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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 12:18

hmmm, ok, ich habe eine Idee

Skeltek
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 10. Mai 2020, 12:19

tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 09:19
Job hat geschrieben: Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.
Das ist richtig!!
Wieso nicht gleich "Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich (nur) an beliebig vielen Stellen unterscheiden." ?
Vielleicht könnte man noch den genauen Unterschied dazu erläutern, wenn alle existenten Folgen äquivalent sind?
Wirkt sich das durch Transitivität nicht automatisch darauf aus, daß alle Folgen äquivalent sind, wenn sie sich an abzählbar vielen Stellen unterscheiden? Durch Induktion kann man alle existenten Folgen abdecken.

Mich deucht, daß hier zwei Konzepte kombiniert werden, die so nicht kompatibel sind. Ich hatte weiter oben bereits angedeutet: Selbst, wenn man die Klasse/Menge auf die Äquivalenzrelation reduzieren würde, daß man alle Folgen nimmt, die sich nur durch maximal ein Element von der tatsächlichen Hutfolge unterscheiden, dann würde trotzdem jeder Sünder für sich nach Betrachten der anderen Hüte noch zwei Folgen zur Auswahl übrig haben.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 10. Mai 2020, 12:22

Noch ein Gedanke:

Wenn die Hüter vergeben wurden gibt es drei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten, was vorliegen kann:

1) unendlich viele weiße Hüte und unendlich viele schwarze Hüte
2) unendlich viele weiße Hüte und endlich viele schwarze Hüte
3) endlich viele weiße Hüte und unendlich viele schwarze Hüte

Das stellt jeder Sünder gleich fest, d.h. 1, 2 und 3 ist von jedem unterscheidbar.
Im Fall 2) ist es für jeden besser "weiß" zu sagen, im Fall 3) ist es für jeden besser "schwarz" zu sagen, d.h. es gewinnen hier dann immer unendlich viele Leute, während nur endlich viele verlieren.

Damit ist nur noch Fall 1) problematisch und zu lösen, d.h. man darf hier dann vom Vorliegen von unendlich vielen weißen Hüten und unendlich vielen schwarzen Hüten sicher ausgehen.
In diesem Fall ist es aber klar, dass jedes beliebige Muster aus schwarzen Hüten und weißen Hüten durch sortieren generiert werden kann, das alle Hüte umfasst, incl. dem eigenen.

So weit erst einmal...
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 12:51

seeker, du hast natürlich recht; da jedoch (2) und (3) nur eine Nullmenge darstellen, hilft das recht selten - spannend ist und bleibt (1)
Gruß
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 12:57

Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 12:19
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 09:19
Job hat geschrieben: Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.
Das ist richtig!!
Wieso nicht gleich "Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich (nur) an beliebig vielen Stellen unterscheiden." ?
weil das das Problem nicht löst, da dann alle Folgen äquivalent wären
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 13:06

Hallo zusammen,

ich "knabbere" noch an einer anderen Stelle:

- alle Sünder sehen alle Hüte ausser einem (dem eigenen), d.h. wir haben hier eine "Ausnahmezahl" vom Wert 1.
- zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden, d.h. wir haben hier eine "Ausnahmezahl" vom Wert N.
- ich vermute mal, dass die endlich vielen Ausnahmen ebenfalls gleich N sind


Also:

warum einmal eine Ausnahmezahl vom Wert 1 und warum einmal eine Ausnahmezahl N ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 10. Mai 2020, 13:29

tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 12:57
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 12:19
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 09:19

Das ist richtig!!
Wieso nicht gleich "Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich (nur) an beliebig vielen Stellen unterscheiden." ?
weil das das Problem nicht löst, da dann alle Folgen äquivalent wären
Daß dann alle äquivalent wären habe ich auch festgestellt. Vielmehr ging es mir darum, wo effektiv der Unterschied zwischen den beiden liegen soll.

