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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mai 2020, 14:13

seeker hat geschrieben:
8. Mai 2020, 13:41
Also im Prinzip kann auch jeder Sünder in der Reihe alle anderen Hüte in der Reihe anschauen und nach Mustern suchen, die Anzahl der Möglichkeiten, wie er das tun kann, ist überabzählbar-unendlich, die Anzahl der Hüte ist abzählbar-unendlich..
Findet er ein Muster, so kann er daraus schließen, welchen Farbwert sein eigener Hut wahrscheinlich hat, findet er kein Muster, dann muss er willkürlich raten.
Die Frage wäre dann: Findet man hier immer ein Muster? Immerhin gibt es "mehr" Möglichkeiten Musteralgorithmen zu definieren als es Hüte gibt.
Hallo Skel,

ich denke, dass wir hier einen Existenzbeweis suchen, insbesondere keine Kosntruktion, wie diese Auswahlfunktion aussieht.

Aber wie auch Du geschrieben hast: abzählbar unendlich viele Sünder, aber überabzählbar unendlich viele Hutfolgen.

Da werden wir ansetzen müssen, d.h. wir werden nach Gründen zu suchen haben, warum es eine Auswahlfunktion gibt, die eine so "gute" Hutfolge auszusuchen imstande ist, dass nur endlich viele Sünder falsch liegen.

Wie diese aussieht werden wir nicht erfahren, und irgendwie müssen wir dabei die Menge der Hutfolgen hinunterbrechen, und - auch wenn meine Intuition mich schon öfter in die Irre geführt hat - würde ich annehmen wollen, dass bei dieser Äquivalenzklassenbildung nur abzählbar viele Äquivalenzklassen von Hutfolgen übrigbleiben. So dass man beispielsweise jedem Sünder so eine bijektiv zuordnen könnte.

Genug Gedanken baumeln gelassen ... - vielleicht hat Tom noch einen Tipp für uns.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 8. Mai 2020, 15:28

ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 14:13
Da werden wir ansetzen müssen, d.h. wir werden nach Gründen zu suchen haben, warum es eine Auswahlfunktion gibt, die eine so "gute" Hutfolge auszusuchen imstande ist, dass nur endlich viele Sünder falsch liegen.
Damit wäre ich nur dann zufrieden, wenn auch der Beweis geführt wird, dass diese Auswahlfunktion auch gefunden werden kann, Existenz allein reicht hier m.E. nicht.
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 15:29

ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 14:13
ich denke, dass wir hier einen Existenzbeweis suchen, insbesondere keine Konstruktion, wie diese Auswahlfunktion aussieht.
Richtig. Es geht um die Existenz einer Strategie. Allerdings ist diese - angesichts des anzuwendenden Formalismus - erstaunlich konkret.
ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 14:13
Da werden wir ansetzen müssen, d.h. wir werden nach Gründen zu suchen haben, warum es eine Auswahlfunktion gibt, die eine so "gute" Hutfolge auszusuchen imstande ist ...
Der Trick steckt in der Definition der Äquivalenzrelation. Die Auswahlfunktion ist dann letztlich trivial.

Man beachte: jeder Sünder kennt und sieht fast alle Hüte. Und dieses Wissen muss einfließen.
ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 14:13
Wie diese aussieht werden wir nicht erfahren, und irgendwie müssen wir dabei die Menge der Hutfolgen hinunterbrechen, und - auch wenn meine Intuition mich schon öfter in die Irre geführt hat - würde ich annehmen wollen, dass bei dieser Äquivalenzklassenbildung nur abzählbar viele Äquivalenzklassen von Hutfolgen übrigbleiben. So dass man beispielsweise jedem Sünder so eine bijektiv zuordnen könnte.
Nee, die Äquivalenzklassen werden nicht den Sündern zugeordnet, sondern aufgrund der Kenntnis fast aller Hüte kann jeder Sünder aus allen konstruierten Äquivalenzklassen die zutreffende herausfinden, und für diese dann die Auswahlfunktion anwenden.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 15:32

