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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 16. Mai 2020, 09:15

Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 16. Mai 2020, 12:38

Ja, das sind zwei Links. Was stört dich denn nun genau?
Daß in einem vollständigen Raum jede Cauchy-Folge konvergiert, bedeutet nicht, daß in einem unvollständigen Raum keine konvergiert.
in deinen Links steht doch auch, daß eine Cauchy-Folge in Q gegen einen Wert in R\Q konvergieren kann.
Folge kann in Q konvergieren gegen einen Wert in R, Q ist in R eingebettet.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 16. Mai 2020, 13:36

Mich stört nichts, ich fand nur ein paar deiner Ausführungen verwirrend, glaubte jedoch zu wissen, was gemeint war.

Außerdem denke ich, dass der Begriff der Konvergenz sehr speziell und weit fortgeschritten ist und für das hier diskutierte Problem nicht benötigt wird.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 16. Mai 2020, 15:07

Okay dann. Es ist bei Erklärungen denke ich immer schwierig abzuschätzen, welche Muster andere gut kennen und wiedererkennen können. Gerade, wenn man mit Analogien erklärt, wissen Zuhörer manchmal nicht, welche Einzelheiten des einen Models welchen Einzelheiten im anderen Model entsprechen.

Ich hatte versucht es auf den Kern zurückzuführen, weshalb es in einem Fall nicht möglich ist das Problem zu lösen und im anderen Fall geht.
Ein Vergleich zweier unendlicher Ziffernfolgen ist immer prozedural und bricht nie ab, da es keine endliche Darstellung in dem System gibt.
Die Sünder können halt nur eine Ziffer nach der anderen lesen und grasen so in der Praxis alle existenten endlichen Ziffernfolgen ab bzw können sich nur Schrittweise endlich weit vorwärts bewegen.

@ralfkannenberg:
Nur als Randbemerkung: In der Skizze die ich im anderen Thread gepostet habe entspricht das Determinieren der Äquivalenzklasse dem Erreichen der lila Linie, die rechts vom Tree die 'Astspitzen' ausmacht. Ich weiß nicht ob Tom zustimmen würde oder eher denkt, daß der Vergleich hakt.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2020, 22:46

ralfkannenberg hat geschrieben:
14. Mai 2020, 15:56
Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2020, 15:14
ralfkannenberg hat geschrieben:
14. Mai 2020, 14:36

ich möchte nutzen, dass sich die Nullfolge bis zu jeder endlichen Indexzahl von jeder beliebigen Folge nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheidet.
Hi Ralf, der Vergleich ist nicht ganz korrekt, aber um es auf dein Beispiel übertragen auszudrücken:
Der Unterschied ist erst erkennbar, wenn deine Folge 0 tatsächlich erreicht. Das ist auf der ganzen Länge der Folge nicht der Fall, weil du immer einen infinitesimalen Abstand zur 0 hast. Erst bei der Kompletten Folge, einschließlich dem Erreichen der Null, gelangst du zur Festlegung der Klassenzugehörigkeit.
entschuldige meine ungenaue Ausdrucksweise: in unserem Kontext meine ich mit "Nullfolge" (0,0,0,0,0...).
Hallo zusammen,

leider ist diese Idee falsch:

Sei der Repräsentant diese "Nullfolge", d.h. ihre ersten höchstens endlich vielen Glieder seien 0, und danach, also gewissermassen der "unendlich grosse Rest der Folge" sei gleich der richtigen Hutfolge.

