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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 12. Mai 2020, 13:58

ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:33
Warum wählst Du das schon vor der Hutvergabe aus ? Die Hüte werden verteilt und nun "schaut" man - sagen wir lieber: beurteilt bzw. "wählt" man, welcher Repräsentant am besten passt.
Wie gewählt wird muss schon vor der Hutvergabe abgemacht sein, weil die Leute nach der Hutvergabe nicht mehr kommunizieren können.
Sie sollen doch alles dasselbe S wählen?
ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:33
Vorsicht: wenn Du die Leute mit Nummern von 1 bis und mit n meinst, und dann n+1 und die folgenden betrachtest, dann stimmt das.

Wenn Du das für alle n so argumentierst, dann wird es problematisch, weil Du dann in "Skelteks Falle" hineinläufst, dass Du die verbleibenden identischen Stellen "unendlich oft" nach hinten verschiebst, was so nicht definiert ist und auch gar nicht erforderlich ist.
Das verstehe ich nicht. Egal wo die Stelle n ist, es gibt immer noch unendlich viele Stellen dahinter, das liegt daran, dass n eine Zahl ist und in der Natur von Unendlichkeiten. Ich sehe das Problem hier nicht... wenn etwas für alle n in N gilt, dann gilt es doch? Das ist doch hier ausreichend?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 15:00

seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:58
ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:33
Warum wählst Du das schon vor der Hutvergabe aus ? Die Hüte werden verteilt und nun "schaut" man - sagen wir lieber: beurteilt bzw. "wählt" man, welcher Repräsentant am besten passt.
Wie gewählt wird muss schon vor der Hutvergabe abgemacht sein, weil die Leute nach der Hutvergabe nicht mehr kommunizieren können.
Sie sollen doch alles dasselbe S wählen?
Hallo seeker,

sie müssen nur die Definition der Äquivalenzklasse vorher vereinbaren. Welchen Repräsentanten konkret sie dann wählen ergibt sich, indem sie sich die Hutfarben der anderen Sünder anschauen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 16:22

@ralfkannenberg:
Die Äquivalenzklassen stehen auch ohne Vereinbarung schon fest bzw existieren; diese müssen nicht extra vereinbart werden.
Ohne Vereinbarung eines ganz bestimmten Elementes daraus, könnte aber jeder zwischen 'der von ihm gesehenen Folge mit seinem Hut schwarz' oder 'der von ihm gesehenen Folge mit seinem Hut weiß' nehmen. Es geht darum, daß man von vorne herein festlegt, wer sich alles ggf opfern wird, auch wenn man vorher nicht weiß, wer es sein wird. Und nach der Hutvergabe keiner weiß ob er selbst einer davon ist.
Eine abzählbare Menge soll sich später unwissentlich opfern, damit die anderen unwissentlich alle richtig raten. Um das zu bewerkstelligen ist nötig, daß der Repräsentant vorher für jeden gleich ist. Die Leute dürfen selbst keine Wahl haben beeinflussen zu können, ob sie unter den Geretteten sind oder nicht.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 12. Mai 2020, 16:36

Nochmal, es geht mir um folgende Frage:
Wie wird sichergestellt, dass alle dasselbe S wählen werden, noch bevor die konkrete Hutfolge bekannt/festgelegt ist?
Muss das überhaupt sichergestellt sein?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 16:43

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:22
Die Äquivalenzklassen stehen auch ohne Vereinbarung schon fest bzw existieren. Ohne Vereinbarung eines ganz bestimmten Elementes daraus, könnte ja jeder zwischen der von ihm gesehenen Folge mit seinem Hut schwarz oder der von ihm gesehenen Folge mit seinem Hut weiß nehmen.
Hallo Skel,

ja, das ist korrekt.

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:22
Es geht darum, daß man von vorne herein festlegt, wer sich alles ggf opfern wird, auch wenn man vorher nicht weiß, wer es sein wird. Und nach der Hutvergabe keiner weiß ob er selbst einer davon ist.
Nein, meinem Verständnis nach geht es nicht darum, dass man von vornherein festlegt, wer sich alles opfern wird. Es geht lediglich darum, dass sich alle für dieselbe Äquivalenzklassen-Einteilung entscheiden. Welchen Repräsentanten man nimmt kann man vorher meines Erachtens auch nicht entscheiden, das spielt aber auch keine Rolle. Man nimmt den Repräsentanten, der die Hutfolgen, die der betroffene Sünder sieht, korrekt widergibt.

