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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 17:12

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 16:12
Also bei mir funktioniert der Link immer noch und seit du ihn gepostet hast. Musste mich nur mit meinem Microsoft Account anmelden
Aber das sollte eigtl. nicht notwendig sein.

OneDrive behandelt Links und Freigaben für Dateien und Ordner wohl unterschiedlich.

Kannst du die Datei hier um Forum einstellen?
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 17:15

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 11:27
Das Rätsel ist übrigens auch ein nettes Beispiel, welches strukturell auf viele andere Gebiete der Mathematik angewendet werden kann.
Man nehme einen unendlich-dimensionalen Vektorraum. Dann betrachtet man die Menge aller Untervektorräume, die man mit einer endlichen Basis bilden kann
Das ist ein gutes Beispiel.

Aus dem Auswahlaxiom folgt ja, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 18:01

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 11:04
tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 07:20
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 00:32
Die Äquivalenzklassen sind sowohl nach oben und unten offen. Eine Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen ließe sich über z.B. die Differenz zu einem Element konstruieren.
Ich bin mir sicher, dass diese Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen nicht konstruierbar ist.

Auf den reellen Zahlen ist bis heute mittels ZFC keine bekannt. Da aber die Hutfolgen als Binärfolgen in [0,1] verstanden werden können, wäre eine Wohlordnung verwandt mit einer solchen über [0,1].

Eine Wohlordnung garantiert natürlich trivialerweise eine eindeutige Auswahlfunktion. Betrachte dazu wieder F sowie eine Wohlordnung auf F. Diese liefert für jedes [f] in F/~ ein kleinstes Element je [f], also min[f]. Damit ist c[f] = min[f] eindeutig.
Hallo Tom,
es gibt nicht nur eine Wohlordnung, man kann zu jeder Klasse sogar unendlich viele verschiedene konstruieren.
Nee, du kannst keine Wohlordnung konstruieren, du kannst lediglich ihre Existenz mittels Auswahlaxiom beweisen.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 11:04
Und selbst bei Überabzählbarkeit (was die Klassen nicht haben), gäbe es mindestens eine Wohlordnung. Du hast sie selbst durch die Einführung des Auswahlaxioms als existent beschlossen.
F ist sicher überabzählbar, daher ist F/~ oder jedes einzelne [f] ebenfalls überabzählbar.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 11:04
Ich verstehe dein Argument nicht, daß die abzählbare Menge optisch eine Ähnlichkeit zu einem reellen Intervall aufweist und deshalb keine Wohlordnung existieren soll.
Jede einzelne Hutfolge (110100...) ist abzählbar. Nun schreibe ich diese als 0.110100... Man erkennt, dass jede Hutfolge der Binärdarstellung einer reellen Zahl aus [0,1] entspricht. Damit existiert eine Bijektion zwischen der Menge aller Hutfolgen F sowie den reellen Zahlen in [0,1]. Und damit ist F überabzählbar.

Zur Wohlordnung: diese nicht konstruierbar, d.h. nicht explizit angebbar. Z.B. folgt aus ZFC die Existenz einer Wohlordnung der reellen Zahlen, jedoch keine Konstruktion. Umgekehrt folgt aus der Wohlordnung die Existenz einer Auswahlfunktion, jedoch ebenfalls keine Konstruktion.

Eine Wohlordnung auf einer Menge M ist eine totale Ordnung ⋖, bei der jede nichtleere Teilmenge X von M ein kleinstes Element bezüglich dieser Ordnung ⋖ hat. Im Falle der reellen Zahlen [0,1] erfüllt das übliche < diese Bedingung nicht! Betrachte irgendein offenes Intervall (a,b) in [0,1]. Dann ist a < (a,b), d.h. a ist kleiner als jede Zahl im Intervall (a,b). Allerdings ist a kein Element von (a,b). Sei nun x aus (a,b) das kleinste Element aus (a,b) bzgl. <. Damit ist a < x. Nun ist jedoch neben neben a < x = a + (x-a) auch a < a + (x-a)/2 = (x+a)/2 < x d.h. x kann nicht das kleinste Element sein. Deshalb liefert < keine Wohlordnung für (a,b). Die tatsächliche Wohlordnung ⋖ ist jedoch unbekannt.

Und damit liefern weder ZFC noch Wohlordnung eine konkrete, bekannte Auswahlfunktion auf F oder [0,1].
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 18:48

tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 17:12
Kannst du die Datei hier um Forum einstellen?
Ich könnte freischalten, daß man PDFs als Dateianhang anfügen kann. Allerdings müsste ich es dann für alle User freischalten. Da PDFs sowohl statische als auch dynamische Elemente enthalten, können gerade letztere Sicherheitslücken ausnutzen und/oder Malware ausführen. Unvorteilhaft, wenn dann jeder User malware uploaden könnte, die andere dann DLen können.
Man könnte die Dateiendung umbenennen und dann uploaden, mit dem Hinweis,daß man sie nach Downlaod und vor dem Öffnen noch zurück-umbenennen müsste.
Aber ich hab das File einfach erstmal in den Userfiles-Ordner gepackt:
tomS - riddle.pdf
Das war ein Gefriemel von einer dreiviertel Stunde ^^ Mir war entfallen, wie man von WinSCP aus die Berechtigungseinschränkungen beim Filetransfer umgeht; aber jetzt weiß ich wieder ca wie man das am besten macht.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 19:15

tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 18:01
F ist sicher überabzählbar, daher ist F/~ oder jedes einzelne [f] ebenfalls überabzählbar.
Ahem :)
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 01:25
Da eine Äquivalenzklasse abzählbar ist, muss die Anzahl der Äquivalenzklassen, also |F/~|, offenbar dem Kontinuum entsprechen.
Man kann für jede Äquivalenzklasse eine Wohlordnung konstruieren. Die Schwierigkeit ist, die Klasse [f] aus |F/*| zu selektieren. Hat man [f] erstmal selektiert (oder mindestens ein Element ausgewählt), kann man seine Elemente jederzeit wohlordnen.
Du kannst nicht herleiten, ein bestimmtes [f] sei überabzählbar, nur weil seine Obermenge F überabzählbar ist.
tomS hat geschrieben: Betrachte irgendein offenes Intervall (a,b) in [0,1]. Dann ist a < (a,b), d.h. a ist kleiner als jede Zahl im Intervall (a,b).
Du wendest die falsche Norm an. Wieso Betragsnorm? Jede Funktion, welche die Elemente nach Ordinalzahlen ordnet kann verwendet werden.
Nimm als kleinstes Element (a+b)/2 und arbeite dich dann von da aus durch.
Die Wohlordnung hängt von der Definition deines Komparators < ab.
a kann sehr wohl ein Nachfolger als a+1 sein. Die Ordnung, die sich aus der Betragsnorm ergibt ist in dem Fall keine Wohlordnung. Du musst eine andere Ordnungsrelation nehmen.

Daß die Wohlordnung für Teilmengen erhalten bleibt ist leicht über die Anzahl der Differenzen und Anordnung der Differenzen zum kleinsten Element der Obermenge mittels infinitem Regress zeigbar.

Und um etwas vorweg zu nehmen:
Das selbe gilt auch für Teilmengen dieser Teilmengen.
So wie eine Wohlordnung über den ganzen Zahlen erhalten bleibt, verschiebt man dort bei Teilmengenbildung auch nicht den Referenzpunkt '0', über den die ordnende Betragsnorm definiert wird.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 13. Mai 2020, 20:50

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 18:48
Aber ich hab das File einfach erstmal in den Userfiles-Ordner gepackt:
tomS - riddle.pdf
Hallo Skel,

besten Dank, das kann ich öffnen. Inzwischen hatte es mir Tom dankenswerterweise auch schon per mail zugeschickt.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 18:48
Das war ein Gefriemel von einer dreiviertel Stunde ^^ Mir war entfallen, wie man von WinSCP aus die Berechtigungseinschränkungen beim Filetransfer umgeht; aber jetzt weiß ich wieder ca wie man das am besten macht.
Oh je, wenn ich das gewusst hätte hätte ich Tom gleich per PN angeschrieben und Dir diese Arbeit erspart.
*Edit Skeltek* Mach dir keine Gedanken. Ich schiebe das ohnehin zu lange vor mir her, mich mal mit diesen Dingen mit Serverwartung usw zu beschäftigen. Hätte früher oder später sowieso herausfinden müssen */Edit Skeltek*

Dann also auch ein herzliches Danke schön, dass Du Dir diese Friemelei zugemutet hast.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 20:59

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 18:01
F ist sicher überabzählbar, daher ist F/~ oder jedes einzelne [f] ebenfalls überabzählbar.
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 01:25
Da eine Äquivalenzklasse abzählbar ist, muss die Anzahl der Äquivalenzklassen, also |F/~|, offenbar dem Kontinuum entsprechen.
Da hast du besser aufgepasst als ich selbst ;-)

Ist aber kein Widerspruch, da ich in der ersten Aussage bewusst das „entweder“ weggelassen habe. Meine Argumentation zu letzterem war, dass alle f in [f] sich nur in endlich vielen Argumenten unterscheiden und daher [f] abzählbar ist. Ich denke nochmal darüber nach ...

Ändert aber nix daran, dass F überabzählbar ist, da |F| = |[0,1]|.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
Man kann für jede Äquivalenzklasse eine Wohlordnung konstruieren.
Das ist nicht klar, auch wenn [f] abzählbar ist. Z.B. ist [0,1] über den rationalen Zahlen nicht mittels „<“ wohlgeordnet.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
Du kannst nicht herleiten, ein bestimmtes [f] sei überabzählbar, nur weil seine Obermenge F überabzählbar ist.
Ich sage ja auch nicht, dass [f] überabzählbar ist, sondern F/~.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
Du wendest die falsche Norm an. Wieso Betragsnorm?
Was für eine Norm??
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
Nimm als kleinstes Element (a+b)/2 und arbeite dich dann von da aus durch.
Die Wohlordnung hängt von der Definition deines Komparators < ab.
Genau. Und ich gezeugt, dass das übliche „<“ keine Wohlordnung auf [0,1] liefert.

Ehrlich gesagt, ich weiß nicht was du mir sagen willst.