Das muss aber für alle n in IN gelten und damit haben wir die echte Nullfolge, in der alle Glieder gleich 0 sind, und da wir o.E.d.A. davon ausgehen dürfen, dass es nicht nur endlich viele "1"-sen in dieser Folgen gibt (1-sen hat ein "s" zuviel, aber "1"-en sieht komisch aus), liegt dieser Repräsentant nicht in der Äquivalenzklasse, in der sich nur höchstens endlich viele Abweichungen zur originalen Hutfolge ergeben.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 17. Mai 2020, 00:25

Man weiß halt während dem angucken nicht, ob da nicht vielleicht doch nochmal irgendwann eine 1, mehr 1en oder unendlich viele 1en kommen (ja, mit dem Problem hab ich mich auch öfter gefriemelt, ohne s sicht es komisch aus ^^).
Ja, während keinem Punkt der sequentiellen Auslesens kann man davon ausgehen, daß da nur noch Nullen kommen. Das kann man erst feststellen, nachdem man die unendliche Folge vollständig ausgelesen hat.
Daß der Repräsentant nicht in der Äquivalenzklasse liegt, würde ich nicht zwangsläufg behaupten. Man kann ja auch mit allen Äquivalenzklassen gleichzeitig vergleichen. Selbst wenn man 'zufällig' den Repräsentant der richtigen Äquivalenzklasse mit der hutfolge vergleicht, kann man an keinem Punkt des Vergleiches davon ausgehen, daß der noch unverglichene Rest nur endlich viele 1en hat. Da gebe ich dir völlig recht, ist ja auch meine Meinung...
Das ist auch der Grund, wieso die Aufspaltung der Ziffernfolge in einen ersten Teil und zweiten Teil nichts nützt. Vergleichen kann man in der Praxis ohnehin nur den 'vorderen Teil' mit einem prozeduralen Vorgehen, der sagt jedoch nichts über die Klassenzugehörigkeit aus.

Ich gehe mal davon aus, daß wir (jedenfalls ralfkannenberg, seeker, tomS und ich) jetzt auf einem zumindest ähnlichen Stand sind, was die Lösung angeht.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Mai 2020, 00:30

Skeltek hat geschrieben:
17. Mai 2020, 00:25
Ich gehe mal davon aus, daß wir (jedenfalls ralfkannenberg, seeker, tomS und ich) jetzt auf einem zumindest ähnlichen Stand sind, was die Lösung angeht.
Hallo Skel,

ich habe leider noch Lücken. Das hängt damit zusammen, dass ich - beruflich bedingt - Mittwoch und Donnerstag bis nach Mitternacht gearbeitet habe und gestern nach Deutschland zu meiner Mutter gefahren bin und erst vorhin wieder nach Hause gekommen bin.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Mai 2020, 11:27

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2020, 22:25
Anderes Thema, aber passt hier gut hin:
Effektiv sind die ersten endlich vielen Ziffern jeder Folge beliebig; jede endliche Folge an Ziffern kommt in jeder Äquivalenzklasse vor. Die verschiedenen Äquivalenzklassen unterscheiden sich in keiner einzigen Ziffernfolge existenter Ziffern. Der gesamte endliche Bereich aller Äquivalenzklassen ist identisch. Das sieht man an der Xor Ordnung, die bei jeder Klasse jeder Hiffernfolge im endlichen Bereich durch geht.
Die Signatur der Klassen, an Hand derer man diese unterscheiden könnte, kommt erst zu Stande, wenn 'Unendlich' mit berücksichtigt wird. Es existiert kein einziges Bit, welches eine Unterscheidung der Äquivalenzklassen nach der Bit-Signatur ermöglicht.
Hallo zusammen,

ich bin nun am abarbeiten der Beiträge der vergangenen Tage. Hier spricht Skel ein grosses Problem an, wobei sich dieses auch ohne XOR-Operator und ohne Bit-Signatur ergibt.

Konkret ergibt sich das Problem (wieder einmal) daraus, dass zwar jede natürliche Zahl endlich ist, aber es unendlich viele von denen gibt, so dass man insbesondere auch keine grösste solche angeben kann, ab der gewisse Eigenschaften gelten, beispielsweise die Gleicheit aller nachfolgenden Folgenglieder.

Denn sei N diese Zahl, so betrachtet man einfach eine Hutfolge, die nur an den ersten N+1 Gliedern von der tatsächlichen abweicht; diese gehört ebenfalls zur Äquivalenzklasse, weil N+1 ebenfalls eine "höchstens endliche" Zahl ist, doch ist N+1 nunmal echt grösser als N.