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:22
Eine abzählbare Menge soll sich später unwissentlich opfern, damit die anderen unwissentlich alle richtig raten. Um das zu bewerkstelligen ist nötig, daß der Reprsentant vorher für jeden gleich ist. Die Leute dürfen keine Wahl habenbeeinflussen zu können, ob sie unter den geretteten sind oder nicht.
Wie gesagt, das ist nicht mein Verständnis von der Lösung und ich wüsste auch nicht, nach welchen Kriterien man einen solchen Repräsentanten schon vor der Hutwahl auswählen könnte. Es ist ja ein Existenzbeweis und es ist auch keine konkrete Konstruktion möglich.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 16:57

@seeker:
An wen geht die Frage?
Ich würde sagen die Antwort ist: "Sie sprechen sich ab".
Alternativ kann Sünder #1 die Repräsentanten bestimmen (allerdings nicht konstruktiv, er kann nur zufällig wählen bzw die Klassen einteilen).
Ja, es muss sichergestellt sein, daß alle dasselbe Repräsentantensystem nehmen. Es geht darum, die differierenden Ziffern für jeden Sünder dieselben sein zu lassen.
Wenn jeder selbst den Repräsentanten wählen kann, welchen er später benutzt, dann hat jeder gleich viele Repräsentanten bei denen er verdammt wird wie mit denen er erlöst wird.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 17:02

seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:36
Nochmal, es geht mir um folgende Frage:
Wie wird sichergestellt, dass alle dasselbe S wählen werden, noch bevor die konkrete Hutfolge bekannt/festgelegt ist?
Muss das überhaupt sichergestellt sein?
Hallo seeker,

danke - dank Skeltek's Beitrag habe ich erkannt, dass ich an dieser Stelle ebenfalls noch festhänge.


Tom hat dazu das folgende geschrieben:
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 19:24
Eine Teilmenge S = {σ ∈ F} ⊆ F nennt man ein Repräsentantensystem von F bzgl. ~, wenn S genau ein σ ∈ [f] je [f] enthält.
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 19:24
1b) Sie einigen sich auf ein Repräsentantensystem S für F bzgl. ~.

Und nun kommt genau der Abschnitt, den es richtig zu verstehen gilt:
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 19:24
2a) Da jeder Sünder alle Hutfarben bis auf die eigene kennt, ist dies gleichbedeutend damit, dass jeder die vollständige Folge zu erraten hat; nennen wir diese f°. Nun kann jeder Sünder aus den ihm bekannten Hutfarben bereits die Äquivalenzklasse [f°] ermitteln, zu der f° gehört: er sieht bzw. kennt z.B. (001…?...) wobei das ? für die eigene Hutfarbe steht. Damit weiß er jedoch, dass z.B. (001…?...) ~ (001…0...) ~ (001…1...) ~ f°. Damit kennt jeder Sünder nun auch den zuvor festgelegten Repräsentanten σ ~ f° aus [f°]. Somit ist [f°] und σ aus der Kenntnis der sichtbaren Hutfarben für jeden Sünder eindeutig ableitbar.

Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 17:32

ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:43
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:22
Es geht darum, daß man von vorne herein festlegt, wer sich alles ggf opfern wird, auch wenn man vorher nicht weiß, wer es sein wird. Und nach der Hutvergabe keiner weiß ob er selbst einer davon ist.
Nein, meinem Verständnis nach geht es nicht darum, dass man von vornherein festlegt, wer sich alles opfern wird. Es geht lediglich darum, dass sich alle für dieselbe Äquivalenzklassen-Einteilung entscheiden. Welchen Repräsentanten man nimmt kann man vorher meines Erachtens auch nicht entscheiden, das spielt aber auch keine Rolle. Man nimmt den Repräsentanten, der die Hutfolgen, die der betroffene Sünder sieht, korrekt widergibt.
Ich skizziere hier mal die Einteilung:
Grundmenge:
G = {A, B, C, D, E, ...} <- Wir teilen die Menge aller unendlichen Folgen von 0 und 1 in überabzählbar viele Äquivalenzklassen auf, G muss RESTLOS in Klassen eingeteilt werden. Es darf keine Restmenge geben, welche keiner Äquivalenzrelation angehört.
Äquivalenzklassen:
A= {aA, bA, cA, ...} <- jeweils abzählbar viele Elemente, definiert über die Äquivalenzrelation
B= {aB, bB, cA, ...}
C= {aC, bC, cC, ...}
D= {...}
...
Die unterschrichenen Elemente a, b, c ,d usw sind die Repräsentanten, der Klasse und sind ihre symbolischen Stellvertreter.
Das Repräsentantensystem ist die Menge aller unterstrichenen Elemente.
R= {bA, aB, aC, ...} <- das ist natürlich überabzählbar, so wie die Menge der repräsentierten Äquivalenzklassen.

