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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Mathematische Fragestellungen
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 19:24

Problemstellung

Unendlich viele zum Sünder erhalten die Chance, der ewigen Verdammnis zu entgehen.

Jedem Sünder mit Nummer n wird ein Hut mit der Farbe fn - schwarz oder weiß - aufgesetzt. Jeder Sünder n sieht sämtliche Hutfarben f1, f2, ... fn-1, fn+1, ... mit Ausnahme der eigenen fn. Die Sünder können nicht untereinander kommunizieren. Sie müssen auf ein Zeichen hin gleichzeitig ihre eigene Hutfarben nennen. Wer richtig rät, wird gerettet, wer falsch rät, fällt der ewigen Verdammnis anheim.

Die Sünder hatten jedoch die Gelegenheit, sich vorher auf eine Strategie zu einigen. Blindes Raten würde im Mittel die Hälfte retten, die andere Hälfte ins ewige Verderben führen.

Existiert eine bessere Strategie als blindes Raten?
Wieviele Sünder können sich retten?


Lösung

Fast alle Sünder - d.h. alle bis auf endlich viele - können sich retten.


Beweis

Sei f = (fn) mit n ∈ N und fn = 0,1 eine Hutfolge.

Sei F = {f(r); r ∈ R} die (überabzählbare) Menge aller Hutfolgen

Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g: f sei äquivalent zu g, genau dann, wenn sich f und g nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden. Umgekehrt sind zwei Folgen nicht äquivalent, wenn sie sich in unendlich vielen Stellen unterscheiden.

Eine Äquivalenzklasse [f] wird dann definiert als Teilmenge von F mit

[f] = {f(r) ∈ F: f(r) ~ f} ⊂ F

d.h. in [f] sind alle f(r) enthalten, die untereinander und insbs. zu einem (beliebigen) Repräsentanten f äquivalent sind.

Eine Teilmenge S = {σ ∈ F} ⊆ F nennt man ein Repräsentantensystem von F bzgl. ~, wenn S genau ein σ ∈ [f] je [f] enthält.

Damit haben wir die Lösung.

Die Sünder legen ihre Strategie fest:

1a) Sie führen zunächst die o.g. Zerlegung aller möglichen Hutfolgen F in die genannten Äquivalenzklassen [f] durch.
1b) Sie einigen sich auf ein Repräsentantensystem S für F bzgl. ~.

Nun werden sie aufgefordert, ihre eigene Hutfarbe zu erraten:

2a) Da jeder Sünder alle Hutfarben bis auf die eigene kennt, ist dies gleichbedeutend damit, dass jeder die vollständige Folge zu erraten hat; nennen wir diese f°. Nun kann jeder Sünder aus den ihm bekannten Hutfarben bereits die Äquivalenzklasse [f°] ermitteln, zu der f° gehört: er sieht bzw. kennt z.B. (001…?...) wobei das ? für die eigene Hutfarbe steht. Damit weiß er jedoch, dass z.B. (001…?...) ~ (001…0...) ~ (001…1...) ~ f°. Damit kennt jeder Sünder nun auch den zuvor festgelegten Repräsentanten σ ~ f° aus [f°]. Somit ist [f°] und σ aus der Kenntnis der sichtbaren Hutfarben für jeden Sünder eindeutig ableitbar.

2b) Der Sünder mit Nummer n rät (≟) seine eigene Hutfarbe als n-te Stelle aus diesem σ, d.h. f°n ≟ σn, also z.B.: n rät (001… σn ...). Da in [f°] nur Folgen enthalten sind, die sich an endlich vielen Stellen von f° unterscheiden, unterscheidet sich auch der zuvor festgelegte Repräsentant σ ~ f° aus [f°] nur an endlich vielen Stellen von f°. Und damit raten auch nur endlich viele Sünder falsch, nämlich diejenigen, die das Pech haben, dass ihre Position n gerade den Stellen fn entspricht, an denen sich σ von f° unterscheidet, d.h. σn ≠ f°n.




Wozu benötigt man das Auswahlaxiom?

Man benötigt eine injektive Funktion c, die für alle möglichen Folgen f ∈ F den jeweiligen Repräsentanten σ[f] ∈ [f] zuordnet, d.h.

c: F → S
c(f) = σ[f] ⟺ σ ~ f

mit

f ~ g ⟹ c(f) = c(g)

D.h. egal welches f man in die Funktion hineinsteckt, man erhält immer das eindeutig definierte σ[f] je [f].

Dies kann jeder Sünder durchführen, da er zwar nicht f° kennt, jedoch ein f ~ f°, das sich in höchstens einer (seiner) Stelle von f° unterscheidet, d.h. er ermittelt das σ ~ f° mittels σ = c(f ~ f°) und rät f°n ≟ σn = cn(f).

Die Menge der Verdammten entspricht dann

V = {n ∈ N: σn ≠ f°n}
|V| < ∞


Dies kann man auch wie folgt interpretieren:

Sei

F/~ = {[f]}

die Menge aller Äquivalenzklassen von F bzgl. ~.

Damit ist die Definition von c äquivalent zu einer Bijektion

c: F/~ → S
c[f] = σ[f]

D.h. die Funktion c wählt aus jeder Äquivalenzklassen [f] ∈ F/~ genau ein σ[f] aus. Die Existenz einer derartigen Auswahlfunktion c für eine unendliche Menge F/~, deren Elemente unendliche Mengen [f] sind, wird durch das Auswahlaxiom sichergestellt.

Für das vorliegende Problem – die Frage nach der Existenz einer Strategie, die alle außer endliche viele Sünder rettet – sind die Details von c irrelevant; die pure Existenz von c stellt die Lösung σ ~ f° sicher. Der eigentliche Kern der Lösung ist die Anwendung der speziellen Äquivalenzrelation f ~ g ⟺ fn ≠ gn für höchsten endlich viele n.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 10. Mai 2020, 21:18

tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 15:45
Der Begriff der Nullmenge setzt ein Maß, jedoch kein Wahrscheinlichkeitsmaß voraus.

Eine Nullmenge N liegt z.B. dann vor ein N eine endliche bzw. abzählbare Menge einer abzählbar unendlichen bzw. überabzählbar unendlichen Menge ist.

(2) und (3) sind als abzählbare Vereinigung abzählbarer Fälle wiederum abzählbar - die Menge aller Folgen dagegen überabzählbar, deswegen bilden (2) und (3) abzählbar viele Ausnahme in der Menge aller Folgen.

Ist aber irrelevant, da die allgemeine Strategie (1 - 3) löst.
Genau, es ist irrelevant, auch die Sache mit der Nullmenge. Da wir absolut nichts darüber wissen, wie die Hutfolge gewählt wird, können wir hier mit keinerlei Maß, Nullmenge, etc. argumentieren: Nullmenge bedeutet hier nicht, dass diese Möglichkeiten nicht doch gegeben werden können.
Und andererseits löst die allgemeine Strategie alle genannten Fälle. Es war ja auch nur mein Versuch die Sache einzugrenzen und so mehr Klarheit über den Kern des Rätsels herauszufinden, was m.E. oft ein sinnvolles Vorgehen ist. Dass ich damit dann in diesem Fall hier auch nicht recht weiterkomme ist nicht schlimm. Es war ein Versuch, es waren Ideen.
ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 14:26
das ist nicht mein Einwand; mein Einwand ist, dass es unendlich viele solcher N's gibt. Ausserdem möchte ich diese Aufgabe mathematisch und nicht philosphisch lösen, d.h. Überlegungen wie "aktual unendlich" aussen vorlassen.
Es geht hier nicht um "abgehobene Philosophie", sondern um ganz konkrete Dinge.
Schauen wir uns dazu noch einmal die Aufgabenstellung genau an:
tomS hat geschrieben:Jedem Sünder mit Nummer n wird ein Hut mit der Farbe Fn - schwarz oder weiß - aufgesetzt. Jeder Sünder n kann alle anderen Hutfarben F1, F2, ... Fn-1, Fn+1, ... sehen, nicht jedoch seine eigene Fn. Die Sünder können nicht untereinander kommunizieren. Sie müssen auf ein Zeichen hin gleichzeitig ihre eigene Hutfarben nennen. Wer richtig rät, wird gerettet, wer falsch rät, fällt der ewigen Verdammnis anheim.
Was bedeutet der hervorgehobene Satz nun genau?