Hier nochmal meine Aussagen:

1) F kann bijektiv auf [0,1] abgebildet werden; Beweis mittels Binärdarstellung.
2) F/~ und [f] können nicht beide abzählbar sein, da sonst auch F abzählbar wäre; ich denke, [f] ist abzählbar.
3) Für die reellen Zahlen sowie für [0,1] ist keine Wohlordnung bekannt. Das übliche „<“ liefert keine Wohlordnung für [0,1]; Beweis s.o. für (a,b).
4) m.W.n. folgt die Existenz einer Wohlordnung nicht automatisch aus ZF plus Abzählbarkeit; entweder nutzt man ZFC, oder zeigt die Existenz der Wohlordnung explizit.
5) Das übliche „<“ liefert keine Wohlordnung für [0,1] über den rationalen Zahlen; Beweis s.o. für (a,b).
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 21:00

ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Mai 2020, 20:50
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 18:48
Aber ich hab das File einfach erstmal in den Userfiles-Ordner gepackt:
tomS - riddle.pdf
Hallo Skel,

besten Dank, das kann ich öffnen. Inzwischen hatte es mir Tom dankenswerterweise auch schon per mail zugeschickt.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 18:48
Das war ein Gefriemel von einer dreiviertel Stunde ^^ Mir war entfallen, wie man von WinSCP aus die Berechtigungseinschränkungen beim Filetransfer umgeht; aber jetzt weiß ich wieder ca wie man das am besten macht.
Oh je, wenn ich das gewusst hätte hätte ich Tom gleich per PN angeschrieben und Dir diese Arbeit erspart.

Dann also auch ein herzliches Danke schön, dass Du Dir diese Friemelei zugemutet hast.


Freundliche Grüsse, Ralf
Danke an euch beide!
Gruß
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 22:11

tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 20:59
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
Du wendest die falsche Norm an. Wieso Betragsnorm?
Was für eine Norm??
Ich meinte, daß du die Elemente nicht nach ihrer mit ihrem numerischen Wert assoziierten Größe ordnen musst. Man kann eine Norm festlegen, welche die Distanz zum Repräsentanten an Hand der differierenden Bits definiert. Mit der unterschiedlichen Distanz kann man die Elemente ordnen.
tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 20:59
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 19:15
Nimm als kleinstes Element (a+b)/2 und arbeite dich dann von da aus durch.
Die Wohlordnung hängt von der Definition deines Komparators < ab.
Genau. Und ich gezeugt, dass das übliche „<“ keine Wohlordnung auf [0,1] liefert.

Ehrlich gesagt, ich weiß nicht was du mir sagen willst.

Hier nochmal meine Aussagen:

1) F kann bijektiv auf [0,1] abgebildet werden; Beweis mittels Binärdarstellung.
2) F/~ und [f] können nicht beide abzählbar sein, da sonst auch F abzählbar wäre; ich denke, [f] ist abzählbar.
3) Für die reellen Zahlen sowie für [0,1] ist keine Wohlordnung bekannt. Das übliche „<“ liefert keine Wohlordnung für [0,1]; Beweis s.o. für (a,b).
4) m.W.n. folgt die Existenz einer Wohlordnung nicht automatisch aus ZF plus Abzählbarkeit; entweder nutzt man ZFC, oder zeigt die Existenz der Wohlordnung explizit.
5) Das übliche „<“ liefert keine Wohlordnung für [0,1] über den rationalen Zahlen; Beweis s.o. für (a,b).
Ja, aber wir haben ja nicht [0,1]. Wir haben lediglich eine Menge mit einer Hutfolge f0 als Entwicklungsmitte(kleinstes Element/Repräsentant) und weiteren Hutfolgen, die sich durch bitweise XOR Verknüpfung der Hutfolge f0 mit terminierenden(!) Folgen Xor von 0 und 1 ergeben.
Es ist offensichtlich, daß sich die Menge terminierender Folgen Xor = {1, 01, 11, 001, 101, 011, 111, 0001, ...} sortieren lässt und eine Wohlordnung bildet (schau dir die Elemente gespiegelt (von hinten nach vorne) an. Das ist die Menge der natürlichen Zahlen, nur daß jedes Element rückwärts im Binärsystem geschrieben ist. Die Definition der Äquivalenzrelation stellt sicher, daß Xor nur endliche natürliche Zahlen enthält und 'Unendlich' nicht einschließt (eine bitweise XOR-Verknüpfung von f0 mit Unendlich würde ohnehin keinen Sinn ergeben).
Da die Existenz der Wohlordnung sicher gestellt ist, muss nur noch das Element f0 als kleinstes Element bestimmt werden. Da die Klasse kein ausgezeichnetes Element hat, muss man jedoch das kleinste Element selbst bestimmen (einfach willkürlich eins nehmen reicht).