Vor der Vergabe der Hüte, müssen sich alle Sünder einig sein, in welcher Klasse welches Element unterstrichen wird.
Erst nach Vergabe der Hüte, müssen die Sünder jeder für sich erkennen, welche der Klassen A, B, C, D usw vorliegt.
Nachdem die Klasse ermittelt ist, nehmen die Sünder alle dassselbe unterstrichene Element der Klasse und ermitteln so dieselben Farben.
Niemand weiß vor Hutvergabe, welche der Klassen oben durch ein Element realisiert wurde; jeder kann die Klasse ermitteln, welche realisiert ist; das Element, welches in jeder Klasse unterstrichen ist muss aber für alle dasselbe sein, damit jeder dieselbe Farbfolge als Referenz fürs Raten nimmt.
Es ist sinnfrei, wenn alle feststellen, daß sie sich z.B. in Klasse C befinden, aber dann jeder ein anderes Element daraus auswählt (für jeden Sünder gäbe es dann sonst gleich viele Elemente wo er einen schwarzen Hut hat wie Elemente wo er einen weißen Hut hat->das wäre blindes Raten).
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:22
Eine abzählbare Menge soll sich später unwissentlich opfern, damit die anderen unwissentlich alle richtig raten. Um das zu bewerkstelligen ist nötig, daß der Reprsentant vorher für jeden gleich ist. Die Leute dürfen keine Wahl habenbeeinflussen zu können, ob sie unter den geretteten sind oder nicht.
Wie gesagt, das ist nicht mein Verständnis von der Lösung und ich wüsste auch nicht, nach welchen Kriterien man einen solchen Repräsentanten schon vor der Hutwahl auswählen könnte. Es ist ja ein Existenzbeweis und es ist auch keine konkrete Konstruktion möglich.
Die Kriterien dafür kennt keiner. Es gibt aber eine Auswahlfunktion (wenn man sie anwenden könnte), welche ein zufälliges Element einer Äquivalenzklasse auswählen kann. Das ist dann auch später nur an endlichen Stellen zur tatsächlichen Folge differierend (per Definition).


Ich bin mir übrigens nicht ganz sicher, ob es mehr Äquivalenzklassen gibt, als R Elemente hat. Aber ich will das nur als Randbemerkung stehen lassen, da muss ich erst noch einige Nächte drüber schlafen.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 12. Mai 2020, 17:38

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Das von dir beschriebene Paradoxon hat im Englischen eine ähnliche Lösung.
Substitute the colors by numbers and get an infinite sequence of numbers. Define an equivalence relation, by stating that 2 sequences are equivalent, if they are equal after a finite number of entries.
In allen englischsprachigen Abhandlungen, die ich finden konnte, werden die Äquivalenzklassen so definiert, daß sie nach höchstens einer endlichen Anzahl Ziffern identisch sind. Intuitiv macht das glaube ich keinen Unterschied, würde das jedoch nicht als trivial ansehen.
Es gibt 'zig Varianten des Rätsels.

Wenn zwei Folgen nach endlich vielen Stellen N (N beliebig aber endlich) identisch sind, dann können sie nur an höchstens endliche vielen Stellen K < N+1 abweichen. Insofern ist das äquivalent.
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Ich versuche nur auszumachen, wie man den Unterschied zwischen ZFC und ZF ohne C besser beschreiben kann und den eigentlichen Haken besser zu verinnerlichen.
Na ja, dein Haken existiert bereits in ZF ohne C.
Du verwendest rein konstruktive Methoden und musst von daher bereits ZF ablehnen.

Ansonsten - soweit jetzt klar, danke.
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Zum Beispiel, daß die Sünder durch die Wahl des Repräsentanten am Anfang darauf einigen, daß nur endlich viele Sünder verdammt werden (z.B. die Hälfte der ersten n Sünder, wobei nur gesagt wird, daß n endlich ist, aber kein genauer Wert festgelegt), während der Rest gerettet wird. Das will ich auch nicht bestreiten.
Die Argumentation ist nicht, dass sie sich darauf einigen, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden; sie einigen sich auf eine Auswahlfunktion, und dass stellt mit der Definition von F/~ sicher, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden - OK, muss man zeigen, ist aber einfach.
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
In der Praxis: Der Sünder mit der Nummer n hat eine endliche Nummer. Da seine Nummer endlich ist, ist seine Chance falsch zu liegen ungleich Null. Alle nach ihm werden gerettet. So sieht das eigentlich jeder Sünder mit einer endlichen Nummer.
Es existiert aber kein Sünder, von dem man sagen kann, daß seine Positionierung größer ist als das n.
Ob ein Sünder definitiv gerettet wird oder diese Sicherheit nicht hat ist also lediglich davon abhängig, ob seine Position m größer oder kleiner als n ist.

Soweit richtig?
Jein.

Ja, aber nicht mit ZF; deine Argumentation ist wieder konstruktiv und daher schwächer als ZF.