Er bedeutet:

Es existiert für jeden Sünder ein Algorithmus, der in der Lage ist ALLE Hüte bezüglich ihrer Farbe zu identifizieren - und zwar einer, der entweder in endlicher Zeit alle (unendlich viele) Hüte nacheinander identifiziert oder einer, der mittels einem unendlich großen Regelwerk/Rechenwerk alle unendlich vielen Hüte auf einmal identifiziert!

Beispiel-Algorithmus:

Identifiziere den Hut Nummer 1 und stelle seine Farbe fest, trage diese Farbe dann in eine Liste ein.
Identifiziere dann den Hut rechts davon, den Hut mit der Nummer 2 und stelle seine Farbe fest, trage diese Farbe dann in die Liste ein.
usw.
Nachdem du so alle Hüte identifiert hast, schließe die Liste für die weitere Verwendung (das korrekte Raten) ab.

Oder:
Identifiziere mittels unendlich vieler Rechenschritte alle Hutfarben auf einmal und trage das Ergebnis dann in eine Liste ein.
Nachdem du so alle Hüte identifiziert hast, schließe die Liste für die weitere Verwendung (das korrekte Raten) ab.

WENN man solche Algorithmen akzeptiert, dann gibt es keinen logischen Grund, der dagegen spricht, nicht ganz ähnliche Algorithmen auch zur Lösung des Rate-Problems verwenden zu dürfen.

D.h.: Sobald die Hüte im Problem vergeben sind, darf ich sicher davon ausgehen (unter den oben gezeigten, gegebenen Prämissen des Rätsels), dass dann auch immer ein Algorithmus existiert, der die so gegebene Hutfolge in endlicher Zeit komplett berechnet und dass dieser Algorithmus auch allen Sündern komplett bekannt sein kann.

Mein Problem dabei war nur:
Es ist nicht EIN Algorithmus, das Problem ist sicherzustellen, dass alle Sünder per Vereinbarung vor der Hutvergabe hinterher als Grundlage für das Raten denselben Algorithmus verwenden. Besondere Schwierigkeit dabei ist, dass jeder Sünder an einer anderen Stelle eine Wissenslücke hat, die ihm bei der gleichen Algorithmusauswahl dann fehlt, wichtig ist ja, dass hier alle dieselbe Wahl treffen. Und an dem Punkt kam ich dann nicht weiter.

P.S.: Die Lösung muss ich mir erst noch genauer anschauen und verstehen.
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 10. Mai 2020, 21:29

Nenn’ es bitte nicht Algorithmus; die Mengen, auf denen operiert wird, sind für Algorithmen zu mächtig.

Nenn’ es z.B. Vorschrift.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 22:06

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 21:18
ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 14:26
das ist nicht mein Einwand; mein Einwand ist, dass es unendlich viele solcher N's gibt. Ausserdem möchte ich diese Aufgabe mathematisch und nicht philosphisch lösen, d.h. Überlegungen wie "aktual unendlich" aussen vorlassen.
Es geht hier nicht um "abgehobene Philosophie", sondern um ganz konkrete Dinge.
Hallo seeker,

die Aufgabe ist schwierig genug, die braucht man nicht noch mit zusätzlichen philosophischen Fragestellungen anzureichern. Solche Fragestellungen sind übrigens keineswegs "abgehoben", aber sie erschweren das ganze.

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 21:18
Was bedeutet der hervorgehobene Satz nun genau?

Er bedeutet:

Es existiert für jeden Sünder ein Algorithmus, der in der Lage ist ALLE Hüte bezüglich ihrer Farbe zu identifizieren - und zwar einer, der entweder in endlicher Zeit alle (unendlich viele) Hüte nacheinander identifiziert oder einer, der mittels einem unendlich großen Regelwerk/Rechenwerk alle unendlich vielen Hüte auf einmal identifiziert!
Ich denke nicht, dass das "entweder/oder" richtig ist. Aber ja, es sind zwei von mehreren Möglichkeiten.

Jedoch wirst Du keinen Algorithmus finden, der das in endlicher Zeit leistet; die erste Möglichkeit nicht, weil Du unendlich viele Hüte hast, die im Allgemeinen keiner Regel zu genügen brauchen, und die zweite Möglichkeit nicht, da Du kein unendlich großes Regelwerk/Rechenwerk nutzen kannst.

seeker hat geschrieben:
10. Mai 2020, 21:18
D.h.: Sobald die Hüte im Problem vergeben sind, darf ich sicher davon ausgehen (unter den oben gezeigten, gegebenen Prämissen des Rätsels), dass dann auch immer ein Algorithmus existiert, der die so gegebene Hutfolge in endlicher Zeit komplett berechnet und dass dieser Algorithmus auch allen Sündern komplett bekannt sein kann.
Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 10. Mai 2020, 22:54

Oh mann >.>
Das ist jetzt aber echt schwer zu erklären, wohin du das Problem schiebst (simplifiziert gesagt ins Unendliche).
Ich lasse mir bis morgen oder so was einfallen. Den Widerspruch kann man beliebig entlang der ganzen Argumentationskette verschieben; deshalb ist es schwer ihn auf etwas fest zu nageln.


Ein Aspekt schonmal:
Die Zugehörigkeit einer Hutfolge zur Äquivalenzklasse ist nur in einer Richtung entscheidbar. Die Unterscheidung der Äquivalenzklassen wurde ins Unendliche verschoben. Man kann jeder Mitglied der Klasse konstruieren, wenn man einen Repräsentanten hat, man kann aber nicht von jeder Hutfolge auf die Äquivalenzklasse schließen. Das wird durch die geschickte Definition verschleiert, daß die Menge der Klassenelemente keinen zentralen Kern hat. Man kann denke ich leicht zeigen, daß man vom Repräsentanten alle anderen Elemente der Klasse abzählbar konstruieren kann, allerdings ist diese Menge unvollständig. Es ist denke ich relativ offensichtlich, daß die aus dem Repräsentanten ableitbaren anderen Klassenelemente abzählbar sind, es aber überabzählbar viele Mitglieder der Klasse gibt. Es gibt Hutfolgen, bei denen nicht entscheidbar ist, ob diese zur einen oder anderen Klasse gehören.

Du hast durch die Konstruktion mit der Transitivität eine Anordnung geschaffen, wo es beliebig viele Teilmengen von Folgen gibt, bei denen nicht entscheidbar ist, zu welcher Äquivalenzklasse sie gehören. Hier müsste ich auch anfangen mit Mächtigkeiten zu argumentieren, da bin ich aber derzeit nicht mehr routiniert und eigentlich völlig fachentfremdet was den Formalismus bzl Notation angeht.

ps: Sorry, ich hab die Zeilen oben wild durcheinander geschrieben. Werde das morgen ggf aufräumen.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
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  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2020, 23:30

Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Ein Aspekt schonmal:
Die Zugehörigkeit einer Hutfolge zur Äquivalenzklasse ist nur in einer Richtung entscheidbar.
Hallo Skel,

das ist doch bei nicht-trivialen Äquivalenzklassen immer so: man kann nicht entscheiden, welcher Repräsentant der Hutfolge ursprünglich betrachtet worden war.

Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Die Unterschedung der Äquivalenzklassen wurde ins Unendliche verschoben.
Das verstehe ich nicht, da ist doch alles wohldefiniert. Anders als bei der Wohlordnung, wo Du wenn Du Lust dazu hast erst die geraden und dann die ungeraden Zahlen anordnen kannst, kannst Du hier nicht einfach so zwischen zwei Folgengliedern mit Indexwert "unendlich" noch endlich viele andere n Folgenglieder "dazwischenschieben", ganz zu schweigen davon, dass es solche Folgenglieder mit Indexwert unendlich gar nicht gibt.

Wenn Du n Folgenglieder irgendwie dazwischenschieben möchtest, dann musst Du eben ein N wählen, welches gross genug ist, damit das geht.

Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Du hast durch die Konstruktion mit der Transitivität eine Anordnung geschaffen, wo es beliebig viele Teilmengen von Folgen gibt, bei denen nicht entscheidbar ist, zu welcher Äquivalenzklasse sie gehören.
Das verstehe ich nicht: was genau verstehst Du unter einer "Teilmenge von (Hut ?)-Folgen": die Teilmengenbildung geht ja beliebig und braucht insbesondere auch keine "Rücksicht" auf die Äquivalenzklassenbildung zu nehmen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 01:25

Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Das ist jetzt aber echt schwer zu erklären, wohin du das Problem schiebst (simplifiziert gesagt ins Unendliche).
Stell‘ dir vor, die Folge f entspricht einer Zahl im Intervall [0,1], die Stellen fn stehen für die Nachkommastellen in Binärdarstellung. Eine rationale Zahl p/q mit ganzen Zahlen p,q hat genau dann einen Dualbruch mit endlich vielen Stellen, wenn q eine Potenz von 2 ist, d.h. für Zahlen der Form p/(2^k). Die Äquivalenzrelation

f ~ g ⟺ f,g unterscheiden sich in höchstens endlich vielen Stellen

kann abgebildet werden auf

f ~ g ⟺ f - g = p/(2^k)

Was ist daran kompliziert?
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
... man kann aber nicht von jeder Hutfolge auf die Äquivalenzklasse schließen.
Doch.

Die Äquivalenzklasse [f] besteht aus allen Zahlen mit g = f + p/(2^k) für geeignetes p,k. p,k durchlaufen also die ganzen Zahlen, und g(p,k) = f + p/(2^k) mod [0,1] durchläuft die Äquivalenzklasse [f].
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Man kann denke ich leicht zeigen, daß man vom Repräsentanten alle anderen Elemente der Klasse abzählbar konstruieren kann, allerdings ist diese Menge unvollständig. Es ist denke ich relativ offensichtlich, daß die aus dem Repräsentanten ableitbaren anderen Klassenelemente abzählbar sind, es aber überabzählbar viele Mitglieder der Klasse gibt.
Nein.

Die Äquivalenzklasse zu [f] wird über alle endlichen und somit abzählbaren Ersetzungen von (0,1) an endlich vielen Stellen von f erzeugt; alternativ über abzählbar viele f → f + p/(2^k).
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Es gibt Hutfolgen, bei denen nicht entscheidbar ist, ob diese zur einen oder anderen Klasse gehören.
Nein.

Zwei Hutfolgen gehören zur selben Klasse, also f ~ g, genau dann wenn f - g = p/(2^k) gilt.
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Du hast durch die Konstruktion mit der Transitivität eine Anordnung geschaffen, wo es beliebig viele Teilmengen von Folgen gibt, bei denen nicht entscheidbar ist, zu welcher Äquivalenzklasse sie gehören.
Sehe ich nicht.

Das Problem ist nicht die Definition der Äquivalenzklassen, nicht die Prüfung ob zwei gegebene f,g äquivalent sind, nicht die abzählbare Erzeugung der Äquivalenzklasse aus einem Repräsentanten, sondern ausschließlich die Tatsache, dass eine Auswahlfunktion existiert, man sie jedoch nicht angeben kann.

Da eine Äquivalenzklasse abzählbar ist, muss die Anzahl der Äquivalenzklassen, also |F/~|, offenbar dem Kontinuum entsprechen. Damit ist jede Auswahlfunktion für F/~ eine Vorschrift für überabzählbar viele [f]. Da Algorithmen bzw. mathematischen Formeln abzählbar sind, kann die Auswahlfunktion nicht durch einen Algorithmus bzw. eine mathematische Formel angegeben werden, bzw. nur für eine Nullmenge in F/~.

Das ist das einzige wirkliche Problem dieser „Lösung“. ZFC beweist schlüssig die Existenz, liefert jedoch keinen Hinweis auf die Konstruktion.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 11. Mai 2020, 06:51

ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:06
Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert.
Das ist mein Punkt, denn dann existiert auch das Rätsel selbst nicht!
Wenn es nicht existiert, existiert auch die Lösung nicht!


Ich kann statt Algorithmus auch Vorschrift sagen, Tom, wenn's dir lieber ist, das ist egal.

Zur Lösung, ich muss die Schritt für Schritt durchgehen:
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 19:24
Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g: f sei äquivalent zu g, genau dann, wenn sich f und g nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden. Umgekehrt sind zwei Folgen nicht äquivalent, wenn sie sich in unendlich vielen Stellen unterscheiden.
Nun gut...
Das ist aber m.E. vom Prinzip her dasselbe wie meine Unterscheidung in meinem Gedankengang:
seeker hat geschrieben:Wenn die Hüte vergeben wurden gibt es drei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten, was vorliegen kann:

1) unendlich viele weiße Hüte und unendlich viele schwarze Hüte
2) unendlich viele weiße Hüte und endlich viele schwarze Hüte
3) endlich viele weiße Hüte und unendlich viele schwarze Hüte
Die Äquivalenzrelation läuft auf dasselbe hinaus... nur dass das hier dann nicht auf die Hutfolge selbst angewendet wird, sondern auf F = {f(r); r ∈ R}, die Menge aller möglichen Hutfolgen.
Deine Äquivalenzrelation wählt hier also vom Prinzip her 2) und 3) aus (hier dann halt bezgl. F), wo dann auch hier anzumerken ist, dass das Nullmengen sind.

Soweit richtig?
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 07:12

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 06:51
ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:06
Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert.
Das ist mein Punkt, denn dann existiert auch das Rätsel selbst nicht!
Wenn es nicht existiert, existiert auch die Lösung nicht!
Stopp, die Schlussfolgerung „ Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert ... Das ist mein Punkt, denn dann existiert auch das Rätsel selbst nicht!“ ist nicht richtig.

Man kann durchaus eine mathematische Fragestellung formulieren, zu der es keine Lösung gibt, oder zu der es zumindest keine konstruierbare Lösung im Sinne eines Algorithmus oder mathematischen Formalismus gibt - ohne dass dies bedeutet, dass die Fragestellung nicht existiert.

„Gesucht seien die reellen Nullstellen der Funktion f(x) = x² + 1“

existiert sehr wohl als Fragestellung, auch wenn keine Lösung angegeben werden kann.
seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 06:51
tomS hat geschrieben:
10. Mai 2020, 19:24
Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g: f sei äquivalent zu g, genau dann, wenn sich f und g nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden. Umgekehrt sind zwei Folgen nicht äquivalent, wenn sie sich in unendlich vielen Stellen unterscheiden.
Das ist aber m.E. vom Prinzip her dasselbe wie meine Unterscheidung in meinem Gedankengang:

Wenn die Hüte vergeben wurden gibt es drei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten, was vorliegen kann:

1) unendlich viele weiße Hüte und unendlich viele schwarze Hüte
2) unendlich viele weiße Hüte und endlich viele schwarze Hüte
3) endlich viele weiße Hüte und unendlich viele schwarze Hüte

Die Äquivalenzrelation läuft auf dasselbe hinaus... nur dass das hier dann nicht auf die Hutfolge selbst angewendet wird, sondern auf F = {f(r); r ∈ R}, die Menge aller möglichen Hutfolgen.
Deine Äquivalenzrelation wählt hier also 2) und 3) aus (hier dann halt bezgl. F), wo dann auch hier anzumerken ist, dass das Nullmengen sind.

Soweit richtig?
Die Äquivalenzrelation liefert mittels F/~ eine feinere Struktur; du erhältst (1 - 3), ich erhalte [f] ∈ F/~. Und ich benötige diese feinere Struktur zur Lösung. Ich sehe nicht, dass aus (1 - 3) eine Lösung folgt, was nicht bedeutet, dass (1 -3) falsch wäre.

Dein (2), (3) entspricht jedoch nicht meinem ~. Dein (2) spricht von endlich vielen schwarzen Hüten in einer Folge, mein ~ spricht von endlich vielen Unterschieden der Hutfarbe zwischen zwei Folgen; dabei wird in meinem Fall (1 - 3) weder innerhalb jeder Folge noch beim Vergleich zweier Folgen unterschieden. Insofern ist (1 - 3) auch kein Zwischenschritt zu ~, sondern etwas anderes.