seeker hat geschrieben:
8. Mai 2020, 15:28
Damit wäre ich nur dann zufrieden, wenn auch der Beweis geführt wird, dass diese Auswahlfunktion auch gefunden werden kann, Existenz allein reicht hier m.E. nicht.
Beweise mittels Auswahlaxiom sind oft nicht-konstruktiv. Wobei das im vorliegenden Fall nicht unbedingt stört, da der Trick wo anders steckt.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mai 2020, 15:45

tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 15:29
Der Trick steckt in der Definition der Äquivalenzrelation. Die Auswahlfunktion ist dann letztlich trivial.

Man beachte: jeder Sünder kennt und sieht fast alle Hüte. Und dieses Wissen muss einfließen.
Hallo zusammen,

er kennt also alle ausser dem eigenen.

Und das gilt für jeden Sünder: jeder Sünder kennt die Teilmenge der "richtigen" Hutfolgen für alle bis auf einen Sünder. - Insbesondere kennt er auch die Menge der "falschen" Hutfolgen, das sind diejenigen, die für mindestens einen sichtbaren Sünder (ohne sich selber) die falsche Hutfarbe anzeigen.

Mir ist aber noch nicht klar, was ihm das bringt. Und ja, ich vermute, dass ich mich hier verrannt habe. Und muss da wieder irgendwie heraus ...


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 8. Mai 2020, 16:47

tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 12:55
Skeltek hat geschrieben:
8. Mai 2020, 12:15
Ich bin mal gespannt, wie deine Sünder herauskriegen sollen, in welchen Äquivalenzklassen sie als erstes Element durch ein Prädikat ausgewiesen sind.
Es geht nicht um Äquivalenzklassen über der Menge der Sünder, sondern um Äquivalenzklassen über der Menge alle Hutfolgen.
Ja, wie eine Unachtsamkeit bei der formulierung den Sinn verfälschen kann.
Ja, ich meine die Äquivalenzmenge aller Hutfolgen(ggf auch der Mengen aller Hutfolgen über Teilmengen von N), bei welchen der Sünder selbst an erster Stelle steht.
Das Auswahlaxiom würde zumindest bedeuten, daß zu jeder Teilmenge, welche Sünder n beinhaltet, es mindestens eine Permutation gibt, an welcher der Sünder an erster Stelle steht. Andere Axiome stellen in Kombination sicher, daß über dieser Teilmenge (an welcher er an erster Stelle steht) Permutationen existieren, an denen er auch an erster Stelle steht.
Trotzdem sehe ich kaum eine Möglichkeit, diese Mengen aus Sicht des Sünders zu erkennen.
Welche Mengen (an denen er potentiell teilnimmt) auch immer er erkennen kann, so gibt es trotzdem zwei Äquivalenzklassen als Teilmengen; in einer Klasse hat er einen weißen Hut, in der anderen Klasse einen schwarzen Hut.

Auch sehe ich keine Möglichkeit die Antowort auf die Frage nach seiner Hutfarbe im Sinne einer Tautologie zu geben, weil sich das auf wahr=wahr bzw A=A reduzieren lässt.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 16:49

Ich hatte das schon mal geschrieben: Äquivalenzklassen und Auswahlfunktion beziehen sich nicht auf Sünder, sondern auf Folgen.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 8. Mai 2020, 16:51

@tomS: Hat es etwas mit der Annahme zu tun, daß die Verteilung der Hutfarben einem bestimmten algorithmus folgen muss und kein echter Zufall da einfließt?
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mai 2020, 17:04

Skeltek hat geschrieben:
8. Mai 2020, 16:51
@tomS: Hat es etwas mit der Annahme zu tun, daß die Verteilung der Hutfarben einem bestimmten algorithmus folgen muss und kein echter Zufall da einfließt?
Hallo Skel,

ich bin zwar nicht Tom, aber ich denke nicht, dass es da einen "Algorithmus" oder "Zufälle" gibt.

