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Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Mathematische Fragestellungen
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Apr 2020, 10:33

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2020, 00:42
Ja, wobei du halt bei der Aufzählung von links nach rechts vorgehst.
Hallo Skel,

natürlich gehe ich von links nach rechts vor - Deine Konstruktion mit der Aufspaltung der Knoten geht ja auch so vor.

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2020, 00:42
'Alle' Binärdarstellungen... weiß nicht was du da mit 'alle' meinst. Alle endlichen Ziffernfolgen halt nur.
Nein, Deine Knoten-Folgen erreichen doch im Grenzübergang die "lila Linie", d.h. die brechen nicht vorher ab.

Du könntest Deine Knotenfolgen, die den Binärdarstellungen entsprechen, ins Zehnersysem transferieren, dann hättest gerade die Liste vom Cantor'schen Diagonalbeweis, von der man zeigt, dass sie nicht abzählbar sein kann.

Und mit Deiner Konstruktion garantierst Du, dass jede 0/1-Folge vorkommt, und mit den nach oben offenen Intervallen schliesst Du (vermutlich) die Zweideutigkeit der Darstellung aus, weil Du das 1-er Ende ausschliesst. Wobei das letztlich für die Mächtigkeit keine Rolle spielt, ob ein Repräsentant einmal oder zweimal vorkommt.

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2020, 00:42
Man könnte auch eine andere Reihenfolge wählen und unendliche Folgen dazwischen streuen.
Von solchen Manipulationen würde ich zunächst einmal abraten, weil man dann vorgängig noch gewisse Wohldefiniertheits-Eigenschaften prüfen muss, was aber aufgrund Deiner Konstruktion gar nicht nötig ist, weil diese schon vollständig ist.

Oder auch nicht, dann zeige mir bitte ein Element, welches in der Menge der Knoten nicht vorkommt.

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2020, 00:42
Aber ich denke was ich hier schreibe ist bei dem was du hinaus willst momentan nicht wichtig.
Ganz im Gegenteil; ich hätte Deinen Ansatz schon längst verworfen wenn ich nicht die Intuition hätte, dass da erstens was dran ist - dafür spricht allein auch schon der Umstand, dass da plötzlich die Dedekindschen Schnitte mit vorkommen, und die Verständisprobleme ausschliesslich auf meiner Seite liegen. Ich denke aber, Deine Knoten-Konstruktion ist interessant genug, dass ich meine Verständnisprobleme ausräumen möchte.

Ausserdem ist so eine Knoten-Konstruktion ja auch völlig legitim !

Da auch ich beruflich eine strenge Zeit habe kann ich mich dem aber natürlich nur in einer Kaffeepause oder mal am Abend widmen. Es geht mir übrigens nicht um recht haben oder recht behalten, sondern darum, das ganze besser zu verstehen. Am meisten darf ich lernen, wenn ich unrecht habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 30. Apr 2020, 22:14

ralfkannenberg hat geschrieben:
30. Apr 2020, 10:33
Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2020, 00:42
'Alle' Binärdarstellungen... weiß nicht was du da mit 'alle' meinst. Alle endlichen Ziffernfolgen halt nur.
Nein, Deine Knoten-Folgen erreichen doch im Grenzübergang die "lila Linie", d.h. die brechen nicht vorher ab.
Ich versuche mal zusammenzufassen:
Die unendlichen (Knoten-)Folgen gehen auf der x-Achse(!) von links 0 bis rechts einschließlich 1.
Jeder Knoten hat ein Äquivalent auf der lila Linie, die Bijektion kann man ziehen, indem man sie einfach wagerecht auf die lila Linie projeziert.
Links der lila Linie sind abzählbar viele Knoten (damit meine ich nicht die Knotenfolgen).
Auf der lila Linie sind überabzählbar viele Elemente bzw dort münden alle unendlich langen Knotenfolgen.

Ach, das ist gerade etwas ungünstig mit den verschiedenen Anschauungen ein und derselben Werte.
Es gibt eine Bijektion aller endlichen Knotenfolgen auf die Knoten, in welchen diese Folgen münden.
Die Knoten kann man bijektiv auf eine Teilmenge der lila Linie abbilden.
Die Lila Linie kann man bijektiv auf die Menge aller unendlichen Knotenfolgen abbilden, nicht jedoch auf die der endlichen Knotenfolgen.
-> Die Menge der unendlichen Knotenfolgen ist mächtiger als die Menge der endlichen Knotenfolgen. Somit ist sie auch mächtiger als die Menge der Knoten.

Wir haben also zweierlei Klassen an Mengen-Äquivalenzen:
  • Knoten äquivalent zu endliche Knotenfolgen äquivalent zu endlichen Binärdarstellungen äquivalent zu Teilmenge der lila Linie
  • unendliche Knotenfolgen äquivalent zu nicht abbrechenden Binärdarstellungen äquivalent zu lila Linie
Die oberen sind abzählbare Mengen, die unteren sind überabzählbare Mengen. Egal welche Betrachtung man aus obigem auswählt, bekommt man keine Überabzählbarkeit, wenn man sich auf die existenten Knoten, in endlichen Binärdarstellung schreibbaren oder endlichen Knotenfolgen beschränkt. Die Überabzählbarkeit wird erst erreicht, wenn man unendliche Knotenfolgen einschließt. Links der lila Linie existieren nur endliche Knotenfolgen. Es gibt kein Element links der lila Linie, welches sich nicht durch eine endliche Binärfolge darstellen lässt.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Apr 2020, 23:05

Hallo Skel,

ich bin völlig einverstanden, dennoch möchte ich einen Deiner Sätze nochmals "übersetzen", und zwar auf diese Liste reeller Zahlen, über die mithilfe des Diagonalargumentes eine reelle Zahl konstuiert wird, die nicht in dieser Liste vorhanden sein kann:
Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2020, 22:14
Die Lila Linie kann man bijektiv auf die Menge aller unendlichen Knotenfolgen abbilden, nicht jedoch auf die der endlichen Knotenfolgen.
-> Die Menge der unendlichen Knotenfolgen ist mächtiger als die Menge der endlichen Knotenfolgen. Somit ist sie auch mächtiger als die Menge der Knoten.
Diese Liste besteht aus Dezimalfolgen der reellen Zahlen zwischen 0 und 1, wobei wir o.E.d.A. alle 9-er Enden entfernt haben.