Unabhängig davon geht es ja darum, die Existenz dieser Äquivalenzklasse mit der Eigenschaft, exakt die später benötigte Menge zu bereit zu stellen, zu beweisen. Die Existenz der Äquivalentrelation, die dafür notwendig ist, zu beweisen ist kein Problem. Das Problem ist, die entsprechende Klasse zu bestimmen.
Es wäre genausogut beweisbar, daß man prinzipiell durch puren Zufall alle retten könnte, auch wenn die Wahrscheinlichkeit dafür infinitesimal dicht an Null klebt.
Job hat geschrieben: Die Lösung, die Tom hier skizziert ist eine reine Existenzbehauptung.
Die Existenz der Äquivalenzklasse (selbst wenn bereits bewiesen) alleine ist nicht ausreichend. Das Einzige was man am Anfang hat ist eine Äquivalenzrelation, die man möglicherweise daraus ableiten kann. Man muss dann trotzdem die richtige Klasse in der Menge finden, welche durch die Äqivalenzrelation aufgespannt wird. Die richtige Klasse am anfang auszuwählen ist genauso unwahrscheinlich, wie später alle bis auf endlich viele durch alleiniges Raten zu retten.

Umfasst deine Argumentation nur den Beweis der Äquivalenzklasse, oder auch die Möglichkeit die Klasse zu selektieren?
Bisher sehe ich immer noch nur maximal eine Bijektion zwischen den Klassen und der Menge aller Hutfolgen.
ralfkannenberg hat geschrieben: zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden, d.h. wir haben hier eine "Ausnahmezahl" vom Wert N.
- ich vermute mal, dass die endlich vielen Ausnahmen ebenfalls gleich N sind
Ja, allerdings stellt die Transitivität sicher, daß die Klasse überabzählbar viele Elemente hat. Wenn m die Anzahl der Ausnahmen ist, dann hat die resultierende Menge dieselbe Mächtigkeit wie die eine Menge mit mj Elementen, mit j->unendlich.
Daher wüsste ich nicht, wie das helfen kann. Aus der Menge muss man dann trotzdem ein Element auswählen, nachdem diese sich nach Betrachten der anderen Hutfarben reduziert hat.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 10. Mai 2020, 13:30

tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 12:51
seeker, du hast natürlich recht; da jedoch (2) und (3) nur eine Nullmenge darstellen, hilft das recht selten - spannend ist und bleibt (1)
Von einer Nullmenge können wir hier nicht reden, weil wir nicht wissen, wie die Hüte verteilt werden, insbes. können wir hier keinerlei Wahrscheinlichkeiten annehmen.

Weiter... ich versuche weiter einzugrenzen:

Im Falle vom Vorliegen von unendlich vielen weißen und schwarzen Hüten und in z.B. in Reihe aufgestellen Leuten gibt es wiederum zwei Möglichkeiten:

a) Die Hüte bilden ein zyklisches Muster, z.B. I0I0I0I0I0I0I0I0I0I.... (es gibt unendlich viele dieser Muster)
b) Die Hüte bilden kein zyklisches Muster

Falls nun a) tatsächlich vorliegt, sieht nun jeder Einzelne dieses Muster, mit nur einer Unsicherheit, seinem eigenen Hut, also z.B. I0I0?0I0... (unterscheiden tun sich die Beobachter hier nur darin, wo das ? ist).
Daraus folgt: In dem Fall wäre es die beste Strategie, wenn jeder so seinen Hut rät, dass das Muster nicht durchbrochen wird, denn im besten Fall gewinnen so alle (unendlich viele Leute) und im schlechtesten Fall verliert nur genau einer.

D.h.: Problematisch ist daher dann nur noch b), also alle Fälle, wo kein zyklisches Muster gegeben ist und daher auch nicht von allen gesehen wird (wie z.B.: 1,2,3,5,7,11,13,17,... (bzw. binär dann II0II...) aber auch II0I0I0I0...).
D.h.: Man darf bei der Problemstellung genau davon ausgehen, dass b) gegeben ist, weil alle anderen Fälle trivial lösbar sind.

Weiterer Gedankengang:
Nachdem die Hüte verteilt wurden, darf jeder Sünder noch denken, also einen Algorithmus ausführen, der die Hüte in der Reihe gedanklich neu ordnet. Falls ein gemeinsamer Algorithmus existiert, der bei allen Sündern das Nicht-Muster b) durch Neuordnung in ein gemeinsames Muster a) überführt, wäre das Problem auch hier dann trivial lösbar.
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 13:38

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:30
D.h.: Man darf bei der Problemstellung genau davon ausgehen, dass b) gegeben ist, weil alle anderen Fälle trivial lösbar sind.
Hallo seeker,

bei dieser Art Lösungsansatz schaffst Du es meiner Einschätzung nach nicht, die unendlichvielen Sünder, die ihre Hutfarbe nicht kennen, auf nur endlich viele herabzubrechen.