Ich komme immer mehr zum Ergebnis, dass die Bildung einer solchen Äquivalenzklasse gar nicht widerspruchsfrei möglich ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Mai 2020, 11:35

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2020, 00:08
Man benötigt das Komplement aller endlicher Ziffernstellen. An diesem Komplement kann man erst die Klassenzugehörigkeit bestimmen.
Hallo zusammen,

das ist es: das von Skel genannte Komplement ist wegen der Überabzählbarkeit der Hutfolgen nicht leer, da es ist sogar überabzählbar gross. Ich sehe eine Chance, hier anzusetzen, dass es eben doch geht.

Betrachten wir nun die vorgenannte Nullfolge, die in den ersten höchstens n Stellen eine "0" hat. Von denen gibt es abzählbar unendlich viele, d.h. ihr Komplement ist ebenfalls keineswegs leer, sondern überabzählbar gross.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 17. Mai 2020, 12:37

Skeltek hat geschrieben:
17. Mai 2020, 00:25
Man weiß halt während dem angucken nicht, ob da nicht vielleicht doch nochmal irgendwann eine 1, mehr 1en oder unendlich viele 1en kommen
So ist das. Und darin liegt dann wie gesagt der Widerspruch des Rätsels, denn:

Eine solche Menge/Unendlichkeit (komplett) zu kennen, bedeutet sie zu bestimmen.
Eine Bestimmung muss hier aber prinzipiell unmöglich sein, da es der Existenz der Unendlichkeit widersprechen würde, da es in ihrer Natur liegt unbestimmt zu sein - und damit eben auch unbestimmbar:
Etwas, das (in der fraglichen Struktur) unbestimmt IST, kann folgerichtig nicht zugleich bestimmbar SEIN.
Umgekehrt: Was nicht da ist, kann man auch nicht bestimmen.
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2020, 11:21

seeker hat geschrieben:
17. Mai 2020, 12:37
Eine solche Menge/Unendlichkeit (komplett) zu kennen, bedeutet sie zu bestimmen.
Eine Bestimmung muss hier aber prinzipiell unmöglich sein, da es der Existenz der Unendlichkeit widersprechen würde, da es in ihrer Natur liegt unbestimmt zu sein - und damit eben auch unbestimmbar:
Etwas, das (in der fraglichen Struktur) unbestimmt IST, kann folgerichtig nicht zugleich bestimmbar SEIN.
Umgekehrt: Was nicht da ist, kann man auch nicht bestimmen.
Hallo zusammen,

ich denke, wir haben hier ein anderes Problem, und das ist in dem "höchstens endlich viele Abweichungen" verpackt. Das gilt nämlich für alle n in IN und das sind nicht mehr endlich viele. Man kann da kein konkretes nmax benennen, weil die Abweichung beispielsweise auch an der nmax+1.-ten Stelle auftreten könnte.

Doch mit einem fixen n haben wir keine Äquivalenzklassen mehr, denn wenn der erste und zweite Repräsentant an n Stellen abweichen und der zweite und dritte Repräsentant ebenfalls an n Stellen abweichen, dann wird der erste und der dritte Repräsentant im Allgemeinen an 2n Stellen abweichen, was der Tranistivitätsbedingung der Äquivlenzklassen widerspricht.

Und doch haben wir gesehen, dass das n "nach rechts schieben" gar nichts bringt, denn Skel's Idee mit der Komplement-Bildung zeigt nunmal, dass das Komplement keineswegs "klein" wird, sondern überabzählbar unendlich viele Möglichkeiten "jenseits der n" belässt.

Ich bin an dieser Stelle nach wie vor ratlos.

Mein Vorschlag, als Auswahlfunktion die Nullfolge zu wählen, die an diesen "höchstens n Stellen" eine Null hat, hat dasselbe Problem - auch da kann man das n nicht "fixieren" und auch da verbleiben im Komplement überabzählbar unendlich viele Möglichkeiten "jenseits der n".

