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Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Mathematische Fragestellungen
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 11:57

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Anderer Aspekt:
  • Man kann alle Binärzahlen in zwei Mengen unterteilen. Die eine Menge enthält alle Zahlen, welche mit '0' beginnen, die andere alle Zahlen, welche mit einer '1' beginnen.
  • Die beiden Mengen unterteilt man nach dem selben Prinzip(auf die nächste Ziffer bezogen) und führt dies für alle Untermengen durch. Das wird dann unendlich widerholt.
  • Man kann sagen, daß diese unendliche Untermengenbildung existiert und alle Zahlen der ursprünglichen Menge enthält.
  • Diese Mengen und Untermengen sind alle abzählbar.
  • Es sind keine Mengen dabei, welche nicht abzählbar sind
  • Jede Menge enthält exakt zwei Elemente (bzw zwei Mengen als Elemente)
  • Die Abzählbarkeit der Mengen lässt sich nicht auf die Elemente übertragen, welche sich darin befinden.
-> Alles oberhalb dieser Zeile trägt aber kaum wirklich zur Dikussion bei.
Ich habe vor ein paar Jahren ein Beispiel hier im Forum genau zu diesem Thema gebracht, in dem ich eine überabzählbare Menge konstruiert hatte, welche genau gleich viele Elemente wie eine abzählbar unendliche Menge hatte (ohne daß jedoch eine Bijektion existiert). Ich krame das mal bei Gelegenheit heraus und schau nochmal drüber. Zur Not nehme ich nochmal das vereinfachte Beispiel mit dem Baumdiagram.
Hallo Skel,

ich denke, ich habe Deine Konstruktion wenigstens ungefähr verstanden und vermute, dass das Problem genau hier liegt, auch wenn ich den konkreten Fehler Deiner Konstruktion momentan noch nicht anzugeben vermag.

Ich möchte die reellen Zahlen wie auch im Cantor'schen Diagonalbeweis auf das reellwertige Intervall [0,1) beschränken, das ist ja ebenfalls überabzählbar und wir müssen uns nicht mit führenden Nullen bei Vorkommastellen, herumschlagen.

Wobei die Fragestellung, wieviele es von denen gibt, durchaus eng mit Deiner Konstruktion korreliert sein dürfte, denn von denen gibt es nur abzählbar unendlich viele. Die Überabzählbarkeit steckt also nicht in den Vorkommastellen. Aber das ist momentan nur eine Randbemerkung.


Ausgangspunkt ist also die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0,1).

Nach dem ersten Schritt hast Du 2 Mengen, nämlich eine, deren binäre Nachommastellen mit "0" anfangen, und eine, deren binäre Nachommastellen mit "1" anfangen. Beide Mengen haben überabzählbar unendlich viele Elemente.

Nach dem zweiten Schritt hast Du 4 Mengen, nämlich eine, deren binäre Nachommastellen mit "00" anfangen, eine zweite, deren binäre Nachommastellen mit "01" anfangen, eine dritte, deren binäre Nachommastellen mit "10" anfangen und eine vierte, deren binäre Nachommastellen mit "11" anfangen. Alle vier Mengen haben überabzählbar unendlich viele Elemente.

Nach dem dritten Schritt hast Du 8 Mengen, nämlich eine, deren binäre Nachommastellen mit "000" anfangen, eine zweite, deren binäre Nachommastellen mit "001" anfangen, bis hin zu einer achten, deren binäre Nachommastellen mit "111" anfangen. Alle vier Mengen haben überabzählbar unendlich viele Elemente.

u.s.w.

Du bewegst also quasi einen "Schieber" durch die Menge [0,1) hindurch, im ersten Schritt steht der Schieber nach der ersten Nachkommastelle und Du hast 2 Mengen, im zweiten Schritt steht der Schieber nach der zweiten Nachkommastelle und Du hast 4 Mengen, im dritten Schritt steht der Schieber nach der dritten Nachkommastelle und Du hast 8 Mengen.

Und im n.-ten Schritt steht der Schieber nach der n.-ten Nachkommastelle und Du hast 2n Mengen.

Das machst Du nun irgendwie abzählbar unendlich mal, d.h. der Schieber steht nun am rechten Ende der Nachkommastellen, in der Hoffnung, dass nun alle Elemente von [0,1) links vom Schieber stehen, und daraus schliesst Du, nun alle reellen Zahlen von [0,1) erfasst zu haben und kommst somit auf abzählbar unendlich viele Elemente.


Ich würde Deiner Konstruktion vielleicht zustimmen, wäre die Ausgangsmenge nicht die Menge aller reellen Zahlen in [0,1), sondern wäre die Ausgangsmenge eine beliebige aber abzählbare Liste solcher reellen Zahlen in [0,1). Dann funktioniert das vermutlich, wobei man das auch erst noch zeigen müsste - dieses Jonglieren mit Unendlichkeiten nach rechts mit diesem "Schieber" und nach unten in dieser Liste ist zunächst einmal überhaupt nicht definiert.


Ich mache jetzt erst einmal nicht weiter, sondern frage lieber nach: ist das so ungefähr die Konstruktion, die Dir vorschwebt ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 12:16

seeker hat geschrieben:
19. Apr 2020, 10:43
wie viele Engel auf einer Nadelspitze tanzen können.
Hallo seeker,

dieses wichtige Problem aus dem Mittelalter habe ich schon vor einigen Jahren gelöst. Hierfür teilt man die Engel mit Vorteil in drei Klassen ein:

- Erzengel
- Schutzengel
- Engel Gottes (siehe Buch Exodus beim Auszug aus Ägypten)

Erzengel haben oft ein Schwert bei sich, dessen Ausdehnung grösser als die einer Nadelspitze ist. Da sie aber sehr mächtig sind, kann sich einer von ihnen auf einer Nadelspitze ausbalanzieren, d.h. ein Erzengel passt drauf.