Ich habe Xor so gewählt, daß sich eine möglichst triviale Verteilung der Ordinalzahlen auf die Elemente ergibt. Es existieren wohl noch beliebig viel weitere Wohlordnungen für jede Äquivalenzklasse, die sind nur etwas komplizierter niederzuschreiben.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 22:25

Um es nochmal etwas klarer hinzuschreiben:
f0= Repräsentant der Klasse
Die Elemente der Menge ergeben sich, indem man
f0 mittels XOR mit den Elementen der Menge
Xor= { 0, 1, 01, 11, 001, 101, 011, 111, 0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111, 00001, 10001, ... } verknüpft
Das sind die natürlichen Zahlen in Binärdarstellung rückwärts geschrieben.
Ist es jetzt klarer?

Übrigens war es am ersten Tag des Rätsels auch ziemlich verwirrend, daß keine einzige Klasse ein ausgezeichnetes Element oder eine Mitte hat. Das kam vor als sei es eine unendliche Kette ganzer Zahlen, nur ohne Achsenbeschriftung. Man kann die Mitte bzw 0 beliebig irgendwo selbst festlegen, weil es überall gleich aussieht.

Anderes Thema, aber passt hier gut hin:
Effektiv sind die ersten endlich vielen Ziffern jeder Folge beliebig; jede endliche Folge an Ziffern kommt in jeder Äquivalenzklasse vor. Die verschiedenen Äquivalenzklassen unterscheiden sich in keiner einzigen Ziffernfolge existenter Ziffern. Der gesamte endliche Bereich aller Äquivalenzklassen ist identisch. Das sieht man an der Xor Ordnung, die bei jeder Klasse jeder Hiffernfolge im endlichen Bereich durch geht.
Die Signatur der Klassen, an Hand derer man diese unterscheiden könnte, kommt erst zu Stande, wenn 'Unendlich' mit berücksichtigt wird. Es existiert kein einziges Bit, welches eine Unterscheidung der Äquivalenzklassen nach der Bit-Signatur ermöglicht.

Das ist auch ein weitere kontraintuitive Feststellung, daß ALLE Folgen von 0 bis unendlich also [0,unendlich[ nicht ausreichen, um die Menge einer Äquivalenzklasse zuzuordnen. Erst [0,unendlich] ist ausreichend, um die Folge einer Äquivalenzklasse zuzuordnen.
Das passt auch ganz gut in den anderen Thread, daß hier ein Unterschied gemacht werden muss zwischen ALLE natürlichen Zahlen und UNENDLICH viele natürliche Zahlen (nebenbei bemerkt ist das verwandt oder gerade der Grund, weshalb man unendlich als Grenzwert bei Betrachtungen von Folgen ausschließt).

@ralfkannenberg:
Du hattest dich beschwert über meine gemeine 'Falle' mit dem 'ins unendliche Schieben' aber genau das wird hier gemacht. Der Unterschied der Klassen wird ins Unendliche verschoben. Per Definition der Äquivalenzrelation ist erst das der Punkt, wo man die aktuelle Äquivalenzklasse verlässt.
Die Äquivalenzklassen haben im gesamten endlichen Bereich keinerlei Unterscheidung. Alle existierenden Bitfolgen kommen bei allen Klassen vor.
-> Deshalb können die Sünder ohne das Auswahlaxiom nicht entscheiden, in welcher Äquivalenzklasse sie sich befinden, weil selbst bei Betrachtung ALLER Zahlen, können sie keinen Unterschied zwischen den vorher vereinbarten Äquivalenzklassen erkennen. Der Unterschied wird erst erkennbar, wenn man das 'Unendlich' selbst berücksichtigt, wobei da auch jedes aussehen würde wie das andere.

Man hat also überabzählbar viele völlig identische Klassen, die sich nur in ihrem unendlichsten Element unterscheiden.
Das lustige ist ja aber, daß man mich früher immer dafür kritisiert hatte, wenn ich meinte, daß man bei den natürlichen Zahlen die Überabzählbarkeit zeigen könnte, indem man ein Element im Unendlichen konstruiert (Vekettung aller Primzahlen ist nicht in den natürlichen Zahlen enthalten). Das hatte ich damals aber auch nur gemacht, um eine Paralelle zur Argumentation von Cantors Diagonalargument zu finden, welches das von allen Folgen differierende Bit immer weiter vor sich her ins Unendliche verschiebt. Die Parallele wollte ich damals ziehen (um zu zeigen, wieso das paradox ist) und hab niemanden überzeugen können. Deshalb Danke ich Tom hier nochmal für die gute Aufgabenstellung und Diskussion der Lösung.

Nochmal genau: Das Betrachten ALLER Ziffern ermöglicht nicht die Klasse zu ermitteln. Das liegt daran, daß die abzählbar unendlich vielen Ziffern nicht ausreichen, um aus dem überabzählbaren Repräsentantensystem ein Element eindeutig auszuwählen.
Da keine Bijektion zwischen den abzählbar unendlich vielen Signaturen der Äquivalenzklassen und den überabzählbar vielen Repräsentanten existiert, ist es trotz Auswahlaxiom nicht möglich, die Äquivalenzklasse zu bestimmen!


