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Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 23:00

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 22:44
Als nächstes kannst du ja versuchen jedem Knoten im Baum einen Punkt auf der lila Linie zuzuweisen (das geht tatsächlich).
Hallo Skel,

ich hätte ja zunächst gemeint, dass man von jedem Knoten direkt (d.h. waagerecht) weiter zur lila Linie gehen kann. Das wäre der Fall, dass man den Grenzwert bereits nach endlich vielen Schritten erreicht hat.

Wobei man im Baum mit dem 1-er Ende oder dem 0-er Ende wieder zurückkommen kann, d.h. man erreicht den Grenzwert schon nach endlich vielen Schritten, geht dann einen Schritt von ihm wieder weg und kann sich ihm nun asymptotisch wieder annähern ...

Im Zehnersystem wäre das die Cauchy-Folge (0.5, 0.49, 0.499, 0.4999 usw.) oder in die andere Richtung abzweigend (0.5, 0.51, 0.501, 0.5001 usw.), statt einfach (0.5, 0.5, 0.5, 0.5 usw.) zu nehmen.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2020, 02:32

ralfkannenberg hat geschrieben:
20. Apr 2020, 23:00
ich hätte ja zunächst gemeint, dass man von jedem Knoten direkt (d.h. waagerecht) weiter zur lila Linie gehen kann. Das wäre der Fall, dass man den Grenzwert bereits nach endlich vielen Schritten erreicht hat.
Hmm, dann würdest du das traversieren des baumes von der Wurzel an die Spitzen als eine Aufsummierung der mit den Knoten assoziierten Durchschnittswerte betrachten. Das geht natürlich auch, daß man einfach irgendwo nach einer endlichen anzahl Schritte aufhört.
Aber statt beim Knoten aufzuhören, kann man auch einfach die nächste abzweigung nach oben und dann immer unten halten. Effektiv kommt man dann auf denselben Wert. Im Grunde wäre das vom entsprechenden Knotenwert aus +1/2 -1/4 -1/8 -1/16 -1/32 usw, was letztlich derselben Wert ergibt. Man landet genau da, wie wenn man vom Knoten einfach wagerecht nach rechts gegangen wäre.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 09:57

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 02:32
Hmm, dann würdest du das traversieren des baumes von der Wurzel an die Spitzen als eine Aufsummierung der mit den Knoten assoziierten Durchschnittswerte betrachten.
Hallo Skel,

von "Durchschnittswerten" schreibst Du nun zum ersten Mal. Wofür sind diese notwendig ?

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 02:32
Das geht natürlich auch, daß man einfach irgendwo nach einer endlichen anzahl Schritte aufhört.
Was kann ich dafür, wenn der Grenzwert schon nach endlich vielen Schritten erreicht wird ? Mag unsexy sein, ist aber eigentlich mein Lieblingsfall. Und auch wenn das praxisfremd sein mag: einen Grenzwert zu treffen, dann absichtlich von ihm weggehen, um sich ihm wieder asymptotisch anzunähern ist m.E. auch nicht gerade praxisnahe.

Letztlich verkommen dadurch alle Grenzwerte, auch die "schönen", zu Approximationen, die erst im Unendlichen erreicht werden.


Und schlimmer noch:
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 02:32
Aber statt beim Knoten aufzuhören, kann man auch einfach die nächste abzweigung nach oben und dann immer unten halten. Effektiv kommt man dann auf denselben Wert. Im Grunde wäre das vom entsprechenden Knotenwert aus +1/2 -1/4 -1/8 -1/16 -1/32 usw, was letztlich derselben Wert ergibt. Man landet genau da, wie wenn man vom Knoten einfach wagerecht nach rechts gegangen wäre.
Nun bekommt jede Zahl mit endlich vielen nicht-trivialen Nachkommastellen eine dreifache Schreibweise: den exakten Wert, einen Grenzwert von oben und einen Grenzwert von unten ...

Passt letztlich schon, aber ich habe es dennoch lieber einfach.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2020, 14:10