Verkürzt: in einer konstruktivistischen Mathematik, d.h. Axiomatik schwächer als ZF, existiert die Lösung nicht; letztlich existiert noch nicht mal das Rätsel selbst.
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Es ist zumindest kontraintuitiv, daß man bei zufälligem Ziehen einer Positionierung vor der Hutvergabe ...
Dieses zufällige Ziehen bei gleicher Wahrscheinlichkeit für jedes n ist genau das, was nicht funktioniert, weil diese "gleiche Wahrscheinlichkeit für alle n aus der natürlichen Zahlen" nicht existiert.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 17:59

tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 17:38
Wenn zwei Folgen nach endlich vielen Stellen N (N beliebig aber endlich) identisch sind, dann können sie nur an höchstens endliche vielen Stellen K < N+1 abweichen. Insofern ist das äquivalent.
Ja, ich meinte nur die Rückrichtung ist nicht ganz so trivial aufzuschreiben. In ungefähr: Höchstes Element existiert, auswählbar, auswählen, zeigen, daß nur endlich viele Elemente kleiner sind. Formeln schreiben ist nicht meine Stärke. Ich stime hier zu, allerdings würde ich mich nicht mit jemandem streiten wollen, der behauptet, daß sich der Unterschied zweier Folgen im Unendlichen befindet (Nichtstandardanalysis oder ähnliches).
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Zum Beispiel, daß die Sünder durch die Wahl des Repräsentanten am Anfang darauf einigen, daß nur endlich viele Sünder verdammt werden (z.B. die Hälfte der ersten n Sünder, wobei nur gesagt wird, daß n endlich ist, aber kein genauer Wert festgelegt), während der Rest gerettet wird. Das will ich auch nicht bestreiten.
Die Argumentation ist nicht, dass sie sich darauf einigen, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden; sie einigen sich auf eine Auswahlfunktion, und dass stellt mit der Definition von F/~ sicher, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden - OK, muss man zeigen, ist aber einfach.
Ich sehe, daß das missverständlich geschrieben wurde. Das Einigen, daß nur endlich viele verdammt werden sollen, entspricht dem Entschluss, die Grundmenge mit dieser Äquivalenzrelation zu clustern. Die Wahl der Auswahlfunktion der Äquivalenzklasse variiert im wesentlichen nur, wie viele und welche verdammt werden (wobei man das 'welche' vor der Hutvergabe und Nennen der Farben noch nicht weiß). Es könnte ja noch andere Lösungen geben, in denen keiner, einer, eine bestimmte Anzahl oder unendlich viele geopfert werden (das will ich nicht ausschließen). Man hat sich halt für diese Strategie entschieden, die von vorne herein bedeutet, daß endlich viele geopfert werden.
toms hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Es ist zumindest kontraintuitiv, daß man bei zufälligem Ziehen einer Positionierung vor der Hutvergabe ...
Dieses zufällige Ziehen bei gleicher Wahrscheinlichkeit für jedes n ist genau das, was nicht funktioniert, weil diese "gleiche Wahrscheinlichkeit für alle n aus der natürlichen Zahlen" nicht existiert.
Genau. Die Betrachtungsweise geht da nicht.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 18:07

tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 17:38
Die Argumentation ist nicht, dass sie sich darauf einigen, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden; sie einigen sich auf eine Auswahlfunktion, und dass stellt mit der Definition von F/~ sicher, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden - OK, muss man zeigen, ist aber einfach.
Hallo Tom,

ist es nicht so, dass jede Auswahlfunktion "gut" ist, d.h. dass jeder beliebige Sünder irgendeine der Auswahlfunktionen quasi ohne vorherige Einigung wählen kann ?

Wenn nicht, dann müsste man sie wohlordnen - das geht, weil das Auswahlaxiom gültig ist und dieses äquivalent ist zum Wohlordnungssatz, und wählt dann die erste.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 12. Mai 2020, 22:35

ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 17:02
Tom hat dazu das folgende geschrieben:

tomS hat geschrieben: ↑
10. Mai 2020, 18:24
Eine Teilmenge S = {σ ∈ F} ⊆ F nennt man ein Repräsentantensystem von F bzgl. ~, wenn S genau ein σ ∈ [f] je [f] enthält.
Was ist dieses σ? Ist es ein Element oder eine Folge? Ich habe Schwierigkeiten mit dem Verständnis der Notation, ich bin kein Mathematiker und in solchen Dingen nicht mehr geübt, älter wird man ja auch jedes Jahr und dabei nicht unbedingt in allem immer schlauer. Und "wenn S genau ein σ ∈ [f] je [f] enthält" verstehe ich nicht. [f] ist doch schon die Menge aller f(r)? Muss es nicht "wenn S genau ein σ ∈ [f] je f(r) enthält" heißen?
Erklärendes Beispiel?
Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:57
@seeker:
An wen geht die Frage?
Ist mir eigentlich egal, ich wills nur verstehen, aber auch so, dass es auch richtig ist, ich will nicht noch mehr verwirrt werden. Kritisieren kann man später, erst muss man verstehen, wie es genau funktioniert.
Wobei... ich hatte eigentlich gehofft, dass auch derjenige der das Rätsel und seine Lösung vorgestellt hat, beim Verständnis seiner vorgestellten Lösung mithilft... (Wink mit dem Zaunpfahl... :wink: :) )
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 12. Mai 2020, 22:49

Hallo zusammen,
seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 16:36
Wie wird sichergestellt, dass alle dasselbe S wählen werden, noch bevor die konkrete Hutfolge bekannt/festgelegt ist?
Muss das überhaupt sichergestellt sein?
Ja, das muss sichergestellt sein.
ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 18:07
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 17:38
Die Argumentation ist nicht, dass sie sich darauf einigen, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden; sie einigen sich auf eine Auswahlfunktion, und dass stellt mit der Definition von F/~ sicher, dass nur endlich viele Sünder verdammt werden - OK, muss man zeigen, ist aber einfach.
ist es nicht so, dass jede Auswahlfunktion "gut" ist, d.h. dass jeder beliebige Sünder irgendeine der Auswahlfunktionen quasi ohne vorherige Einigung wählen kann ?
Nein, sie müssen sich einigen.