Schutzengel sind ausserordentlich liebevolle und wohlwollende Engel, die einem insbesondere auch nicht ständig die Verfehlungen und Sünden vorhalten.Wenn schon n von ihnen auf einer Nadelspitze drauf sind, können sie zusammenrücken, dass noch ein (n+1).-ter Schutzengel draufpasst, d.h. es passen abzählbar unendlich viele Schutzengel drauf.

Der Engel Gottes erscheint oftmals im Kontext mit einer gewaltigen Feuersäule und wenn er versuchen würde, auf die Nadelspitze zu steigen, so würde diese schmelzen. Es passt also kein Engel Gottes auf eine Nadelspitze.


Leider hat sich bislang noch kein Theologe, der ja für solche Angelegenheiten zuständig wäre, mit meiner Lösung befasst.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 19. Apr 2020, 13:26

ralfkannenberg hat geschrieben: Nur: warum willst Du auf diese Menge der nicht-konstruierbaren Zahlen eine Injektion auf IN tätigen ? Es genügt doch, dass die Differenzmenge einer überabzählbaren Menge und einer abzählbaren Menge überabzählbar bleibt, weil andernfalls diese Differenzmenge abzählbar wäre, im Widerspruch zur Tatsache, dass die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen abzählbar bleibt.
Einen Teil kann man abzählen, den anderen nicht. Invertier doch mal den Quantor der Eigenschaft von 'alle lassen sich abzählen' zu 'keine lassen sich zählen'. Ihr argumentiert mit dem nicht ausgesprochenen Umstand, daß Überabzählbarkeit a priori bereits mit dem Allquantor definiert wurde.
Fügt man zu einer Menge, in welcher kein einziges Element konstruierbar ist eine abzählbar unendliche Menge hinzu, dann verliert es genauso die Eigenschaft, daß kein Element angebbar ist.
Ich würde zumindest den Abschluss der fehlenden Vollständigkeit einer Menge nicht als ein 'mehr' an elementen bezeichnen.
ralfkannenberg hat geschrieben: Das machst Du nun irgendwie abzählbar unendlich mal, d.h. der Schieber steht nun am rechten Ende der Nachkommastellen, in der Hoffnung, dass nun alle Elemente von [0,1) links vom Schieber stehen, und daraus schliesst Du, nun alle reellen Zahlen von [0,1) erfasst zu haben und kommst somit auf abzählbar unendlich viele Elemente.


Ich würde Deiner Konstruktion vielleicht zustimmen, wäre die Ausgangsmenge nicht die Menge aller reellen Zahlen in [0,1), sondern wäre die Ausgangsmenge eine beliebige aber abzählbare Liste solcher reellen Zahlen in [0,1).
Ja, den Schieber ganz nach rechts schieben. Ich habe jedoch nicht gesagt, daß man abzählbar unendlich viele Elemente bekommt. Die Zielmenge ist überabzählbar. Der resultierende Baum hat (2^n -1) Knoten und 2^n Blätter, während wir n->unendlich gehen lassen. Die Knoten sind abzählbar, die Blätter sind überabzählbar. Ich gehe einfach einmal davon aus, daß 'aktual unendlich' existiert und man die resultierende Menge als bereits existent annehmen kann.
Die Cantor-Menge geht übrigens recht ähnlich vor; Resultat ist eine Menge, welche nur aus überabzählbar vielen Randpunkten besteht.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 14:10

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
Einen Teil kann man abzählen, den anderen nicht. Invertier doch mal den Quantor der Eigenschaft von 'alle lassen sich abzählen' zu 'keine lassen sich zählen'. Ihr argumentiert mit dem nicht ausgesprochenen Umstand, daß Überabzählbarkeit a priori bereits mit dem Allquantor definiert wurde.
Fügt man zu einer Menge, in welcher kein einziges Element konstruierbar ist eine abzählbar unendliche Menge hinzu, dann verliert es genauso die Eigenschaft, daß kein Element angebbar ist.
Ich würde zumindest den Abschluss der fehlenden Vollständigkeit einer Menge nicht als ein 'mehr' an elementen bezeichnen.
Hallo Skel,

ich möchte mich nicht verzetteln und deswegen erst einmal bei Deinem ersten Beispiel verbleiben - ich habe so schon genügend Mühe, mir das richtig vorzustellen, was Du meinst.

Deinen Satz "daß Überabzählbarkeit a priori bereits mit dem Allquantor definiert wurde" behalte ich aber jetzt schon in meinem Hinterkopf, denn tatsächlich tue ich das. Dass ich das tue heisst aber nicht, dass das auch in voller Allgemeinheit zutreffend ist; ich verwende das eigentlich nur als naiven Ansatz des Kontinuums, das ich mit allen Punkten auf einer Geraden gleichsetze, also ganz bewusst einem Beispiel aus der Geometrie und nicht aus der Algebra. Der Schritt von der Geometrie in die Analysis braucht dann erst noch die ganze Epsilontik und das Studium von Folgen, von Konvergenz, und wohl auch von Stetigkeit usw., und erst von dort gelangen wir dann in die Algebra.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
ralfkannenberg hat geschrieben:Das machst Du nun irgendwie abzählbar unendlich mal, d.h. der Schieber steht nun am rechten Ende der Nachkommastellen, in der Hoffnung, dass nun alle Elemente von [0,1) links vom Schieber stehen, und daraus schliesst Du, nun alle reellen Zahlen von [0,1) erfasst zu haben und kommst somit auf abzählbar unendlich viele Elemente.