Natürlich gibt es kein "jenseits der n", man kann aber diese Wortwahl ersatzlos streichen, da der Begriff des Komplementes das schon alles abdeckt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 19. Mai 2020, 15:08

Hey,

das freut mich, daß es so verständlich ankam, wie ich es erhofft hatte. Wie ich in deinem Text lese, hast du es auch nicht mehr weit, Cantors Diagonalzahl auch mit einem völlig neuen Satz zusätzlicher Augen zu sehen.

Ich hoffe es ist nun verständlicher:
Bei Cantos Diagonalzahl, spielt bei der Liste nichts eine Rolle, was rechts neben der Diagonalen steht. Die Diagonalzahl prüft immer einen endlichen Bereich der bereits aufgezählten Zahlen und generiert einen Unterschied zu sich selbst.
Daher unterscheidet sich die Diagonalzahl zu allen vorherigen/anderen Zahlen in mindestens einer Ziffer. Wenn die ersten n-1 Ziffern der n-ten Zahl zufällig exakt mit den ersten n-1 Ziffern der Diagonalzahl übereinstimmen, generiert die Diagonalzahl den Unterschied einfach bei n. So schiebt sich auch dort die Differenz 'in die Unendlichkeit'. Das ist fast analog zu dem 'auf Differenz prüfen' bei der Lösung des Rätsels.
Egal ob sich der n-te Listeneintrag für 0 oder 1 entscheidet, geht die Diagonalzahl immer den anderen Weg in die noch nicht aufgezählte Lücke des Binärbaumes. Der zugesicherte Unterschied wandert also stetig weiter 'nach rechts unten'.

Daher ist das ganze eigentlich auch überhaupt kein Problem für das Rätsel hier. Es entspricht so ziemlich genau der Definition der Unvollständigkeit bei Cantor. Die Unterscheidung findet nicht im endlichen Bereich statt (bzw nicht im abzählbaren Bereich, weil keine Zahl mit einer endlichen Zeilennummer identisch zur Diagonalzahl sein kann).
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2020, 15:29

Skeltek hat geschrieben:
19. Mai 2020, 15:08
Die Unterscheidung findet nicht im endlichen Bereich statt
Hallo Skel,

so einfach geht es aber nicht, denn jede Ziffer der Folgen gehört dem endlichen Bereich an !

Ich denke, das Problem sitzt genau an der Stelle, dass man eine Äquivalenzklasse definiert, die eine Aussage über die Abweichungen macht, und zwar an höchstens endlich vielen Stellen. Und da das für alle n in IN gilt sind das eben leider am Ende doch unendlich viele. Man kann das aber nur so definieren, weil sonst die Transitivität verletzt ist und keine Äquivalenzklassen mehr vorliegen.

Also nochmals:
1. es gibt pro Person genau einen Ausnahmehut, nämlich denjenigen, den er selber aufhat und nicht sehen kann
2. in der Äquivalenzklassen-Definition ist von höchstens endlich vielen Abweichungen die Rede

Diese beiden Feststellungen sind m.E. der Schlüssel zur Lösung unseres Verständnisproblems.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 19. Mai 2020, 15:53

Ja, wir können es gerne erstmal von der Seite betrachten. Hier soweit ich nichts versehen habe die einzelnen Punkte:
1. Die Unterschiede der einzelnen Elemente liegen im Endlichen
2. Der Grenzübergang von einer zur nächsten Klasse liegt (per Äquivalenzklassendefinition) im Unendlichen (bzw in der Summe aller Differenzen)
3. Wir wollen den Unterschied zweier Elemente ermitteln
4. Man wird damit nie fertig und man kann sie erst unterscheiden, wenn man damit fertig ist.
5. Eine typische Unentscheidbarkeit liegt vor
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 20. Mai 2020, 08:11

Das hatten wir doch schon mal, oder?