Es wird durch die Existenzaussage des Auswahlaxioms sichergestellt, dass mindestens eine Auswahlfunktion existiert. Es könnten auch mehrere sein. Es wird nichts konstruiert oder explizit angegeben.

Schauen wir uns an, was dieses s für einen Sünder n tut: es liefert s(n) aus {0,1}.

Es ist aber zu kurz gesprungen, zu sagen, dass die Auswahlfunktion auf diesen Zahlen n operiert, also dass s diese Auswahlfunktion sei. Die Auswahlfunktion A operiert auf den Äquivalenzklassen [f], und liefert je Äquivalenzklasse eine gesamte Folge, also je [f] eine Funktion s(n).

Schauen wir uns Repräsentanten f1, f2, f3 dreier verschiedener Äquivalenzklassen [f1], [f2], [f3] an:
f1 = (000000...)
f2 = (010101...)
f3 = (111111...)

Die Auswahlfunktion A liefert z.B.
A([f1]) = f1
A([f2]) = f2
A([f3]) = f3
also exakt wieder diese drei Repräsentanten.

Eine andere Auswahlfunktion A' könnte aber auch
A'([f1]) = (100000...)
A'([f2]) = (110101...)
A'([f3]) = (011111...)
liefern, also die o.g. Folgen mit genau einer Änderung an der ersten Stelle.

Damit existiert für jede Äquivalenzklasse [f] eine abzählbare Menge an Kandidaten für das Ergebnis s der Auswahlfunktion, nämlich jede enthaltene Folge aus der Äquivalenzklasse.

Nehmen wir an, alle Sünder einigen sich auf die selbe Auswahlfunktion. Nehmen wir an, die Hutfolge sei gerade f = (000000...). Dann liefert A eine Folge s mit höchstens endlich vielen Einsen, andernfalls wäre die Folge nicht in [f]. Damit werden genau die Sünder verdammt, die das Pech haben, dass ihre Nummer n mit den Stellen in s zusammenfällt, für die s(n) = 1 ist.

Nehmen wir an, die Sünder einigen sich nicht auf eine Auswahlfunktion, jeder benutzt eine eigene. Nehmen wir an, die Hutfolge sei wieder f = (000000...). Die verschiedenen Auswahlfunktionen An der Sünder liefern verschiedene Folge sn mit höchstens endlich vielen Einsen, andernfalls wären sie nicht in [f] enthalten. Eine Möglichkeit für die Auswahlfunktionen wäre
A1([f]) = (100000...)
A2([f]) = (010000...)
A3([f]) = (001000...)
A4([f]) = (000100...)
...

Man sieht, worauf das hinausläuft: Obwohl die Auswahlfunktionen fast perfekte Folgen liefert - gerade mal eine falsche Stelle - haben alle Sünder der Reihe nach für n = 1, 2, 3, ... das Pech, dass sie gerade die Auswahlfunktionen A1, A2, A3, ... erwischen, die an den Stellen n = 1, 2, 3, ... falsch liegen. Damit werden alle verdammt.

Konsequenz:

1) alle Sünder - oder zumindest fast alle - müssen sich auf ein und die selbe Auswahlfunktion über alle [f] einigen.
2) da das Auswahlaxiom nur sicherstellt, dass mindestens eine Auswahlfunktion existiert, stellt es gerade nicht sicher, dass sie eindeutig ist.

Damit ist die Lösung in zweifacher Hinsicht nicht konstruktiv: sie liefert kein konkretes A, sie sichert mittels ZFC nur zu, dass mindestens eines existiert. Und sie liefert kein eindeutiges A.
ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 18:07
ist es nicht so, dass jede Auswahlfunktion "gut" ist, d.h. dass jeder beliebige Sünder irgendeine der Auswahlfunktionen quasi ohne vorherige Einigung wählen kann ?