Ich würde Deiner Konstruktion vielleicht zustimmen, wäre die Ausgangsmenge nicht die Menge aller reellen Zahlen in [0,1), sondern wäre die Ausgangsmenge eine beliebige aber abzählbare Liste solcher reellen Zahlen in [0,1).
Ja, den Schieber ganz nach rechts schieben. Ich habe jedoch nicht gesagt, daß man abzählbar unendlich viele Elemente bekommt. Die Zielmenge ist überabzählbar. Der resultierende Baum hat (2^n -1) Knoten und 2^n Blätter, während wir n->unendlich gehen lassen. Die Knoten sind abzählbar, die Blätter sind überabzählbar.
Bis hierhin bin ich ja grundsätzlich einverstanden, sieht man einmal davon ab, dass man den Schieber nicht ganz nach rechts schieben kann. Es ging mir jetzt aber nicht um die Frage, ob man den Schieber ganz nach rechts schieben kann, sondern um die Frage, ob ich Deine Konstruktion verstanden habe.

Den Grenzübergang des Schiebers "ganz nach rechts" zu schieben muss man sich noch näher anschauen; zwar wittere ich intuitiv hier keine Falle, aber ich bin mir nicht sicher.

Die Falle wittere ich woanders, nämlich in der "Liste", die überabzählbar ist und die Du trotzdem bei Deiner Konstruktion stillschweigend nach unten durchgehst. Also Du gehst sie gar nicht nach unten durch, aber Du benutzt sie mit allen Listeneinträgen - von denen es überabzählbar unendlich viele gibt !! - in jedem Konstruktionsschritt.

Ich habe die konkrete Stelle, wo Du das tust, noch nicht gefunden, aber dass Du das tust, ist eigentlich klar, denn andernfalls wäre die Menge der reellen Zahlen in [0,1) nur abzählbar unendlich, im Widerspruch zum Cantorschen Diagonalsatz.

Nach wie vor vermute ich, dass Deine Konstruktion nur eine (beliebige) abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen in [0,1) verwendet, aber nicht die volle Menge aller reellen Zahlen in [0,1).

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
Ich gehe einfach einmal davon aus, daß 'aktual unendlich' existiert und man die resultierende Menge als bereits existent annehmen kann.
Ich versuche, rein mathematisch zu argumentieren, d.h. ohne potentielle und aktuale Unendlichkeiten. Ich denke, das sollte möglich sein - das andere ist ja eher "nur" eine Bewertung, bei der sogar die Existenz der natürlichen Zahlen in Frage gestellt wird.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
Die Cantor-Menge geht übrigens recht ähnlich vor; Resultat ist eine Menge, welche nur aus überabzählbar vielen Randpunkten besteht.
Ja; beachte aber bitte, dass diese "Randpunkte" im Inneren der Ursprungsmenge liegen und nur eine Konsequenz dessen ist, dass eben nur abzählbar unendlich viele Punkte gestrichen wurden. Wir landen also wieder bei einer Differenzmenge einer überabzählbaren Menge und einer abzählbaren Menge, welche natürlich überabzählbar ist.

[Korrigenda 20:20 Uhr: wie Skeltek dankenswerterweise heute um 19:49 Uhr angemerkt hat ist das falsch, da Intervalle gestrichen werden. Es werden also abzählbar unendlich oft Intervalle mit überabzählbar unendlich vielen Punkten gestrichen.]

Denn andernfalls - gerne noch einmal für unsere stillen Mitleser - wäre die Gesamtmenge die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen und könnte damit nicht überabzählbar sein. [Korrigenda 20:20 Uhr: das wird durch den Fehler an dieser Stelle irrelevant. Ich werde diesen Gedanken zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufnehmen.]


Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 19. Apr 2020, 20:20, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 15:34

ralfkannenberg hat geschrieben:
19. Apr 2020, 14:10
Den Grenzübergang des Schiebers "ganz nach rechts" zu schieben muss man sich noch näher anschauen; zwar wittere ich intuitiv hier keine Falle, aber ich bin mir nicht sicher.

Die Falle wittere ich woanders, nämlich in der "Liste", die überabzählbar ist und die Du trotzdem bei Deiner Konstruktion stillschweigend nach unten durchgehst. Also Du gehst sie gar nicht nach unten durch, aber Du benutzt sie mit allen Listeneinträgen - von denen es überabzählbar unendlich viele gibt !! - in jedem Konstruktionsschritt.

Ich habe die konkrete Stelle, wo Du das tust, noch nicht gefunden, aber dass Du das tust, ist eigentlich klar, denn andernfalls wäre die Menge der reellen Zahlen in [0,1) nur abzählbar unendlich, im Widerspruch zum Cantorschen Diagonalsatz.

Nach wie vor vermute ich, dass Deine Konstruktion nur eine (beliebige) abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen in [0,1) verwendet, aber nicht die volle Menge aller reellen Zahlen in [0,1).
Hallo Skel,

ich denke, das Problem liegt ganz woanders: Deine Konstruktion ist korrekt, liefert aber nicht das von Dir gewünschte Ergebnis.

Am Ende Deiner Konstruktion hast Du eine abzählbar unendliche Aufteilung von je überabzählbar unendlichen Mengen, woraus Du aber nicht schliessen kanst, dass da irgendwie "gleich viele" Elemente vorliegen würden.

Um das zu tun müsstest Du den "Schieber" nicht von links nach rechts verschieben - zumal ohnehin niemand bezweifelt, dass jede reelle Zahl in [0,1) höchstens abzählbar unendlich viele Nachkommastellen hat, sondern Du müsstest den Schieber von oben nach unten verschieben und dabei würdest Du bemerken, dass Du es mit "mehr" als nur abzählbar unendlich vielen Elementen zu tun hast.