Du hast die Menge der Hutfolgen, diese ist überabzählbar.

Darauf legst Du eine kluge Äquivalenzklasse, aus der sich die Lösung ergibt.

Und dass Du diese Lösung auswählen kannst, dafür sorgt das Auswahlaxiom - das kann man also als gegeben annehmen.

Alles steht und fällt nun also mit den klugen Äquivalenzklassen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 17:23

ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:04
ich denke nicht, dass es da einen "Algorithmus" oder "Zufälle" gibt.
Richtig.
ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:04
Du hast die Menge der Hutfolgen, diese ist überabzählbar.
Ja.

Aber überabzählbar ist nicht so wichtig.
ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:04
Darauf legst Du eine kluge Äquivalenzklasse, aus der sich die Lösung ergibt.
Ja!

Genauer gesagt, eine kluge Äquivalenzrelation, aus der sich während der Vereinbarung der Strategie die Äquivalenzklassen, im Zuge der Lösung dann eine Äquivalenzklasse und mittels Auswahlaxiom die Lösung ergibt ... bis auf endlich viele falsche ...
ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:04
Und dass Du diese Lösung auswählen kannst, dafür sorgt das Auswahlaxiom - das kann man also als gegeben annehmen.
Auch richtig.

Wobei die Konstruktion der Äquivalenzklassen eher bizarr erscheint und man das Auswahlaxiom als solches zunächst gar nicht wahrnimmt.

Es liefert jedoch einen Hinweis: man benötigt es deswegen, weil man es mit einer unendlichen Menge unendlicher Mengen zu tun hat, wobei jede dieser unendlichen Mengen eine Äquivalenzklasse von Hutfolgen darstellt.
ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:04
Alles steht und fällt nun also mit den klugen Äquivalenzklassen.
Ja!
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mai 2020, 17:46

tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:23
Aber überabzählbar ist nicht so wichtig.
Hallo Tom,

danke für den Hinweis, d.h. hier brauche ich nicht anzusetzen.

Wobei ich in einer Stunde gehen muss und dann erst morgen spät abends wieder online bin.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mai 2020, 17:50

In der Menge dieser Äquivalenzklassen gibt es also eine "ausgezeichnete" Äquivalenzklasse von Hutfolgen, die mit endlich vielen Ausnahmen alle Hutfarben richtig zuordnet.

Und jeder Verdammte kennt diese ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 8. Mai 2020, 17:54

ralfkannenberg hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:04
Du hast die Menge der Hutfolgen, diese ist überabzählbar.

Darauf legst Du eine kluge Äquivalenzklasse, aus der sich die Lösung ergibt.

Und dass Du diese Lösung auswählen kannst, dafür sorgt das Auswahlaxiom - das kann man also als gegeben annehmen.
Achso, dann ist es ja einfach.
Man hat zwei Äquivalenzklassen. Die eigentliche Klasse A über der Menge der Menge der Hutfolgen und ihre Komplementärmenge dazu.
Die Klasse A wird definiert über das Prädikat P, welches über die zweistelligen Relation Fxf die Zugehörigkeit der Menge der Hutfolgen Fm zur Farbe fw zuweist; wobei der Sünder an m-ter Stelle steht und die Hutfarbe fw hat.
P(Fm x fw)
Wir nehmen also die Menge, deren Hutfolgen die Bedingung P(Fm x fw) erfüllen. Es ist beweisbar, daß es eine Auswahlfunktion für diese Mengen gibt. Falls der Sünder einen weißen Hut hat, muss er nur die bewiesenermaßen existente Auswahlfunktion nehmen und kann dann seine Hutfarbe aus der Menge ablesen.
Falls er einen schwarzen Hut hat, existiert für die Komplementärmenge mit dem Prädikat P(Fm x fs) auch eine Auswahlfunktion, mit der er die Mengen auswählen kann und diese einfach zum Ablesen seiner Farbe nehmen kann.