Wenn nicht, dann müsste man sie wohlordnen - das geht, weil das Auswahlaxiom gültig ist und dieses äquivalent ist zum Wohlordnungssatz, und wählt dann die erste.
Das ist ein guter Punkt. D.h. wenn ich das o.g. (1) akzeptiere, dann ist (2) geschenkt.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 12. Mai 2020, 22:59

Ich habe das mal ziemlich formal aufgeschrieben

Riddle
Gruß
Tom

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Skeltek
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 00:32

Danke Tom, tolle Erklärung. Hätte ich nicht besser machen können. Nur eine kurze Verbesserung:
tomS hat geschrieben: Die Auswahlfunktion A liefert z.B.
A([f1]) = f1
A([f2]) = f2
A([f3]) = f3
also exakt wieder diese drei Repräsentanten.
Das Auswahlaxiom fordert nicht die Klasse selbst als Parameter. Ein Index, oder ähnliches ist völlig ausreichend. Es soll sicher gestellt werden bzw wird postuliert, daß es möglich ist mindestens ein Element der nichtleeren Folge 'zu greifen', selbst wenn kein Algorithmus oder Verfahren innerhalb des repräsentierenden Axiomenmodels existiert, dieses Element konstruktiv zu fassen. Hintergrund ist, daß man auf überabzählbaren Mengen nichtleerer Mengen kein Verfahren hat alle möglichen Parameter der Funktion praktisch anzuwenden/einzusetzen. Bei einer Bijektion von R nach R mit f(x):=y mit x, y element von R, kann man postulieren, daß alle Elemente des überabzählbaren y zwar existieren, man diese aber nicht vollständig fassen kann, weil man ja bereits nicht alle x einsetzen kann (geht nur symbolisch). Das Auswahlaxiom dient hier als Einsprungpunkt im Sinne von 'wenn ich das x hätte, könnte ich y konstruieren/selektieren'.
tomS hat geschrieben: Eine andere Auswahlfunktion A' könnte aber auch
A'([f1]) = (100000...)
A'([f2]) = (110101...)
A'([f3]) = (011111...)
liefern, also die o.g. Folgen mit genau einer Änderung an der ersten Stelle.
Der erklärende Satz darunter ergibt erst Sinn, wenn man das erklärte Beispiel bereits verstanden hat. Ging zumindest mir so.
ralfkannenberg hat geschrieben: Wenn nicht, dann müsste man sie wohlordnen - das geht, weil das Auswahlaxiom gültig ist und dieses äquivalent ist zum Wohlordnungssatz, und wählt dann die erste.
Die Äquivalenzklassen sind sowohl nach oben und unten offen. Eine Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen ließe sich über z.B. die Differenz zu einem Element konstruieren. Ansonsten sind die Mengen ja sowohl nach oben als auch unten offen ohne eine ausgezeichnete Mitte oder ähnliches.
Mich würde ohnehin mal interessieren, welche Mächtigkeit die Menge aller möglichen Auswahlfunktionen hat. Vermutlich N^R oder sowas (oder wie auch immer man das schreibt).
Die Wahl des Repräsentantensystems und der Auswahlfunktion sind gleichbedeutend und bijektiv zueinander, da der reele Index der Klasse bei beidem benötigt wird und bei der Auswahlfunktion die Translation der Klasse zu ihrem Index implizit in diese einfließt bzw dort enthalten ist.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von soon » 13. Mai 2020, 06:13

tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 10:40
"Fast alle" bedeutet im Falle einer abzählbaren Menge "alle Elemente dieser Menge, bis auf endlich viele", ganz allgemein so etwas wie "die gesamte Menge bis auf eine Teilmenge vom Maß Null"...
Die Formulierung "alle Elemente ...", bezogen auf eine unendliche Menge, funktioniert mathematisch - für mich privat - nicht.

Gedanklicher Ansatz einer Begründung:

Zwischen den Formulierungen
"alle Elemente ..."
und
"jedes Element ..."
muss es einen Unterschied geben, sonst bräuchte man die Unterscheidung nicht, - braucht man aber.

Also was genau macht den Unterschied aus?

Naheliegend wäre - für mich - , dass eine Formulierung "alle Elemente ..." nur auf endliche Mengen anwendbar ist.

Aber, wie gesagt, das ist eine private Betrachtung.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 07:20

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 00:32
Das Auswahlaxiom fordert nicht die Klasse selbst als Parameter. Ein Index, oder ähnliches ist völlig ausreichend.
Mir ging es nur um eine verständliche Notation., Gegeben ist eine Funktion A(), die hat einen Parameter [f], also A([f]) du liefert ein Ergebnis A([f]) = …
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 00:32
ralfkannenberg hat geschrieben: Wenn nicht, dann müsste man sie wohlordnen - das geht, weil das Auswahlaxiom gültig ist und dieses äquivalent ist zum Wohlordnungssatz, und wählt dann die erste.
Die Äquivalenzklassen sind sowohl nach oben und unten offen. Eine Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen ließe sich über z.B. die Differenz zu einem Element konstruieren.
Ich bin mir sicher, dass diese Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen nicht konstruierbar ist.

Auf den reellen Zahlen ist bis heute mittels ZFC keine bekannt. Da aber die Hutfolgen als Binärfolgen in [0,1] verstanden werden können, wäre eine Wohlordnung verwandt mit einer solchen über [0,1].