Die Definition der Äquivalenzrelation x ~ y lautet "zwei Folgen x,y sind äquivalent, d.h. x ~ y, wenn sich x und y in höchstens endlich vielen Elementen unterscheiden"

Dabei ist "endlich" nicht fest, d.h. es kann jede beliebige natürliche Zahl sein. Damit ist sind drei Folgen x,y,z äquivalent, d.h. x ~ y und y ~ z, wenn sich x und y in N Elementen sowie y und z in N+1 Elementen unterscheiden. Das gilt für beliebige, endliche N.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Job » 20. Mai 2020, 08:45

Skeltek hat geschrieben:
19. Mai 2020, 15:53
Ja, wir können es gerne erstmal von der Seite betrachten. Hier soweit ich nichts versehen habe die einzelnen Punkte:
1. Die Unterschiede der einzelnen Elemente liegen im Endlichen
2. Der Grenzübergang von einer zur nächsten Klasse liegt (per Äquivalenzklassendefinition) im Unendlichen (bzw in der Summe aller Differenzen)
3. Wir wollen den Unterschied zweier Elemente ermitteln
4. Man wird damit nie fertig und man kann sie erst unterscheiden, wenn man damit fertig ist.
5. Eine typische Unentscheidbarkeit liegt vor
Hallo Skeltek,

das Problem liegt in 3.

Der Unterschied zweier Elemente ist mathematisch gesehen wohldefiniert. Um diesen Unterschied „festzustellen“ musst Du im Prinzip „gleichzeitig“ unendlich viele Stellen vergleichen. Dass dies mathematisch geht, ist u.a. durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt.

Was ihr hier versucht ist, ein Verfahren zu finden, dass den Unterschied nicht gleichzeitig, sondern in beliebig vielen endlichen Schritten zu ermitteln. Das geht aber nicht, wie Du ja auch in 4. und 5. selber feststellst. Daher hat Tom ja auch immer wieder geschrieben, dass die Lösung abstrakt ist und in der Praxis von uns nicht durchführbar.

Ich bin kein Philosoph, aber ich würde sagen, dass Du versuchst, ein transzendentes Problem mit immanenten Methoden zu lösen.

Viele Grüße
Job
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
J.W. von Goethe

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 20. Mai 2020, 09:41

Hi Tom,
tomS hat geschrieben:
20. Mai 2020, 08:11
Das hatten wir doch schon mal, oder?
Ja, hast recht. Ist alter Hut.
Job hat geschrieben:
20. Mai 2020, 08:45
Skeltek hat geschrieben:
19. Mai 2020, 15:53
Ja, wir können es gerne erstmal von der Seite betrachten. Hier soweit ich nichts versehen habe die einzelnen Punkte:
1. Die Unterschiede der einzelnen Elemente liegen im Endlichen
2. Der Grenzübergang von einer zur nächsten Klasse liegt (per Äquivalenzklassendefinition) im Unendlichen (bzw in der Summe aller Differenzen)
3. Wir wollen den Unterschied zweier Elemente ermitteln
4. Man wird damit nie fertig und man kann sie erst unterscheiden, wenn man damit fertig ist.
5. Eine typische Unentscheidbarkeit liegt vor
das Problem liegt in 3.

Der Unterschied zweier Elemente ist mathematisch gesehen wohldefiniert. Um diesen Unterschied „festzustellen“ musst Du im Prinzip „gleichzeitig“ unendlich viele Stellen vergleichen. Dass dies mathematisch geht, ist u.a. durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt.

Was ihr hier versucht ist, ein Verfahren zu finden, dass den Unterschied nicht gleichzeitig, sondern in beliebig vielen endlichen Schritten zu ermitteln. Das geht aber nicht, wie Du ja auch in 4. und 5. selber feststellst. Daher hat Tom ja auch immer wieder geschrieben, dass die Lösung abstrakt ist und in der Praxis von uns nicht durchführbar.

Ich bin kein Philosoph, aber ich würde sagen, dass Du versuchst, ein transzendentes Problem mit immanenten Methoden zu lösen.
Hi Job,
ich habe versucht es nochmal für Ralf zusammenzufassen. Ja, Tom hat es mehrmals wiederholt. Mir war aber auch wichtig klarzustellen, daß man nicht nur für den Lösungsansatz mit dem Aufstellen und Definieren der Äquivalenzklassen das AC braucht, sondern (selbst wenn man sich alle Repräsentanten merken könnte) auch beim späteren Vergleich ein derartiger Kunstgriff nötig ist. Das geht wie du auch festgestellt hast natürlich nicht prozedural, sondern nur durch 'gleichzeitiges' Vergleichen aller Stellen.
Ein Lösungsversuch ist das nicht, eher ein Ausleuchten/Zeigen aus verschiedenen Perspektiven, wieso es nicht prozedural lösbar ist und wo der Haken dabei genau liegt.
Gruß, Skel
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 20. Mai 2020, 12:25

Ich skizziere mal die Lösung und ergänze dann auch noch das PDF.