Die endlichen Dezimalfolgen sind natürlich nur abzählbar.
DIe beliebigen Dezimalfolgen indes sind überabzählbar.

Noch ein kleine, für Mächtigkeiten aber irrelvante Anmerkung: die Zahl 1/3 beispielsweise hat im Dezimalsystem keine endliche Dezimaldarstellung.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 1. Mai 2020, 03:08

Für Cantors Diagonalbeweis ist es irrelevant, in welchem Ziffernsystem man ihn durchführt. Es verschleiert bzw vereinfacht die Unterscheidung lediglich, daß man ein Element 'zwischen' z.B. 0.49 und 0.50 wählt und trennt dies von der offensichtlich potentiellen Periodendarstellung ab.
Ein unbedeutender Nebeneffekt ist natürlich, daß man die Elemente aus dem Kontinuum in einer anderen Reihenfolge heraus selektiert.
Die Unzulänglichkeit Ziffern-basierten Notationssysteme hatte ich ja bereits in einem der ersten Beiträge erwähnt.
Da kommt auch der Umstand dann her, daß 1/3 bei der Dezimalzahlbasierten Aufzählung nach hinten rückt. In einem Ziffernsystem mit 3 Ziffern (0,1,2) ist die Darstellung von 1/3 ja ganz einfach durch 0.1 gegeben.
ralfkannenberg hat geschrieben: Die endlichen Dezimalfolgen sind natürlich nur abzählbar.
DIe beliebigen Dezimalfolgen indes sind überabzählbar.
Ja, wobei es auch nicht endliche Dezimalfolgen gibt, welche abzählbar sind. Das liegt halt wie du bereits festgestellt hast an der Wahl des statischen Notationsverfahrens. Ich könnte mir aber auch Symbolbasierte Systeme vorstellen, welche nach jedem neu hinzugekommenen Element die Auswahl an möglichen nächsten Ziffern erweitern.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Mai 2020, 17:13

Hallo Skel,

ich brauche etwas mehr Zeit.

So ist es für mich völlig ungewohnt, dass:

(1) 0 < 1 <- 1 < 2 < -2 < 3 < -3 < ... oder auch
(2) 0 < 1 < 2 < 3 < ... < -1 < -2 < -3 < ...

totale Ordnungen sind. Wir haben uns in meinem Studium mit so etwas leider nie beschäftigt, ich kenne nur die auch intuitiv bekannten Ordnungen wie das übliche "<=" als totale Ordnungen.


Und irgendwie scheinen wir das bei Deiner Konstruktion ebenso wie die Wohlordnungen zu brauchen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Mai 2020, 17:44

ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Apr 2020, 18:45
Repetition: man macht das ja mit den Zwei-Tupeln positiver ganzer Zahlen, deren erste Komponente der Zähler und deren zweite Komponente der Nenner ist und "sortiert" diese dann in der Reihenfolge ihrer Summe, also zuerst diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=1 - das ist nur 0/1 = 0), dann diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=2, da kommt dann noch 1/1=1 dazu, dann diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=3, da kommen dann noch 1/2 und 2/1=2 dazu, dann diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=4, da kommen noch 1/3 und 3/1=3 dazu; schauen wir uns noch die mit Summe(Zähler+Nenner)=5 an, das sind dann 1/4, 2/3, 3/2 und 4/1=4. usw.

Und nach jedem positiven Bruch listen wir noch sein additiv Inverses, also sein Negatives auf.
Hallo zusammen,

das bedeutet aber, dass es sich bei dieser Anordnung der rationalen Zahlen ebenfalls um eine totale Ordnung handelt:

0, 1 -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 1/3, -1/3, 3, -3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4, -4, ...

ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Apr 2020, 18:45
Nun lässt sich ja jede algebraische Zahl als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Zahlen darstellen (wenn man den Hauptnenner hochmultipliziert sogar mit ganzen Zahlen); diese Polynome kann man als n-Tupel ganzer Zahlen darstellen; vom Beweis der Abzählbarkeit rationaler Zahlen wissen wir, dass 2-Tupel ganzer Zahlen abzählbar sind, und mit vollständiger Induktion zeigt man, dass auch n-Tupel ganzer Zahlen abzählbar sind: für n=3 packt man die beiden ersten Komponenten der 3-Tupel in eine Komponente: (k,l,m) = ( (k,l), m) und da wir wissen, dass (k,l):=n abzählbar ist, können wir das 3-Tupel als (n,m) darstellen und haben ein 2-Tupel zweier abzählbarer Komponenten.

Ok, wir haben also nur abzählbar viele solcher Polynome n.-ten Grades und nach dem Hauptsatz der Algebra hat jedes dieser Polynome höchstens n Nullstellen, wobei das kein Schreibfehler ist: dieses "n" und der vorgenannte "n.-te Grad" ist dasselbe n.
Und auch die algebraischen Zahlen so wie oben angedeutet aufgelistet bilden eine totale Ordnung, wenn man die Nullstellen beispielsweise ihrer üblichen Grösse nach sortiert auflistet.