Also nein, das läuft m.E. nicht auf das selbe hinaus.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 11. Mai 2020, 07:54

tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:12
Stopp, die Schlussfolgerung „ Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert ... Das ist mein Punkt, denn dann existiert auch das Rätsel selbst nicht!“ ist nicht richtig.

Man kann durchaus eine mathematische Fragestellung formulieren, zu der es keine Lösung gibt, oder zu der es zumindest keine konstruierbare Lösung im Sinne eines Algorithmus oder mathematischen Formalismus gibt - ohne dass dies bedeutet, dass die Fragestellung nicht existiert.
Spielt keine Rolle. Die Fragestellung muss konsistent sein, das ist die Bedingung für "Existenz".
Angenommen die Fragestelleung ist konsistent, dann existieren genau diese Algorithmen, so wie ich es beschrieben habe.
Ralfs Einschätzung "Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert ..." ist mit den Prämissen der Fragestellung bzw. mit der Existentzannahme des Rätsels also nicht konsistent (es ist hier ja nicht gefragt, ob man ihn auch finden/angeben/konstruieren kann). Entweder, oder...
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:12
Ich sehe nicht, dass aus (1 - 3) eine Lösung folgt, was nicht bedeutet, dass (1 -3) falsch wäre.
Ja. Aber darum gings mir auch nicht.
Es geht mir darum herauszuarbeiten, was in der Lösung gemacht wird.
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:12
Dein (2), (3) entspricht jedoch nicht meinem ~. Dein (2) spricht von endlich vielen schwarzen Hüten in einer Folge, mein ~ spricht von endlich vielen Unterschieden der Hutfarbe zwischen zwei Folgen; dabei wird in meinem Fall (1 - 3) weder innerhalb jeder Folge noch beim Vergleich zweier Folgen unterschieden. Insofern ist (1 - 3) auch kein Zwischenschritt zu ~, sondern etwas anderes.

Also nein, das läuft m.E. nicht auf das selbe hinaus.
Es geht mir nicht darum, dass das auf dasselbe (bzgl. der Lösung) hinauslaufen würde, es geht mir um den Vorgang des Unterscheidens, der analog ist.
Differenziert die Auswahlrelation zwischen einer Nullmenge und dem Rest oder nicht?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Job » 11. Mai 2020, 08:57

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:54
Differenziert die Auswahlrelation zwischen einer Nullmenge und dem Rest oder nicht?
Nein, tut sie nicht. Sie zerlegt die Menge aller Hutfolgen in überabzählbar viele disjunkte (abzählbare) Nullmengen.

Viele Grüße
Job
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Job » 11. Mai 2020, 09:10

ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 18:05
Job hat geschrieben:
10. Mai 2020, 17:42
die (gleichzeitig) jeder Äquivalenzklasse genau einen Vertreter in Form einer eindeutigen Hutfolge zuordnet. Nur wenn so eine Auswahlfunktion existiert, können die Sünder alle genau dieselbe Hutfolge als Grundlage ihrer Entscheidung nutzen, was auf ihrem Kopf ist. Nur dann raten sie gemeinsam bis auf endlich viele richtig.
Hallo Job,

etwas anderes "gefällt mir an dieser Stelle nicht: von diesen "endlich vielen" gibt es nach wie vor "unendlich viele", da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die einen endlichen Absolutbetrag oder eine endliche Indexzahl aufweisen.

Oder wieder einmal salopp formuliert: sei ein N gefunden, für das die Aufgabe gelöst wird. Dann kann man sie auch für n = N+1 lösen, und entsprechend auch für alle n in IN mit n > N lösen.
Freundliche Grüsse, Ralf
Hallo Ralf,

Die Menge der möglichen Hutfolgen ist überabzählbar. Die Relation teilt diese auch wieder in überabzählbar viele Teilmengen auf. Es gibt daher kein N, für das man die Aufgabe lösen könnte. Du kannst das Problem nicht mit den "normalen" Axiomen der ZFC lösen. Du brauchst das Auswahlaxiom für überabzählbar viele Mengen.

Viele Grüße
Job
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 09:24

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:54
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:12
Stopp, die Schlussfolgerung „ Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert ... Das ist mein Punkt, denn dann existiert auch das Rätsel selbst nicht!“ ist nicht richtig.

Man kann durchaus eine mathematische Fragestellung formulieren, zu der es keine Lösung gibt, oder zu der es zumindest keine konstruierbare Lösung im Sinne eines Algorithmus oder mathematischen Formalismus gibt - ohne dass dies bedeutet, dass die Fragestellung nicht existiert.
Die Fragestellung muss konsistent sein, das ist die Bedingung für "Existenz".
Angenommen die Fragestelleung ist konsistent, dann existieren genau diese Algorithmen, so wie ich es beschrieben habe.
Dass die Fragestellung konsistent ist und damit existiert, bedeutet lediglich, dass sie als mathematischer Ausdruck wohlgeformt sein muss. Das ist gegeben, liefere ich nach.

Anschließend folgt eine ebenfalls konsistente Umformung mittels elementarer Regeln, Axiomen und Theoremen gem. ZFC. Das ist ebenfalls gegeben.

Ob du das jetzt als „Beweis“ meiner Behauptung „fast alle können gerettet werden“ wertest, ist letztlich deine Interpretation. Es ist jedoch ein formaler Beweis eines wohlgeformten mathematischen Ausdrucks.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 09:59

https://arxiv.org/abs/1801.01184v1
A note on the problem of prisoners and hats
Petr Glivický
We study the famous mathematical puzzle of prisoners and hats. We introduce a framework in which various variants of the problem can be formalized. We examine three particular versions of the problem (each one in fact a class of problems) and completely characterize them as to (non)existence of winning strategies.
arXiv:1801.01184
[v1] Wed, 3 Jan 2018 21:37:02 UTC

formaler geht‘s nicht, ich verstehe jedenfalls nichts
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 10:12

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 07:54
Spielt keine Rolle. Die Fragestellung muss konsistent sein, das ist die Bedingung für "Existenz".
Angenommen die Fragestelleung ist konsistent, dann existieren genau diese Algorithmen, so wie ich es beschrieben habe.
Ralfs Einschätzung "Ich denke also nicht, dass ein solcher Algorithmus existiert ..." ist mit den Prämissen der Fragestellung bzw. mit der Existentzannahme des Rätsels also nicht konsistent (es ist hier ja nicht gefragt, ob man ihn auch finden/angeben/konstruieren kann). Entweder, oder...
Hallo seeker,

ich habe noch nicht verstanden, an welcher konkreten Stelle Dein Einwand erfolgt: ist das die Fähigkeit, dass die Sünder "unendlich schnell" die Menge der "unendlich vielen Hüte" qualifizieren können ? Algorithmen sind meines Wissens in jeder Beziehung endlich, d.h. endliche Laufzeit, endlicher Code, endlicher Speicherplatz u.s.w., d.h. ein Algorithmus kann beispielsweise auch die Menge der natürlichen Zahlen nicht abarbeiten.

Aber eine Vorschrift kann das schon. So wie ich Deinen Einwand momentan verstehe ist das Problem eher philosophischer Art, d.h. dass es aktuale Unendlichkeiten nicht geben sollte.

Mir tun die Finger "weh" wenn ich über aktuale und potentielle Unendlichkeiten schreiben muss, weil ich erstens nichts davon verstehe - das sind philosophische und nicht mathematische Konzepte, Konzepte nota bene, die in der Philosophie ihre Berechtigung haben und ich würde es als Einschränkung der Philosophie empfinden, würde man die Philosophen daran hindern, sich das zu überlegen, aber eben auch zweitens, dass ich der Meinung bin, dass die Philosophen nicht die Mathematiker einschränken sollten.

Ebenso wie es nicht Aufgabe eines Philosophen ist, über das Auswahlaxiom zu befinden, zumal ich immer wieder die Situation erlebe, dass der Wohlordnungssatz wie selbstverständlich akzeptiert wird und das Auswahlaxiom abgelehnt wird, obgleich die beiden bekanntlich ja ebenso wie zum Zornschen Lemma äquivalent sind.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 11. Mai 2020, 10:45

Job hat geschrieben:
11. Mai 2020, 08:57
seeker hat geschrieben: ↑
11. Mai 2020, 06:54
Differenziert die Auswahlrelation zwischen einer Nullmenge und dem Rest oder nicht?