-> Egal welche Hutfarbe er hat, existiert ein Parameter für die Prädikatsfunktion, die ihm seine eigene Hutfarbe liefert. ;j
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 17:58

Ralf, du bist nah’ dran.

Es gibt eine Äquivalenzklasse von Hutfolgen, wobei jede darin enthaltene Hutfolge die Hutfarben mit höchstens endlich vielen Ausnahmen richtig zuordnet. Jeder Sünder sieht außerdem eine der Hutfolgen in dieser Äquivalenzklasse, indem er die Hüte der anderen Sünder betrachtet. Damit kann er diese zutreffende Äquivalenzklasse von Hutfolgen von allen anderen, nicht zutreffenden Äquivalenzklassen unterscheiden.
Gruß
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 8. Mai 2020, 18:14

tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:58
Jeder Sünder sieht außerdem eine der Hutfolgen in dieser Äquivalenzklasse, indem er die Hüte der anderen Sünder betrachtet.
Aeh, man müsste begründen, daß er nur eine und nicht zwei sieht.
Da jeder Sünder eine andere Menge an Äqivalenzklassen ermittelt, nützt das Wissen der anderen über die Klassen einem selbst nicht viel. Jeder muss später totzdem für sich filtern bzw eine Schnittmenge bilden mit dem was er sieht.
Aber ich warte mal ab. Bin mal gespannt was die Auflösung sein soll.

Wieso jeder nur eine Hutfolge der Äquivalenzklasse erkennen soll ist für mich nicht nachvollziehbar.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 8. Mai 2020, 18:32

tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 17:58
Ralf, du bist nah’ dran.

Es gibt eine Äquivalenzklasse von Hutfolgen, wobei jede darin enthaltene Hutfolge die Hutfarben mit höchstens endlich vielen Ausnahmen richtig zuordnet. Jeder Sünder sieht außerdem eine der Hutfolgen in dieser Äquivalenzklasse, indem er die Hüte der anderen Sünder betrachtet. Damit kann er diese zutreffende Äquivalenzklasse von Hutfolgen von allen anderen, nicht zutreffenden Äquivalenzklassen unterscheiden.
Hallo zusammen,

können wir die Auflösung bitte noch etwas verschieben ? - Morgen abend bin ich wieder online, aber nun fahre ich zu meiner Mutter und gehe offline.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 18:40

Skeltek hat geschrieben:
8. Mai 2020, 18:14
Da jeder Sünder eine andere Menge an Äqivalenzklassen ermittelt, nützt das Wissen der anderen über die Klassen einem selbst nicht viel.
Die Strategie besteht darin, die Äquivalenzklassen so zu definieren, dass jeder Sünder aus der bis auf jeweils einen Hut vollständigen Hutfolge, die er sieht, auf die selbe Äqivalenzklasse der Hutfolgen schließt.

Also: Zu konstruieren sind geeignete Äquivalenzklassen von Hutfolgen. Später sieht jeder Sünder eine unvollständige Hutfolge. Alle diese unvollständigen Hutfolgen müssen zu ein und der selben Äquivalenzklasse gehören; dann schließen alle Sünder auf die selbe Äquivalenzklasse.

Der Trick besteht darin, die Äquivalenzrelation so speziell zu definieren, dass dies immer funktioniert, jedoch so allgemein, dass die Definition unabhängig von der konkreten, jedoch den Sündern vorher unbekannten Hutfolge ist.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 8. Mai 2020, 19:30

tomS hat geschrieben:
8. Mai 2020, 18:40
Also: Zu konstruieren sind geeignete Äquivalenzklassen von Hutfolgen. Später sieht jeder Sünder eine unvollständige Hutfolge. Alle diese unvollständigen Hutfolgen müssen zu ein und der selben Äquivalenzklasse gehören; dann schließen alle Sünder auf die selbe Äquivalenzklasse.