Dieser Schritt des Herabbrechens von unendlich vielen "falsch raten" auf endlich vielen "falsch raten" muss irgendwie bei der Festlegung der Strategie erfolgen.

An sich haben wir mit Job's Äquivalenzrelation alle Zutaten beisammen, dennoch ergibt sich da bei mir nach wie vor kein Kuchen daraus.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 13:49

Hallo zusammen,

ich skizziere mal einen Lösungsansatz, der meines Erachtens aber falsch ist, weil sehr salopp gesprochen das N gegen unendlich divergiert. Salopp deswegen, weil N fest gewählt ist und nirgendwohin divergiert.

Ich will hierbei nutzen, dass jede natürliche Zahl endlich ist, es aber unendlich viele natürliche Zahlen mit solchem endlichen Wert (z.B. Absolutbetrag oder Indexnummer ...) gibt. Man kann ja keine "unendlichste" natürlich Zahl auswählen, ebenso wie man keine natürliche Zahl zwischen dem N und unendlich angeben kann, weil diese einfach dann ein neues "N", sagen wir N1 wäre.

Man wählt sich also ein solches N in IN beliebig aus, d.h. die nachfolgenden Überlegungen gelten für alle N in IN.

Nun wählen wir alle Hutfolgen aus, die sich nur an N stellen unterscheiden - das genügt ja Job's definierter Äquivalenzklassen-Relation.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sortieren wir das so, dass es gerade die ersten N Positionen sind, an denen sich die Hutfolgen unterscheiden.

Natürlich ist es so, dass sich ab N+1 die Hutfolgen nicht mehr unterscheiden, d.h. hier wüssten wir, wie die richtige Hutfarbe lautet, d.h. ab Sünder N+1 würden alle Sünder die richtige Hutfarbe angeben können und nur endlich viele, nämlich N Sünder, müssten raten, d.h. schlimmstenfalls würden diese N Sünder eben falsch raten und würden nicht gerettet werden.

Meines Erachtens ist diese Argumentation aber falsch, auch wenn wir vorausgesetzt haben, dass jeder Sünder die anderen unendlich vielen Sünder mit ihren Hüten "schnell genug" sehen kann und die anzählbare Unendlichkeit der natrlichen Zahlen letztlich darüer definiert ist, dass man sich eben so ein beliebiges N auswählen kann und dieses N endlich ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 10. Mai 2020, 14:04

Meines Erachtens ist diese Argumentation aber falsch, auch wenn wir vorausgesetzt haben, dass jeder Sünder die anderen unendlich vielen Sünder mit ihren Hüten "schnell genug" sehen kann
Ich habe ja schon angemerkt, dass mir die aktuale Unendlichkeit nicht recht schmeckt, die ich in der Aufgabenstellung sehe, aber wenn wir die schon akzeptieren, dann müssen wir das m.E. dann auch konsequent durchhalten.

Meinen Gedankengang mal weiter gesponnen:

Wir wissen also jetzt schon, dass unendlich viele schwarze und unendlich viele weiße Hüte vorliegen, die nicht-zyklisch angeordnet sind, dass nur das problematisch ist.
Wenn die Sünder eine Reihe mit einem Anfang bilden ergibt sich eine Asymmetrie:

JEDER Sünder hat endlich viele Leute links von sich, aber unendlich viele Leute rechts von sich.
Es reicht daher die Existenz eines Algorithmus aus, den ALLE gleich anwenden können und der vor allen Dingen einfach alle Leute rechts von einem selber neu ordnet, sodass sich z.B. xxxx?0I0I0I... ergibt.
Dieses Muster rechts von einem ist nach der Neuordnung dann als tatsächlich gegeben anzusehen!
D.h.: Wenn nun jeder Sünder so rät, dass er ins Muster rechts von sich passt, dann gewinnen nach a) von meinem letzten Beitrag unendlich viele Leute, während maximal endlich viele Leute verlieren.

Die Frage ist also einzugrenzen auf die Frage, ob dieser Algorithmus beweisbar existiert?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 14:26

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 14:04
Meines Erachtens ist diese Argumentation aber falsch, auch wenn wir vorausgesetzt haben, dass jeder Sünder die anderen unendlich vielen Sünder mit ihren Hüten "schnell genug" sehen kann
Ich habe ja schon angemerkt, dass mir die aktuale Unendlichkeit nicht recht schmeckt, die ich in der Aufgabenstellung sehe, aber wenn wir die schon akzeptieren, dann müssen wir das m.E. dann auch konsequent durchhalten.
Hallo seeker,

das ist nicht mein Einwand; mein Einwand ist, dass es unendlich viele solcher N's gibt. Ausserdem möchte ich diese Aufgabe mathematisch und nicht philosphisch lösen, d.h. Überlegungen wie "aktual unendlich" aussen vorlassen.