Ergänzung 16:23 Uhr:
Was übrigens gar nicht so einfach geht, denn wenn Du eine Liste von oben nach unten abarbeitest kannst Du jedem Listeneintrag eine Nummer zuteilen, d.h. eine Liste hat nur abzählbar unendlich viele Einträge. So ohne weiteres kannst Du also den Schieber gar nicht von oben nach "unten" verschieben. d.h. Du musst den Schieber irgendwie durch die Menge "verschieben" und wie man so etwas im überabzählbaren Fall macht ist meines Wissens gar nicht definiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 19. Apr 2020, 19:49

ralfkannenberg hat geschrieben: ich möchte mich nicht verzetteln und deswegen erst einmal bei Deinem ersten Beispiel verbleiben
gerne doch
ralfkannenberg hat geschrieben: Bis hierhin bin ich ja grundsätzlich einverstanden, sieht man einmal davon ab, dass man den Schieber nicht ganz nach rechts schieben kann. Es ging mir jetzt aber nicht um die Frage, ob man den Schieber ganz nach rechts schieben kann, sondern um die Frage, ob ich Deine Konstruktion verstanden habe.
Den Schieber nicht ganz nach rechts schieben zu können, wäre eine konstruktivistische Ansicht (ist normalerweise meine Perspektive, ich lasse mich aber bewusst auf die moderne Interpretation ein). Und ja, ich glaube jedenfalls du hast es richtig verstanden.
ralfkannenberg hat geschrieben: Die Falle wittere ich woanders, nämlich in der "Liste", die überabzählbar ist und die Du trotzdem bei Deiner Konstruktion stillschweigend nach unten durchgehst. Also Du gehst sie gar nicht nach unten durch, aber Du benutzt sie mit allen Listeneinträgen - von denen es überabzählbar unendlich viele gibt !! - in jedem Konstruktionsschritt.
Listen sind ja grundsätzlich abzählbar unendlich. Die überabzählbare Menge, welche beim Schieben des Schiebers ganz nach rechts (ins Unendliche) entsteht, ist überabzählbar und ihre Elemente selbst sind nicht innerhalb der Liste enthalten. Das Schieben des Reglers nach rechts entspricht dem durchgehen der Liste an das Ende.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben: Die Cantor-Menge geht übrigens recht ähnlich vor; Resultat ist eine Menge, welche nur aus überabzählbar vielen Randpunkten besteht.
Ja; beachte aber bitte, dass diese "Randpunkte" im Inneren der Ursprungsmenge liegen und nur eine Konsequenz dessen ist, dass eben nur abzählbar unendlich viele Punkte gestrichen wurden. Wir landen also wieder bei einer Differenzmenge einer überabzählbaren Menge und einer abzählbaren Menge, welche natürlich überabzählbar ist.
Hier hast du einen kleinen Fehler. Bei der Cantor Menge werden abzählbar viele Mengen mit jeweils überabzählbar vielen Elementen gestrichen. Darauf, daß eine überabzählbare Menge heraus kommt, hat das jedoch nicht wirklich Relevanz.

Ich denke der Dreh- und Angelpunkt liegt bei:
ralfkannenberg hat geschrieben: Um das zu tun müsstest Du den "Schieber" nicht von links nach rechts verschieben - zumal ohnehin niemand bezweifelt, dass jede reelle Zahl in [0,1) höchstens abzählbar unendlich viele Nachkommastellen hat, sondern Du müsstest den Schieber von oben nach unten verschieben und dabei würdest Du bemerken, dass Du es mit "mehr" als nur abzählbar unendlich vielen Elementen zu tun hast.
Cantor selbst benutzt die Ziffern der gesammten Menge (also auch der 'untersten Zahlen'), obwohl er die Ziffern nur der abzählbaren endlichen Teilmengen verwenden kann. Am Ende bekommt er unter Umständen eine Zahl, welche sich 'an der letzten Nachkommastelle' um ein Bit unterscheidet.
Obwohl die Zahlen nur abzählbar unendlich viele Nachkommastellen haben, klatscht er gleich alle Ziffern der Diagonalzahl raus (und macht sich abhängig von der Rekursion).

Man kann Cantors Diagonalzahl auch austricksen, indem man sie dazu zwingt, eines der Element der Liste zu approximieren (im folgenden Beispiel das erste). Es ist zumindest die deutlichste mit bekannte Art zu zeigen, daß ein a-priori-definierter Unterschied in mindestens einer Ziffer (möglicherweise im Unendlichen) nicht ausreicht(!), um eine Unterscheidung zu den abzählbaren Elementen sicher zu stellen. Du erinnerst dich an die Approximation der Zahl 0 durch die Liste? Während die Liste nur Ziffernfolgen von '0en' enthält mit einer '1' am Ende?
Das Ganze lässt sich auch umdrehen; sieh dir mal folgende Liste an (ich schreibe mal nur eine Teilfolge der Liste auf):
1,
1,0
1,00
1,000
usw
Obwohl ich in der Liste nur ein einziges Element notiert habe, spuckt mir Cantors Diagonalzahl die Folge 'Null Komma Periode Eins' aus - exakt die Zahl, die an jeder Stelle meiner Liste steht. Ich lasse die Abhandlung über die Unzulänglichkeit von Zahlennotationssystemen mal aus... aber es trifft genau das, worauf Cantor mit seiner Rekursion abzielt: Er schießt immer in die noch nicht Ziffern-mäßig niedergeschriebenen Lücken.
Man kann nun annehmen, daß es sich bei 1,0 und 0,1111... um dieselbe Zahl handelt oder annehmen, daß es dazwischen immer noch eine Lücke gibt, in welche die Diagonalzahl versucht zu springen. Ich habe das letzte Beispiel so gekürzt, daß es klarer wird, was die Diagonalzahl genau macht.
Effektiv unterscheidet sich die Diagonalzahl von allen Elementen in der Liste, indem sie a priori definiert, daß sie sich um mindestens eine Ziffer unterscheidet (und sei es auch die letzte Ziffer).
Wenn du annimmst, daß die Diagonalzahl von vorne herein bereits aktual unendlich viele Ziffern hat (und sich mindestens in der letzten ziffer unterscheidet), dann muss man das auch von der Anzahl der Listeneinträge annehmen, von denen es aktual unendlich viele gibt.