Der Trick besteht darin, die Äquivalenzrelation so speziell zu definieren, dass dies immer funktioniert, jedoch so allgemein, dass die Definition unabhängig von der konkreten, jedoch den Sündern vorher unbekannten Hutfolge ist.
Sorry, aber mit der Idee bin ich schon durch. Das Problem ist, daß die Äquivalenzklassen bereits vor dem Aufsetzen der Hüte definiert werden müssen.
Die Menge der Permutationen der Hutfolgen weist in mehreren.. sogar unendlich vielen Dimensionen Symmetrien auf. Wären die Sünder als Ring statt einer Linie angeordnet, könnte ich viel einfacher zeigen was/wo das Problem ist.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 21:39

Skeltek hat geschrieben:
8. Mai 2020, 19:30
Das Problem ist, daß die Äquivalenzklassen bereits vor dem Aufsetzen der Hüte definiert werden müssen.
Das ist richtig, aber kein Hinderungsgrund.
Skeltek hat geschrieben:
8. Mai 2020, 19:30
Die Menge der Permutationen der Hutfolgen weist in mehreren.. sogar unendlich vielen Dimensionen Symmetrien auf. Wären die Sünder als Ring statt einer Linie angeordnet, könnte ich viel einfacher zeigen was/wo das Problem ist.
Du kannst sie anordnen, wie du möchtest. Alles, was wir hier benötigen ist eine Funktion f(n)

f: N → {0,1}

sowie die Tatsache, dass jeder Sünder alle bis auf endlich viele Hüte sehen kann.

Weitere Strukturen - algebraisch, geometrisch, ... - werden nicht benötigt.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 8. Mai 2020, 22:13

Ich fasse die Tipps nochmal zusammen:

Zunächst definieren die Sünder die Menge aller Äquivalenzklassen von Hutfolgen bzgl. einer Äquivalenzrelation ~; beim Raten ermitteln sie aufgrund ihrer Beobachtung der tatsächlichen Hutfolge diese eine Äquivalenzklasse. Auf diese Äquivalenzklasse wenden die dann eine Auswahlfunktion an.

Es gibt eine Äquivalenzklasse von Hutfolgen, wobei jede darin enthaltene Hutfolge die Hutfarben der Sünder mit höchstens endlich vielen Ausnahmen richtig zuordnet. Jeder Sünder sieht außerdem eine der Hutfolgen aus dieser Äquivalenzklasse, wenn er die Hüte der anderen Sünder betrachtet. Damit kann er diese eine zutreffende Äquivalenzklasse von Hutfolgen von allen anderen, nicht zutreffenden Äquivalenzklassen unterscheiden.

Der Trick besteht darin, die Äquivalenzrelation ~ so geschickt zu definieren, dass dies immer funktioniert, egal welche Hutfolge real gegeben ist, und ohne dass eine spezielle Auswahlfunktion benötigt wird. Letztere muss lediglich gemäß ZFC existieren; wenn sie existiert, leistet die automatisch das Gewünschte, weil ~ geeignet definiert wurde.

Zur Definition der Äquivalenzrelation: zwei Hutfolgen f, g seien äquivalent f ~ g, wenn XXX.

XXX ist noch offen, den Rest habe ich in den Tipps beschrieben.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 9. Mai 2020, 09:00

Die Beweisidee verstehe ich und bin die schon durch gegangen. Es gibt an wahlweise einer von zwei Stellen einen Fehler.
Erster Fehler: Das Determinieren der Äquivalenzklasse benötigt Wissen über die tatsächliche Verteilung. Das wird benötigt um den zweiten Fehler zu vermeiden.
Zweiter Fehler: Falls man beim Determinieren das Wissen über die tatsächliche Verteilung nicht hat, dann muss man eine Obermenge der Äquivalenzklasse definieren, bevor die Hüte aufgesetzt werden. Deshalb hat man am Schluss zwei Auswahlfunktionen und jeder sieht zwei potentielle Folgen, die nur endlich viele Sünder verdammen.