Zurück zu meinen Einwänden: wäre meine Lösungsskizze zutreffend, so könntest Du ein N1 und ich ein N2 wählen, welche im Allgemeinen nicht gleich wären. Dann würde eine unterschiedliche Anzahl Sünder nicht gerettet, während ich der Meinung bin, dass die Anzahl der nicht-geretteten Sünder nicht von der Auswahl den N abhängig sein sollte - das wäre bestenfalls dann ok, wenn wir das "N" minimieren könnten, damit nur möglichst wenige Sünder nicht in den Genuss kommen, gerettet zu werden, was aber nicht möglich ist: salopp gesprochen "orientiert" sich N nach oben und nicht nach unten. Oder anders formuliert: diese Unendlichkeitsbeweise funktinieren so, dass man ein N findet und die zu beweisende Eigenschaft dann für alle n in IN gilt, die grösser als N sind.

Hier aber "suchen" wir kein N, sondern wir wählen eines aus ... - auch deswegen ist meine Lösungsskizze meines Erachtens falsch.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 15:23

ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:06
zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden, d.h. wir haben hier eine "Ausnahmezahl" vom Wert N
N ist unspezifiert; der Wert wird implizit durch die Auswahlfunktion festgelegt
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 15:35

Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:29
Unabhängig davon geht es ja darum, die Existenz dieser Äquivalenzklasse mit der Eigenschaft, exakt die später benötigte Menge zu bereit zu stellen, zu beweisen. Die Existenz der Äquivalentrelation, die dafür notwendig ist, zu beweisen ist kein Problem. Das Problem ist, die entsprechende Klasse zu bestimmen.
Zunächst ein Hinweis auf die Fragestellung:
tomS hat geschrieben:
6. Mai 2020, 21:51
Gibt es eine [existiert eine] essere Strategie als blindes Raten?
Wieviele Sünder können sich retten?
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:29
Die Existenz der Äquivalenzklasse alleine ist nicht ausreichend. Das Einzige was man am Anfang hat ist eine Äquivalenzrelation, die man möglicherweise daraus ableiten kann. Man muss dann trotzdem die richtige Klasse in der Menge finden, welche durch die Äqivalenzrelation aufgespannt wird.
Die richtig Äquivalenzklasse zu finden ist kein Problem. Die Existenz einer Ratestrategie mittels Auswahlaxiom zu beweisen ist trivial; sie abzuleiten ist das eigentliche Problem, weswegen nur ein Existenzbeweis vorgelegt werden kann.
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:29
Umfasst deine Argumentation nur den Beweis der Äquivalenzklasse, oder auch die Möglichkeit die Klasse zu selektieren?
Letzteres.
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:29
Bisher sehe ich immer noch nur maximal eine Bijektion zwischen den [Äquivalenz]klassen und der Menge aller Hutfolgen.
Das ist gemäß Definition einer Äquivalenzklasse keine Bijektion.
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:29
Aus der Menge muss man dann trotzdem ein Element auswählen, nachdem diese sich nach Betrachten der anderen Hutfarben reduziert hat.
Das leistet das Auswahlaxiom.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 15:45

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:30
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 12:51
seeker, du hast natürlich recht; da jedoch (2) und (3) nur eine Nullmenge darstellen, hilft das recht selten - spannend ist und bleibt (1)
Von einer Nullmenge können wir hier nicht reden, weil wir nicht wissen, wie die Hüte verteilt werden, insbes. können wir hier keinerlei Wahrscheinlichkeiten annehmen.
Der Begriff der Nullmenge setzt ein Maß, jedoch kein Wahrscheinlichkeitsmaß voraus.

Eine Nullmenge N liegt z.B. dann vor ein N eine endliche bzw. abzählbare Menge einer abzählbar unendlichen bzw. überabzählbar unendlichen Menge ist.

(2) und (3) sind als abzählbare Vereinigung abzählbarer Fälle wiederum abzählbar - die Menge aller Folgen dagegen überabzählbar, deswegen bilden (2) und (3) abzählbar viele Ausnahme in der Menge aller Folgen.