Nein, tut sie nicht. Sie zerlegt die Menge aller Hutfolgen in überabzählbar viele disjunkte (abzählbare) Nullmengen.
Ok. Nur damit es aber völlig klar wird, worum es mir geht:

"Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g: f sei äquivalent zu g, genau dann, wenn sich f und g nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden. Umgekehrt sind zwei Folgen nicht äquivalent, wenn sie sich in unendlich vielen Stellen unterscheiden."

Sind die beiden Mengen, die man so auch erhalten kann (nämlich die Menge der zu irgendeiner anderen Folge äquivalenten Folgen und die Menge der zu keiner anderen Folge äquivalenten Folgen), in jedem Sinne "gleich groß" oder sind sie es nicht?
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:12
Ebenso wie es nicht Aufgabe eines Philosophen ist, über das Auswahlaxiom zu befinden, zumal ich immer wieder die Situation erlebe, dass der Wohlordnungssatz wie selbstverständlich akzeptiert wird und das Auswahlaxiom abgelehnt wird, obgleich die beiden bekanntlich ja ebenso wie zum Zornschen Lemma äquivalent sind.
Es ist aber die Aufgabe der Mathematiker sich auch philosophische Gedanken über die Mathematik zu machen, es geht nicht anders. Denn ansonsten wurstelt man irgendwann nur noch herum, ohne zu wissen, was man da eigentlich tut und ob das so in Ordnung ist.
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:12
ich habe noch nicht verstanden, an welcher konkreten Stelle Dein Einwand erfolgt: ist das die Fähigkeit, dass die Sünder "unendlich schnell" die Menge der "unendlich vielen Hüte" qualifizieren können ? Algorithmen sind meines Wissens in jeder Beziehung endlich, d.h. endliche Laufzeit, endlicher Code, endlicher Speicherplatz u.s.w., d.h. ein Algorithmus kann beispielsweise auch die Menge der natürlichen Zahlen nicht abarbeiten.
Es ist eigentlich kein Einwand, sondern eine Feststellung, nämlich die, dass man eine Klasse von Vorschriften, die man mit der Art der Konstruktion eines speziellen Problems schon implizit zugelassen hat, auch zur Lösung des Problems zulassen muss. Wer A sagt, muss auch B sagen...
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 09:24
Anschließend folgt eine ebenfalls konsistente Umformung mittels elementarer Regeln, Axiomen und Theoremen gem. ZFC. Das ist ebenfalls gegeben.
Weißt du, das eigentlich Wertvolle für mich an dem hier vorgestellten Rätsel ist, dass es zeigt, welche problematischen Abgründe sich da auftun können und mit denen man sich dann eben auch herumschlagen muss, wenn man ZFC akzeptiert.

ZFC muss hier natürlich vorausgesetzt werden, wie stellt ZFC aber sicher, dass jeder der Sünder WISSEN darüber erlangen kann, welchen Hut JEDER andere Sünder auf hat?

Ich meine, ich habe kein Problem, wenn du sagst, du kannst alle Zahlen einer unendlichen Folge mit wiederkehrendem Muster wissen, wie z.B. 0101010101...
Es ist auch akzeptabel, wenn du sagst, du könntest im Prinzip alle Nachkommastellen von Pi wissen, aber es erscheint mir nicht akzeptabel, wenn du sagst, du könntest auch alle Nachkommastellen einer nicht-berechenbaren Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen wissen.


Aber lassen wir es einmal so stehen, ich will erst die nächsten Schritte der Lösung verstehen, ich bin nicht mehr sehr geübt in abstrakten Formelsprechweisen, deshalb werde ich die Lösung Zeile für Zeile durchgehen müssen. Ich komme wahrscheinlich erst heute Abend dazu.
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 11:53

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
"Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g: f sei äquivalent zu g, genau dann, wenn sich f und g nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden. Umgekehrt sind zwei Folgen nicht äquivalent, wenn sie sich in unendlich vielen Stellen unterscheiden."

Sind die beiden Mengen, die man so auch erhalten kann (nämlich die Menge der zu irgendeiner anderen Folge äquivalenten Folgen und die Menge der zu keiner anderen Folge äquivalenten Folgen), in jedem Sinne "gleich groß" oder sind sie es nicht?
Hallo seeker,

ich verstehe Deine Frage bzw. die Konstruktion der beiden Mengen, die Du auf "Grösse" vergleichen möchtest, nicht. Insbesondere sehe ich im vorliegenden Beispiel der Hutfolgen nicht die "Menge der zu keiner anderen Folge äquivalenten Folgen", auch wenn Du hier möglicherweise eine Konstruktion Richtung Russel'sches Paradoxon anzusetzen versuchst. Auf das Hutbeispiel hätte ich gemeint, dass die zweite Menge leer ist, denn Du findest immer Folgen, die zu anderen äquivalent sind.

Also natürlich nur unter der Voraussetzung, dass Du Folgen mit unendlich vielen Gliedern als existent betrachtest, andernfalls müsste man sich das ganze nochmals völlig anders überlegen. Die Nullfolge lim{n in IN}(1/n) beispielsweise konvergiert zwar mathematisch gegen 0, aber nicht mithilfe endlicher Algorithmen.

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:12
Ebenso wie es nicht Aufgabe eines Philosophen ist, über das Auswahlaxiom zu befinden, zumal ich immer wieder die Situation erlebe, dass der Wohlordnungssatz wie selbstverständlich akzeptiert wird und das Auswahlaxiom abgelehnt wird, obgleich die beiden bekanntlich ja ebenso wie zum Zornschen Lemma äquivalent sind.
Es ist aber die Aufgabe der Mathematiker sich auch philosophische Gedanken über die Mathematik zu machen, es geht nicht anders. Denn ansonsten wurstelt man irgendwann nur noch herum, ohne zu wissen, was man da eigentlich tut und ob das so in Ordnung ist.
Nein, ist es zunächst einmal nicht, weil beide Disziplinen im Allgemeinen von verschiedenen Voraussetzungen ausgehen. Und das ist auch richtig so: Wissenschaft soll nicht voreilig eingeschränkt werden, und schon gar nicht von einer anderen Disziplin. Es ist nicht Aufgabe eines Mathematikers, die Philosophie einzuschränken, und es ist nicht Aufgabe eines Philosophen, die Mathematik einzuschränken.

Nehmen wir doch die Physik: selbstverständlich kann man sich eine Physik überlegen, in der das Proton eine Ruhemasse von 2 kg aufweist. Du kannst aber nicht von einem Experimentalphysiker erwarten, dass er ein Experiment für so etwas aufsetzt. Aber um gewisse Urknallmodelle zu qualifizieren und beispielsweise auszurechnen, wie schnell das Universum nach dem Urknall wieder kollabiert, wenn das Proton 2 kg wiegt, mag aus theoretischer Sicht durchaus sinnvoll sein. Ok, 2 kg ist vermutlich etwas gar hochgegriffen, aber Überlegungen, wenn das Proton 10% mehr wiegt und was dann passiert könnten durchaus sinnvoll sein.

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:12
ich habe noch nicht verstanden, an welcher konkreten Stelle Dein Einwand erfolgt: ist das die Fähigkeit, dass die Sünder "unendlich schnell" die Menge der "unendlich vielen Hüte" qualifizieren können ? Algorithmen sind meines Wissens in jeder Beziehung endlich, d.h. endliche Laufzeit, endlicher Code, endlicher Speicherplatz u.s.w., d.h. ein Algorithmus kann beispielsweise auch die Menge der natürlichen Zahlen nicht abarbeiten.
Es ist eigentlich kein Einwand, sondern eine Feststellung, nämlich die, dass man eine Klasse von Vorschriften, die man mit der Art der Konstruktion eines speziellen Problems schon implizit zugelassen hat, auch zur Lösung des Problems zulassen muss. Wer A sagt, muss auch B sagen...
Auch hier habe ich den EIndruck, dass Du das Russel'sche Paradox ansetzen möchtest.