Ich denke der Denkehler bei der Lösung wird wohl sein, daß man beim ersten Schritt das Problem auf später verschiebt und beim zweiten Schritt davon ausgeht, daß man das problem im ersten Schritt bereits gelöst hat.

Ich werde warten, bis die anderen die Lösung finden oder du es auflöst. Zum jetzigen Zeitpunkt halte ich eine solche Äquivalenzklasse für möglich, aber zweifle daran, daß man diese im ersten Schritt bereits ermitteln kann. Ermittelt man diese erst im zweiten Schritt, dann ermittelt jeder Sünder eine ander Äquivalenzrelation.
Äquivalenzklasse: Alle Folgen, die sich von der tatsächlich relaisierten Folge nur an n Stellen unterscheiden. <- Die Existenz kann man bereits im Vorfeld beweisen. Diese zu ermitteln benötigt jedoch Wissen, welches man zu dem Zeitpunkt noch nicht hat. Was nützt es die Existenz so einerÄquivalenzklasse beweisen zu können, wenn man keine Möglichkeit hat diese zu ermitteln.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 9. Mai 2020, 09:19

Skeltek hat geschrieben:
9. Mai 2020, 09:00
Es gibt an wahlweise einer von zwei Stellen einen Fehler.
Erster Fehler: Das Determinieren der Äquivalenzklasse benötigt Wissen über die tatsächliche Verteilung.
Moment, du verstehst evtl. die Vorgehensweise noch nicht wirklich.

Bei der Definition der Strategie werden Äquivalenzklassen definiert. Diese sind völlig unabhängig von der tatsächlichen Verteilung.

Bei der Lösung wird dann zunächst eine Äquivalenzklasse ermittelt, nämlich diejenige, zu der die tatsächlich vorliegende Verteilung gehört. Und das funktioniert eindeutig, weil von der vorliegenden Verteilung fast alle Hüte sichtbar sind.
Skeltek hat geschrieben:
9. Mai 2020, 09:00
Zweiter Fehler: Falls man beim Determinieren das Wissen über die tatsächliche Verteilung nicht hat, dann muss man eine Obermenge der Äquivalenzklasse definieren, bevor die Hüte aufgesetzt werden.
Das verstehe ich nicht.
Skeltek hat geschrieben:
9. Mai 2020, 09:00
Zum jetzigen Zeitpunkt halte ich eine solche Äquivalenzklasse für möglich, aber zweifle daran, daß man diese im ersten Schritt bereits ermitteln kann.
Nochmal, die eindeutige Äquivalenzrelation und damit die Menge aller Äquivalenzklassen ist der erste Schritt - und damit für alle Sünder identisch. Die einzelne Äquivalenzklasse kann man erst im zweiten Schritt ermitteln.
Skeltek hat geschrieben:
9. Mai 2020, 09:00
Äquivalenzklasse: Alle Folgen, die sich von der tatsächlich relaisierten Folge nur an n Stellen unterscheiden.
Fast! Du bist fast da!