Ist aber irrelevant, da die allgemeine Strategie (1 - 3) löst.

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:30
Weiter... ich versuche weiter einzugrenzen:

Im Falle vom Vorliegen von unendlich vielen weißen und schwarzen Hüten und in z.B. in Reihe aufgestellen Leuten gibt es wiederum zwei Möglichkeiten:

a) Die Hüte bilden ein zyklisches Muster, z.B. I0I0I0I0I0I0I0I0I0I.... (es gibt unendlich viele dieser Muster)
b) Die Hüte bilden kein zyklisches Muster

...

Weiterer Gedankengang:
Nachdem die Hüte verteilt wurden, darf jeder Sünder noch denken, also einen Algorithmus ausführen, der die Hüte in der Reihe gedanklich neu ordnet. Falls ein gemeinsamer Algorithmus existiert, der bei allen Sündern das Nicht-Muster b) durch Neuordnung in ein gemeinsames Muster a) überführt, wäre das Problem auch hier dann trivial lösbar.
(a) ist abzählbar, also eine Ausnahme bzw. Nullmenge - s.o.

(b) kann nicht durch Algorithmen auf (a) zurückgeführt werden - genauer: wieder nur für abzählbar viele Fälle; es bleibt bei der Überabzälbarkeit des Falles (b).
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 15:57

ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:49
Nun wählen wir alle Hutfolgen aus, die sich nur an N stellen unterscheiden - das genügt ja Job's definierter Äquivalenzklassen-Relation.
Nein, das funktioniert aus o.g. Gründen nicht.

Wären z.B. N = 2, so wäre (0000) ~ (0001) ~ (0011) ~ (0111) ~ (1111) was für je zwei benachbarte Folgen zutrifft, jedoch nicht - wie gemäß Transititivität gefordert - für (0000) ~ (1111) mit N = 4.

D.h. die Definition, zwei Folgen f, g seine äquivalent f ~ g, wenn sie sich in (höchstes) N Folgegliedern unterscheiden, führt auf einen Widerspruch.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 16:53

Job hat geschrieben:
10. Mai 2020, 07:55
Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.
ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:49
Nun wählen wir alle Hutfolgen aus, die sich nur an N stellen unterscheiden
Hallo zusammen,

stimmt, das ist ein Unterschied, und den Widerspruch hattest Du ja schon hier genannt.

Und das ist nun auch genau die Stelle, an der die endlich vielen, die nicht gerettet werden, in den Beweis hineinkommen. Endlich habe ich diesen Punkt, an der diese "endlich vielen" in den Beweis einfliessen, verstanden !


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 17:01

Soll ich “lösen”, und ihr zerreißt die “Lösung” in der Luft?
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 17:10

Hallo zusammen,

dann wollen wir doch noch einnal durchgehen:
tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 22:13
Ich fasse die Tipps nochmal zusammen:

Zunächst definieren die Sünder die Menge aller Äquivalenzklassen von Hutfolgen bzgl. einer Äquivalenzrelation ~; beim Raten ermitteln sie aufgrund ihrer Beobachtung der tatsächlichen Hutfolge diese eine Äquivalenzklasse. Auf diese Äquivalenzklasse wenden die dann eine Auswahlfunktion an.

Es gibt eine Äquivalenzklasse von Hutfolgen, wobei jede darin enthaltene Hutfolge die Hutfarben der Sünder mit höchstens endlich vielen Ausnahmen richtig zuordnet. Jeder Sünder sieht außerdem eine der Hutfolgen aus dieser Äquivalenzklasse, wenn er die Hüte der anderen Sünder betrachtet. Damit kann er diese eine zutreffende Äquivalenzklasse von Hutfolgen von allen anderen, nicht zutreffenden Äquivalenzklassen unterscheiden.

Der Trick besteht darin, die Äquivalenzrelation ~ so geschickt zu definieren, dass dies immer funktioniert, egal welche Hutfolge real gegeben ist, und ohne dass eine spezielle Auswahlfunktion benötigt wird. Letztere muss lediglich gemäß ZFC existieren; wenn sie existiert, leistet die automatisch das Gewünschte, weil ~ geeignet definiert wurde.

Zur Definition der Äquivalenzrelation: zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent f ~ g, wenn XXX.

XXX ist noch offen, den Rest habe ich in den Tipps beschrieben.
Wir haben gesehen, dass XXX = "sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden".