Zwei Folgen f,g seien äquivalent, wenn sie sich nur in endlich vielen Folgengliedern unterscheiden; die Anzahl dieser Folgenglieder bleibt unspezifiziert, d.h. beliebig jedoch endlich viele.

Man definiere beliebige Funktionen φ(n) sowie Mengen

F[φ,n] = {f(n) : f(n) = φ(n) wenn n > N}

D.h. alle f aus einem F[φ,N] stimmen in allen n > N überein und sind demzufolge äquivalent. Sie unterscheiden sich höchstens in den ersten N Folgengliedern. Ein spezielles Beispiel war die o.g. Folge φ(n) = 0 ab einem bestimmten N.

Diese Mengen F[φ,N] sind keine Äquivalenzklassen, da wegen Transitivität von ~ ein f aus F[φ,N] und ein g F[φ,N+1] äquivalent sein müssen (bei gleichem φ).

Die Äquivalenzklassen selbst sind die [φ]. Und von diesen φ sowie [φ] gibt es überabzählbar viele. Eine Äquivalenzklasse [φ] ist letztlich die Vereinigungsmenge über alle F[φ,N] d.h. über alle endlichen N = 1,2,3,... für ein φ.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Mai 2020, 13:11

Skeltek hat geschrieben:
20. Mai 2020, 09:41
ich habe versucht es nochmal für Ralf zusammenzufassen.
Hallo Skel,

das hilft mir aber auch nicht weiter.

Der "Knackpunkt" ist der hier:
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
Konsequenz:

1) alle Sünder - oder zumindest fast alle - müssen sich auf ein und die selbe Auswahlfunktion über alle [f] einigen.
2) da das Auswahlaxiom nur sicherstellt, dass mindestens eine Auswahlfunktion existiert, stellt es gerade nicht sicher, dass sie eindeutig ist.
Wie einigen sich die Sünder auf diese Auswahlfunktion ? Dass sie existiert ist das eine, aber wie kann man sich dann auf eine konkrete davon einigen ? Ich hatte ein bisschen gehofft, dass einem hier der Wohlordnungssatz zu Hilfe kommen könnte, d.h. man kann diese Auswahlfunktionen wohlordnen und dann gibt es eine "minimale", d.h. eine Auswahlfunktion, die ausgezeichnet ist. Auf diese könnte man sich einigen, nur hilft das nichts, wenn die Sünder nicht wisssen, wie dieses minimale Element konkret aussieht.

Deswegen meine Idee mit dieser "Nullfolge", die an den ersten höchstens endlich vielen Stellen eine "0" hat, was zu der paradoxen Situation führt, dass das für alle n gilt, die Nullfolge somit eine echte Nullfolge ist, aber andererseits ihr Komplement jenseits der ersten höchstens endlich vielen Stellen überabzählbar viele Varianten belässt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 20. Mai 2020, 14:39

Die Herangehensweise über eine konstruktive Vorschrift kann nicht funktionieren, da wir ja wissen, dass der Beweis nicht-konstruktiv ist.