Ich glaube ich habe eben bewiesen, daß trotz Auswahlaxiom die Sünder sich nicht retten können. Das Auswahlaxiom ermöglicht ihnen zwar, die Äquivalenzklassen vor der Hutvergabe zu bestimmen und sich auf ein Repräsentantensystem zu einigen, jedoch geht die Rückrichtung wegen der unterschiedlichen Mächtigkeiten nicht und sie sind nicht in der Lage, aus der beobachtbaren realisierten Hutfolge eindeutig auf die Äquivalenzklasse zu schließen.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 13. Mai 2020, 23:39

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:25
q.e.d.
Hallo Skel,

da bin ich mir nicht so sicher :wink:

u.a. deswegen:
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:25
Man hat also überabzählbar viele völlig identische Klassen, die sich nur in ihrem unendlichsten Element unterscheiden.
Argumentationen, die über ein "unendlichstes Element" geführt werden, sollte man widerlegen können.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 14. Mai 2020, 00:08

Okay, sorry. Ich hab innerhalb der Klassen die Anzahl der Elemente mit der Länge verwechselt. Das Argument mit der Mächtigkeit hinkt noch etwas
Trotzdem existiert keine Ziffer, die zur Signatur einer Klasse beiträgt. Jede endliche Ziffernfolge ist bei allen Klassen identisch.
Jede Ziffernfolge von 0 bis ausschließlich unendlich ist bei allen Klassen gleich. Man benötigt das Komplement aller endlicher Ziffernstellen. An diesem Komplement kann man erst die Klassenzugehörigkeit bestimmen.

Trotzdem wird die Klasse erst identifizierbar, wenn man den Übergang von endlich vielen betrachteten Stellen zu unendlich vielen Stellen durchführt. Ich muss echt nochmal eine Nacht drüber schlafen.
Es ist halt irgendwie komisch, daß keine einzige existente Ziffer zur Signatur beiträgt (jede Menge Folgen an Ziffern von 0 bis n ist identisch; für alle n), diese Ziffern können nicht zur Unterscheidung der Klasse beitragen, auch keine Kombination davon. Aber bei unendlich Ziffern wird die Klasse plötzlich identifizierbar, obwohl keine an der Identifikation beteiligt ist (es fehlt sogar eine).

Ich muss mich nochmal von meinem konstruktiven Ansatz lösen. Mir ist noch nicht ganz klar, wie ein Repräsentant/Ziffernfolge/Diagonalargument oder was auch immer bei der Identifikation helfen soll, wenn keine einzige Ziffer darin zur Identifikation beiträgt.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 00:44

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:11
Ja, aber wir haben ja nicht [0,1]. Wir haben lediglich eine Menge mit einer Hutfolge f0
Ich weiß nicht, wie oft ich das jetzt noch erklären soll. Es geht nicht um ein [f], es geht um F/~ und somit um alle [f]. F sowie F/~ sind überabzählbar. Die Auswahl einer Folge f aus jedem [f] erfordert die Kenntnis jedes [f]. Diese ist jedoch nicht gegeben.

F ist bijektiv abbildbar auf [0,1];
~ „Unterschied in endlichen vielen Elementen“ ist abbildbar auf „Unterschied um p/(2^k)“;
F/~ ist abbildbar auf die überabzählbare Menge [0,1] /~ mit „~“ entspr. „Unterschied um p/(2^k)“;

Damit enthält die überabzählbare Menge [0,1] /~ überabzählbar viele Teilmegen, die ausschließlich transzendente Zahlen enthalten, die sämtlich nicht bekannt sind; alles was man weiß ist, dass sie existieren.

Daher funktioniert in deiner Idee
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:11
Da die Existenz der Wohlordnung sicher gestellt ist, muss nur noch das Element f0 als kleinstes Element bestimmt werden. Da die Klasse kein ausgezeichnetes Element hat, muss man jedoch das kleinste Element selbst bestimmen
dies hier
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:11
einfach willkürlich eins nehmen reicht
nicht!

Du kannst kein einziges Element „nehmen“, weil du von überabzählbar vielen Teilmengen kein einziges Element explizit kennst. Welches willst du dann „nehmen“?
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:11
Es existieren wohl noch beliebig viel weitere Wohlordnungen für jede Äquivalenzklasse, die sind nur etwas komplizierter niederzuschreiben.
Es ist unmöglich, irgendetwas derartiges niederzuschreiben:

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order

Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.

Heißt: in ZFC ist zwar die Existenz einer Wohlordnung beweisbar, jedoch ebenfalls die nicht-Existenz einer Formel für diese Wohlordnung.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 00:50

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:25
Ich glaube ich habe eben bewiesen, daß trotz Auswahlaxiom die Sünder sich nicht retten können. Das Auswahlaxiom ermöglicht ihnen zwar, die Äquivalenzklassen vor der Hutvergabe zu bestimmen und sich auf ein Repräsentantensystem zu einigen, jedoch geht die Rückrichtung wegen der unterschiedlichen Mächtigkeiten nicht und sie sind nicht in der Lage, aus der beobachtbaren realisierten Hutfolge eindeutig auf die Äquivalenzklasse zu schließen.
Ich denke, ich zeige im PDF explizit, dass das geht.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 14. Mai 2020, 01:15