Also:
tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 22:13
Zunächst definieren die Sünder die Menge aller Äquivalenzklassen von Hutfolgen bzgl. einer Äquivalenzrelation ~;
Job hat geschrieben:
10. Mai 2020, 07:55
Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.
tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 22:13
Es gibt eine Äquivalenzklasse von Hutfolgen, wobei jede darin enthaltene Hutfolge die Hutfarben der Sünder mit höchstens endlich vielen Ausnahmen richtig zuordnet.
Die von Job definierte Äquivalenzrelation erfüllt diese Bedingung.
tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 22:13
Jeder Sünder sieht außerdem eine der Hutfolgen aus dieser Äquivalenzklasse, wenn er die Hüte der anderen Sünder betrachtet. Damit kann er diese eine zutreffende Äquivalenzklasse von Hutfolgen von allen anderen, nicht zutreffenden Äquivalenzklassen unterscheiden.
Somit weiss jeder Sünder, welche Äquivalenzklasse er im Folgenden nutzen muss.
tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 22:13
Auf diese Äquivalenzklasse wenden die dann eine Auswahlfunktion an.
Dieser Punkt ist also noch offen.


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 17:21

ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 17:10
tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 22:13
Auf diese Äquivalenzklasse wenden die dann eine Auswahlfunktion an.
Dieser Punkt ist also noch offen.
Hallo zusammen,

ich fange wieder einmal heuristisch an:

In der Äquivalenzklasse sind ja alle bis auf endlich viele Hutfarben korrekt zugewiesen, d.h. alle bis auf endlich viele Sünder können ihre Hutfarbe im "Katalog" der Äquivalenzklasse nachschauen. Und dass es eine solche Auswahlfunktion gibt sichert uns das Auswahlaxiom zu.

Damit sollten wir wenigstens formal durch sein, auch wenn ich mir das ganze noch nicht vollständig verinnerlicht habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 17:32

tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 15:23
ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:06
zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden, d.h. wir haben hier eine "Ausnahmezahl" vom Wert N
N ist unspezifiert; der Wert wird implizit durch die Auswahlfunktion festgelegt
Hallo Tom,

aus diesem HInweis schliesse ich, dass meine "Zusammenfassung" noch mindestens einen offenen Punkt hat, denn da wird (noch) kein Wert durch die Auswahlfunktion festgelegt.

Oder auch nicht, in der Wikipedia steht:
Implizites Wissen oder stilles Wissen (vom englischen tacit knowledge) bedeutet – vereinfacht ausgedrückt – „können, ohne sagen zu können, wie“. Jemand „weiß, wie es geht“, aber sein Wissen steckt implizit in seinem Können, ihm fehlen die Worte, um dieses Können zu beschreiben oder es anderen verbal zu vermitteln.

Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Job » 10. Mai 2020, 17:42

tomS hat geschrieben:
9. Mai 2020, 17:49
Nochmal eine Zusammenfassung:

1a) Zunächst definieren die Sünder die Menge aller Äquivalenzklassen von Hutfolgen bzgl. einer Äquivalenzrelation: zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent f ~ g, wenn XXX.
1b) Nun einigen sich die Sünder auf eine Auswahlfunktion, die aus jeder Äquivalenzklasse eindeutig eine Hutfolge liefert.

2a) Nun sind jedem Sünder alle Hüte bis auf den jeweils eigenen bekannt. Mit diesem Wissen kann jeder Sünder eindeutig die eine Äquivalenzklasse ermitteln, in der die tatsächlich realisierte Folge enthalten ist.
2b) Nun liefert = rät die Auswahlfunktion, auf die man sich in (1b) geeinigt hat, eine Folge aus der in (2a) ermittelten Äquivalenzklasse; diese Folge stimmt für alle bis auf höchstens endlich viele Hüte mit der tatsächlich realisierten Folge übereinstimmt (im Falle einer anderen Folge und demzufolge einer anderen Äquivalenzklasse würde das ebenfalls funktionieren; die Auswahlfunktion ist generisch, über sie ist nichts bekannt, außer dass sie existiert)
Tom hat doch die Lösung hier und an anderer Stelle schon beschrieben. Alles, was er hier schreibt, kann man mathematisch ohne Probleme so machen. Man kann es halt nicht in die Praxis umsetzen. Aber das hat er ja auch nicht behauptet.
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 13:29

Job hat geschrieben: Die Lösung, die Tom hier skizziert ist eine reine Existenzbehauptung.
Die Existenz der Äquivalenzklasse (selbst wenn bereits bewiesen) alleine ist nicht ausreichend. Das Einzige was man am Anfang hat ist eine Äquivalenzrelation, die man möglicherweise daraus ableiten kann. Man muss dann trotzdem die richtige Klasse in der Menge finden, welche durch die Äqivalenzrelation aufgespannt wird. Die richtige Klasse am anfang auszuwählen ist genauso unwahrscheinlich, wie später alle bis auf endlich viele durch alleiniges Raten zu retten.