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 09:57
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 02:32
Hmm, dann würdest du das traversieren des baumes von der Wurzel an die Spitzen als eine Aufsummierung der mit den Knoten assoziierten Durchschnittswerte betrachten.
von "Durchschnittswerten" schreibst Du nun zum ersten Mal. Wofür sind diese notwendig ?
Nowendig sind die nicht, aber praktisch. Das war die Sache, daß man der Menge, welche z.B. [1/2 , 1[ beinhaltet, den Wert 3/4 als Repräsentant zuweisen könnte. Damit arbeitest du doch schon, wie ich aus deinem Text weiter unten schließe.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 02:32
Aber statt beim Knoten aufzuhören, kann man auch einfach die nächste Abzweigung nach oben und dann immer unten halten. Effektiv kommt man dann auf denselben Wert. Im Grunde wäre das vom entsprechenden Knotenwert aus +1/2 -1/4 -1/8 -1/16 -1/32 usw, was letztlich derselben Wert ergibt. Man landet genau da, wie wenn man vom Knoten einfach wagerecht nach rechts gegangen wäre.
Nun bekommt jede Zahl mit endlich vielen nicht-trivialen Nachkommastellen eine dreifache Schreibweise: den exakten Wert, einen Grenzwert von oben und einen Grenzwert von unten ...
Den Grenzwert von unten eben nicht. Das sind die offenen Stellen, in denen sich die Offenheit der Menge versteckt. Die Intervalle schließen ihren Endpunkt nicht ein. Bei [0,1/2[ ist das 1/2 nicht dabei. Irgendwie ist es sowieso lustig, daß [0,1[ und ]0,1] denselben Mittelpunkt haben :) Aber das nur als Randbemerkung.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 14:21

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:10
ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 09:57
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 02:32
Hmm, dann würdest du das traversieren des baumes von der Wurzel an die Spitzen als eine Aufsummierung der mit den Knoten assoziierten Durchschnittswerte betrachten.
von "Durchschnittswerten" schreibst Du nun zum ersten Mal. Wofür sind diese notwendig ?
Nowendig sind die nicht, aber praktisch. Das war die Sache, daß man der Menge, welche z.B. [1/2 , 1[ beinhaltet, den Wert 3/4 als Repräsentant zuweisen könnte. Damit arbeitest du doch schon, wie ich aus deinem Text weiter unten schließe.
Hallo Skel,

ach, das sind Intervalle ... - ich dachte, das wären Punkte.

Das heisst, Dein Baum besteht aus Intervallen und nicht aus Punkten ...


Also gut, reset zur Position 1 in Deiner Konstruktion ... :shock:


Wir haben also nicht zwei, sondern drei "Dinger":

1. links vom Schieber:
Schon abgearbeitete Knoten - das sind aber konkrete Zahlen, nicht wahr ? Und zwar im Binärsystem von im Schritt n von 0 bis 2n - 1

2. rechts vom Schieber:
2n Intervalle mit Länge 1/(2n)

3. lila Linie:
Grenzübergang, d.h. Intervalle der Länge 0


Stimmt das soweit ?


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2020, 14:57

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:21
ach, das sind Intervalle ... - ich dachte, das wären Punkte.
Das heisst, Dein Baum besteht aus Intervallen und nicht aus Punkten ...
Das kann man so oder so machen. Ob man den Mengen einen Stellvertreter zuweist oder nicht ist eigentlich optional. Bei der reinen Aufteilung in Mengen ist das nicht drin. Wie gesagt, es ist optional und eigentlich überflüssig, da die Werte ohnehin auch auf der lila Kurve zu finden sind.
Ich tendiere dazu das weg zu lassen, es kann aber helfen paar Sachen anschaulicher zu machen.
ralfkannenberg hat geschrieben: 1. links vom Schieber:
Schon abgearbeitete Knoten - das sind aber konkrete Zahlen, nicht wahr ? Und zwar im Binärsystem von im Schritt n von 0 bis 2n - 1
Wie gesagt, eigentlich sind es Mengen, die jeweils zwei Mengen als Elemente haben. Ob man da einen Wert zuweist oder nicht ist denke ich unerheblich.
ralfkannenberg hat geschrieben: 2. rechts vom Schieber:
2n Intervalle mit Länge 1/(2n)

3. lila Linie:
Grenzübergang, d.h. Intervalle der Länge 0
Stimmt das soweit ?
Ja, denke schon.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 14:57

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:10
Irgendwie ist es sowieso lustig, daß [0,1[ und ]0,1] denselben Mittelpunkt haben :)
Hallo Skel,

wieso ? - Der Rand eines Intervalls hat doch nur den Durchmesser 0 und das genügt nicht, den Mittelpunkt zu verschieben.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2020, 15:04

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:57
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:10
Irgendwie ist es sowieso lustig, daß [0,1[ und ]0,1] denselben Mittelpunkt haben :)
wieso ? - Der Rand eines Intervalls hat doch nur den Durchmesser 0 und das genügt nicht, den Mittelpunkt zu verschieben.
Ja, ist ja trivial. Man verschiebt die ganze Menge um einen Punkt nach oben, der Mittelpunkt wird nicht um eins nach oben verschoben.
Es ist weder interessant, noch paradox oder sonstwas. Ichwollte nichts konkretes oder wichtiges damit sagen und fand es einfach nur lustig, weil es mich kurz für eine Sekunde zum Grübeln gebracht hat. Sorry, ich sollte solche Randbemerkungen vielleicht weglassen. Ich wollte nichts wirklich relevantes damit sagen.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 15:06