Hey Tom,
ralfkannenberg wollte nur wissen, ob man eine Wohlordnung innerhalb einer Klasse definieren kann. Ich sagte, es existiert eine und man kann diese konstruieren, falls man ein Element aus der Klasse als kleinstes Element festlegt. Ich habe zu keinem Zeitpunkt gesagt, daß das auch ohne AC geht.
tomS hat geschrieben: Du kannst kein einziges Element „nehmen“, weil du von überabzählbar vielen Teilmengen kein einziges Element explizit kennst. Welches willst du dann „nehmen“?
Dafür braucht man das Auswahlaxiom. Ich sagte, daß das Wählen eines Elementes (um es als kleinstes Element zu deklarieren) äquivalent ist mit der Verwendung des Auswahlaxioms. Deshalb nützt es nichts eine Wohlordnung im Vorfeld festlegen zu wollen um die Wahl eines Repräsentanten zu umgehen.
Das von ralfkannenberg vorgeschlagene Definieren einer Wohlordnung, um den Repräsentanten nicht bereits im Vorfeld festlegen zu müssen ist damit nutzlos, da man um die Wahl eines Elementes mittels AC nicht herum kommt.

Und nochmal: Es war nie meine Intention, die Repräsentanten selbst ordnen zu wollen.

Und auch, wenn ich keine Wohlordnung von F durchführen möchte, gehe ich trotzdem kurz auf das hier ein:
tomS hat geschrieben: Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.

Heißt: in ZFC ist zwar die Existenz einer Wohlordnung beweisbar, jedoch ebenfalls die nicht-Existenz einer Formel für diese Wohlordnung.
Da steht, ZFC+GCH seien alleine nicht ausreichend um die Existenz einer definierbaren Wohlordnung zu beweisen. Das ist eine andere Aussage als daß es die Nichtexistenz einer Wohlordnung beweist.
Wenn ich nicht beweisen kann, daß ein Tisch schwarz ist, dann ist das kein Beweis dafür, daß der Tisch nicht schwarz ist.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 06:36

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2020, 01:15
ralfkannenberg wollte nur wissen, ob man eine Wohlordnung innerhalb einer Klasse definieren kann. Ich sagte, es existiert eine und man kann diese konstruieren, falls man ein Element aus der Klasse als kleinstes Element festlegt. Ich habe zu keinem Zeitpunkt gesagt, daß das auch ohne AC geht.
Sorry, Missverständnis meinerseits, jedoch nach vor falsche Wortwahl deinerseits:
Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2020, 01:15
Ich sagte, es existiert eine und man kann diese konstruieren, falls man ein Element aus der Klasse als kleinstes Element festlegt.
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:11
Da die Klasse kein ausgezeichnetes Element hat, muss man jedoch das kleinste Element selbst bestimmen (einfach willkürlich eins nehmen reicht).
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:11
Es existieren wohl noch beliebig viel weitere Wohlordnungen für jede Äquivalenzklasse, die sind nur etwas komplizierter niederzuschreiben.
Nochmal: konstruieren, einfach willkürlich eins nehmen, niederschreiben, ... ist beweisbar unmöglich, denn

... it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.

ZFC beweist die Existenz einer Wohlordnung. In ZFC+GCH ist die Existenz einer Formel für die Wohlordnung nicht beweisbar. Damit ist aber auch eine Formel selbst nicht ableitbar oder konstruierbar, denn wenn sie ableitbar oder konstruierbar wäre, läge ein konstruktiver Existenzbeweis vor, im Widerspruch zu „not sufficient to prove the existence“.

Es bleibt zunächst ein kleiner Hoffnungsschimmer: ggf. existiert tatsächlich eine Formel, die verträglich ist mit ZFC, jedoch nur beweisbar mittels ZFC+X, wobei X eine genügend mächtige axiomatische Erweiterung darstellt. Dies hilft jedoch nicht weiter, denn es ersetzt das Konstatieren „es existiert eine Auswahlfunktion“ oder „es existiert ein kleinstes Element“ durch „es existiert eine Formel für ein kleinstes Element“. Es bleibt jedoch dabei, dass die Auswahlfunktion, das kleinste Element oder die Formel beweisbar unbekannt bleiben.

Konkret:

∀Ω = {X : X = {x : ...} beliebige Mengen X mit reellen x} ∃c: c(X) = x° aus X ⋀ c bijektiv.
∀Ω = {X : X = {x : ...} beliebige Mengen X mit reellen x} ∃c: c(X) = x° aus X ⋀ c bijektiv ⋀ c(X) = „...“ kann in ZFC+GCH nicht konstruiert oder abgeleitet werden.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 14. Mai 2020, 09:00

ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Mai 2020, 23:39
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:25
q.e.d.
da bin ich mir nicht so sicher :wink:

u.a. deswegen:
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:25
Man hat also überabzählbar viele völlig identische Klassen, die sich nur in ihrem unendlichsten Element unterscheiden.
Argumentationen, die über ein "unendlichstes Element" geführt werden, sollte man widerlegen können.
Hallo zusammen,

voilà: man nehme die Nullfolge :wink:


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 14. Mai 2020, 09:31

Also ich hab mir die Lösung nochmal angeschaut. Ich meine es jetzt halbwegs verstanden zu haben und soweit ich das sehe funktioniert das auch.
Ein Knackpunkt ist, was jedes S (Repräsentantensystem) tut: Es wählt unendlich viele gleiche σ aus allen f aus [f] aus und endlich viele ungleiche σ.
Sobald die konkrete Hutfolge f dann sichtbar wird, ist eine eindeutiges S festgelegt, mit eben dieser Eigenschaft, somit gewinnen unendlich viele Sünder und bei den "restlichen" endlich vielen ist es halt Glückssache. Da endlich viele Verlierer hier als "verschwindend wenige" gewertet werden muss, ist das eine sehr gute Strategie.