Nochmal:

1a) Es geht um alle Äquivalenzklassen bzgl. einer Äquivalenzrelation. Und du kannst an dieser Stelle nicht die tatsächlich realisierte Folge verwenden, du musst stattdessen in die Definition der Äquivalenzrelation alle Folgen aufnehmen, davon keine speziell ausgezeichnete.
1b) Damit hast du unendlich viele Äquivalenzklassen; jede leistet bzgl. aller in ihr enthalten Folgen das gewünschte: sie liefert eine Ratestrategie, die bzgl. jeder später präsentierten Folge funktionieren wird.
2a) Beim konkreten Raten sind für jeden Sünder alle bis auf den eigenen Hut bekannt. Mit diesem Wissen kann jeder Sünder eindeutig die Äquivalenzklasse ermitteln, in der die tatsächlich realisierte Folge enthalten ist.
2b) Und damit liefert die Auswahlfunktion, auf die man sich zuvor geeinigt hat, ein Ergebnis = eine Folge, die für alle bis auf höchstens endlich viele Hüte mit der tatsächlich realisierten Folge übereinstimmt (im Falle einer anderen Folge und demzufolge einer anderen Äquivalenzklasse würde das ebenfalls funktionieren; die Auswahlfunktion ist generisch, über sie ist nichts bekannt, außer dass sie existiert).
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 9. Mai 2020, 10:34

Ein anderes Beispiel zur Verdeutlichung.

Nehmen wir an, gegeben sei ein Klasse von Rätseln, die sich mittels Polynomgleichungen beschreiben und lösen lassen. N Kandidaten müssen N Zahlen ermitteln.

1) Die Kandidaten einigen sich auf eine Strategie, in der f(z) = aNzN + aN-1zN-1 + ... + a1z + a0 eine Rolle spielt.

2a) Nun wird aus dieser Klasse von Rätseln ein spezielles Rätsel präsentiert. Aus diesem lassen sich die zuvor unbekannten Koeffizienten a0, a1, ... aN eindeutig ermitteln.
2b) Nun lösen die Kandidaten dieses spezielle Rätsel, d.h. sie berechnen die Nullstellen des Polynoms f(z).
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 9. Mai 2020, 11:39

Noch eine Idee:

Wenn sich die Leute vor der Hutvergabe in einer Reihe mit Anfang aufstellen, dann glaube ich, kann nach der Vergabe der Hüte, mit jedem sich daraus ergebendem Hutmuster die Menge der natürlichen Zahlen (incl. 0) aufsteigend als Binärcode codiert werden.
Schwarzer Hut = 0, weißer Hut = I, so dann: 00 = 0, 0I = 1, II = 2, I00 = 3, usw.
Wenn nun vereinbart wird, dass die natürlichen Zahlen möglichst in aufsteigender Reihenfolge zu codieren sind, in dem Sinne, dass Lücken von unten aufzufüllen sind... d.h.: erst ist die 0 zu codieren, ist das geschehen, dann die 1, 2, 3, ... usw, aber wenn nicht möglich, dann sollen die Lücken aufsteigend gefüllt werden und wenn auch das nicht möglich ist, die möglichst kleinste Zahl in dieser Liste nochmals, (die nat- Zahlen bilden die Liste), dann sollte jede Person wissen können, zu welcher Zahl/Gruppe (als Hut-Binärcode) er wahrscheinlich gehört.

Also, Beispiel:

Die Person auf Position n sieht folgende Liste links von sich:

0, 0, 0, 1, 1, 3, 4, 6

Damit ist Person n zunächst auch klar, zu welchen Gruppen alle Leute links von ihr gehören und wo die eigene Gruppe anfängt. Da hier vorzugsweise die 7 gebildet werden soll, weiß sie auch, dass ihre Gruppe aus 4 Leuten besteht (was auch allen 4 in dieser Gruppe klar ist). Falls sie sieht, dass die 7 nicht möglich ist, dann muss sie schauen, ob ihre Gruppe die 2 bilden kann (könnte), wenn nicht, ob die 5 möglich ist, wenn beides nicht möglich ist, dann schauen, ob die 0 gebildet werden kann, falls auch nicht, dann die 1, usw. (immer unter Berücksichtigung der Unkenntnis der eigenen Hutfarbe).
Irgendwann passt es. Und ich glaube, es passt für alle immer gleich, denn wenn es mehr als eine Möglichkeit gibt, ist die kleinere Zahl zu wählen und der jeweils nächste in jeder Gruppe, weiß ja, was alle Leute vor ihm in seiner Gruppe denken und also welche Zahl sie bilden.
Auf diese Weise sollten sich alle Leute einig sein, in welcher Gruppe sie sind, die wie groß ist und die welche Zahl codiert.