Ich habe auch das Gefühl, daß du in einigen Punkten auch eher auf dem Standpunkt der Konstruktivisten bist bzw wir uns argumentativ da hin bewegen (Ich bin da persönlich normalerweise auch ziemlich zugeneigt).
Wikipedia - Cantors zweites Diagonalargument hat geschrieben: Auf Kritik gestoßen ist Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch das zweite Diagonalverfahren bei Leopold Kronecker, Hermann Weyl, Luitzen Brouwer, Henri Poincaré und Ludwig Wittgenstein. Konstruktivisten deuten das Cantorsche Diagonalverfahren anders als Cantor. Es wird selbst als Zahlenkonstruktionsverfahren verstanden, in dem nicht irgendeine Ordnung gewählt wird, sondern eine konkrete Ordnung (eine bestimmte Folge) der abzählbaren Ausgangsmenge vorausgesetzt wird. Die durch das Diagonalverfahren entdeckte Eigenschaft wird von konstruktiven Mathematikern als Offenheit oder als Indefinitheit (Paul Lorenzen, Christian Thiel) der Mengen reeller Zahlen angesehen und nicht als die Überabzählbarkeit einer Menge. So wie man etwa die Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen erweitern kann, so könne man auch die algebraischen Zahlen durch algebraische Hüllen über neue Diagonalzahlen oder transzendente Zahlen erweitern und erhält so immer größere abzählbare Mengen reeller Zahlen.
Effektiv bedeutet daß, daß egal wieviele Zahlen man niederschreibt, es immer Zahlen geben wird, die nicht enthalten sind.
Sind es nun mehr Elemente im abzählbar Unendlichen oder mehr Lücken? Ich sehe hier immer noch keine Möglichkeit, die Mengen anzahlsmäßig zu vergleichen.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 20:07

Hallo Skel,

nur der Vollständigkeit zwei kleine Details (nota bene aus zwei verschiedenen Beiträgen):
Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
Invertier doch mal den Quantor der Eigenschaft von 'alle lassen sich abzählen' zu 'keine lassen sich zählen'.
Was verstehst Du an dieser Stelle unter "invertieren" ? - Das Gegenteil von "für alle gilt" ist "für mindestens einen gilt nicht" und nicht "für keinen gilt".

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Skeltek hat geschrieben:Die Cantor-Menge geht übrigens recht ähnlich vor; Resultat ist eine Menge, welche nur aus überabzählbar vielen Randpunkten besteht.
ralfkannenberg hat geschrieben:Ja; beachte aber bitte, dass diese "Randpunkte" im Inneren der Ursprungsmenge liegen und nur eine Konsequenz dessen ist, dass eben nur abzählbar unendlich viele Punkte gestrichen wurden. Wir landen also wieder bei einer Differenzmenge einer überabzählbaren Menge und einer abzählbaren Menge, welche natürlich überabzählbar ist.
Hier hast du einen kleinen Fehler. Bei der Cantor Menge werden abzählbar viele Mengen mit jeweils überabzählbar vielen Elementen gestrichen. Darauf, daß eine überabzählbare Menge heraus kommt, hat das jedoch nicht wirklich Relevanz.
Ja natürlich, es ist sogar ein grosser Fehler - ich habe es so gemeint, wie Du geschrieben hast, aber ich habe es falsch aufgeschrieben. Danke für Deine Korrektur, ich habe oben einen Vermerk angebracht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 19. Apr 2020, 20:15

ralfkannenberg hat geschrieben:
19. Apr 2020, 20:07
Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
Invertier doch mal den Quantor der Eigenschaft von 'alle lassen sich abzählen' zu 'keine lassen sich zählen'.
Was verstehst Du an dieser Stelle unter "invertieren" ? - Das Gegenteil von "für alle gilt" ist "für mindestens einen gilt nicht" und nicht "für keinen gilt".
Sorry, blöd umgangssprachlich und noch falsch ausgedrückt. Ich meinte 'für alle gilt nicht' bzw für 'keines gilt'.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 20:44

ralfkannenberg hat geschrieben:
19. Apr 2020, 14:10
Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 13:26
Die Cantor-Menge geht übrigens recht ähnlich vor; Resultat ist eine Menge, welche nur aus überabzählbar vielen Randpunkten besteht.
Ja; beachte aber bitte, dass diese "Randpunkte" im Inneren der Ursprungsmenge liegen und nur eine Konsequenz dessen ist, dass eben nur abzählbar unendlich viele Punkte gestrichen wurden. Wir landen also wieder bei einer Differenzmenge einer überabzählbaren Menge und einer abzählbaren Menge, welche natürlich überabzählbar ist.

[Korrigenda 20:20 Uhr: wie Skeltek dankenswerterweise heute um 19:49 Uhr angemerkt hat ist das falsch, da Intervalle gestrichen werden. Es werden also abzählbar unendlich oft Intervalle mit überabzählbar unendlich vielen Punkten gestrichen.]