Zusätzlich zu dieser Lösung exitieren noch weitere Lösungen, die nicht so gut wie obige Strategie, aber immer noch insgesant besser sind als reines Raten, wie z.B. die von mir erwähnte Idee, die Sünder in unendlich viele endlich große Gruppen einzuteilen und dann einfach (1) die Hutfarbe bzw. das Muster anzugeben, die/das man in seiner Teilmenge vornehmlich sieht und wenn nichts sichtbar ist (2) frei zu raten. Im besten Fall gewinnen damit sogar alle Sünder, im schlechtesten Fall genaus so viele wie bei reinem Raten.

Beispiel:
Kommt die Folge 1010101010... und macht man vorher aus 1000er-Gruppen zu bilden, in denen nach Mustern gesucht wird, so sieht jeder Sünder in seiner Gruppe [10101?10...10] (das Fragezeichen ist an irgendeiner Stelle) und da jeder so rät, dass das ? mit dem Muster in Einklang gebracht wird, gewinnen hier alle.
Kommt eine etwas andere Folge [1110101010101...], gewinnen immer noch alle, bis auf einen, usw.
Kommt im schlimmsten Fall eine Folge, ohne erkennbares Muster, so greift automatisch (2) und man ist gegenüber einer reinen Strategie (2) also insgesamt im Vorteil.
Da wir hier nichts darüber wissen, wie die konkrete Hutfolge zustandekommt, kann man auch nicht damit argumentieren, dass irgendwelche Folgen häufiger oder wahrscheinlicher als andere wären.


Spannend an der ganzen Sache ist für mich noch folgendes:

Wir haben hier Strategien vorliegen, die für eine Gruppe von Leuten funktionieren, aber bei Einzelpersonen überaupt nichts ausrichten!
Ein wichtiger Punkt ist, dass diese Strategien für alle anderen wirksam sind, außer einem selber.

Um sich das klar zu machen, kann man das Rätsel etwas abwandeln:

Es sei nur ein Sünder und ein Hut, den er aufgesetzt bekommt und nicht sieht. Zeitgleich damit erscheinen unendlich viele weiße und schwarze Steinchen neben ihm, die er alle übersieht. Nun soll er auch hier sagen, welche Farbe sein Hut hat.
Gibt es hier auch irgendeine Strategie für ihn, die besser ist als reines Raten?
Nein, die gibt es sicher nicht, obwohl er ja auch hier im Prinzip genau dasselbe sieht, wie im Originalrätsel!

Noch anders:
Es seien unendlich viele Sünder mit den Steinchen. Jeder Sünder kann aber nur die Steinchen sehen.
Oder es seien unendlich viele Gruppen aus einem Sünder mit je unendlich vielen Steinchen, wo jeweils nur die eigene Gruppe gesehen werden kann und auch hier jeder Sünder seinen Hut nicht sieht.
Ändert das etwas? Nein, tut es nicht. Auch hier gibt es keine Strategie, die besser ist als reines Raten.


Ergo:
Das Rätsel ist ein Beispiel für eine echte Emergenz, wo das Ganze echt mehr Eigenschaften trägt als die Teile oder die Summe der Teile.
Die Emergenz existiert für endlich große Mengen sowieso und sie ist sogar auch noch bei unendlich großen Mengen erhalten.
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 11:35

seeker hat geschrieben:
14. Mai 2020, 09:31
Also ich hab mir die Lösung nochmal angeschaut. Ich meine es jetzt halbwegs verstanden zu haben und soweit ich das sehe funktioniert das auch.
Ein Knackpunkt ist, was jedes S (Repräsentantensystem) tut: Es wählt unendlich viele gleiche σ aus allen f aus [f] aus und endlich viele ungleiche σ.
Ich denke, ich habe das zu kompliziert aufgeschrieben. Man braucht den Begriff des Repräsentantensystems nicht. Im PDF ist das klarer.
seeker hat geschrieben:
14. Mai 2020, 09:31
Sobald die konkrete Hutfolge f dann sichtbar wird, ist eine eindeutiges S festgelegt ...
Ja. Auch das ist im PDF besser erklärt.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 14. Mai 2020, 12:33

Sorry Leute, ich komme zur Zeit beruflich bedingt mit dem Nachlesen nicht nach. Mein aktueller Stand ist vorgestern abend + ein paar Rosinen, die ich mir herausgepickt habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 14. Mai 2020, 12:44

tomS hat geschrieben:
14. Mai 2020, 06:36
Nochmal: konstruieren, einfach willkürlich eins nehmen, niederschreiben, ... ist beweisbar unmöglich, denn

... it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.