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
Weißt du, das eigentlich Wertvolle für mich an dem hier vorgestellten Rätsel ist, dass es zeigt, welche problematischen Abgründe sich da auftun können und mit denen man sich dann eben auch herumschlagen muss, wenn man ZFC akzeptiert.

ZFC muss hier natürlich vorausgesetzt werden, wie stellt ZFC aber sicher, dass jeder der Sünder WISSEN darüber erlangen kann, welchen Hut JEDER andere Sünder auf hat?
Warum ? So etwas könnte die Fragestellung einer anderen Aufgabe sein; ich würde aber die beiden Aufgaben nicht vermischen.

Letztlich zielt Dein Einwand darauf ab, solche Aufgaben nicht zuzulassen, und ich bin der Meinung, dass man Wissenschaft nicht einschränken sollte, sondern wenn es "praktische" Probleme mit nur endlich viel verfügbarer Zeit und nur endlicher Verarbeitungsgeschwindigkeit gibt, eben einen Ausweg zu finden, zumal das keinen Einfluss auf den Lösungsweg hat.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 12:03

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
Weißt du, das eigentlich Wertvolle für mich an dem hier vorgestellten Rätsel ist, dass es zeigt, welche problematischen Abgründe sich da auftun können und mit denen man sich dann eben auch herumschlagen muss, wenn man ZFC akzeptiert.
Zustimmung.
seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
... wie stellt ZFC aber sicher, dass jeder der Sünder WISSEN darüber erlangen kann, welchen Hut JEDER andere Sünder auf hat?
ZFC ist ein formales System, ein Sünder wäre ein menschliches Wesen mit einem menschlichen Gehirn. Sorry, das eine hat mit dem anderen eher nix zu tun :-(
seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 10:45
... aber es erscheint mir nicht akzeptabel, wenn du sagst, du könntest auch alle Nachkommastellen einer nicht-berechenbaren Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen wissen.
s.o.: natürlich kann kein realer Sünder diese Aufgabe durchführen; praktisch scheitert es an der “Mächtigkeit” der Aufgabenstellung, theoretisch bereits an der nicht-Konstruktivität des Auswahlaxioms.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 11. Mai 2020, 12:43

ralfkannenberg hat geschrieben:
10. Mai 2020, 23:30
Skeltek hat geschrieben:
10. Mai 2020, 22:54
Du hast durch die Konstruktion mit der Transitivität eine Anordnung geschaffen, wo es beliebig viele Teilmengen von Folgen gibt, bei denen nicht entscheidbar ist, zu welcher Äquivalenzklasse sie gehören.
Das verstehe ich nicht: was genau verstehst Du unter einer "Teilmenge von (Hut ?)-Folgen": die Teilmengenbildung geht ja beliebig und braucht insbesondere auch keine "Rücksicht" auf die Äquivalenzklassenbildung zu nehmen.
Ich meinte Teilmengen der Menge von Folgen, die bestehen natürlich aus Hutfolgen.
tomS hat geschrieben: Das Problem ist nicht die Definition der Äquivalenzklassen, nicht die Prüfung ob zwei gegebene f,g äquivalent sind, nicht die abzählbare Erzeugung der Äquivalenzklasse aus einem Repräsentanten, sondern ausschließlich die Tatsache, dass eine Auswahlfunktion existiert, man sie jedoch nicht angeben kann.
Die abzählbare Erzeugung der Äquivalenzklasse aus einem Repräsentanten ergibt aber eine unvollständige Menge. Es lässt sich immer ein Element konstruieren, welches nicht in der abzählbar erzeugten Menge enthalten ist, aber trotzdem ein Mitglied der Klasse ist.
Du forderst eine Vergleichbarkeit des Repräsentanten mit den Elementen der Klasse. Einerseits postulierst du die Existenz der Auswahlfunktion in der überabzählbaren Menge, weigerst dich aber die Transitivitätsforderung auf eine unendliche Verkettung auszuweiten.
Du schneidest den Schwanz 'Unendlich' ab, sagst der Unterschied zum Repräsentanten soll endlich bleiben, willst aber unbedingt den Repräsentanten aus dem Abschluss der abzählbaren Menge ziehen. Du kannst die beiden Dinge nicht mit zweierlei unterschiedlichen Prinzipien behandeln.

Die richtige Auswahlfunktion zu verwenden hat die Prämisse, daß man die Folge zunächst einer Klasse zuordnen muss. Letzteres ist nicht ohne weiteres möglich. Wenn du zwei Klassen mit jeweils einer Auswahlfunktion hast, musst du trotzdem ersteinmal die Klasse ermitteln, zu welcher die gesehene Folge gehört.

Ich kürze es mal ein wenig ab:
Du hast bewiesen, daß die Auswahlfunktion in ZFC existiert. Du hast aber auch bewiesen, daß man diese Funktion selbst (in ZF) nicht auswählen kann.
Man kann nicht die Lösung in ZFC konstruieren und dann auf ZF ohne C anwenden.

Ich kann dir eine Folge mit ausschließlich weißen Hüten geben. Da kannst du dann beliebig viele Hüte umfärben. Du forderst, daß die Hutfolge erst dann in einer anderen Klasse sein soll, wenn fast alle Hüte umgefärbt sind. Du schiebst das Problem vor dir her, indem du es in den noch nicht umgefärbten Bereich verlagerst.
Oder du lässt die Hüte der Reihe nach automatisiert nach dem Zufallsprinzip umfärben. Egal wie lange dein Automat umfärbt, bekommt er den Klassenwechsel niemals hin bzw erst hin, wenn er alle Hüte behandelt hat. Andererseits forderst du, daß die Klassenzugehörigkeit durch die abzählbar unendliche Folge an Farben determinierbar ist. Du wirst die Klasse nicht zuordnen können, egal we viele Hutfarben du betrachtest.
Du kannst die Zugehörigkeit zu welcher Klasse erst ermitteln, nachdem dein automat komplett mit Umfärben durch ist - das geht aber so nicht.

Äquvalentklassen brauchen:
  • Reflexivität
  • Symmetrie
  • Transitivität
Du musst alle erfüllen, nicht nur zweieinhalb. Trotzdem behandelst du das als Äquivalenzrelation und postulierst deinen nicht existenten Repräsentanten aus dem Abschluss der Menge (den du aber von der Transitivität ausgeschlossen hast).
Eine Äquivalenzklasse mit 'endlich viele Differenzen' zu postulieren ist von vorne herein unsinnig. Du schließt aber unendlich viele Differenzen aus, behauptest aber nach wie vor Transitivität, und pickst die Auswahlfunktion trotzdem aus der vollen überabzählbaren Menge.

Du positlierst die Existenz der Auswahlfunktion (soweit ist das legitim), definierst sie aber als zu einer unzulässigen Restmenge gehörig (die aber trotz der Verweigerung der Transitivität als zur Klasse zugehörig behauptet wird).
Deine Lösung scheitert daran, daß dein Repräsentant Element der repräsentierten Klasse sein muss. Das hast du aber durch das festlegen auf endliche Differenzen verhindert.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 12:53

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
Äquvalentklassen brauchen:
  • Reflexivität
  • Symmetrie
  • Transitivität
Du musst alle erfüllen, nicht nur zweieinhalb.
Job hat geschrieben:
10. Mai 2020, 07:55
Zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent, wenn sie sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.
Hallo Skel,

über die Reflexivität und die Symmetrie sind wir uns vermutlich einig. Schauen wir uns die Transitivität an.

Es seien f, g und h drei Hutfolgen mit folgenden Eigenschaften:
f, g unterscheiden sich an m1 Stellen, insbesondere unterscheiden sie sich an nur an endlich vielen Stellen.
g, h unterscheiden sich an m2 Stellen, insbesondere unterscheiden sie sich an nur an endlich vielen Stellen.

Zu zeigen: f, h unterscheiden sich nur an endlich vielen Stellen

Ich denke, den konkreten Beweis können wir uns schenken - die maximale Anzahl Unterschiede von f und h beträgt m1+m2 Stellen. Auch m1+m2 ist eine endliche natürliche Zahl, womit sich f und h auch im "ungünstigsten Fall nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.