Kommt mir irgendwie absurd vor, so etwas eine "Ordnung" zu nennen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Mai 2020, 18:41

ralfkannenberg hat geschrieben:
1. Mai 2020, 17:13
So ist es für mich völlig ungewohnt, dass:

(1) 0 < 1 <- 1 < 2 < -2 < 3 < -3 < ... oder auch
(2) 0 < 1 < 2 < 3 < ... < -1 < -2 < -3 < ...
Hallo zusammen,

das ist übrigens nicht die "Schuld" der negativen Zahlen, der Wettstreit zwischen geraden und ungeraden Zahlen kann das auch:

1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 < ... erfüllt ebenfalls die Bedingungen einer totalen Ordnung.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Mai 2020, 21:11

ralfkannenberg hat geschrieben:
1. Mai 2020, 17:13
So ist es für mich völlig ungewohnt, dass:

(1) 0 < 1 <- 1 < 2 < -2 < 3 < -3 < ... oder auch
(2) 0 < 1 < 2 < 3 < ... < -1 < -2 < -3 < ...
ralfkannenberg hat geschrieben:
1. Mai 2020, 17:44
das bedeutet aber, dass es sich bei dieser Anordnung der rationalen Zahlen ebenfalls um eine totale Ordnung handelt:

0, 1 -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 1/3, -1/3, 3, -3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4, -4, ...
ralfkannenberg hat geschrieben:
1. Mai 2020, 18:41
das ist übrigens nicht die "Schuld" der negativen Zahlen, der Wettstreit zwischen geraden und ungeraden Zahlen kann das auch:

1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 < ... erfüllt ebenfalls die Bedingungen einer totalen Ordnung.
Hallo zusammen,

anders als bei der natürlichen Anordnung, bei der anhand des Zahlenwertes angeordnet wird, wird bei diesen Anordnungen anhand ihrer Position angeordnet. Und zwar nicht in absoluten Positionsangaben, sondern "steht in der Anordnung früher" oder "steht in der Anordnung später".

Dabei ist es auch zulässig, dass sich zwischen zwei solcher Positionen unendlich viele andere Elemente befinden, so wie beim zweiten und beim vierten Beispiel.


Und nun kommen wir zu einem ganz wichtigen Punkt, auch wenn der zunächst unbedeutend aussieht:

alle beispielhaft genannten Anordnungen haben ein "kleinstes" Element, d.h. ein Element x0, für das gilt: x0 < x für alle x in der Menge.

Und auch jede Teilmenge dieser Mengen hat ein solches "kleinstes" Element, welches natürlich von x0 verschieden sein kann, nämlich dann, wenn x0 nicht Element der zu betrachtenden Teilmenge ist.

Mengen mit dieser Eigenschaft nennt man wohlgeordnet.

Die ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung sind ebenfalls total geordnet, aber nicht wohlgeordnet, weil es dort kein solches kleinstes Element gibt. Gleiches gilt auch für die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung und die reellen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung, auch diese sind totalgeordnet, aber nicht wohlgeordnet.

Vorsicht: Totalordnung und Wohlordnung bezieht sich nicht nur auf eine Menge, sondern auch auf die Art und Weise, wie sie angeordnet wird. Um über Totalordnung oder Wohlordnung zu befinden, ist also die Menge und die Anordnung anzugeben.

So sind die ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung nicht wohlgeordnet, wohl aber in der Anordnung vom Beispiel 1 und vom Beispiel 2.
Oder die rationalen Zahlen; in ihrer natürlichen Anordnung sind sie nicht wohlgeordnet, wohl aber in der Anordnung vom Beispiel 3.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Mai 2020, 21:47

Hallo zusammen,

und nun stellt sich die Frage, ob man eine Totalordnung auf den reellen Zahlen findet, so dass sie mit dieser Totalordnung wohlgeordnet sind.

Wären die reellen Zahlen abzählbar, so könnte man eine Bijektion in die natürlichen Zahlen angeben und entsprechend total anordnen; das Urbild der natürlichen Zahl 1 wäre dann das kleinste Element dieser Anordnung, so dass die Menge die Menge der reellen Zahlen mit dieser Totalordnung wohlgeordnet ist.

Aber gilt auch die Umkehrung ? Dadurch, dass zwischen zwei Elementen einer wohlgeordneten Totalordnung unendlich viele andere liegen dürfen, kann man nicht so ohne weiteres schliessen, dass die Menge abzählbar ist.

Aber hierüber braucht man sich den Kopf nicht zu zerbrechen, denn nach dem Wohlordnungssatz, der äquivalent zum Auswahlaxiom und zum Zornschen Lemma ist und den ich heute hier an dieser Stelle zum ersten Mal in meinem Leben anwende, gilt:

Jede Menge kann wohlgeordnet werden.


Ok, damit sind meine Ausführungen zu den Themen Totalordnung und Wohlordnung abgeschlossen; ich bitte um Feedback, wo ich dabei - um Tom's Wortwahl zu verwenden, Käse geschrieben habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 2. Mai 2020, 00:54

Hey, wie ich sehe bist du voran gekommen bei der Recherche.
Wohlordnungssatz und Auswahlaxiom sind meines Wissens nach Theoreme, die in der üblich betriebenen Mathematik weder widerlegt noch bewiesen werden können.
Gilt der Wohlordnungssatz deshalb oder nicht? Die Antwort ist einfach: Wenn man es will, kann man ihn für den daraus folgenden Kontext gelten lassen. Falls nicht, ergibt sich schlicht ein anderer Kontext. Es ist lediglich ein zusätzliches Axiom, welches unserem Wunsch entspricht es gelten zu lassen oder nicht.