Eine Wohlordnung garantiert natürlich trivialerweise eine eindeutige Auswahlfunktion. Betrachte dazu wieder F sowie eine Wohlordnung auf F. Diese liefert für jedes [f] in F/~ ein kleinstes Element je [f], also min[f]. Damit ist c[f] = min[f] eindeutig.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 07:23

soon hat geschrieben:
13. Mai 2020, 06:13
Aber, wie gesagt, das ist eine private Betrachtung.
ja

z.B. sagt der Mathematiker ja ∀x ∈ X: ... "für alle x aus X gilt …"
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 13. Mai 2020, 09:30

Danke für die Ausführungen, das hilft!
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
Konsequenz:

1) alle Sünder - oder zumindest fast alle - müssen sich auf ein und die selbe Auswahlfunktion über alle [f] einigen.
2) da das Auswahlaxiom nur sicherstellt, dass mindestens eine Auswahlfunktion existiert, stellt es gerade nicht sicher, dass sie eindeutig ist.
Genau das ist/war noch mein Knackpunkt.
Gerade 2)... Die Konsequenz daraus scheint mir zu sein, dass das Auswahlaxiom alleine eben noch nicht ausreichend ist, zwar ist damit sichergestellt, dass jeder ein S wählen kann (genauer: jeder kann jedes mögliche S zu [f] wählen), aber es muss zusätzlich noch sichergestellt werden, dass alle dasselbe S wählen.
Und das ist dann damit sichergestellt, dass sich die Sünder auf ein beliebiges S einigen können, weil JEDES hier mögliche S hier funktionieren wird?

Worüber ich dabei noch nachdenke:
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
Nehmen wir an, die Sünder einigen sich nicht auf eine Auswahlfunktion, jeder benutzt eine eigene. Nehmen wir an, die Hutfolge sei wieder f = (000000...). Die verschiedenen Auswahlfunktionen An der Sünder liefern verschiedene Folge sn mit höchstens endlich vielen Einsen, andernfalls wären sie nicht in [f] enthalten. Eine Möglichkeit für die Auswahlfunktionen wäre
A1([f]) = (100000...)
A2([f]) = (010000...)
A3([f]) = (001000...)
A4([f]) = (000100...)
...
Der pathologische Fall...
Funktioniert tatsächlich jedes S oder existiert hier auch ein einziges mögliches gemeinsames S, das auch zu diesem Ergebnis führen würde (das ja zu vermeiden ist)?
In dem Fall dürfte S nicht ganz willkürlich gewählt werden (ich meine mit "gewählt" die allgemeine Einigung auf ein S), es müsste geschickt gewählt werden. Ich denke darüber nach, ob es nicht so sein muss, dass S nicht so gewählt wird, dass es für jeden Sünder n gerade die Stelle n in den Folgen auswählt. Ist das so?

Aber ich muss das wohl alles noch 10x durchdenken, bis ich wirklich durchblicke... aber es geht langsam voran. :)
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 13. Mai 2020, 10:13

tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:59
Ich habe das mal ziemlich formal aufgeschrieben

Riddle
Hallo Tom,

ich bekomme "ERR_CONNECTION_RESET", wenn ich das anklicke.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 13. Mai 2020, 10:18

tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 18:07
ist es nicht so, dass jede Auswahlfunktion "gut" ist, d.h. dass jeder beliebige Sünder irgendeine der Auswahlfunktionen quasi ohne vorherige Einigung wählen kann ?
Nein, sie müssen sich einigen.
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
Schauen wir uns an, was dieses s für einen Sünder n tut: es liefert s(n) aus {0,1}.

Es ist aber zu kurz gesprungen, zu sagen, dass die Auswahlfunktion auf diesen Zahlen n operiert, also dass s diese Auswahlfunktion sei. Die Auswahlfunktion A operiert auf den Äquivalenzklassen [f], und liefert je Äquivalenzklasse eine gesamte Folge, also je [f] eine Funktion s(n).

Schauen wir uns Repräsentanten f1, f2, f3 dreier verschiedener Äquivalenzklassen [f1], [f2], [f3] an:
f1 = (000000...)
f2 = (010101...)
f3 = (111111...)

Die Auswahlfunktion A liefert z.B.
A([f1]) = f1
A([f2]) = f2
A([f3]) = f3
also exakt wieder diese drei Repräsentanten.
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
Nehmen wir an, alle Sünder einigen sich auf die selbe Auswahlfunktion. Nehmen wir an, die Hutfolge sei gerade f = (000000...). Dann liefert A eine Folge s mit höchstens endlich vielen Einsen, andernfalls wäre die Folge nicht in [f]. Damit werden genau die Sünder verdammt, die das Pech haben, dass ihre Nummer n mit den Stellen in s zusammenfällt, für die s(n) = 1 ist.
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
Nehmen wir an, die Sünder einigen sich nicht auf eine Auswahlfunktion, jeder benutzt eine eigene. Nehmen wir an, die Hutfolge sei wieder f = (000000...). Die verschiedenen Auswahlfunktionen An der Sünder liefern verschiedene Folge sn mit höchstens endlich vielen Einsen, andernfalls wären sie nicht in [f] enthalten. Eine Möglichkeit für die Auswahlfunktionen wäre
A1([f]) = (100000...)
A2([f]) = (010000...)
A3([f]) = (001000...)
A4([f]) = (000100...)
...