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:57
ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:21
ach, das sind Intervalle ... - ich dachte, das wären Punkte.
Das heisst, Dein Baum besteht aus Intervallen und nicht aus Punkten ...
Das kann man so oder so machen. Ob man den Mengen einen Stellvertreter zuweist oder nicht ist eigentlich optional. Bei der reinen Aufteilung in Mengen ist das nicht drin. Wie gesagt, es ist optional und eigentlich überflüssig, da die Werte ohnehin auch auf der lila Kurve zu finden sind.
Hallo Skel,

so weit bin ich gedanklich noch nicht. Machen wir den Grenzübergang zur lila Kurve bitte erst später.

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:57
Ich tendiere dazu das weg zu lassen, es kann aber helfen paar Sachen anschaulicher zu machen.
Streichen kann man das immer noch. Lass mich erst einmal Deine Baumkonstruktion unter den neuesten Erkenntnissen verstehen.
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:57
ralfkannenberg hat geschrieben: 1. links vom Schieber:
Schon abgearbeitete Knoten - das sind aber konkrete Zahlen, nicht wahr ? Und zwar im Binärsystem von im Schritt n von 0 bis 2n - 1
Wie gesagt, eigentlich sind es Mengen, die jeweils zwei Mengen als Elemente haben. Ob man da einen Wert zuweist oder nicht ist denke ich unerheblich.
Diese Mengen sind aber wegen der Vollständigkeit von [0,1) identisch gleich, nicht wahr ? Dass ich da vorne n Nachkommastellen in eine andere Menge verschoben habe ändert ja nichts daran - man könnte da vermutlich problemlos Äquivalenzklassen drüberlegen.

Könnte - ich habe nicht im Sinn, das jetzt konkret zu tun.

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:57
ralfkannenberg hat geschrieben: 2. rechts vom Schieber:
2n Intervalle mit Länge 1/(2n)

3. lila Linie:
Grenzübergang, d.h. Intervalle der Länge 0
Stimmt das soweit ?
Ja, denke schon.
Ich vermute, dass es mir lieber gewesen wäre, wenn sich da noch ein Gedaneknfehler drin befunden hätte.

Aber egal: momentan befinden wir uns noch links vom Schieber. Bist Du einverstanden, dass jede Untermenge rechts vom Schieber identisch gleich ist, und zwar für alle n ?


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 15:08

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 15:04
ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:57
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 14:10
Irgendwie ist es sowieso lustig, daß [0,1[ und ]0,1] denselben Mittelpunkt haben :)
wieso ? - Der Rand eines Intervalls hat doch nur den Durchmesser 0 und das genügt nicht, den Mittelpunkt zu verschieben.
Ja, ist ja trivial. Man verschiebt die ganze Menge um einen Punkt nach oben, der Mittelpunkt wird nicht um eins nach oben verschoben.
Es ist weder interessant, noch paradox oder sonstwas. Ichwollte nichts konkretes oder wichtiges damit sagen und fand es einfach nur lustig, weil es mich kurz für eine Sekunde zum Grübeln gebracht hat. Sorry, ich sollte solche Randbemerkungen vielleicht weglassen. Ich wollte nichts wirklich relevantes damit sagen.
Hallo Skel,

ganz im Gegenteil - diese Randbemerkungen sind es, die das ganze oft zusätzlich erhellen bzw. aufzeigen, wo noch unverstandene Aspekte sind.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2020, 16:39

ralfkannenberg hat geschrieben: Aber egal: momentan befinden wir uns noch links vom Schieber. Bist Du einverstanden, dass jede Untermenge rechts vom Schieber identisch gleich ist, und zwar für alle n ?
Identisch gleich zu was?

Im Grunde genommen schiebt man die Elemente der Ausgangsmenge [0,1[ nach rechts auf die lila Linie, welche dann im Grenzfall n-> unendlich resultierend diese enthält. Links vom Schieber ist die Baumstruktur durch Mengen und Untermengen, rechts davon die finalen Elemente der Ursprungsmenge.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 16:49

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 16:39
ralfkannenberg hat geschrieben: Aber egal: momentan befinden wir uns noch links vom Schieber. Bist Du einverstanden, dass jede Untermenge rechts vom Schieber identisch gleich ist, und zwar für alle n ?
Identisch gleich zu was?
Hallo Skel,

zueinander: jede Menge rechts vom Schieber ist identisch gleich.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Apr 2020, 17:00

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 16:39
Im Grunde genommen schiebt man die Elemente der Ausgangsmenge [0,1[ nach rechts auf die lila Linie, welche dann im Grenzfall n-> unendlich resultierend diese enthält. Links vom Schieber ist die Baumstruktur durch Mengen und Untermengen, rechts davon die finalen Elemente der Ursprungsmenge.
Hallo Skel,

ok, meinetwegen.