Möglicherweise könnte man es auf die reelen Zahlen anwenden im Sinne von: Alle konstruierbaren Zahlen (abzählbar) seien < Restmenge. Die Restmenge könnte man wieder auf dieselbe Weise teilen. Die Restmenge ist jedoch per Definition das, was nicht konstruierbar ist bzw nicht in der konstruierbaren Menge enthalten ist.
auch, wenn ich jetzt Denkfehler meinerseits nicht ausschließe und es wohl ein Exkurs von unserem aktuellen Fokus weg ist:
Das ist meiner Meinung nach dem Umstand geschuldet, daß jede Menge aus dem Kontinuum geschöpft wird und somit darin eingebettet ist. Da das Kontinuum dem Abschluss jeder Menge entspricht, ist dieses immer mächtiger als die Menge selbst. Die Menge selbst lässt sich auch jederzeit durch eine (Körper-)Erweiterung ausdehnen, welche ihr zusätzliche Elemente aus dem Rest des Kontinuums zuweist.
Der gerade beschriebene Ansatz ist wohl ähnlich wie der Rest der Forschung und Mathematik: Zahlen werden nicht gefunden, sondern haben schon vor unserer Kenntniss von ihnen bereits existiert. Man entdeckt sie lediglich irgendwo im Kontinuum, indem man eine Konstruktionsvorschrift für sie findet, mit der man diese auswählen bzw definieren kann.
Jede Menge ist in ein Kontinuum eingebettet und lässt sich erweitern. So gesehen sind alle existenten Mengen unvollständig, bis auf das Kontinuum, was man am ehesten als 'die Menge aller Mengen' auffassen kann.

Man muss sich denke ich jederzeit klar darüber bleiben, daß es sich bei unserer Mathematik lediglich um ein Konstrukt handelt, welches wir selbst durch Axiome definieren.

Gruß, Skel

ps: Die Frage ob eine Menge mehr Elemente als eine mächtigere Menge hat ist vermutlich äquivalent zu der Frage, ob die Menge aller konstruierbaren Zahlen mächtiger ist als das Kontinuum, in welchem sie eingebettet ist. Für mich ist die Frage weder mit 'mehr' oder 'weniger' Elemente beantwortbar. Für mich ergibt die Fragestellung schlicht keinen Sinn, da es sich nicht um eine Frage der Anzahl handelt sondern mehr mit der Struktur zusammenhängt. Im Kontinuum wird unsere Menge durch seine Konstruktionsvorschrift aufgespannt. Das war auch der Grund, weshalbich anfangs mal betonte, daß die Abzählbarkeit der Konstruktionsvorschriften die aus ihnen resultierenden Elemente auch abzählbar bzw unvollständig macht.
In meinem Beispiel entspricht die lila Linie dem Kontinuum, und alles links daneben mit der Knotenkonstruktion dient lediglich dazu, Elemente aus diesem Kontinuum zu fischen bzw auszuwählen.
Deshalb ist der Begriff auch 'unvollständig'. Egal, wie die Konstruktionsvorschrift, mit welcher man die Menge aufspannt, ist, ist der sich aus dieser Vorschrift heraus aufpannende Baum unvollständig bzw offen. Es lässt sich immer ein Element herauspicken, was sich erst an einer der virtuellen Astspitzen finden lässt.

Vergleiche es mal mit der Unvollständigkeit der natürlichen Zahlen. Machen wir es ähnlich wie Cantor:
Du gibst mir eine vollständige Liste alle natürlichen Zahlen
Ich konstruiere aus dieser Liste eine Zahl, deren Primfaktorzerlegung sich aus dem Durchschnitt aller Primzahlfaktoren deiner Zahlen ergibt.
Da bekomme ich im Grenzfall als Ergebnis eine Zahl, die aus dem Produkt aller Primzahlen besteht, die in irgendeiner deiner genannten Zahlen mal als Primfktor vorkamen. Daß meine Zahl in der Liste natürlicher Zahlen nicht enthalten ist, ist offensichtlich.
Wie bei der abzählbaren Liste endlicher Konstruktionsvorschriften, gebe ich etwas an, das sich erst im Unendlichen ergibt. Dabei ist denke ich unerheblich, daß sich Cantors Diagonalzahl um einen mindestens infinitesimalen Wert von jeder anderen Zahl unterscheidet, während sich meine Zahl um einen beliebig hohen Wert von jeder deiner Zahlen unterscheidet.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2020, 03:25

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2020, 00:54
Wohlordnungssatz und Auswahlaxiom sind meines Wissens nach Theoreme, die in der üblich betriebenen Mathematik weder widerlegt noch bewiesen werden können.
Gilt der Wohlordnungssatz deshalb oder nicht? Die Antwort ist einfach: Wenn man es will, kann man ihn für den daraus folgenden Kontext gelten lassen. Falls nicht, ergibt sich schlicht ein anderer Kontext. Es ist lediglich ein zusätzliches Axiom, welches unserem Wunsch entspricht es gelten zu lassen oder nicht.
Hallo Skel,

nur ganz kurz, zu normalen Uhrzeiten mehr: in einer Mathematik, in der das Auswahlaxiom gilt, gelten auch der Wohlordnungssatz und das Zornsche Lemma.