Und das “Einigen auf”, “Sortieren gemäß Wohlordnung” und “Anwenden” kann deswegen ebenfalls nicht praktisch funktionieren.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 20. Mai 2020, 16:48

ralfkannenberg hat geschrieben:
20. Mai 2020, 13:11
tomS hat geschrieben:
12. Mai 2020, 22:49
1) alle Sünder - oder zumindest fast alle - müssen sich auf ein und die selbe Auswahlfunktion über alle [f] einigen.
2) da das Auswahlaxiom nur sicherstellt, dass mindestens eine Auswahlfunktion existiert, stellt es gerade nicht sicher, dass sie eindeutig ist.
Wie einigen sich die Sünder auf diese Auswahlfunktion ? Dass sie existiert ist das eine, aber wie kann man sich dann auf eine konkrete davon einigen ? Ich hatte ein bisschen gehofft, dass einem hier der Wohlordnungssatz zu Hilfe kommen könnte, d.h. man kann diese Auswahlfunktionen wohlordnen und dann gibt es eine "minimale", d.h. eine Auswahlfunktion, die ausgezeichnet ist. Auf diese könnte man sich einigen, nur hilft das nichts, wenn die Sünder nicht wisssen, wie dieses minimale Element konkret aussieht.

Deswegen meine Idee mit dieser "Nullfolge", die an den ersten höchstens endlich vielen Stellen eine "0" hat, was zu der paradoxen Situation führt, dass das für alle n gilt, die Nullfolge somit eine echte Nullfolge ist, aber andererseits ihr Komplement jenseits der ersten höchstens endlich vielen Stellen überabzählbar viele Varianten belässt.
Hi,
um zu zeigen, daß das nicht geht ist auch einer der Gründe, wieso ich versucht habe die Ziffernfolge als zweigeteilte Signatur darzustellen. Das Einzige, was sich bei den Folgen derselben Äquivalenzklasse ändert ist der vordere abzählbare Teil mit n<N.

Aber du hast es ja auch verstanden. Es ist als hätte man eine unendlich abzählbare Folge nicht markierter natürlicher Zahlen und müsste eines aus der Kette nehmen um es (willkürlich) als '0' deklarieren. In keiner Äquivalenzklasse gibt es ein ausgezeichnetes Element oder irgendeine Orientierung, die einem bei der Auswahl einer Wohlordnung hilft.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 20. Mai 2020, 17:20

Skeltek hat geschrieben:
20. Mai 2020, 16:48
um zu zeigen, daß das nicht geht ist auch einer der Gründe, wieso ich versucht habe die Ziffernfolge als zweigeteilte Signatur darzustellen. Das Einzige, was sich bei den Folgen derselben Äquivalenzklasse ändert ist der vordere abzählbare Teil mit n<N.
Ich stimme fast zu: Das Einzige, was sich bei den Folgen derselben Äquivalenzklasse ändert ist der abzählbare Teil ∀ n < N < ∞
Skeltek hat geschrieben:
20. Mai 2020, 16:48
In keiner Äquivalenzklasse gibt es ... irgendeine Orientierung, die einem bei der Auswahl einer Wohlordnung hilft.
Doch. Aufgrund des Auswahlaxioms und des äquivalenten Wohlordnungsaxioms gibt es = existiert eine Orientierung, sie ist jedoch nicht bekannt, nicht konstruierbar, nicht berechenbar.
Gruß
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 20. Mai 2020, 18:21