So in etwa... ganz wasserdicht ist es noch nicht, aber man kann es sicher über die Regeln abdichten. So weit, so gut... aber was hilft es? :?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 9. Mai 2020, 13:50

Sorry Tom, da hatte wohl an einigen Stellen das 'n' gefehlt und dann war der Plural weg. Auch fiel mir erst während dem Schreiben der Begriff der Äquivalenzrelation erst wieder ein...

Zu deinem nächsten Post:
tomS hat geschrieben: Nun wird aus dieser Klasse von Rätseln ein spezielles Rätsel präsentiert. Aus diesem lassen sich die zuvor unbekannten Koeffizienten a0, a1, ... aN eindeutig ermitteln.
Hmm, ja. Es ist halt eine Menge an Rätseln. Jeder Sünder bildet damit eine Schnittmenge mit den von ihm gesehenen Hutfarben. In der Schnittmenge bleiben exakt zwei Hutfolgen übrig?
Die Schnittmenge ist halt für jeden Sünder eine andere.
Das Problem bei deinem Polynombeispiel ist im Wesentlichen dasselbe:
Du hast ursprünglich n unbekannte. Danach werden n-1 der Parameter bekannt.


Man kann es mit einem LGS vergleichen, mit n-1 Zeilen und n Unbekannten. Es ist letztlich egal, in welche Form man das LGS vor dem Bekanntwerden der Variablen bringt. Am Ende kriegt jeder nur n-1 Unbekannte gelöst. Im folgenden Beispiel sei weiß:=1 und schwarz:=0
  • Schritt1:
    Vor Verteilung der Hüte hat jeder Sünder n die Zeile:
    - (Farbe1+Farbe2+ ... + Farben-1 + Farben+1 + ... + Farbeunendlich - (Anzahl weißer Hüte) )= Farben, also ein LGS mit unendlich vielen Zeilen, die eigene Farbe jedes Sünders steht rechtsseitig der eigenen Zeile.
    Das ganze LGS kann man auflösen nach:
    Farbe1+Farbe2+ ... + Farben-1 + Farben + Farben+1 + ... + Farbeunendlich = (Anzahl weißer Hüte
    Darauf einigen die sich (maximal) vor der Hutverteilung; das repräsentiert die Menge aller(!) möglichen Hutkombinationen.
  • Schritt2:
    Danach sieht jeder die Hüte aller anderen und kann die Menge auf folgendes reduzieren:
    Farben = (Anzahl weißer Hüte) - (Anzahl sichtbarer weißer Hüte)
    Es bleiben exakt zwei Lösungen übrig.
Deine Lösungsidee legt nahe, daß man bei Schritt 1 den Lösungsraum bereits so weit reduzieren kann, sodaß Schritt 2 für jeden Sünder nur noch eine Möglichkeit als Ergebnis bietet. Jetzt ist aber eigentlich egal was man macht, da man den Kern der Abbildung nicht kennt.
Jedes Filtern der Menge möglicher Hutfolgen, reduziert die Menge möglicher zu ratender Hutfolgen um die Hälfte, indem es lediglich das Raten in nach Schritt 2 vorverlegt in den Schritt 1. Man aber in Schritt 1 nicht, wo man die Menge der Abbildungen fixieren soll. Jegliche Schnittmengenbildung oder ähnliches verlegt das Raten nur nach vorne.

Ich erkenne auch, daß es eine Äquivalenzklasse gibt, die nur endlich viele nicht rettet. Allerdings ist es imho nicht möglich diese zu finden (auch nicht in unendlicher Rechenzeit).
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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