Job hat geschrieben:
ich habe mich auch immer vor diesem Teil der Mathematik gedrückt, wo immer es ging, da es mir einfach zu "trocken" ist. Wie man das dann formal ausdrückt ist mir eigentlich egal.
Mir geht es ähnlich. Ich habe bereits seit der Grundschule Assoziativgesetz, Kommutativgesetze usw eigentlich immer geometrisch im Kopf gehabt und das Denken in Symetrien, Ableitungen und Volumina betrieben. Für mich waren Ableitungen schon immer Hyperflächen mehrdimensionaler Strukturen, partielles Diffentieren schon immer mit Dichtefunktionen verknüpft usw. Am schwierigsten war da noch die Quotientenregel als Volumen/Hyperflächenbetrachtung in Prüfungen herzuleiten.
Mir war es dann meist immer zu mühseelig das Alles dann aufzuschreiben, weil man jedes mal mühseelig eine Translation machen muss, um das Model aus dem Kopf in die rein kryptisch-symbolisch orientierte Mathevorgehensweise zu übersetzen.
Das geht mir heute eigentlich immer noch so. Wobei es für mich wenig Unterschied macht, ob ich das dann in Prosa oder Formelsprache ausdrücke. Prosa ist halt deutlich besser geübt, weil man es halt doch oft Laien erzählen muss.
Ich glaube ich bin da den alten Griechen vielleicht ziemlich nahe, die sich eher an Relationen von Größen usw orientierten als an abstrakten Regeln zur Stapelverarbeitung ziffernbasierter Notationen. Ich denke es ist gerade das, was heutzutage vielen Grundschulabgängern und Abiturienten fehlt... die Verinnerlichung der semantisch-geometrischen Bedeutung der niedergeschriebenen Zeichen. Dafür können die meisten wohl jedoch auch besser mit diesen jonglieren als ich (bis Mitte meines Mathe-Studiums konnte ich mir nicht einmal die Mitternachtsformel merken).
Nun, viele Leute schimpfen auf die Konstruktivisten, weil diese uneinsichtig seien und schmalspurig. Oft werden auch alle möglichen Leute da mit in einen Topf geworfen, nur weil sie eine Auswahl der dortigen Ansichten vertreten (so wie man heutzutage alles liberale 'Links' nennt; Schubladendenken halt). Worauf jedoch hinweisenswert ist, ist, daß es gerade diese Leute sind, die auch für alternative Einsichten empfänglicher sind. Zum Beispiel hat irgendjemand mal bewiesen, daß die in einer abzählbaren Menge beschriebenen Elemente in ihrem ganz bestimmten axiomatischen Model einfach nur nicht in der Lage sind, den 'überabzählbaren' Anteil darzustellen, weshalb sie ihn nur mittels Approximation und unendliche Verkettung annähern können... während in anderen Modellen mit anderen Axiomen eine andere Teilmenge in endlichen Schritten angegeben kann und dafür andere Elemente nur aproximiert werden können. 'Überabzählbarkeit' hängt also mehr oder weniger mit dem gewählten Model ab, und wie die Struktur der Beziehungen der Elemente untereinander ist. Anhänger der Standardanalysis legen wenig Wert auf solche Erkentnisse. (ich hab vor kurzem mal irgendwo einen Link zum Paper gepostet)
Ein nicht völlig korrektes, aber anschauliches Analog-Beispiel ist die Verwendung von Ziffernsystemen:
Während eine Zahl in einer Basis nicht dargestellt werden kann und eine unendliche Verkettung braucht, reicht es oft aus einfach nur die Basis zu wechseln. Das erklärt aber so noch nicht alle Fälle, da wir es gewohnt sind nur mit statischen Basen zu rechnen; darüberhinaus sind diese auch noch ganzzahlig. Eine dynamische Erweiterung der Basis 'on the go', indem jedes durch Paar-Erzeugung konstruierte Element zur Menge der möglichen Basiselemente hinzugefügt wird existiert nicht.
Spekulation:
In so einer Basis könnte man möglicherweise durch ein Diagonalverfahren alle Elemente vollständig abdecken, während das einzig nicht darstellbare Element eine unendliche Mächtigkeit hätte. Die Menge aller Axiomensysteme mit einer endlichen Anzahl an Axiomen lassen sich abzählen.