tomS hat geschrieben:
20. Mai 2020, 17:20
Skeltek hat geschrieben:
20. Mai 2020, 16:48
In keiner Äquivalenzklasse gibt es ... irgendeine Orientierung, die einem bei der Auswahl einer Wohlordnung hilft.
Doch. Aufgrund des Auswahlaxioms und des äquivalenten Wohlordnungsaxioms gibt es = existiert eine Orientierung, sie ist jedoch nicht bekannt, nicht konstruierbar, nicht berechenbar.
Da hab ich mich nicht sorgfältig genug augedrückt oder du hast es mißverstanden. Ich streite die Existenz einer Wohlordnung nicht ab, sage nur, daß es mehrere gibt. Selbst wenn man eine Wohlordnung angeben wollte, müsste man sich für eine von beliebig vielen entscheiden. Jeder Repräsentanten-Kandidat einer Klasse kann als kleinstes Element postuliert werden (jedes Element der Klasse ist via AC auswählbar) und von ihm ausgehend die restlichen Elemente abzählbar der Reihe nach konstruiert werden - den Algorithmus dafür habe ich einige Seiten vorher bereits angegeben und gezeigt, wie die Bijektion der Elemente zu IN durchzuführen ist (Natürliche Zahlen binär schreiben, Konversion BigEndian->LittleEndian, dann die Zahlen bitweise XOR mit dem Repräsentant verknüpfen). Man muss sich aber trotzdem für eine der unendlich vielen möglichen Wohlordnungen über der Klasse entscheiden, die man verwenden will.
Der Repräsentant ist ohne Axiom of Choice nicht greifbar. Unter der Vorraussetzung jedoch, daß man diesen bereits hat (via AC ausgewählt), kann man jederzeit alle Wohlordnungen darüber konstruieren; davon gibt es mindestens INxIN Stück, also Mächtigkeit der Menge der Wohlordnungen entspricht mindestens IN. Die Wahl einer Wohlordnung ist daher mindestens genauso schwierig, wie das Erfassen eines Repräsentanten.
Ich muss dir also halb widersprechen; es existiert nicht nur eine, sondern beliebig viele 'Orientierungen'. Daher würde ich das fett markierte in 'mindestens eine' ändern
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Mai 2020, 19:12

Skeltek hat geschrieben:
20. Mai 2020, 18:21
Da hab ich mich nicht sorgfältig genug augedrückt oder du hast es mißverstanden. Ich streite die Existenz einer Wohlordnung nicht ab, sage nur, daß es mehrere gibt.
Hallo Skel,

das sieht man schon ganz einfach daran, dass man zwei verschiedene Wohlordnungen derselben Menge erhalten kann, indem man die beiden ersten Elemente austauscht. Da jeweils "erste" ist dann das "minimale Element".

Wenn Du die ersten drei Elemente austauschst kommst Du auf 6 Elemente (Moment, muss ich prüfen: 123, 132, 213, 231, 312, 321, ja das sind 6 Stück, das wird also mit der Fakultät gehen)


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. das sei schon für die ersten n bewiesen; dann nimmt man noch ein (n+1).-tes Element dazu; man listet die n-Gruppen auf und fügt das (n+1).-Element an der ersten Stelle zu, oder an der zweiten, oder an der dritten oder an der n.-ten Stelle oder eben an der letzten Stelle (n+1.-Stelle), das liefert n! für das (n+1) an der ersten Stelle, n! für das (n+1) an der zweiten Stelle u.s.w., von diesen Summanden gibt es (n+1) Stück, also ergibt es insgesamt n! * (n+1) = (n+1)! Summanden.

Nehmen wir obige 3-er Sequenzen:
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
1423, 1432, 2413, 2431, 3412, 3421
1243, 1342, 2143, 2341, 3142, 3241
1234, 1324, 2134, 2314, 3124, 3214

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 20. Mai 2020, 20:19

Es ging mir mehr darum eine Relation o explizit anzugeben, welche durch ihre Definition der Verknüpfung 'f1 o f2' ein < oder > eindeutig zuordnet.
Das Permutieren, was du machst zeigt, daß man Elemente in einer anderen Reihenfolge anordnen kann. Die Frage ist eher, ob man es als eindeutige Rechenvorschrift angeben kann, die für beliebige f1 und f2 die Rangordnung festlegt.
Letzten Endes das Beispiel mit den natürlichen Zahlen rückwärts geschrieben:
a = 0 aka 0
b = I aka 1
c = 0I aka 2
d = II aka 3
e = 00I aka 4
f = I0I aka 5
usw. Eine Ordnung ergibt sich durch Verknüpfung dieser mit einem Element f* der Folge
f* o a
f* o b
f* o c
usw. mit o := XOR
So hat man eine Ordnung eindeutig festgelegt, welche alle Elemente restlos durchgeht/aufzählt.
Trotzdem ist man davon abhängig, mindestens eine Folge aus der Klasse bereits zu kennen um es zum f* zu machen.
=> Es gibt unendlich viele Ordnungen, da es unendlich viele Elemente gibt, welche man als f* verwenden kann. Man kann jedes beliebige element der Klasse zum f* erklären.
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