Man sieht, worauf das hinausläuft: Obwohl die Auswahlfunktionen fast perfekte Folgen liefert - gerade mal eine falsche Stelle - haben alle Sünder der Reihe nach für n = 1, 2, 3, ... das Pech, dass sie gerade die Auswahlfunktionen A1, A2, A3, ... erwischen, die an den Stellen n = 1, 2, 3, ... falsch liegen. Damit werden alle verdammt.
Hallo Tom,

das ist der Schlüssel für mein Unverständnis, das muss aber noch in mein Gehirn "einsickern".


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 11:04

tomS hat geschrieben:
13. Mai 2020, 07:20
Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 00:32
Die Äquivalenzklassen sind sowohl nach oben und unten offen. Eine Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen ließe sich über z.B. die Differenz zu einem Element konstruieren.
Ich bin mir sicher, dass diese Wohlordnung innerhalb der Äquivalenzklassen nicht konstruierbar ist.

Auf den reellen Zahlen ist bis heute mittels ZFC keine bekannt. Da aber die Hutfolgen als Binärfolgen in [0,1] verstanden werden können, wäre eine Wohlordnung verwandt mit einer solchen über [0,1].

Eine Wohlordnung garantiert natürlich trivialerweise eine eindeutige Auswahlfunktion. Betrachte dazu wieder F sowie eine Wohlordnung auf F. Diese liefert für jedes [f] in F/~ ein kleinstes Element je [f], also min[f]. Damit ist c[f] = min[f] eindeutig.
Hallo Tom,
es gibt nicht nur eine Wohlordnung, man kann zu jeder Klasse sogar unendlich viele verschiedene konstruieren.
Ich verstehe dein Argument nicht, daß die abzählbare Menge optisch eine Ähnlichkeit zu einem reelen Intervall aufweist und deshalb keine Wohlordnung existieren soll.
Und selbst bei Überabzählbarkeit (was die Klassen nicht haben), gäbe es mindestens eine Wohlordnung. Du hast sie selbst durch die Einführung des Auswahlaxioms als existent beschlossen. Das Auswahlaxiom ist gleichbedeutend mit einer Wohlordnung auf R. Und bei abzählbaren Mengen ist ja noch nicht einmal AC notwendig.
Verfahren:
- Du suchst dir ein beliebiges Element h der Menge aus.
- Es existiert eine Reihenfolge (sogar mehrere), wie du aus diesem h als erstes Element alle anderen Elemente der Reihe nach konstruieren kannst.
- Du musst die Bedeutung der Zahl als Wert aufgeben, nur das 0<1 fließt erst bei der Anordnung der Teilmengen der Sortierung ein
- Die Wohlordnung ist eine Aneinanderreihung endlicher Teilmengen
- Die erste Menge besteht aus h, die n-te Menge ergibt sich durch alle Kombinationen an Änderungen der ersten n Ziffern, abzüglich der Elemente der vorausgehenden Mengen
- Per Definition der Klasse, die nur endlich viele Differenzen zulässt, existieren auch keine Elemente, die nicht durch die Wohlordnung erfasst werden -> Es ist nicht einmal das Auswahlaxiom bzw Wohlordnungssatz notwendig, um die Existenz der Wohlordnung mangels Konstruierbarkeit zu postulieren.

Man muss sich nur auf den Algorithmus und ein kleinstes Element als Parameter (erstes Element) einigen und kann die Wohlordnung konstruieren.

Nicht, daß es in der Praxis einen Unterschied dazu machen würde... ob man sich nun auf einen Repräsentanten oder eine Wohlordnung einigt, muss man sich trotzdem vorher absprechen.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 11:27

Das Rätsel ist übrigens auch ein nettes Beispiel, welches strukturell auf viele andere Gebiete der Mathematik angewendet werden kann.
Man nehme einen unendlich-dimensionalen Vektorraum. Dann betrachtet man die Menge aller Untervektorräume, die man mit einer endlichen Basis bilden kann...
Es gibt sicherlich noch Abwandlungen des Rätsels, die noch schwerer zu knacken sind. z.B. wenn man die Einschränkung 'endlich viele Basisvektoren' auf 'nicht alle Basisvektoren' abändert. (Analog würde man das Komplement der Äquivalenzklasse bilden). Aber das war nur so eine Idee.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 13. Mai 2020, 14:09

ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Mai 2020, 10:13
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2020, 16:12

Also bei mir funktioniert der Link immer noch und seit du ihn gepostet hast. Musste mich nur mit meinem Microsoft Account anmelden
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