Denn andernfalls - gerne noch einmal für unsere stillen Mitleser - wäre die Gesamtmenge die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen und könnte damit nicht überabzählbar sein. [Korrigenda 20:20 Uhr: das wird durch den Fehler an dieser Stelle irrelevant. Ich werde diesen Gedanken zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufnehmen.]
Hallo zusammen,

ich will das hier nochmals kurz aufnehmen: bei der Cantor-Menge bzw. dem Cantor'schen Diskontinuum liegt eine Differenzmenge zweier überabzählbarer Mengen vor. Eine solche kann:

1. leer sein (Beispiel: IR\IR)
2. endlich sein (Beispiel: IR\A mit A:=IR\{1,2,3}, d.h. die resultierende Menge ist {1,2,3})
3. abzählbar sein (Beispiel: IR\A mit A:=(IR\IN), d.h. die resultierende Menge ist IN
4. überabzählbar sein (Beispiel: IR\[0,1))


Welcher Fall beim Cantor'schen Diskontinuum vorliegt muss also separat betrachtet werden und in der Wikipedia wird skizziert, warum das Cantor'sche Diskontinuum überabzählbar ist.

Im Übrigen habe ich in der Vergangenheit mehrfach meine Top-10 Mengen aufgeführt und dabei das Cantor'sche Diskontinuum nicht genannt. Selbstverständlich gehört es auch dazu, ich habe es lediglich verdrängt. In meinem Leben haben noch zwei weitere Mengen eine grosse Rolle gespielt, die für mich persönlich bedeutsam sind, das ist {p+sqrt(2)*q mit p,q in IQ}, mit der man schon sehr viel machen kann, ohne gleich alle algebraischen Zahlen oder gar die rational-komplexen Zahlen bemühen zu müssen, sowie die S4, das ist die Menge aller Drehungen, die einen Würfel auf sich selber abbildet. Sie ist nach der S3 die kleinste nicht-abelsche Gruppe und wenn man sie gut kennt, mit ihren nur 24 Elementen sehr geeignet, hergeleitete Resultate der Gruppentheorie einfach zu überprüfen; das war mir während meiner Diplomarbeit eine riesige Hilfe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 22:11

Hallo Skel,

ich habe immer noch ein grosses Verständnisproblem:
Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
ralfkannenberg hat geschrieben:Die Falle wittere ich woanders, nämlich in der "Liste", die überabzählbar ist und die Du trotzdem bei Deiner Konstruktion stillschweigend nach unten durchgehst. Also Du gehst sie gar nicht nach unten durch, aber Du benutzt sie mit allen Listeneinträgen - von denen es überabzählbar unendlich viele gibt !! - in jedem Konstruktionsschritt.
Listen sind ja grundsätzlich abzählbar unendlich.
Das weiss ich nicht, aber ich bin einer solchen Konvention sicherlich nicht abgeneigt.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Die überabzählbare Menge, welche beim Schieben des Schiebers ganz nach rechts (ins Unendliche) entsteht, ist überabzählbar
Meinst Du hier die Aufteilung in abzählbar unendlich viele Mengen, welche allesamt überabzählbar gross sind ? Wenn ja, dann bin ich einverstanden.


Um sicher zu gehen:
Durch das n-fache Verschieben des Schiebers nach rechts enthält man eine Aufteilung in n Mengen, welche allesamt überabzählbar gross sind, und wenn man den Grenzübergang n in IN tätigt, so erhält man eine Aufteilung in abzählbar unendlich viele Mengen, welche allesamt überabzählbar gross sind.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
und ihre Elemente selbst sind nicht innerhalb der Liste enthalten.

Aber jetzt bin ich verloren, ich vermute, wir reden an dieser Stelle von verschiedenen Listen.

Ausgangspunkt war doch eine Menge, und zwar die Menge der Dezimalschreibweisen aller reellen Zahlen in [0,1) - lassen wir an dieser Stelle das 1er-Ende weg, d.h. 0.011111... = 0.1, und begründen wir das damit, dass die Differenz 0.1 - 0.01111111.... eine (konvergente) Nullfolge ist. Wobei das nur der Bequemlichkeit dient, denn ob dieselbe Zahl einmal oder zweimal gelistet wird ändert nichts an der Abzählbarkeit oder Überabzählbarkeit einer Menge.

Mit dieser Menge der eindeutigen Dezimalschreibweisen aller reellen Zahlen in [0,1) sind wir nun wie folgt vorgegangen:

Wir haben all diejenigen, die mit einer ".0" anfangen, in eine Menge gepackt und diejenigen, die mit einer ".1" anfangen, in eine andere. Dann haben wir den "Schieber" um eins nach rechts verschoben, so dass wir nun vier Mengen haben, deren reelle Zahlen allesamt mit ".00", ".01", ".10" oder ".11" anfangen.

Indem wir den Schieber eine Position nach rechts verschieben, erhalten wir im dritten Schritt 8 (=23 Mengen, deren reelle Zahlen mit ".000", dann ".001", dann ".010" bis hin zu ".111" anfangen.

Was konkret enthält nun die von Dir genannte "Liste" ? Ich dachte, es seien immer noch diese reellen Zahlen, denen man einfach die ersten n Kommastellen weggenommen hat, da die ersten n Kommastellen jeder reellen Zahl pro Untermenge gleich sind.

Gewiss, beim Grenzübergang n in IN ("lim n->oo") kriegen wir nun das Problem, dass es "weiter rechts" keine Ziffern mehr gibt, was in dieser Form natürlich falsch ist. Man muss diesen Grenzübergang n in IN also besser machen oder wenigstens besser beschreiben.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Das Schieben des Reglers nach rechts entspricht dem durchgehen der Liste an das Ende.
Und nun bin ich endgültig verloren ...

Wie sehen denn die Listenelemente aus ?