Doch was hast Du davon ? Dass Du mit einer abzählbaren Menge von Permutationen dieselbe Menge wieder erhälst ist nun nicht so überraschend, auch wenn die hineingeratene Doppeldeutigkeit ein Stück weit erklärungsbedürftig ist, aber vermutlich als "konstruktionsbedingt" erklärt werden kann, da man ja gewisse Punkte nach endlichen Knotenbildungen "verliert", die dann aber sowohl von oben mit dem 0-er Ende als auch von unten mit dem 1-er Ende nach unendlich vielen Schritten wieder erreicht werden.

Ein "mehr" oder "gleich viel" zwischen einer abzählbaren Menge und einer überabzählbaren Menge, was ja der Ausgangspunkt unserer Betrachtungen war, kann ich hier immer noch nicht erkennen.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 21. Apr 2020, 17:48

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Apr 2020, 17:00
Doch was hast Du davon ? Dass Du mit einer abzählbaren Menge von Permutationen dieselbe Menge wieder erhälst ist nun nicht so überraschend, auch wenn die hineingeratene Doppeldeutigkeit ein Stück weit erklärungsbedürftig ist, aber vermutlich als "konstruktionsbedingt" erklärt werden kann, da man ja gewisse Punkte nach endlichen Knotenbildungen "verliert", die dann aber sowohl von oben mit dem 0-er Ende als auch von unten mit dem 1-er Ende nach unendlich vielen Schritten wieder erreicht werden.
Uhm, nur von oben. die untere Route enthält nicht 'den letzten Punkt'. Alle Intervalle sind oben offen.
ralfkannenberg hat geschrieben: Ein "mehr" oder "gleich viel" zwischen einer abzählbaren Menge und einer überabzählbaren Menge, was ja der Ausgangspunkt unserer Betrachtungen war, kann ich hier immer noch nicht erkennen.
Zu zeigen war ja, daß es nicht 'mehr' Punkte sind. Ich versuchte nur zu zeigen, daß man es auch als 'gleich viel' betrachten könnte. Die Bedeutung jedes Elementes kommt ja durch die Konstruktionsvorschrift (Pfad im Baum) zu Stande.

Um es aber ohne Abschweigungen auf den Punkt zu bringen:
Jede senkrechte Linie im Diagram enthält exakt so viele Elemente, wie die Summe aller Knoten links davon.
Das entspricht übrigens auch dem Punkt, daß die Potenzmenge einer n-elementigen Menge die Mächtigkeit 2^n hat.
Die Potenzmenge von IN ist gleichmächtig zu IR.

Mir geht es erstmal um die Aufsummierung der abzählbaren Menge links zu 2^n.
Hier sei Wikipedia - Potenzmenge _ Charakteristische Funktion erwähnt, als auch der nächste Paragraph über die Kardinalität.

Gruß, Skel

ps: Folgendes wollte ich dazu schreiben, aber aus der Diskussion weg lassen, da es etwas zu weit ausholt bzw zu weit führt:
Die Summe der Elemente von IN ist nicht IN oder unendlich, sondern überabzählbar, da die Wohlordnung zerstört/entfernt wird. Man kommt von 'wohlgeordnete Reihenfolge' zu 'beliebige Reihenfolge', letzteres ist überabzählbar.
Man könnte auch fast sagen, daß die Überabzählbarkeit erst durch den Verlust der Wohlordnungsstruktur zu Stande kommt, da es dann beliebig viele Möglichkeiten gibt, die Elemente anzuordnen oder aufzuzählen. Die Anzahl dieser Möglichkeiten ist gleichmächtig zur Potenzmenge.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 22. Apr 2020, 09:54

Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 17:48
Uhm, nur von oben. die untere Route enthält nicht 'den letzten Punkt'. Alle Intervalle sind oben offen.
Hallo Skel,

das verstehe ich nicht: ich fange ganz links an, beim ersten Knoten, also 1/2.

Nun möchte ich zu diesem Punkt auf der lila Linie wandern und mich ihm beliebig nahe annähern, im Sinne einer Cauchy-Folge. Ich kann hierfür zum nächsten Knoten wandern: nach oben zu "3/4" und von dort stets nach unten, oder nach unten zu "1/4" und von dort stehts nach oben.

Ersterers liefert die Folge (3/4, 3/4-1/8, 3/4-1/8-1/16 usw.)
Zweiteres liefert die Folge (1/4, 1/4+1/8, 1/4+1/8+1/16 usw.)