Früher waren viele Mathematiker der Ansicht, dass eine Mathematik ohne Auswahlaxiom und eine Mathematik mit Auswahlaxiom im Wesentlichen gleich seien, doch wurden vor wenigen Jahren Resultate gefunden, die in beiden Mathematiken unterschiedlich sind.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2020, 00:54
Zahlen werden nicht gefunden, sondern haben schon vor unserer Kenntniss von ihnen bereits existiert. Man entdeckt sie lediglich irgendwo im Kontinuum, indem man eine Konstruktionsvorschrift für sie findet, mit der man diese auswählen bzw definieren kann.
Das sehe ich auch so.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2020, 00:54
Jede Menge ist in ein Kontinuum eingebettet und lässt sich erweitern. So gesehen sind alle existenten Mengen unvollständig, bis auf das Kontinuum, was man am ehesten als 'die Menge aller Mengen' auffassen kann.
Das indes sehe ich nicht so: das Kontinuum ist meines Wissens die Menge aller Punkte einer Geraden und damit bijektiv zur Menge aller reellen Zahlen, wenn man die reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen via Cauchy-Folgen mit rationalen Folgengliedern definiert. Man kann zeigen, dass diese Definition und die axiomatische Definition der reellen Zahlen über die Dedekindschen Schnitte äquivalent sind.

Allerdings kann man die Potenzmenge der Menge der reellen Zahlen bilden und diese ist übemächtig. Wie man das konkret macht ist mir persönlich zwar unklar, da man die reellen Zahlen ja nicht in eine Liste schreiben kann, aber wenn es einen Mechanismus gibt, Potenzmengen zu bilden, dann geht das. Aber die Potenzmenge der reellen Zahlen bzw. die Potenzmenge des Kontinuums sind sicherlich Teilmengen der Menge aller Mengen, d.h. die Mächtigkeit des Kontinuums ist "echt kleiner" als die Mächtigkeit der Menge aller Mengen.

Ja man kann meinem Verständnis nach sogar sagen, dass P(P(P( ..... (IR) ..... ))), die mit jedem zusätzlichen P, also jeder zusätzlichen Potenzmengenbildung, eine höhere Mächtigkeit erhält, immer noch eine Teilmenge der Menge aller Mengen ist. Entsprechend verwundert es nicht, dass man mit der Menge aller Mengen, die da Eigenschaften mit Teilmengen aufweist, beispielsweise sich selber als Teilmenge nicht enthält, Probleme bekommt.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 2. Mai 2020, 05:23

ralfkannenberg hat geschrieben:
2. Mai 2020, 03:25
Früher waren viele Mathematiker der Ansicht, dass eine Mathematik ohne Auswahlaxiom und eine Mathematik mit Auswahlaxiom im Wesentlichen gleich seien, doch wurden vor wenigen Jahren Resultate gefunden, die in beiden Mathematiken unterschiedlich sind.
Ja, das ist das leidige an der ständigen Wissenschaft. Ständig muss man darauf warten, daß der Großteil ihre alte eingefahrene Schiene verlässt. Ich finde es teilweise etwas traurig, daß so etwas wie der Diagonalsatz überhaupt notwendig ist, um den Leuten durch die unzureichende Terminologie unserer Sprache eine ungefähre Vorstellung davon geben zu können, was gemeint ist.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2020, 00:54
Jede Menge ist in ein Kontinuum eingebettet und lässt sich erweitern. So gesehen sind alle existenten Mengen unvollständig, bis auf das Kontinuum, was man am ehesten als 'die Menge aller Mengen' auffassen kann.
Das indes sehe ich nicht so: das Kontinuum ist meines Wissens die Menge aller Punkte einer Geraden und damit bijektiv zur Menge aller reellen Zahlen, wenn man die reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen via Cauchy-Folgen mit rationalen Folgengliedern definiert. Man kann zeigen, dass diese Definition und die axiomatische Definition der reellen Zahlen über die Dedekindschen Schnitte äquivalent sind.
Und hier fangen meiner Meinung nach bereits die Mehrdeutigkeiten der Sprache an unsere ohnehin unzureichende Kommunikation zu verkomplizieren.
IR ist von den konstruierbaren Zahlen aus gesehen eine Obermenge/Kontinuum. Sie ist selbst nur ein einzelnes Element eines noch größeren Kontinuums. Mit diesem übergeordneten Kontinuum ist aber jetzt z.B. bezüglich deiner angesprochenen Einheitslinie nicht eine Einheitsquadrat im Sinne einer Fläche gemeint (Peano bewies 1890 nach, daß es eine bijektive stetige(!) Bijektion zwischen [0,1] und [0,1]x[0,1] gibt).
ralfkannenberg hat geschrieben: Allerdings kann man die Potenzmenge der Menge der reellen Zahlen bilden und diese ist übemächtig. Wie man das konkret macht ist mir persönlich zwar unklar, da man die reellen Zahlen ja nicht in eine Liste schreiben kann, aber wenn es einen Mechanismus gibt, Potenzmengen zu bilden, dann geht das. Aber die Potenzmenge der reellen Zahlen bzw. die Potenzmenge des Kontinuums sind sicherlich Teilmengen der Menge aller Mengen, d.h. die Mächtigkeit des Kontinuums ist "echt kleiner" als die Mächtigkeit der Menge aller Mengen.
Okay, jetzt bin ich mir nicht ganz sicher, wie viel % der Mathematiker den Begriff ausschließlich auf IR und dessen Bijektionen beschränken. Meiner Meinung nach ist der Begriff für alles verwendbar, was eine abzählbare Menge durch sein Komplement vervollständigt. Aus Sicht jeder Mächtigkeit, ist die nächsthöhere Mächtigkeit ein Kontinuum?