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Ich denke der Dreh- und Angelpunkt liegt bei:
ralfkannenberg hat geschrieben:Um das zu tun müsstest Du den "Schieber" nicht von links nach rechts verschieben - zumal ohnehin niemand bezweifelt, dass jede reelle Zahl in [0,1) höchstens abzählbar unendlich viele Nachkommastellen hat, sondern Du müsstest den Schieber von oben nach unten verschieben und dabei würdest Du bemerken, dass Du es mit "mehr" als nur abzählbar unendlich vielen Elementen zu tun hast.
Cantor selbst benutzt die Ziffern der gesammten Menge (also auch der 'untersten Zahlen'), obwohl er die Ziffern nur der abzählbaren endlichen Teilmengen verwenden kann. Am Ende bekommt er unter Umständen eine Zahl, welche sich 'an der letzten Nachkommastelle' um ein Bit unterscheidet.
Moment: Cantor nimmt an, dass eine abzählbare Liste vorliegt und konstruiert dann einen Widerspruch über das Diagonalverfahren. Du aber nimmst eine überabzählbare Menge, wählst die "ersten" abzählbaren reellen Zahlen aus und "steckst" diese dann in eine Liste. Und hängst dann irgendwie die übrigen nota bene überabzählbar vielen Exemplare an die "Liste", die dann keine Liste mehr sein kann, noch hinten dran.

Das ist doch gar nicht definiert !

Gleiches gilt ja auch für die Zahl, welche sich 'an der letzten Nachkommastelle' um ein Bit unterscheidet. Du schreibst das aus sehr gutem Grund in Hochkomma, doch existieren tut es dadurch trotzdem nicht, d.h. eine letzte Nachkommastelle gibt es nicht, auch nicht mit einem wie auch immer gearteten Grenzübergang.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Obwohl die Zahlen nur abzählbar unendlich viele Nachkommastellen haben, klatscht er gleich alle Ziffern der Diagonalzahl raus (und macht sich abhängig von der Rekursion).
Wie gesagt, das hat Cantor doch gar nicht gemacht.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Man kann Cantors Diagonalzahl auch austricksen, indem man sie dazu zwingt, eines der Element der Liste zu approximieren (im folgenden Beispiel das erste). Es ist zumindest die deutlichste mit bekannte Art zu zeigen, daß ein a-priori-definierter Unterschied in mindestens einer Ziffer (möglicherweise im Unendlichen) nicht ausreicht(!), um eine Unterscheidung zu den abzählbaren Elementen sicher zu stellen. Du erinnerst dich an die Approximation der Zahl 0 durch die Liste? Während die Liste nur Ziffernfolgen von '0en' enthält mit einer '1' am Ende?
Das Ganze lässt sich auch umdrehen; sieh dir mal folgende Liste an (ich schreibe mal nur eine Teilfolge der Liste auf):
1,
1,0
1,00
1,000
usw
Ich sehe nicht, wie Du nun auf diese Liste kommst. Ich habe das so verstanden, dass diese Listen im n.-ten Schritt einfach alle natürlichen Zahlen im Binärsystem bis 2n enthalten und insbesondere jeder Listeneintrag unterschiedlich ist und sich vom vorherigen Element um 1*2-n unterscheidet.

Also bei n=3: {".000", ".001", ".010", ".011", ".100", ".101", ".110", ".111"}

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Obwohl ich in der Liste nur ein einziges Element notiert habe, spuckt mir Cantors Diagonalzahl die Folge 'Null Komma Periode Eins' aus - exakt die Zahl, die an jeder Stelle meiner Liste steht.
Das stimmt, aber wie gesagt: ich habe offensichtlich nicht verstanden, wie Du Deine Liste aufbaust.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von seeker » 20. Apr 2020, 08:17

ralfkannenberg hat geschrieben:
19. Apr 2020, 12:16
Hallo seeker,

dieses wichtige Problem aus dem Mittelalter habe ich schon vor einigen Jahren gelöst. Hierfür teilt man die Engel mit Vorteil in drei Klassen ein:
...
Du bist mir mal ein Schelm... :lol:
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 20. Apr 2020, 08:44

@ralfkannenberg:
Wir reden hier teilweise aneinander vorbei.
Wir reden ja über mehrere Sachen:
  • Die Unterteilung eines Intervalls [0,1[ durch abzählbar unendlich viele Mengen, um zu zeigen, wie man im Grenzfall beim Sprung n->unendlich eine überabzählabre Menge erhält (ähnlich der Cantor-Menge).
  • Cantors zweites Diagonalargument, um zu zeigen, daß die Überabzählbarkeit auf die Unvollständigkeit abzielt (rechts unten gibt es immer mehr Ziffern). Ganz nach rechts zur letzten Ziffer oder ganz nach unten zum letzten eintrag ist praktisch dasselbe.
  • Letztlich wollen wir zeigen, daß es sich bei überabzählbaren Mengen nicht um eine anzahlsmäßiges 'mehr' handelt, sondern es auf das Fehlen einer Struktur zurückzuführen ist, welche eine Wohlordnung der Elemente ermöglicht. Der abzählbare Teil fängt im Endlichen an, der überabzählbare Teil entspricht den Elementen, welche niemals eine endliche Listenposition einnehmen können.
Ich denke es muss nicht gezeigt werden, daß alle (mit endlicher Berechnungsvorschrift) konstruierbaren Zahlen abzählbar sind.

Manchmal im Verlauf unserer Diskussion weiß ich nicht, auf welches der Themen du gerade Bezug nimmst. Entsprechend passen die Antworten möglicherweise nicht oder führen zu Verwirrung?


ps: Ich habe gestern noch mein altes Schaubild zu dem thema gesucht, nur um dann über Umwege nach längerem Werkeln herauszufinden, daß das Forum ein recht niedriges Limit hat, was das Gesamtvolumen an Forenbilden angeht. Die Bilder aus älteren Beiträgen sind vermutlich alle automatisch gelöscht worden, was ziemlich schade ist. Habe das Limit etwas hoch gesetzt und werde heute nacht vermutlich auch ein Update der Forensoftware durchführen.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 09:26