Somit ist die oben definierte Äquivalenz transitiv, und zwar voll transitiv und nicht nur "halb transitiv".


Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 11. Mai 2020, 13:00, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 11. Mai 2020, 13:00

ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 11:53
ich verstehe Deine Frage bzw. die Konstruktion der beiden Mengen, die Du auf "Grösse" vergleichen möchtest, nicht.
Wir haben zunächst eine Menge aller möglichen Folgen. Es lassen sich dann über die angegebene Äquivalenzrelation dann zweierlei Mengen konstruieren, nämlich A alle Folgen, die sich an endlich vielen Stellen unterscheiden (bzw. alle Folgen, die die Äquivalenzrelation erfüllen) und B alle Folgen, die sich an unendlich vielen Stellen unterscheiden (bzw. alle Folgen, die die Äquivalenzrelation nicht erfüllen). Ich würde außerdem sagen A und B existieren sicher. Und ich glaube, dass die Menge B die "größere" ist und frage, ob das so ist.
Und ja, man kann hier auch noch zusätzlich untersuchen, wie oft die Äquivalenzrelation pro Folge erfüllt oder nicht erfüllt wird.
An die Russellsche Antinomie habe ich dabei nicht gedacht.
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 11:53
Nein, ist es zunächst einmal nicht, weil beide Disziplinen im Allgemeinen von verschiedenen Voraussetzungen ausgehen. Und das ist auch richtig so: Wissenschaft soll nicht voreilig eingeschränkt werden, und schon gar nicht von einer anderen Disziplin. Es ist nicht Aufgabe eines Mathematikers, die Philosophie einzuschränken, und es ist nicht Aufgabe eines Philosophen, die Mathematik einzuschränken.

Nehmen wir doch die Physik: selbstverständlich kann man sich eine Physik überlegen, in der das Proton eine Ruhemasse von 2 kg aufweist. Du kannst aber nicht von einem Experimentalphysiker erwarten, dass er ein Experiment für so etwas aufsetzt. Aber um gewisse Urknallmodelle zu qualifizieren und beispielsweise auszurechnen, wie schnell das Universum nach dem Urknall wieder kollabiert, wenn das Proton 2 kg wiegt, mag aus theoretischer Sicht durchaus sinnvoll sein. Ok, 2 kg ist vermutlich etwas gar hochgegriffen, aber Überlegungen, wenn das Proton 10% mehr wiegt und was dann passiert könnten durchaus sinnvoll sein.
Ich weiß was du meinst, aber darum geht es nicht. Es wäre falsch zu glauben, dass es nicht wichtig und auch Aufgabe der Mathematiker sei ihre Mathematik zu reflektieren und zu hinterfragen, also eine Philosophie der Mathematik zu betreiben, das betrifft alle Bereiche der Mathematik, auch ihre axiomatischen Systeme oder so Sachen wie das Hilbertprogramm (auch wenn das gescheitert ist, so hat es doch auch durch sein Scheitern Erkenntnisfortschritt gebracht). Ob du die Leute, die das dann konkret tun, nun als "Mathematiker" oder als "Philosophen" bezeichnest, ist irrelevant.
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 11:53
Auch hier habe ich den EIndruck, dass Du das Russel'sche Paradox ansetzen möchtest.
Dein Eindruck trügt. Es geht mir vielmehr darum den Boden sichtbar zu machen, auf dem man steht, das ist alles.
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 11:53
Warum ? So etwas könnte die Fragestellung einer anderen Aufgabe sein; ich würde aber die beiden Aufgaben nicht vermischen.

Letztlich zielt Dein Einwand darauf ab, solche Aufgaben nicht zuzulassen
Nein, ich will nur den Boden sichtbar machen... Und damit sowohl das Rätsel als auch seine Lösung existiert, muss ein gewisser Boden als Voraussetzung gegeben sein, das schwebt ja nicht "frei in der Luft".
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:03
ZFC ist ein formales System, ein Sünder wäre ein menschliches Wesen mit einem menschlichen Gehirn. Sorry, das eine hat mit dem anderen eher nix zu tun :-(
Nun ja, aber so wie du das Rätsel nun einmal formuliert hast... das ist ja nun nicht meine Schuld. Dann müsstest du dir eine bessere Formulierung überlegen oder zugeben, dass man da manche Sachen drin wohlwollend übergehen/ignorieren soll, während man die mathematische Beweisführung hinterher dann aber wiederum ganz genau nehmen soll - oder? Die Sünder könnten ja auch gottähnliche Fähigkeiten haben oder was weiß ich, es obliegt dir, dir hier etwas überzeugendes auszudenken, das Widersprüche vermeidet, würde ich meinen. ;)
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:03
seeker hat geschrieben: ↑
11. Mai 2020, 09:45
... aber es erscheint mir nicht akzeptabel, wenn du sagst, du könntest auch alle Nachkommastellen einer nicht-berechenbaren Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen wissen.

s.o.: natürlich kann kein realer Sünder diese Aufgabe durchführen; praktisch scheitert es an der “Mächtigkeit” der Aufgabenstellung, theoretisch bereits an der nicht-Konstruktivität des Auswahlaxioms.
Hmm... damit kommen wir doch aber nun zum Kern der Problematik, aus der wir durch näheres Hinschauen auch etwas lernen können, nicht?
Heißt das dann nicht, dass du das Rätsel in Prosa selbst mit im allerweitesten Sinne als real gedachten In­di­vi­du­en möglicherweise gar nicht formulieren kannst? Kannst du oder kannst du nicht? Fällt dir etwas ein?

Die Sache ist doch die, dass solche Rätsel, so wie sie daherkommen, dem Leser zunächst suggerieren, sie hätten etwas mit der Realität zu tun, die sich dann mit mathematischer Hilfe/Analyse klarer durchschauen lässt ...
Ist das hier der Fall?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 13:06

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 13:00
Die Sache ist doch die, dass solche Rätsel, so wie sie daherkommen, dem Leser zunächst suggerieren, sie hätten etwas mit der Realität zu tun, die sich dann mit mathematischer Hilfe/Analyse klarer durchschauen lässt ...
Hallo seeker,

machen wir es doch einmal kurz und bündig: ist die Nullfolge lim{n in IN}(1/n) lösbar oder nicht ?

In der Praxis wird man nie alle n in IN schaffen !


Freundliche Grüsse, Ralf

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tomS
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ..

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 14:04

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
tomS hat geschrieben: Das Problem ist nicht die Definition der Äquivalenzklassen, nicht die Prüfung ob zwei gegebene f,g äquivalent sind, nicht die abzählbare Erzeugung der Äquivalenzklasse aus einem Repräsentanten, sondern ausschließlich die Tatsache, dass eine Auswahlfunktion existiert, man sie jedoch nicht angeben kann.
Die abzählbare Erzeugung der Äquivalenzklasse aus einem Repräsentanten ergibt aber eine unvollständige Menge. Es lässt sich immer ein Element konstruieren, welches nicht in der abzählbar erzeugten Menge enthalten ist, aber trotzdem ein Mitglied der Klasse ist.
Wenn dem so ist, dann müsstest du dieses Element angeben = konstruieren können. Ich bin gespannt, wie du das mit endlich vielen Schritten erreichst.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
... weigerst dich aber die Transitivitätsforderung auf eine unendliche Verkettung auszuweiten.
Ja, natürlich. Die Äquivalenz ist durch beliebig, jedoch endliche viele unterschiedlicher Stellen definiert.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
du ... sagst der Unterschied zum Repräsentanten soll endlich bleiben, willst aber unbedingt den Repräsentanten aus dem Abschluss der abzählbaren Menge ziehen.
Letzteres will ich nicht, das ist deine Idee.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
Du hast bewiesen, daß die Auswahlfunktion in ZFC existiert. Du hast aber auch bewiesen, daß man diese Funktion selbst nicht auswählen kann.
Man kann nicht die Lösung in ZFC konstruieren und dann auf ZF ohne C anwenden.
Ersteres habe ich nicht bewiesen, es ist eine direkte Konsequenz des Auswahlaxioms, also äquivalent zu diesem.