Mit jedem Schritt kommt man also die Hälfte näher zum Zielpunkt 1/2.


Zu Deinen anderen Punkten komme ich leider erst frühestens heute abend.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 22. Apr 2020, 14:31

ralfkannenberg hat geschrieben:
22. Apr 2020, 09:54
Skeltek hat geschrieben:
21. Apr 2020, 17:48
Uhm, nur von oben. die untere Route enthält nicht 'den letzten Punkt'. Alle Intervalle sind oben offen.
das verstehe ich nicht: ich fange ganz links an, beim ersten Knoten, also 1/2.

Nun möchte ich zu diesem Punkt auf der lila Linie wandern und mich ihm beliebig nahe annähern, im Sinne einer Cauchy-Folge. Ich kann hierfür zum nächsten Knoten wandern: nach oben zu "3/4" und von dort stets nach unten, oder nach unten zu "1/4" und von dort stehts nach oben.

Ersterers liefert die Folge (3/4, 3/4-1/8, 3/4-1/8-1/16 usw.)
Zweiteres liefert die Folge (1/4, 1/4+1/8, 1/4+1/8+1/16 usw.)
Zweiteres ist aber als unendlicher (fertiger) Pfad im unteren Intervall nicht enthalten/realisiert. Du kannst jede Zahl konstruieren von einschließlich 0 bis ausschließlich 1/2... aber 1/2 ist als einziger Wert nicht mit drin.
Oben gibt es [1/2, 1[
Unten gibt es [0, 1/2[
Du musst dich beim Aufteilen der ursprünglichen Menge entscheiden, ob der Grenzpunkt in die obere oder untere Tochtermenge soll.

Ich weiß nun auch nicht so genau, wie man das am Besten unterscheiden sollte. Klar endet die untere Hälfte bei 1/2 und hat aufsummiert denselben Inhalt. Aber es geht uns ja nicht um den Inhalt, sondern um den Randpunkt als Element
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 23. Apr 2020, 10:34

Hallo Skel,

den Thread habe ich nicht vergessen, aber mir fehlt berufsbedingt momentan die Muße, mich intensiver damit zu beschäftigen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 28. Apr 2020, 15:01

Skeltek hat geschrieben:
22. Apr 2020, 14:31
Du musst dich beim Aufteilen der ursprünglichen Menge entscheiden, ob der Grenzpunkt in die obere oder untere Tochtermenge soll.
Hallo Skel,

das ist richtig, aber spielt das eine Rolle ?

Grenzwerte können auch auf dem Abschluss liegen und was Du machst in in beiden Fällen eine Grenzwertbildung, weil der Grenzwert in endlich vielen Schritten noch nicht erreicht wird.

- bei der oberen Folge landest Du bei einem Grenzwert im Intervall, weil dieses unten bei 1/2 geschlossen ist
- bei der unteren Folge landest Du bei einem Grenzwert im Abschlusss des Intervalles, weil dieses oben bei 1/2 offen ist


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 28. Apr 2020, 16:28

ralfkannenberg hat geschrieben:
28. Apr 2020, 15:01
Skeltek hat geschrieben:
22. Apr 2020, 14:31
Du musst dich beim Aufteilen der ursprünglichen Menge entscheiden, ob der Grenzpunkt in die obere oder untere Tochtermenge soll.
das ist richtig, aber spielt das eine Rolle ?
Ich denke das ist Dreh- und Angelpunkt der ganzen Betrachtung, was den Mengenvergleich angeht.
ralfkannenberg hat geschrieben: Grenzwerte können auch auf dem Abschluss liegen und was Du machst in in beiden Fällen eine Grenzwertbildung, weil der Grenzwert in endlich vielen Schritten noch nicht erreicht wird.
- bei der oberen Folge landest Du bei einem Grenzwert im Intervall, weil dieses unten bei 1/2 geschlossen ist
- bei der unteren Folge landest Du bei einem Grenzwert im Abschlusss des Intervalles, weil dieses oben bei 1/2 offen ist
Es ist zunächst richtig, daß beide Pfade einen Grenzwert haben.
- bei der oberen Folge landet man bei einem Grenzwert im Intervall, weil die Folge existiert.
- die untere Folge ist aber nicht enthalten.
Die Gesamtheit der Pfade, bei denen es ab irgendeinem Punkt nur noch nach oben geht, haben keinen Abschluss und sind offen. Die Folgen existieren nicht. Die Menge all dieser Folgen, bei denen es ab irgeneiner Gabelung nur noch nach oben geht, stellen die Indefinitheit dar, welche zur Überabzählbarkeit führt. Letzteres ist denke ich aber sehr schwer zu zeigen. Bzw ich muss mir erst noch kurz was einfallen lassen. Ist ja länger her, daß ich mich da gedanklich drin befand.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 29. Apr 2020, 12:36

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Ich denke das ist Dreh- und Angelpunkt der ganzen Betrachtung, was den Mengenvergleich angeht.
Hallo Skel,

das verstehe ich zwar nicht, d.h. ich verstehe nicht, warum das der Dreh- und Angelpunkt der ganzen Betrachtung ist, aber lass mich erst die Konstruktion besser verstehen, auch wenn ich den Eindruck habe, dass ich sie bis auf Details weitgehend verstanden habe.