Umfasst deine Argumentation nur den Beweis der Äquivalenzklasse, oder auch die Möglichkeit die Klasse zu selektieren?
Die Existenzbehauptung bezieht sich auf die Existenz der Auswahlfunktion, die (gleichzeitig) jeder Äquivalenzklasse genau einen Vertreter in Form einer eindeutigen Hutfolge zuordnet. Nur wenn so eine Auswahlfunktion existiert, können die Sünder alle genau dieselbe Hutfolge als Grundlage ihrer Entscheidung nutzen, was auf ihrem Kopf ist. Nur dann raten sie gemeinsam bis auf endlich viele richtig.

Die Möglichkeit, die Äquivalenzklasse praktisch zu finden ist mathematisch irrelevant. Aber ich teile Dein Unbehagen in diesem Punkt und auch an einem anderen durchaus. Vielleicht können wir später nochmal daruf zurückkommen.

Viele Grüße
Job
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 18:05

Job hat geschrieben:
10. Mai 2020, 17:42
die (gleichzeitig) jeder Äquivalenzklasse genau einen Vertreter in Form einer eindeutigen Hutfolge zuordnet. Nur wenn so eine Auswahlfunktion existiert, können die Sünder alle genau dieselbe Hutfolge als Grundlage ihrer Entscheidung nutzen, was auf ihrem Kopf ist. Nur dann raten sie gemeinsam bis auf endlich viele richtig.
Hallo Job,

etwas anderes "gefällt mir an dieser Stelle nicht: von diesen "endlich vielen" gibt es nach wie vor "unendlich viele", da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die einen endlichen Absolutbetrag oder eine endliche Indexzahl aufweisen.

Oder wieder einmal salopp formuliert: sei ein N gefunden, für das die Aufgabe gelöst wird. Dann kann man sie auch für n = N+1 lösen, und entsprechend auch für alle n in IN mit n > N lösen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 10. Mai 2020, 18:28

Okay, ich starte noch einen Versuch:
Die Sünder betrachten vor der Hutvergabe die Menge aller möglichen Hutkombinationen.
Für jede dieser Hutfolgen existiert eine Auswahlfunktion. Die verdammten müssen später exakt so raten, wie es ihnen die Hutfolge für welche sie sich vorher entschieden haben vorgibt.
Falls sie sich vor der Hutvergabe für die richtige Hutfolge Auswahlfunktion entscheiden, dann wird jeder Sünder seine Hutfarbe richtig erraten.
Natürlich können und sollen die Sünder ihre Hutfarbe auch nennen, wenn die von ihnen tatsächlich beobachtete Folge sich in eine endlichen Anzahl Hüten unterscheidet -> nur endlich viele Sünder liegen dann falsch.

Auch hatte ich mir überlegt, ob man irgendwie eine Inversion hinkriegen könnte zwischen 'die ersten n unterscheiden sich' zu 'alle außer den ersten n unterscheiden sich'. Trotzdem wüsste ich nicht, wie man damit was machen sollte. War mehr als möglicher Beistein gedacht.
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 17:01
Soll ich “lösen”, und ihr zerreißt die “Lösung” in der Luft?
Kann ich nicht beurteilen. Ich bin, wie du sicher gemerkt hast, etwas voreingenommen :)
Naja, Fehler suchen hat mir eigentlich schon immer Spaß gemacht. Ich enthalte mich und lass die anderen entscheiden. Irgendwie erinnert mich das Rätsel an Quantenverschränkung, wo man erst an der Hand des Ergebnisses darauf schließen soll, ob am Anfang des Experimentes gefiltert der Weg der Photonen geprüft wurde oder nicht. Vorverlegung des Zufalls...
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 19:21

Job hat’s durchschaut, Ralf zusammengesetzt, skeltek bleibt skeptisch ...

Ich poste jetzt mal mein Lösung, dann könnt ihr die kritisieren.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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