Das zweite habe ich nicht bewiesen, es ist jedoch ziemlich klar, dass die Auswahlfunktion nicht explizit konstruiert werden kann.

Dann habe ich keine explizite Lösung in ZFC konstruiert, ich habe lediglich gezeigt, dass unter Verwendung von ZFC eine solche existiert.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
Oder du lässt die Hüte der Reihe nach automatisiert nach dem Zufallsprinzip umfärben. Egal wie lange dein Automat umfärbt, bekommt er den Klassenwechsel niemals hin bzw erst hin, wenn er alle Hüte behandelt hat.
Niemand will diesen “ Klassenwechsel”. Wozu?
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
Andererseits forderst du, daß die Klassenzugehörigkeit durch die abzählbar unendliche Folge an Farben determinierbar ist. Du wirst die Klasse nicht zuordnen können, egal wie viele Hutfarben du betrachtest.
Doch.

Gegeben ist F/~ sowie eine Folge g. Mittels der Auswahlfunktion c ermittle ich zu jeder Äquivalenzklasse [f] aus F/~ einen Repräsentanten f und teste bzgl. f ~ g.

Das ist nicht konstruktiv, jedoch in ZFC zulässig.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
Du kannst die Zugehörigkeit zu welcher Klasse erst ermitteln, nachdem dein Automat komplett mit Umfärben durch ist - das geht aber so nicht.
Es ist dein Automat, nicht meiner. Dein Ansatz funktioniert tatsächlich nicht, weil er weniger mächtig ist als ZFC.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:43
Eine Äquivalenzklasse mit 'endlich viele Differenzen' zu postulieren ist von vorne herein unsinnig. Du schließt aber unendlich viele Differenzen aus, behauptest aber nach wie vor Transitivität ...
Ja.

Wenn sich zwei Folgen f,g, um N Stellen unterscheiden, sind sie äquivalent. Wenn sich g’ von f in N+1 Stellen unterscheidet, dann ebenfalls.

Siehe reelle Zahlen f,g: wenn f – g = p/(2^k) mit p,k endlich, dann sind f,g äquivalent. f = 1 und g = exp(1) sind nicht äquivalent. Das ist sehr einfach.


Du begehst zwei Fehler:
1) Du hast ein Problem, zwischen dem aktual Unendlichen und dem beliebig, jedoch endlich zu unterscheiden.
2) Du betrachtest den Beweis, als ob dieser eine konstruierbare oder berechenbare Lösung liefern müsste; das war nie der Anspruch.

Ich gebe zu, die Konstruierbarkeit scheitert nicht nur an ZFC, sondern auch an F/~
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 11. Mai 2020, 14:33

Ich formuliere das mit der Transitivität mal etwas um, da es schwer ist ein Beispiel im abzählbar/konstruierbaren Bereich zu finden und gebe damit mal das Problem an dich zurück.
tomS hat geschrieben: Da eine Äquivalenzklasse abzählbar ist, muss die Anzahl der Äquivalenzklassen, also |F/~|, offenbar dem Kontinuum entsprechen. Damit ist jede Auswahlfunktion für F/~ eine Vorschrift für überabzählbar viele [f]
Wenn du es auf das Kontinuum ausweitest, musst du zeigen, daß die Äquivalenzklassen alle disjunkt sind. Das kannst du aber nur für den abzählbaren Bereich tun mit endlichen Differenzen.

Entweder du hast ein Element, welches keiner Klasse angehört oder du hast ein Element, welches zwei Klassen angehört.
->Ich denke (da wir den ersten Fall haben), daß du es dann einfach zu einer neuen Klasse erhebst, wodurch du dann ein Problem gelöst hast und zwei neue geschaffen (okay, mein Argument ist hier unsinnig).

Okay folgende Frage zunächst:
Was ist der maximale Unterschied zwischen dem gewählten Repräsentanten und der tatsächlich realisierten Hutfolge? Der maximale Unterschied?
Es gibt kein Maximum. Das kuriose ist: Die Wahrscheinlichkeit für eine hohe Differenz ist größer als für kleine Differenzen.
Per Definition der Äquivalenzrelation hat man implizit festgelegt, daß dieser Unterschied gegen unendlich geht, aber endlich bleibt.
Man könnte hier die durchschnittliche Abweichung des Repräsentanten von den anderen Elementen der Menge berechnen... die ist aber nicht endlich.

Man kann annehmen, daß jedes Element der Äquivalenzklasse dieselbe Wahrscheinlichkeit hat realisiert zu werden -> Der durchschnittliche Unterschied zum Repräsentanten geht gegen unendlich, umso mehr Elemente man betrachtet. -> Trotzdem soll bei einer zufälligen Hutfolge die Klassenzugehörigkeit an Hand der Differenz zum Repräsentanten ermittelt werden.
->Die Äquivalenzrelation ist 'broken by design'

Aus einem Widerspruch kann man jede Wahrheit ableiten. Es nützt nichts, deine an sich schlüssige Argumentation anzuzweifeln, wenn sie auf einem widersprüchlichen oder falschen Annahme beruht. Das gesamte darauf aufbauende Konstrukt kann in sich widerspruchslos sein; trotzdem sagt es nichts über die Legitimität der ursprünglichen Annahme.

Wenn ich von einem Wesen, welches unendlich lange lebt, behaupten würde, es würde nur endlich lange leben... dann ist das Gegenteil nicht beweisbar. Deine Repräsentanten haben auch nur endlich lange Arme, trotzdem krallen sie sich jede Hutfolge, die eine endliche Differenz hat.
Bei deiner Lösung werden nur endlich viele Sünder verdammt... allerdings nicht nur 1, auch nicht 2, nicht 3, nicht 4, 5, 6, ... du bekommst keine endliche Zahl dabei heraus.

Explizit @Tom:
Annahme: Die Sünder machen das Spiel beliebig oft und wählen jedes mal die richtige Äquivalenzklasse. Wie hoch ist dann im Durchschnitt die Anzahl der Verdammten pro Durchgang? Die Antwort hierauf zeigt denke ich den Widerspruch am Besten.
Die Äquivalenzrelation will nur eine endliche Differenz.
Die durchschnittliche Abweichung ist aber limn->unendlich (n*(N^n/N^n)) = limn->unendlich (n) = unendlich
Dabei sei n die Anzahl der Abweichungen vom Repräsentanten, während man alle Folgen als gleich wahrscheinlich annimmt.

Du willst einerseits nur Hutfolgen der Äquivalenzklasse zuordnen, die endlich viele Differenzen zum Repräsentanten haben. Andererseits bekommst du praktisch immer eine Folge auf den Tisch geknallt, die von ihrer Äquivalenzklasse im Durchschnitt unendlich weit weg ist.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 14:38

seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 13:00
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:03
ZFC ist ein formales System, ein Sünder wäre ein menschliches Wesen mit einem menschlichen Gehirn. Sorry, das eine hat mit dem anderen eher nix zu tun :-(
Nun ja, aber so wie du das Rätsel nun einmal formuliert hast... das ist ja nun nicht meine Schuld. Dann müsstest du dir eine bessere Formulierung überlegen oder zugeben, dass man da manche Sachen drin wohlwollend übergehen/ignorieren soll, während man die mathematische Beweisführung hinterher dann aber wiederum ganz genau nehmen soll - oder?
Auf ZFC hatte ich sehr frühzeitig hingewiesen.
seeker hat geschrieben:
11. Mai 2020, 13:00
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 12:03
s.o.: natürlich kann kein realer Sünder diese Aufgabe durchführen; praktisch scheitert es an der “Mächtigkeit” der Aufgabenstellung, theoretisch bereits an der nicht-Konstruktivität des Auswahlaxioms.
Hmm... damit kommen wir doch aber nun zum Kern der Problematik, aus der wir durch näheres Hinschauen auch etwas lernen können, nicht?
Heißt das dann nicht, dass du das Rätsel in Prosa selbst mit im allerweitesten Sinne als real gedachten In­di­vi­du­en möglicherweise gar nicht formulieren kannst?
Wenn ein reales Wesen geeignet in ZFC operieren kann, dann würde die Prosa auf dieses Wesen schon zutreffen.
Gruß
Tom

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