Potenzmenge von IR? Ich glaube die Anzahl aller Permutationen von IR beliebig hintereinandergeschachtelt? Also IR^n würde ich tippen, mit n-> unendlich erhält man die nächste Mächtigkeit. ...würde ich zumindest vermuten. IRxIR reicht hier denke ich nicht aus, da bijektiv auf IR abbildbar.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2020, 08:45

ralfkannenberg hat geschrieben:
1. Mai 2020, 21:11
anders als bei der natürlichen Anordnung, bei der anhand des Zahlenwertes angeordnet wird, wird bei diesen Anordnungen anhand ihrer Position angeordnet. Und zwar nicht in absoluten Positionsangaben, sondern "steht in der Anordnung früher" oder "steht in der Anordnung später".

Dabei ist es auch zulässig, dass sich zwischen zwei solcher Positionen unendlich viele andere Elemente befinden, so wie beim zweiten und beim vierten Beispiel.
Hallo zusammen,

sorry Skel, ich muss gleich los, deswegen nur eine Ergänzung zu vorherigem von mir:

vermutlich enthält die axiomatisch gesicherte Wohlordnung der reellen Zahlen unendlich vieler solcher "unendlich vielen anderen Elemente", denn gäbe es nur endlich von ihnen, so könnte man die "anderen" hintereinander schreiben und all' diese unendlichen Unterbrüche gemeinsam nach hinten schieben. Dann aber wäre diese Menge abzählbar unendlich.

Also das erste von der ersten Gruppe, dann das erste von der zweiten Gruppe, bis zum ersten von der n.-ten Gruppe, dann das zweite der ersten Gruppe, dann das zweite der zweiten Gruppe u.s.w..


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 2. Mai 2020, 09:28

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2020, 05:23
Potenzmenge von IR? Ich glaube die Anzahl aller Permutationen von IR beliebig hintereinandergeschachtelt? Also IR^n würde ich tippen, mit n-> unendlich erhält man die nächste Mächtigkeit. ...würde ich zumindest vermuten.
Nicht Anzahl aller Permutationen, Menge aller Teilmengen.

n „gegen unendlich“ ist nicht ausreichend, da für beliebiges endliches n immer Gleichmächtigkeit zum Kontinuum vorliegt. Die Folge der Mächtigkeiten |R^n| = |R| konvergiert nicht gegen |P(R)| > |R|.

Dass die Potenzmenge P(R) die zu R nächste Mächtigkeit liefert ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Kontinuumshypothese; diese ist nach Gödel und Cantor weder beweisbar noch widerlegbar. P(R) liefert jedoch sicher eine höhere Mächtigkeit |P(R)| > |R|. Ein Beispiel einer derartigen Mächtigkeit wäre die Menge F aller Funktionen f von R auf R:

F = {f: R → R}
|F| = |P(R)|
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 2. Mai 2020, 09:52

Hi Tom, Danke für die Berichtigung. Wie ich schrieb hatte ich in dem Abschnitt nur geraten.
Welche Mächtigkeit hätte denn die Anzahl möglicher Permutationen von R?

Achja, R^n war ungünstig ausgedrückt; eigentlich meinte ich etwas ähnliches zu P(R)^n, aber irgendwie war da dann die Verwirrung, ob P(R) gleichmächtig ist zur Menge aller Permuttionen von R.

Soweit ich das beurteilen kann, ist die Menge der Permutationen über alle konstruierbaren Zahlen gleichmächtig zu 2^N, lso gleichmächtig zur Potenzmenge. Ich nahm an, das sei bei R möglicherweise ähnlich gelagert. Ersteres sieht man denke ich ganz gut an meiner Konstruktion im Schaubild, da man dort bei praktisch jedem der abzählbaren Knoten den unteren und oberen Ast vertauschen kann.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 2. Mai 2020, 10:29

Nee, du meinst einfach P(P(R)).


Die Menge aller Permutationen von R sagt mir nichts. Permutationen ohne Wiederholung zu einer Menge M = {a, b, ...} liefert die Menge {ab..., ba... , ...}. In dieser Konstruktion steckt die Abzählbarkeit bzw. Endlichkeit von M.

Permutationen von R wären dann soetwas wie Mengen R, R1, R2, ... wobei sich alle Ri untereinander sowie von R selbst nur in der Anordnung der reellen Zahlen unterscheiden (und wobei hier keine Abzählbarkeit vorliegen muss, auch wenn die Notation das suggeriert). Damit wäre die Menge aller Permutionen Π(R) von R eine echte Teilmenge der von mir genannten Funktionen F von R auf R

Π(R) ⊂ F = {f: R → R}

denn jedes Element π ∈ Π definiert eine Bijektion

R → π(R)

und damit ist π ∈ F.

Damit gilt sicher

|R| ⩽ |Π(R)| ⩽ |P(R)| = |F|

Ich sehe jedoch nicht, wie ich eine genauere Aussagen ableiten könnte.

EDIT: Deswegen ist jede Definition, die (implizit) mit abzählbaren oder konstruierbaren Objekten oder Operationen arbeitet, potentiell dazu geeignet, in dem Sinne falsch zu sein, dass sie die Überabzählbarkeit „verpasst“ oder „verschleiert“. Z.B. sind R und F nicht konstruierbar. Daher darf man sich auch Π(R) nicht mittels konstruierbarer Objekte nähern, da man dann immer nur ein

Π´ ≠ Π

mit

|Π´| < |Π|

konstruiert und möglicherweise den interessanten - bisher weder bewiesenen noch widerlegten - Fall

|Π| = |P|

verpasst.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 2. Mai 2020, 13:21

Wie ich sagte, weiß ich nicht ob
|Π| = |P|
gilt.
tomS hat geschrieben:
2. Mai 2020, 10:29
Damit gilt sicher

|R| ⩽ |Π(R)| ⩽ |P(R)| = |F|
Das halt ich auch für sicher.

