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Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Mathematische Fragestellungen
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 26. Mai 2020, 11:49

Ralf hat die Lösungsidee im wesentlichen beschrieben.

Der genaue Bezug zur Geometrie ist nicht offensichtlich. Vitali sollte immer funktionieren, Banach-Tarski bzw. Hausdorff funktioniert sicher nicht immer.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 27. Mai 2020, 07:54

So, hier wäre eine formale Lösung:

https://onedrive.live.com/embed?cid=1A4 ... F3ZPA&em=2

Erläuterung folgt.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von Skeltek » 27. Mai 2020, 12:36

Hmm, klingt gut und ist ziemlich das, was ich mir schon gedacht hatte.
Nur: Wie kann ich mich als Benutzer einer dieser Wohnflächen von einer zur anderen bewegen? Bzw wie kann ich mich auf die Verwendung von nur einer der Flächen einschränken? :)
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von ralfkannenberg » 27. Mai 2020, 14:03

Skeltek hat geschrieben:
27. Mai 2020, 12:36
Nur: Wie kann ich mich als Benutzer einer dieser Wohnflächen von einer zur anderen bewegen? Bzw wie kann ich mich auf die Verwendung von nur einer der Flächen einschränken? :)
Hallo Skel,

ich vermute, dass hierfür eine Zusatzbedingung erforderlich ist, beispielsweise, dass die zugrundeliegende Funktion auch Riemann-integrierbar ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 27. Mai 2020, 14:43

Verstehe ich nicht.

Alle Intervalle [0,n+1] sind Lebesgue-messbar. Die mittels Auswahlfunktion konstruierte Menge S ist explizit nicht Lebesgue-messbar.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von Skeltek » 27. Mai 2020, 20:41

tomS hat geschrieben:
27. Mai 2020, 14:43
Verstehe ich nicht.
Meins, seins oder deins? ;P
tomS hat geschrieben:
27. Mai 2020, 14:43
Alle Intervalle [0,n+1] sind Lebesgue-messbar. Die mittels Auswahlfunktion konstruierte Menge S ist explizit nicht Lebesgue-messbar.
Ja, ist ja praktisch fast 1:1 dasselbe wie beim anderen Rätsel. Mir war nur ein paar Implikationen wie z.B. Parallele mit VWI in den Sinn gekommen. Auf dieselbe Weise ließe sich ja auch der Bewohner splitten, wenn er die Wohnfläche betritt - er bräcuhte dann doppelt so viel Platz :D
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 28. Mai 2020, 06:41

Skeltek hat geschrieben:
27. Mai 2020, 20:41
tomS hat geschrieben:
27. Mai 2020, 14:43
Alle Intervalle [0,n+1] sind Lebesgue-messbar. Die mittels Auswahlfunktion konstruierte Menge S ist explizit nicht Lebesgue-messbar.
Ja, ist ja praktisch fast 1:1 dasselbe wie beim anderen Rätsel.
Nee, im vorliegenden Fall benötigst du das Lebesgue-Maß, das ist nochmal eine völlig neue “Zutat”.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von ralfkannenberg » 28. Mai 2020, 11:56

tomS hat geschrieben:
28. Mai 2020, 06:41
Nee, im vorliegenden Fall benötigst du das Lebesgue-Maß, das ist nochmal eine völlig neue “Zutat”.
"Lebesgue-Maß" - ich erzähle da mal ein bisschen aus dem Nähkästchen, gehört mit zu meinen schlimmsten Studienerfahrungen.

Damals gab es noch Testat-Bedingungen und diese lautete, dass man 7 Übungen abgeben muss, die vom Assistenten akzeptiert werden. Zusätzlich gibt es noch zwei freiwillige Tests, bei denen man zusätzliche Übungen angerechnet bekommen kann: ist so ein freiwilliger Test bestanden, so gibt es 3 Übungen angerecht, ist er gut derer 5 und ist er sehr gut derer sogar 7. Mit einem sehr guten oder zwei guten Tests erfüllt man also ebenfalls die Testat-Bedingung; insgesamt gibt es also 21 Übungen zu erreichen. Meiner Erinnerung nach sogar ein paar mehr, weil im Semester mehr als 7 Übungen vorgesehen waren.

Das ist natürlich attraktiv, da mit so einem freiwilligen Test Zusatzpunkte zu erhalten, und so haben wir uns also auch fleissig darauf vorbereitet. Das Ergebnis war niederschmetternd: von den 60 Leuten haben 5 Leute bestanden, die meisten gut oder sehr gut, allesamt Höher-Semestrige. Bei der Verkündigung des Ergebnisse hatten diese die Ehre, aufzustehen und sich dem Professor persönlich vorzustellen.