Aber vielleicht ist es auch umgekehrt und ich habe nur einige Details Deiner Konstruktion aber nicht die Konstruktion selber verstanden. Das ist der Grund, warum ich da immer wieder nachfrage.

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Es ist zunächst richtig, daß beide Pfade einen Grenzwert haben.
ok, bis hierhin scheint mir das klar zu sein.

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
- bei der oberen Folge landet man bei einem Grenzwert im Intervall, weil die Folge existiert.
ok
Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
- die untere Folge ist aber nicht enthalten.
Lassen wir das für den Moment mal offen, weil Du ja gleich näher darauf zu sprechen kommst und sich das dann vermutlich von alleine klärt.

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Die Gesamtheit der Pfade, bei denen es ab irgendeinem Punkt nur noch nach oben geht, haben keinen Abschluss und sind offen.
Das kommt daher, dass Deine Intervalle nach oben offen sind.

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Die Folgen existieren nicht.
Auch das kommt daher, dass Deine Konstruktion so gemacht ist, dass alle Intervalle nach oben hin offen sind.

Irgendwie riecht das ganze nach den Dedekindschen Schnitten, nicht wahr ? Wobei ich mich mit Dedekindschen Schnitten nie beschäftigt habe, sieht man von meiner allerersten Vorlesungsstunde überhaupt an der Uni ab, in der sie uns die ohne jede Vorwarnung an den Kopf geknallt haben und ich nur Bahnhof verstanden habe und ich insbesondere auch keinerlei Bezug zu den reellen Zahlen erkennen konnte. Reelle Zahlen habe ich mir immer als Vervollständigung der rationalen Zahlen via (konvergenten) Cauchy-Folgen definiert.

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Die Menge all dieser Folgen, bei denen es ab irgeneiner Gabelung nur noch nach oben geht, stellen die Indefinitheit dar, welche zur Überabzählbarkeit führt.
"Definitheit" und "Indefinitheit" ist aber etwas anderes, nämlich im Kontext mit Bilinearformen, nicht wahr ? So sind beispielsweise Skalarprodukte positiv definite Bilinearformen, wenn ich mich recht entsinne.

Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Letzteres ist denke ich aber sehr schwer zu zeigen. Bzw ich muss mir erst noch kurz was einfallen lassen. Ist ja länger her, daß ich mich da gedanklich drin befand.
Der Beweis erfolgt m.E. über die Potenzmenge, auf welche Deine Konstruktion hinausläuft, d.h. die Menge aller Folgen ist natürlich gleichmächtig zur "lila Linie"; insbesondere aber ist sie nicht abzählbar.

Es ist also nicht so, dass da eine abzählbare Menge auf der "linken Seite" irgendwie gleich gross wie eine überabzählbare Menge auf der "rechten Seite" wäre, sondern beide Mengen sind überabzählbar.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 29. Apr 2020, 20:18

