystems bedeutet nicht „in Übereinstimmung mit der Realität“, sondern lediglich, „nach den innerhalb des Axiomensystems ZFC syntaktisch korrekten und logisch konsistenten sowie zulässigen Schlussregeln ableitbar“, d.h. beweisbar; es handelt sich letztlich um eine formale Manipulation von Zeichenketten. Eine derartige Ableitung existiert aber weder für CH noch für ~CH, und daher ist weder CH noch ~CH „wahr im Kontext von ZFC“.
Du vertritts hier die Gleichsetzung von Wahrheit und Beweisbarkeit. Das macht (fast) niemand und ich auch nicht (kann man natürlich machen, aber dadurch missverstehen wir uns hier). Die große Mehrheit (so wie ich) unterscheidet zwischen der Wahrheit von x und der Ableitbarkeit/Beweisbarkeit von x innerhalb eines Axiomensystems mit Schlussregeln. Genau deshalb kann es auch wahre, aber unbeweisbare, Aussagen geben. Bei deiner Lesart wäre das nicht möglich. Meine Frage geht implizit von der Trennung zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit aus! Wenn du unter dieser Prämisse nochmal meine Frage liest
1. Die sog. Kontinuumshypothese (CH) - es spielt hier keine Rolle, was das ist - wurde von Goedel und Cohen als von ZFC unabhängig bewiesen. Damit wären die Axiomensysteme ZFC + CH genauso wie ZFC + ~CH konsistent (ZFC wird sowieso als konsistent vorausgesetzt).

2. Aber feststeht andererseits aufgrund einfacher Logik, dass entweder CH oder ~CH falsch ist.

3. Daraus folgt für mich, dass entweder ZFC + CH oder ZFC + ~CH doch inkonsistent sein muss, weil in einem der beiden Axiomensysteme ein falsches Axiom drinsteckte und damit Beliebiges - auch Widersprüche - folgerbar wären; das betreffende Axiomensystem hätte kein Modell.

4. Das hieße wiederum, dass Mathematiker & Physiker Vabanque spielen, denn es stünde jetzt gerade fest, dass die Chance, mit inkonsistenter Mathematik zu operieren 50/50 wäre, denn logischerweise benutzen wir entweder ZFC + CH oder ZFC + ~CH.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bei 3. fühle ich mich im Recht. Richtig?

Bei 4. ist wohl ein Fehler, weil ich ZFC allein übersehe. Richtig?

Wer CH oder ~CH als Axiom zu ZFC hinzunimmt, der wäre aber ein Vabanquespieler, eben wg. 3. Richtig?

Zusatzfrage: Wg. Gödels 2. Unvollständigkeitssatz wären Mathematiker letztlich doch immer Vabanquespieler, weil ZFC entweder konsistent oder inkonsistent wäre und sie keine Ahnung hätten, was von beiden vorliegt - mit ZFC könnten sie es nicht beweisen und alle Beweise mittels stärkeren Systemen würde die Frage nur auf diese verlagern - nur die Hoffnung und eine soweit-ging's-gut-Erfahrung. (Das ginge allen anderen Wissenschaften nicht besser, weil die erst recht (implizit) ZFC benutzen, d.h. aus dem 2. Unvollständigkeitssatz von Gödel folgt ein globaler Skeptizismus für alles was stärker ist als IN, +, * und das ist praktisch alles.)
zu welchem Schluss kommst du dann?

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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von tomS » 2. Nov 2020, 14:40

Pippen hat geschrieben:
1. Nov 2020, 23:53
Du vertritts hier die Gleichsetzung von Wahrheit und Beweisbarkeit.
Nicht allgemein, jedoch für den speziellen Fall der Kontinuumshypothese.

Die Wahrheit eines Gödelsatzes folgt mittels Gödelisierung, d.h. der Gödelsatz eines Systems in dieser Hinsicht wahr, jedoch unbeweisbar mittels des Systems; damit ist seine Negation falsch, d.h. die Negation des Gödelsatzes steht im Widerspruch zum System.

Im Falle der Kontinuumshypothese verhält es sich jedoch gerade anders: weder die Kontinuumshypothese noch ihre Negation sind mittels ZFC beweisbar, weder die Kontinuumshypothese noch ihre Negation stehen im Widerspruch zu ZFC.

Während man also die Negation des Gödelsatzes nicht als weiteres Axiom zum System hinzunehmen kann, weil dies zu einem Widerspruch führt, ist dies bei der Kontinuumshypothese bzw. ihrer Negation möglich.