Die meisten (einschliesslich mir) haben nicht bestanden, sondern das um nur einen Punkt verfehlt, und als Trostpflaster bekamen wir 1 Übung zusätzlich angerechnet.

Ihr könnt Euch vorstellen, wer noch alles zum 2. freiwilligen Test angetrabt ist, nämlich die 5 Höher-Semestrigen, die ohnehin bestehen werden. Damit der Prof nicht auf die Idee kommt, von 5/60 = 1/12 haben bestanden auf "nun haben 100% bestanden" zu schliessen, bin ich trotzdem an den 2.Test gegangen. Am Vorabend fand das Mathematiker-Fest am Katzensee statt und ich habe hin- und herüberlegt, ob ich an dieses gehen soll oder statt dessen den 2. freiwilligen Test, den ich ohnehin nicht bestehen werde, vorbereiten soll.

Schliesslich bin ich einen Kompromiss eingegangen: ich gehe nur an den zweiten Teil vom Fest und die Zeit davor bereite ich mich vor, soweit wie ich eben komme. Zu meiner grossen Überraschung war noch ein zweiter aus meinem Jahrgang da, der hat es aber anders gehandhabt und seine Vorlesungsnotizen unter der Bank versteckt, das hat ja ohnehin niemand kontrolliert.

Das Ergebnis war trotzdem etwas überraschend: die 5 Höher-Semestrigen haben wieder bestanden, die meisten gut oder sehr gut, und durften bei der Rückgabe des Tests wieder aufstehen und sich vorstellen. Ich habe wieder einen Punkt zuwenig gehabt und habe wieder eine Übung zusätzlich angerechnet bekommen. Und was mein Nachbar falsch gemacht hat weiss ich nicht - er bekam 0 Punkte und auch keine zusätzliche Übung angerechnet.

Tja, und da ich immer alle Übungen abgegeben habe und diese auch akzeptiert wurden, war ich somit auf dem Papier der 6.beste im gesamten Kurs, nämlich nach den 5 Höher-Semestrigen mit mindestens 1 Punkt Vorspung auf die anderen aus meinem Jahrgang.

Soviel also zum Lebesgue-Maß und meiner Abneigung dazu.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 28. Mai 2020, 19:36

Ok, ich kann keine so schreckliche Story erzählen.

Ich habe ja Physik studiert, Mathe nur bis zum Vordiplom sowie dann als Nebenfach zum Physik-Diplom mit mündlicher Prüfung. Themenbereich war Funktionalanalysis, also Banachräume, Hilberträume, Operatoralgebren, Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren ... passt ganz gut zu Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie. Man sollte für die Prüfung zu einem Thema ein Referat vorbereiten, außerdem gab es natürlich weitere Fragen. Ich hatte selbstadjungierte Erweiterungen symmetrischer Operatoren, Cayley-Transformationen und Defektindizes vorbereitet. Als Physiker muss man dazu natürlich Beispiele parat haben, also insbs. Integraloperatoren wie z.B. die Fouriertransformation.

Dann rechnest du da so rum und wirst plötzlich mit der Frage konfrontiert “wie ist dieses Integral definiert?” Für den Physiker eine unerwartete Frage, denn ich hatte es ja schon ausgerechnet, was mMn viel besser ist, als dass man es nur definiert ;-) Also gut, “mittels des Lebesgue-Maßes”. “Können sie uns diese Definition erklären?” ... nicht wirklich ... also einen neuen Zettel genommen und Kästchen unter einen Funktionsgraphen gezeichnet ... Der Prof. blieb ganz ruhig, der Beisitzer wurde immer nervöser, begann die Stirn zu runzeln, rutschte auf seinem Sessel hin und her ... “aber sie haben die Existenz dieser Reihe nicht gezeigt, und damit fehlt ...” Daraufhin der Prüfer: “Doch doch, so würde ein Physiker das erklären.

Noch Diskussionsbedarf? Ich lade noch einen erweiterten Artikel hoch.

Außerdem habt ihr mich darüber auf einen erstaunlichen Satz aus der Funktionalanalysis gebracht ...
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von ralfkannenberg » 28. Mai 2020, 20:10

tomS hat geschrieben:
28. Mai 2020, 19:36
Bachräume
Banachräume

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von ralfkannenberg » 28. Mai 2020, 20:41

tomS hat geschrieben:
28. Mai 2020, 19:36
Der Prof. blieb ganz ruhig, der Beisitzer wurde immer nervöser, begann die Stirn zu runzeln, rutschte auf seinem Sessel hin und her ... “aber sie haben die Existenz dieser Reihe nicht gezeigt, und damit fehlt ...” Daraufhin der Prüfer: “Doch doch, so würde ein Physiker das erklären.
Hallo Tom,

ich musste spontan lachen, als ich das gelesen habe. Genauso ist es, natürlich muss der Mathematiker reklamieren, dass die Exisenz einer Reihe nicht gezeigt ist, und natürlich ist es so, wie ein Physiker das erklären würde.