ralfkannenberg hat geschrieben:
29. Apr 2020, 12:36
Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
- die untere Folge ist aber nicht enthalten.
Lassen wir das für den Moment mal offen, weil Du ja gleich näher darauf zu sprechen kommst und sich das dann vermutlich von alleine klärt.
Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Die Gesamtheit der Pfade, bei denen es ab irgendeinem Punkt nur noch nach oben geht, haben keinen Abschluss und sind offen.
Das kommt daher, dass Deine Intervalle nach oben offen sind.
Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Die Folgen existieren nicht.
Auch das kommt daher, dass Deine Konstruktion so gemacht ist, dass alle Intervalle nach oben hin offen sind.
Ich wollte über kurz oder lang die Anzahl dieser 'nur noch nach oben gehenden' Pfade mit der Anzahl der anderen Pfade vergleichen und dann zeigen, daß sie zahlenmäßig nicht vergleichbar sind. Aber verschieben wir das auf später.
ralfkannenberg hat geschrieben: Irgendwie riecht das ganze nach den Dedekindschen Schnitten, nicht wahr ? Wobei ich mich mit Dedekindschen Schnitten nie beschäftigt habe, sieht man von meiner allerersten Vorlesungsstunde überhaupt an der Uni ab, in der sie uns die ohne jede Vorwarnung an den Kopf geknallt haben und ich nur Bahnhof verstanden habe und ich insbesondere auch keinerlei Bezug zu den reellen Zahlen erkennen konnte. Reelle Zahlen habe ich mir immer als Vervollständigung der rationalen Zahlen via (konvergenten) Cauchy-Folgen definiert.
Ja, von Dedekindschen Schnitten habe ich oft gehört, wusste aber selbst nie genau worum es sich dabei handelt. Man kennt halt wohl auch nur das, mit dem man mal in Kontakt gekommen war. Ja, das riecht ziemlich danach, habe aber gerade nur den Wikipedia Artikel kurz überfliegen können.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Die Menge all dieser Folgen, bei denen es ab irgeneiner Gabelung nur noch nach oben geht, stellen die Indefinitheit dar, welche zur Überabzählbarkeit führt.
"Definitheit" und "Indefinitheit" ist aber etwas anderes, nämlich im Kontext mit Bilinearformen, nicht wahr ? So sind beispielsweise Skalarprodukte positiv definite Bilinearformen, wenn ich mich recht entsinne.
Ja, da kenne ich es normalerweise auch her; bzw es wird in anderen Kontexten kaum verwendet. Ich bezog mich dabei sinnmäßig auf den Standpunkt der Konstruktivisten bzgl der Überabzählbarkeit. Folgendes Zitat aus Wikipedia:
Wikipedia hat geschrieben: Die durch das Diagonalverfahren entdeckte Eigenschaft wird von konstruktiven Mathematikern als Offenheit oder als Indefinitheit (Paul Lorenzen, Christian Thiel) der Mengen reeller Zahlen angesehen und nicht als die Überabzählbarkeit einer Menge.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
28. Apr 2020, 16:28
Letzteres ist denke ich aber sehr schwer zu zeigen. Bzw ich muss mir erst noch kurz was einfallen lassen. Ist ja länger her, daß ich mich da gedanklich drin befand.
Der Beweis erfolgt m.E. über die Potenzmenge, auf welche Deine Konstruktion hinausläuft, d.h. die Menge aller Folgen ist natürlich gleichmächtig zur "lila Linie"; insbesondere aber ist sie nicht abzählbar.

Es ist also nicht so, dass da eine abzählbare Menge auf der "linken Seite" irgendwie gleich gross wie eine überabzählbare Menge auf der "rechten Seite" wäre, sondern beide Mengen sind überabzählbar.
Ich glaube dein letzter Satz war ein Flüchtigkeitsfehler. die Menge links der lila Linie ist unvollständig und nicht überabzählbar.
Es ist dachte ich klar, die linke 'abzählbare' Menge(links der lila Linie) ist ja auch nach rechts hin offen, was diese dann unvollständig macht. Du kannst zeigen, daß die abzählbare Menge an Knoten unvollständig ist, indem du zeigst, daß nicht alle unendlichen Pfade (äquivalent zur lila Linie) darin enthalten sind.
Was eine Menge überabzählbar macht, ist ja die fehlende Wohlordnung. Diese Wohlordnung wird durch die 'offenen' Stellen (man kann an jedem Knoten entscheiden, nur noch nach oben zu gehen). Damit kommt man auch zur Potenzmenge. An jeder dieser IN offenen Stellen hängt ein neuer Baum der Mächtigkeit IN. Damit kommt man dann auch auf 2^(IN)

ps: Ich halte die Streiterei zwischen Konstruktivisten und dem Mainstream für unsinnig. Meiner Meinung nach wird die gleiche Sache beschrieben, nur anders formuliert oder betrachtet.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 29. Apr 2020, 22:08

Skeltek hat geschrieben:
29. Apr 2020, 20:18
Ich glaube dein letzter Satz war ein Flüchtigkeitsfehler. die Menge links der lila Linie ist unvollständig und nicht überabzählbar.
Es ist dachte ich klar, die linke 'abzählbare' Menge(links der lila Linie) ist ja auch nach rechts hin offen, was diese dann unvollständig macht. Du kannst zeigen, daß die abzählbare Menge an Knoten unvollständig ist, indem du zeigst, daß nicht alle unendlichen Pfade (äquivalent zur lila Linie) darin enthalten sind.
Hallo Skel,

nein, kein Flüchtigkeitsfehler: an dieser Stelle habe ich Deine Konstruktion nicht verstanden.