Damit bleibt
tomS hat geschrieben:
27. Okt 2020, 08:26
... laut Beweis von Gödel und Cohen ist CH unabhängig von ZFC, d.h. in ZFC existiert weder ein syntaktisches korrekter und logisch konsistenter Beweis von CH noch von ~CH. Damit ist (2) d.h. deine Schlussfolgerung, „dass entweder CH oder ~CH falsch ist“ innerhalb ZFC falsch.
weiterhin gültig.
Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von Skeltek » 2. Nov 2020, 23:07

@Pippen:
Das bewegt sich der Art der Frage nach in dem Bereich, ob komplexe Zahlen existieren oder nicht. Man kann die Existenz annehmen oder auch nicht. Mit 'Wahrheit' hat das glaube ich überhaupt nichst zu tun. Die Annahme der 'Gültigkeit'(völlig falscher Begriff dafür) der CH ist lediglich konsistent.
Man legt durch 'CH' oder 'nicht CH' lediglich fest, auf welchem Spielplatz man sich bewegen möchte.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von Pippen » 5. Nov 2020, 08:01

Hier mal ein Beitrag zu meinem parallelen Thread im Matheforum, vllt. macht der klarer, wo mein Problem liegt:
Original von Luftikus
Du liegst wohl schon bei deinem Punkt 2 falsch.
Betrachte dazu zB. das Axiom
D="Es ist Tag"
Ja, D wäre weder wahr noch falsch, weil zu unbestimmt, so etwa wie die Gleichung x+1=0 weder wahr noch falsch ist.
Es ist ein (logischer) Fehler, einem Axiom einen Wahrheitswert zuzuweisen.
Das habe ich anders gelesen. Axiome werden als -wahr- gesetzt. Ansonsten wären ja auch die Folgerungen aus den Axiomen logisch (semantisch) nicht gültig, man könnte also nicht ZFC |= z schreiben. Und weil Axiome als -wahr- gesetzt werden kann es zu Widersprüchen kommen, wenn sich nämlich herausstellt, dass ein Axiom als -wahr- gesetzt wurde, aber falsch ist.

Ich sehe es mittlerweile so: so wie man in Wahrheitswerttabellen einer Variable p mal den Wert 1, mal den Wert 0, geben kann, so tut man es auch mit ZFC und CH: Mal tut man ZFC mit einem wahren CH annehmen, mal tut man ZFC mit einem falschen CH (also einem wahren ~CH) annehmen. Beide Male ist das System konsistent und hat demgemäß ein Modell. Soweit verstehe ich es.

Mich irritiert, dass selbst in einer glasklaren Struktur {leere Menge, epsilon-Relation, PL 1. Stufe}, die letztlich ZFC zugrundeliegt, offenbar CH noch nicht "fix" wahr oder falsch ist, sondern noch beide Wahrheitswerte möglich bleiben; ich hätte gedacht, in einer solchen Struktur "fliegen" die platonischen Wahrheiten herum, d.h. dort stünde bereits fest, dass CH wahr oder falsch ist und dann wäre ausgeschlossen, dass sowohl ZFC+CH als auch ZFC+~CH konsistent sein bzw. je ein Modell haben können. Das verstehe ich nicht. Ich meine: in der Struktur (IN, +, *) steht doch auch schon fest, ob die Goldbachsche Vermutung wahr oder falsch ist, oder?

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Re: Kontinuumshypothese und die Mathematik, Verständnisfrage

Beitrag von Skeltek » 5. Nov 2020, 11:14

Die CH steht nicht im Widerspruch zu den anderen Axiomen, lässt sich durch diese aber auch nicht herleiten.
Man nimmt einfach an, daß CH wahr ist, oder eben nicht. Die Annahme, daß es eine überabzählbare Menge gibt, die weniger mächtig ist als die der reelen Zahlen, würde (vereinfacht ausgedrückt) eine weitere Mathematik als existent postulieren, welche für uns weder handhabbar noch zugänglich ist.

Das ist wie die Annahme, ob es Paralleluniversen gibt oder nicht. Oder der Annahme, daß man zwischen jeder Gegenwartsschnittfläche noch ein zweites Leben lebt, aber die Erinnerungen der beiden nicht von der jeweilig anderen Existenz zugreifbar sind.

Ich habe da ohnehin eine persönliche Meinung dazu und halte alleine die Frage nach CH oder nicht CH bereits unsinnig, weil ich eine andere Interpretation davon habe, was 'überabzählbar' bedeutet. Aber ich will hier keinen neuen Thread darüber anfangen, das haben wir schon oft genug bis zum Erbrechen diskutiert.

Der Wahrheitsgehalt der CH ist ähnlich gelagert wie: Während es das Universum existiert, gibt es Zeit. Die Annahme, daß zwischen dem Ende der Zeit und dem 'danach' noch eine weitere Phase existiert, ist weder beweis- noch überprüfbar. Sowohl die Annahme es sei wahr noch die Annahme es sei unwahr ist nicht beweis/widerlegbar. Es macht für mich einfach keinen Sinn. So sehe ich es auch mit der CH - ich halte bereits die Frage für sinnfrei und ohne echte Substanz (was zu erkennen aber nicht leicht ist). Aber das ist eben nur meine persönliche Anschauung davon.
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