Sieht nach der bestmöglichen Note aus.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 28. Mai 2020, 21:07

ralfkannenberg hat geschrieben:
28. Mai 2020, 20:10
tomS hat geschrieben:
28. Mai 2020, 19:36
Bachräume
Banachräume
74093E9E-55F2-46FE-86B8-C735F328D3EA.jpeg
Bachraum
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Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von Skeltek » 29. Mai 2020, 03:17

Hmm, mich persönlich stört das zweite Foto nicht, überlege nur, ob das alle angemessen finden könnten, die die Grabsteine (mit Namen im Klartext) für einen Scherz verwendet sehen.
tomS hat geschrieben: Nee, im vorliegenden Fall benötigst du das Lebesgue-Maß, das ist nochmal eine völlig neue “Zutat”.
Ich sagte 'fast' dasselbe. Habe um ehrlich zu sein den Beweis nur überflogen, da es für mich nach so langer Zeit anstrengend geworden ist, Formeln der Art zu lesen (Kopfschmerzen sind auch nicht förderlich dabei). Soweit ich mir das selbst vorher zusammengereimt hatte, teilt man die Fläche in mehrere zu Q gleichmächtige Mengen auf, welche jeweils denselben Flächeninhalt wie das Original haben und sich um ein irrationales Offset unterscheiden.
Muss mir dein Skriptstück aber nochmal genauer angucken um zu sehen, ob das auf dasselbe hinausläuft.
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 29. Mai 2020, 07:01

Skeltek hat geschrieben:
29. Mai 2020, 03:17
Hmm, mich persönlich stört das zweite Foto nicht, überlege nur, ob das alle angemessen finden könnten, die die Grabsteine (mit Namen im Klartext) für einen Scherz verwendet sehen.
Es handelt sich um die Grabstätten zweier berühmter Menschen, Bach und Banach. Ausgangspunkt war ein Schreibfehler, die Photos verstehe ich als Würdigung.
Skeltek hat geschrieben:
29. Mai 2020, 03:17

Soweit ich mir das selbst vorher zusammengereimt hatte, teilt man die Fläche in mehrere zu Q gleichmächtige Mengen auf, welche jeweils denselben Flächeninhalt wie das Original haben und sich um ein irrationales Offset unterscheiden.
Man definiert die Auswahlmenge S als Teilmenge von [0,1] sowie deren Translationen S_nq, d.h. S_nq = S + nq; diese unterscheiden sich um den rationalen Offset nq. Die S_nq sind jeweils in den Intervallen [nq,nq+1) enthalten. Demnach ist die Vereinigung T_n der verschobenen Teilmengen S_bq eine Teilmenge von [0,n+1).

Dann zeigt man, dass T_n = [0,n+1) ist. D.h. die S_nq definieren eine abzählbare, disjunkte Zerlegung von [0,n+1).

Für die eigentliche Lösung des Rätsels argumentiert man wie folgt: Gegeben sei ein Streifen Land (bzw. Papier zur Abdeckung auf der Landkarte) der Länge m+1 mit beliebiger Breite b (irrelevant). Man schneidet das Papier in über abzählbar viele Streifen der Breite b und gruppiere diese Streifen in die die Mengen S_mq. Jeder Streifen hat den Flächeninhalt Null, denn er entspricht exakt einer reellen Zahl. Nun verschiebt man jedes S_mq zuerst auf um -mq zurück auf S, d.h. S = S_mq - mq, anschließend um +nq auf S_nq, d.h. S_nq = S_mq - mq + nq. Damit liefert die Zerlegung von T_m = [0,m+1) auch eine Zerlegung von T_n = [0,n+1).

Wichtig ist, dass ausschließlich Zerlegungen und Verschiebungen vorlegen. An keiner Stelle wird irgendetwas gedehnt oder gestaucht.

Zu “welche jeweils denselben Flächeninhalt wie das Original haben ...”: nein, das ist nicht der Fall. Die S und S_nq haben keinen Flächeninhalt, und zwar weder den Flächeninhalt Null, noch einen endlichen. Es ist schlicht unmöglich, ihnen in konsistenter Weise einen Flächeninhalt zuzuweisen; sie sind nicht messbar. Die Umordnung der Teile von T_m zu T_n ist genau deswegen möglich, weil sie über Mengen S_nq erfolgt, die nicht messbar sind.