Skeltek hat geschrieben:
29. Apr 2020, 20:18
Was eine Menge überabzählbar macht, ist ja die fehlende Wohlordnung.
Das ganze scheint sich um die Wohlordnung zu drehen. Ich bin damit nicht vertraut, ich weiss nur, dass der Wohlordnungssatz, das Auswahlaxiom und das Zornsche Lemma äquivalent sind. Ich "weiss" es, ja ich habe sogar den Beweis einmal im 4.Semester "gesehen", aber nicht verstanden und mich auch nicht damit beschäftigt, weil das nicht prüfungsrelevant war.

Skeltek hat geschrieben:
29. Apr 2020, 20:18
Diese Wohlordnung wird durch die 'offenen' Stellen (man kann an jedem Knoten entscheiden, nur noch nach oben zu gehen). Damit kommt man auch zur Potenzmenge. An jeder dieser IN offenen Stellen hängt ein neuer Baum der Mächtigkeit IN. Damit kommt man dann auch auf 2^(IN)
Wie gesagt, um das richtig verstehen zu können werde ich mich vorgängig ein bisschen mit dem Begriff der Wohlordnung beschäftigen müssen.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 29. Apr 2020, 23:47

Ich verstehe deinen Verständnissfehler nicht ganz. Links von der lila Linie sind doch nur Knoten (Astgabelungen). Es existiert kein Knoten, der nicht in der Menge aller Knoten enthalten ist. Die ist doch dann nicht überabzählbar?
Die Menge der möglichen Pfade ist überabzählbar, und jeder mögliche Pfad entspricht exakt einem einzigen Punkt der lila Linie (Doppeldeutigkeit durch Konvergenz von der anderen Seite lassen wir hier mal weg).

Was könnte ich hier noch hinzufügen? Im Grunde genommen gehe ich von einem Kontinuum aus und definiere nacheinander durch eine prozedurale Vorschrift Elemente darin. Egal in welcher Reihenfolge man diese definiert oder festlegt, ist die Reihe nach hinten offen. Man kann, bei egal nach welchem Algorithmus (je nach Algorithmus andere Reihenfolge) man die Elemente aus dem Kontinuum fischt, immer eine Teilmenge der aus dem Kontinuum ausgewählten Elemente finden, die sich erst bei nach unendlicher Durchführung des Algorithmus ergibt.

Das entspricht ungefähr der Philosophie, daß man selbst mehr oder weniger bei der Definition der Menge entscheidet, welche Elemente sich im übetragenen Sinne innerhalb des Baumes oder auf der lila Linie befinden.
Man kann jedes Element der lila Linie durch eine Bijektion auf die Knoten abbilden, aber eben nicht alle gleichzeitig. Die Bijektion kann man immer nur auf eine Teilmenge der Zielmenge konstruieren, aber nie surjektiv auf die gesammte Zielmenge.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Apr 2020, 00:03

Skeltek hat geschrieben:
29. Apr 2020, 23:47
Ich verstehe deinen Verständnissfehler nicht ganz. Links von der lila Linie sind doch nur Knoten (Astgabelungen). Es existiert kein Knoten, der nicht in der Menge aller Knoten enthalten ist. Die ist doch dann nicht überabzählbar?
Hallo Skel,

lass mich die Menge aller Knoten beschreiben. Geben wir ihnen Namen und nennen nach einer Verzweigung o.E.d.A. den unteren Knoten "0" und den oberen Knoten "1".

Die beiden ersten Knoten heissen dann 0 und 1.
In der nächsten Stufe haben wir dann je wieder einen Knoten 0 und 1, d.h. nach dem Knoten "0" folgen die beiden Knoten "0" unten und "1" oben, d.h. wir haben die Knotensequenzen 00 und 01, und nach dem Knoten "1" folgen die beiden Knoten "0" unten und "1" oben, d.h. wir haben die Knotensequenzen 10 und 11.

In der nächsten Stufe haben wir dann 8 Knoten: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111.

Machen wir vor jeden dieser Knotensequenzen noch einen Dezimalpunkt, so haben wir .000, .001, .010, .011, .100, .101, .110 und .111

Auf diese Weise erhälst Du alle "Dezimaldarstellungen" - allerdings im Zweiersystem - aller Zahlen im Intervall [0,1], d.h. die Menge aller Knoten ist bijektiv zur Menge aller "Dezimaldarstellungen" im Zweiersystem aller Zahlen im Intervall [0,1].

Im n.-ten Schritt gibt es 2n von denen.


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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 30. Apr 2020, 00:42

Ja, wobei du halt bei der Aufzählung von links nach rechts vorgehst.
'Alle' Binärdarstellungen... weiß nicht was du da mit 'alle' meinst. Alle endlichen Ziffernfolgen halt nur. Man könnte auch eine andere Reihenfolge wählen und unendliche Folgen dazwischen streuen. Aber ich denke was ich hier schreibe ist bei dem was du hinaus willst momentan nicht wichtig.
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