Ich hatte nur gedacht, daß
|R| < |Π(R)|
sei, war mir da aber ziemlich unsicher. Ob das gilt kannst du aus dem Stehgreif also auch nicht sagen?
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 2. Mai 2020, 14:15

Sagen wir so:

F = {f: R → R}

Damit ist

Π = {π ∈ F | π bijektiv} ⊂ F

restriktiver als F.

Um entscheiden zu können, was hier

|R| ⩽ |Π(R)| ⩽ |P(R)| = |F|

genau gilt, müsste man evtl. wieder ein Diagonalargument anführen.


Skizze: Nehmen wir an, es wäre |R| = |Π(R)|. Dan müsste es eine Funktion

ψ: R × R → R
ψ(r,x) = πr(x)

geben, so dass wenn r ∈ R ganz R durchläuft, auch ψ(r,x) ganz Π(R) durchläuft.

Mit anderen Worten: unter der Annahme |R| = |Π(R)| wäre

Π(R) = r ∈ R {ψ(r,.)}

Das riecht förmlich nach einem Diagonalargument.


Vorab: nehmen wir an, die Frage bzgl. < oder = wäre innerhalb ZF oder ZFC entscheidbar. Dann ist sicher

entweder |R|= |Π(R)| < |P(R)| = |F|
oder |R| < |Π(R)| = |P(R)| = |F|

denn andernfalls wäre die Frage innerhalb ZF oder ZFC nicht entscheidbar und wir hätten mit |Π(R)| ein einfaches Beispiel für die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese.

Ich denke jedoch, dass ein derart einfaches Beispiel sehr bekannt wäre. Und da es offenbar nicht so bekannt ist, glaube ich an die Entscheidbarkeit.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Mai 2020, 00:34

Hallo zusammen,

durch googlen bin ich auf diesen 12 Jahre alten Thread gestossen:

Unendlichkeiten in der Mathematik


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Mai 2020, 00:40

tomS hat geschrieben:
2. Mai 2020, 09:28
P(R) liefert jedoch sicher eine höhere Mächtigkeit |P(R)| > |R|. Ein Beispiel einer derartigen Mächtigkeit wäre die Menge F aller Funktionen f von R auf R:

F = {f: R → R}
|F| = |P(R)|
Hallo Tom,

hier aber hast Du noch geschrieben, dass Du das nicht beweisen kannst. Was hat in den vergangenen 12 Jahren Deine Meinung geändert ?

Eine Frage: bedeutet F = {f: R → R}, dass die f in F surjektiv sind ? Und wenn ja: wäre das nicht die Menge der Permutationen über IR, also Π(IR) ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 3. Mai 2020, 04:31

Hey,
Danke, daß du die Threads wieder heraus gekramt hast. Soweit ich das beurteilen kann ist seine jetzige meinung konsistent mit damals.
tomS hat geschrieben: Es ist ja mittels der Potenzmenge der reellen Zahlen möglich, eine Mächtigkeit jenseits der reellen Zahlen zu konstruieren. M.W.n. ist die Menge aller Funktionen, die die reellen Zahlen auf sich selbst abbilden, gleichmächtig zur Potenzmenge der reellen Zahlen (beweisen kann ich das nicht).
Der zweite Satz ist eigentlich genau das, was ich auch vermutet habe, mir aber hier nicht sicher war, bevor Tom sich gemeldet hat.
Es ist schön zu sehen, daß Tom damals n genau demselben geknabbert hat :-)
Bei Gleichmächtigkeit müsste man die Menge der Permutationen bijektiv auf die Potenzmenge von R abbilden können. Ich dachte anfangs kurz das sei dasselbe, aber die Potenzmenge schließt eben auch Mengen ein, bei denen ggf Teilmengen weg gelassen werden. Trotzdem hätte ich ursprünglich (auch jetzt) angenommen, die seien gleichmächtig.
Ich denke worum es geht ist die Nichtbeweisbarkeit einer Mächtigkeit zwischen N und P(N), genauso dann analog ob es eine Mächtigkeit zwischen R und P(R) gibt.

Aus dem was ich jetzt hier so gelesen habe und von meinem Wissen her würde ich sagen, daß die Menge der Permutationen von R in jedem Fall mächtiger ist als R und lediglich die Gleichmächtigkeit zu P(R) strittig ist. Man weiß also nicht, ob es eine Mächtigket dazwischen gibt. Habe ich es jetzt richtig verstanden, daß du darauf hinaus willst tom?

Ich würde eher bei P(R) ansetzen, und dann versuchen zu zeigen, daß die Menge der Permutationen ggf weniger mächtig ist.
Aber das läuft wohl auf das Analog hinaus, ob P(N) gleichmächtig ist zu der Menge der Permutationen von N. Ich habe das Internet durchsucht, aber ich finde nichts zu Permutationen von N oder R. Aber die Struktur der Permutationsbildung von N flüstert mir halbverständlich zu, daß es für die Mächtigkeit keine Rolle spielt, ob man die Permutationen über ganz N betrachtet oder nur über einen Teil davon. Das wird wohl bei R ähnlich sein?
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 3. Mai 2020, 07:38

ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2020, 00:40
tomS hat geschrieben:
2. Mai 2020, 09:28
P(R) liefert jedoch sicher eine höhere Mächtigkeit |P(R)| > |R|. Ein Beispiel einer derartigen Mächtigkeit wäre die Menge F aller Funktionen f von R auf R:

F = {f: R → R}
|F| = |P(R)|
Hallo Tom,

hier aber hast Du noch geschrieben, dass Du das nicht beweisen kannst. Was hat in den vergangenen 12 Jahren Deine Meinung geändert ?
Ich habe damals geschrieben

„Ein Beispiel ist die Menge aller Funktionen, die R auf R abbilden. Diese Menge hat beweisbar eine größere Mächtigkeit als R.“

„... ist die Menge aller Funktionen, die die reellen Zahlen auf sich selbst abbilden, gleichmächtig zur Potenzmenge der reellen Zahlen (beweisen kann ich das nicht).“

Etwas googeln liefert diverse Beweise ;-)
ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2020, 00:40
Eine Frage: bedeutet F = {f: R → R}, dass die f in F surjektiv sind ? Und wenn ja: wäre das nicht die Menge der Permutationen über IR, also Π(IR) ?
Nein.

Es handelt sich um beliebige Funktionen, stetige wie unstetige, injektive und nicht-inkektive, surjektive wie nicht-surjektive, ...
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 3. Mai 2020, 11:01

Ich denke, die folgende Beweisskizze ist ausreichend, um für die Bijektionen

Π = {π: R → R | π bijektiv}

zu zeigen, dass

|Π(R)| = |F| = |P(R)| = 2|R|

gilt.


Sei π(x) auf jedem endlichen Intervall X ⊂ R+ streng monoton, d.h.

∀ a,x ∈ X: x > a → π(x) > π(a)

Dann ist π(x) invertierbar und eine Bijektion.

Wenn π(x) beliebig unstetig ist, dann kann für jedes x > a der Funktionswert aus dem Intervall

π(x) ⊂ ] π(a), + ∞[

gewählt werden ★

Damit ist π(x) streng monoton.


Sei nun

F′ = {f: R → R | f beschränkt auf X ⊂ R+ } ⊂ F

mit

|F′| = |F|

Die Tatsache, dass die F′ beschränkt sind, ändert nichts an der Mächtigkeit.

Dann liefert

π(x) : π(x) = f(x) + d(x)

d(x) > max0<a<xπ(a) - f(x)

mögliche Wahlen für die o.g. Funktionswerte ★

π(x) ⊂ ] π(a), + ∞[

und damit Bijektionen

Π′ ⊆ Π

von mindestens gleicher Mächtigkeit wie |F′|, d.h. Mächtigkeit |F|.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Mai 2020, 12:13

tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 07:38
ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2020, 00:40
tomS hat geschrieben:
2. Mai 2020, 09:28
P(R) liefert jedoch sicher eine höhere Mächtigkeit |P(R)| > |R|. Ein Beispiel einer derartigen Mächtigkeit wäre die Menge F aller Funktionen f von R auf R:

F = {f: R → R}
|F| = |P(R)|
tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 07:38
Es handelt sich um beliebige Funktionen, stetige wie unstetige, injektive und nicht-inkektive, surjektive wie nicht-surjektive, ...
Hallo Tom,

bevor ich versuche, Deine beiden Beweisskizzen zu verstehen habe ich noch eine Frage.

Und zwar möchte ich eine Teilmenge G von F betrachten, die wie folgt definiert ist:

G = {g: R → {0,1} ⊂ R}
A⊂P(R)

sei A⊂P(R) und gA in G wie folgt definiert:

gA(x) = 1, wenn x in A
gA(x) = 0, wenn x nicht in A

gA ist also gewissermassen eine Indikator-Funktion, ob x in A liegt oder nicht. Somit sollte es eine Bijektion zwischen den gA und P(A) geben, d.h. G wäre gleichmächtig zu P(A).

Und da G nur einen Wertebereich von {0,1} hat, habe ich Grund für die Annahme, dass G "viel weniger mächtig" als F ist.


Mein Gefühl sagt mir, dass diese Argumentation falsch ist, aber ich sehe den Denkfehler nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 3. Mai 2020, 12:39, insgesamt 4-mal geändert.

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 3. Mai 2020, 15:42

ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2020, 12:13
Und zwar möchte ich eine Teilmenge G von F betrachten, die wie folgt definiert ist:

G = {g: R → {0,1} ⊂ R}

ok
ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2020, 12:13
A⊂P(R)

sei A⊂P(R) und gA in G wie folgt definiert:

gA(x) = 1, wenn x in A
gA(x) = 0, wenn x nicht in A
Also G ⊂ F ist eine Menge von Funktionen g von R auf R. Demnach durchläuft x die reellen Zahlen.

Dann ist A ⊂ P(R), d.h. A ist eine Teilmenge der Potenzmenge von R.

Damit ist „ wenn x in A“ sinnlos, denn x as reelle Zahl kann nur in einer Teilmenge der reellen Zahlen enthalten sein, nicht in einer Teilmenge der Menge aller Teilmengen.


Betrachte dein Beispiel für eine endliche Menge:

Eine Grundmenge R {0,1,2}

Eine Menge F der Funktionen von R auf R, z.B. { {f(0)=0, f(1)=0, f(1)=0}; ... {f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2}; ... }

Deine Teilmenge G

G = {g: R → {0,1} ⊂ R}

würde dann z.B. die erste o.g. Funktion f(0)=0, f(1)=0, f(1)=0 enthalten, die zweite jedoch nicht, da f(2)=2.

Dein „gA(x) = 1, wenn x in A“ funktioniert nicht, denn
i) x durchläuft 0,1,2; jedoch
ii) A ist die Teilmenge von P(R) = { {}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, ... {0,1,2} }
Gruß
Tom

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