Ich ergänze das PDF entsprechend.

09AC43AE-2DAF-4053-BE12-26BB40EA33C3.jpeg
09AC43AE-2DAF-4053-BE12-26BB40EA33C3.jpeg (37.59 KiB) 698 mal betrachtet
Dateianhänge
44DA1AF2-8AB5-4DBC-88C5-C2AA7B4F25E7.jpeg
Veranschaulichung
44DA1AF2-8AB5-4DBC-88C5-C2AA7B4F25E7.jpeg (37.59 KiB) 699 mal betrachtet
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von Skeltek » 29. Mai 2020, 09:25

Ich denke es ist etwas kniffig es nachzuvollziehen, weil man nicht genau weiß, ob 'alle Snq' die Menge aller Translationen der Gesamtmenge meint, die Menge der parameterweise disjunkten Teilmengen aller Translationsmengen oder die Menge aller möglichen Translationen über alle Elemente der Ursprungsmenge oder sonstwas.
Ich hab es eben mehrmals gelesen, aber ich verliere den Überblick, weil ich das Gefühl habe jeden zweiten Satz auf mehrere Arten interpretieren zu können und ich 2^p verschiedene Kombinationen an Mehrdeutigkeiten durchdenken muss, bevor ich erahnen kann, was ein anderer Teil meint.
Ich glaube, wenn man die Lösung begriffen hat, ist es einfacher das Geschriebene auf Widerspruchsfreiheit mit der Lösung zu vergleichen. Es ist als sei das, was ich unter der Lösung verstehen kann und dem was da geschrieben steht nicht injektiv zueinander.

Aber ich glaube es zumindest verstanden zu haben. Unterm Strich hat man in zwei Schritten die Menge der rationalen Elemente(Streifen) von einer Menge auf eine andere verschoben und damit in eine andere Metrik übergeführt. (vermutlich ist das für dich unverständlich wie ich das eben geschrieben habe).
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 29. Mai 2020, 09:45

Skeltek hat geschrieben:
29. Mai 2020, 09:25
Ich denke es ist etwas kniffig es nachzuvollziehen, weil man nicht genau weiß, ob 'alle Snq' ...
Das Bild veranschaulicht lediglich das PDF. Der Text stellt dass PDF in einfachen Worten dar. Wenn der Text oben unklar ist und dich verwirrt, dann halte dich besser an das PDF, das sollte - hoffentlich - präzise sein. Sorry.

'alle Snq' steht für 'die Snq für alle rationalen q aus [0,1)'.
Skeltek hat geschrieben:
29. Mai 2020, 09:25
Aber ich glaube es zumindest verstanden zu haben. Unterm Strich hat man in zwei Schritten die Menge der rationalen Elemente(Streifen) von einer Menge auf eine andere verschoben und damit in eine andere Metrik übergeführt. (vermutlich ist das für dich unverständlich wie ich das eben geschrieben habe).
Ich denke auch, dass du das verstanden hast. Die Formulierung ist nicht korrekt, aber du hast es wohl erfasst.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von ralfkannenberg » 29. Mai 2020, 11:49

tomS hat geschrieben:
29. Mai 2020, 07:01
Es handelt sich um die Grabstätten zweier berühmter Menschen, Bach und Banach. Ausgangspunkt war ein Schreibfehler, die Photos verstehe ich als Würdigung.
Hallo zusammen,

das hatte ich auch so verstanden.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von Skeltek » 30. Mai 2020, 00:27

Okay, ich werde es mir trotzdem noch einmal ansehen.
Mir ist noch nicht ganz klar, wie sich das argumentativ von z.B. einem schlichten Verschieben von Flächenstreifen q von ]0,1] nach ]1,3] mittels q -> 1+2*q unterscheidet. Wenn ich Zeit habe, gehe ich das nochmal komplett durch.
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Re: Ein Rätsel zur Besiedlung und Landvermessung

Beitrag von tomS » 30. Mai 2020, 06:22

Skeltek hat geschrieben:
30. Mai 2020, 00:27
Mir ist noch nicht ganz klar, wie sich das argumentativ von z.B. einem schlichten Verschieben von Flächenstreifen q von ]0,1] nach ]1,3] mittels q -> 1+2*q unterscheidet. Wenn ich Zeit habe, gehe ich das nochmal komplett durch.
Deine Abbildung ist kein reines Verschieben. Du verbreiterst bzw. dehnst jeden Streifen um den Faktor 2.

In der verlinkten Lösung verschiebst du mittels der verketteten Abbildung τn,m die immer identisch breiten Streifen von [mq,mq+1) nach [nq,nq+1].
Gruß
Tom

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