ZFC beweist die Existenz einer Wohlordnung. In ZFC+GCH ist die Existenz einer Formel für die Wohlordnung nicht beweisbar. Damit ist aber auch eine Formel selbst nicht ableitbar oder konstruierbar, denn wenn sie ableitbar oder konstruierbar wäre, läge ein konstruktiver Existenzbeweis vor, im Widerspruch zu „not sufficient to prove the existence“.
Ja, man kein keine Wohlordnung für eine Menge angeben, die gleichmächtig zu den reelen Zahlen ist.
tomS hat geschrieben:
14. Mai 2020, 06:36
Es bleibt zunächst ein kleiner Hoffnungsschimmer: ggf. existiert tatsächlich eine Formel, die verträglich ist mit ZFC, jedoch nur beweisbar mittels ZFC+X, wobei X eine genügend mächtige axiomatische Erweiterung darstellt. Dies hilft jedoch nicht weiter, denn es ersetzt das Konstatieren „es existiert eine Auswahlfunktion“ oder „es existiert ein kleinstes Element“ durch „es existiert eine Formel für ein kleinstes Element“. Es bleibt jedoch dabei, dass die Auswahlfunktion, das kleinste Element oder die Formel beweisbar unbekannt bleiben.

Konkret:

∀Ω = {X : X = {x : ...} beliebige Mengen X mit reellen x} ∃c: c(X) = x° aus X ⋀ c bijektiv.
∀Ω = {X : X = {x : ...} beliebige Mengen X mit reellen x} ∃c: c(X) = x° aus X ⋀ c bijektiv ⋀ c(X) = „...“ kann in ZFC+GCH nicht konstruiert oder abgeleitet werden.
Ich schaue mir das ganze noch einmal an und denk darüber nach. Ich gehe davon aus, das 'c' ist an 'choice' angelehnt.
∀Ω = {X : X = {x : ...} beliebige Mengen X mit reellen x} ∃c: c(X) = x° aus X ⋀ c bijektiv. Das war nicht meine Intention.
Daß c(X) nicht konstruiert werden kann ist offensichtlich; das versuche ich aber auch gar nicht. Ich will das nicht ∀Ω machen.
Soweit ich dich verstanden habe, kann man Die Wohlordnung nicht konstruieren, weil man das kleinste Element nicht konstruieren kann.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 12:51

c(x) ist verwirrend, ich hätte besser w(x) schreiben sollen; beides ist zwar logisch äquivalent, im Kontext dieser Aussage jedoch irreführend.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 12:54

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2020, 12:44
tomS hat geschrieben:
14. Mai 2020, 06:36
Nochmal: konstruieren, einfach willkürlich eins nehmen, niederschreiben, ... ist beweisbar unmöglich, denn

... it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.
Ja, man kein keine Wohlordnung für eine Menge angeben, die gleichmächtig zu den reelen Zahlen ist.
Und genau das reals ist äquivalent zum hier vorliegenden Problem.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 14. Mai 2020, 13:11

Okay, eine kurze rethorische Fragensammlung an Tom, bis ich über den Rest nachgedacht habe:
  • Lassen sich alle Äquivalenzklassen bijektiv aufeinander abbilden?
  • Wie könnte die Formel für eine der Bijektionen von z.B. [f1] nach [f2] aussehen? Worin unterscheiden sich zwei Bitfolgen unterschiedlicher Klassen, die in jeder endlichen Folge ihrer ersten n Ziffern identisch sind?
  • Gibt es eine Bijektion, bei welcher jede Bitfolge der ersten n Ziffern (für alle endlichen n) der aufeinander abgebildeten Elemente (zweier unterscheidlicher Klassen) identisch ist?
  • Kann die unendliche Bitfolge eines Elementes verwendet werden, um die Zugehörigkeit zu einer Äquivalenzklasse zu ermitteln? Falls nein: Wieso nicht?
  • Wo stecken die Signaturunterschiede zweier Elemente unterschiedlicher Klassen, wenn jeder endliche Bereich ihrer Ziffern identisch sein kann?
Sorry, ich möchte nur herausfinden, in welchen Punkten hiervon wir uns einig sind oder werden könnten.
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  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 14. Mai 2020, 13:24

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2020, 13:11
  • Lassen sich alle Äquivalenzklassen bijektiv aufeinander abbilden?
    ja
  • Wie könnte die Formel für eine der Bijektionen von z.B. [f1] nach [f2] aussehen?
    Addition von Zahlen, die nicht q/(2^k) entsprechen
  • Gibt es eine Bijektion, bei welcher jede Bitfolge der ersten n Ziffern (für alle endlichen n) der aufeinander abgebildeten Elemente identisch ist?
    ja, k muss groß genug sein
  • Kann die unendliche Bitfolge eines Elementes verwendet werden, um die Zugehörigkeit zu einer Äquivalenzklasse zu ermitteln?
    ja; man berechnet die Differenz zweier Zahlen und prüft, ob diese als q/(2^k) darstellbar ist - dann äquivalent - oder nicht.
  • Wo stecken die Signaturunterschiede zweier Elemente unterschiedlicher Klassen, wenn jeder endliche Bereich ihrer Ziffern identisch sein kann?
    offenbar nur in der gesamten Folge
Gruß
Tom

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