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 08:44
  • Die Unterteilung eines Intervalls [0,1[ durch abzählbar unendlich viele Mengen, um zu zeigen, wie man im Grenzfall beim Sprung n->unendlich eine überabzählabre Menge erhält (ähnlich der Cantor-Menge).
  • Cantors zweites Diagonalargument, um zu zeigen, daß die Überabzählbarkeit auf die Unvollständigkeit abzielt (rechts unten gibt es immer mehr Ziffern). Ganz nach rechts zur letzten Ziffer oder ganz nach unten zum letzten eintrag ist praktisch dasselbe.
  • Letztlich wollen wir zeigen, daß es sich bei überabzählbaren Mengen nicht um eine anzahlsmäßiges 'mehr' handelt, sondern es auf das Fehlen einer Struktur zurückzuführen ist, welche eine Wohlordnung der Elemente ermöglicht. Der abzählbare Teil fängt im Endlichen an, der überabzählbare Teil entspricht den Elementen, welche niemals eine endliche Listenposition einnehmen können.
Hallo Skel,

bislang haben wir uns über den ersten Punkt unterhalten, der dann auch auf den 3.Punkt abzielt.

Punkt 2 habe ich bewusst ausgeklammert um uns nicht zu verzetteln, zumal wir mit unserem wohl noch unterschiedlichen Verständnis von Punkt 1 genügend - nota bene auch sehr interessante - Inhalte durchzugehen haben.

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 08:44
Ich denke es muss nicht gezeigt werden, daß alle (mit endlicher Berechnungsvorschrift) konstruierbaren Zahlen abzählbar sind.
Doch gerne, aber nicht jetzt. Vielleicht nicht im Sinne eines strengen Beweises, aber doch im Sinne einer Beweisidee, zumal ich mir da auch mal spasseshalber eine Menge desfiniert habe, von der ich nur vermute, dass sie abzählbar ist, nämlich der algebraische Abschluss aller je von Menschen konkret erdachten komplexen Zahlen.

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 08:44
Manchmal im Verlauf unserer Diskussion weiß ich nicht, auf welches der Themen du gerade Bezug nimmst. Entsprechend passen die Antworten möglicherweise nicht oder führen zu Verwirrung?
Wie gesagt: Deine Konstruktion von Punkt 1, um dann Punkt 3 verstehen zu können.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 13:12

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Man kann nun annehmen, daß es sich bei 1,0 und 0,1111... um dieselbe Zahl handelt oder annehmen, daß es dazwischen immer noch eine Lücke gibt, in welche die Diagonalzahl versucht zu springen.
Hallo Skel,

ich sehe die Lücke nicht: im Endlichen ja, da gibt es selbstverständlich Lücken, doch nach dem Grenzübergang nicht mehr, da die Differenz bzw. die Differenz-Folge der beiden eine Nullfolge ist, also gegen 0 konvergiert.

Im Zehnersystem haben wir das übrigens auch, da ist es das Neuner-Ende und 1-0.9999... konvergiert gegen 0. Das kann man heuristisch beweisen, oder mit Epsilontik, oder mit der geometrischen Reihe, nur um einige Beweis-Möglichkeiten zu benennen. Die eleganteste dürfte letztere über die geometrische Reihe sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 13:15

Hallo Skel,

ich denke, momentan stecken wir hier fest:
ralfkannenberg hat geschrieben:
19. Apr 2020, 22:11
Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 19:49
Das Schieben des Reglers nach rechts entspricht dem durchgehen der Liste an das Ende.
Und nun bin ich endgültig verloren ...

Wie sehen denn die Listenelemente aus ?
Können wir hier weitermachen ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 20. Apr 2020, 16:16

Okay. Wie die Listenelemente aussehen? Meinst du damit 'innerhalb' der Baumstruktur(also den Knoten) oder den Enden (Blättern)?

Wenn man sich die Struktur der Mengeneinteilung als Baumdiagram vorstellt, an welchem jeder Knoten zwei Äste hat:
Ich denke mal, daß alle Knoten (Mengen, die selbst je zwei Mengen enthalten) des Baumes abzählbar unendlich sind (also jede Menge mit einer endlichen Entfernung zur Baumwurzel). Die Blätter (Elemente am Ende der Liste) existieren nicht innerhalb des Baumes; es ist daher sinnlos nach deren Beschaffenheit zu fragen.

Analog kann man eine ähnliche Frage dazu für IN stellen:
Alle Zahlen mit einer endlichen Entfernung zur '1' sind ganze Zahlen und abzählbar. Ist unendlich selbst eine ganze Zahl und enthält sie mehr Elemente als die Summe der vorausgehenden Elemente? Ich denke einfach betrachtet, ergibt die Frage keinen Sinn.

So, wie wir annehmen, daß 'Unendlich' schlicht existiert, könnten wir auch annehmen, daß eine 'fertige Schachtelung' des Intervals als Baumdiagram (mit Blättern) ebenso existiert.

Habe versucht auf die Schnelle das Schaubild von damals nachzuzeichnen:
BinaerBaum_ueberabzaehlbar.jpg
BinaerBaum_ueberabzaehlbar.jpg (22.3 KiB) 671 mal betrachtet
In jedem Schritt n teilt man die Mengen in jeweils zwei Untermengen auf. Die Mengen entsprechen den Knoten im Baum.
Führt man das unendlich oft durch, erhält man im Grenzfall die lilane Linie rechts, welche überabzählbar ist und alle Elemente des Intervals [0,1[ enthält.
Es erscheint zunächst mindestens 'nicht abwägig', daß die Linie rechts genauso viele Elemente hat, wie der Baum Knoten.

Daß die Knoten abzählbar sind und die Linie überabzählbar steht außer Frage. Die lila Linie repräsentiert die Unvollständigkeit der Abzählbarkeit des Baumes. Ich weiß nicht, was jetzt noch fehlt, um die 'nicht-Vergleichbarkeit' der beiden bezüglich der Anzahl der Elemente zu zeigen.
Weist man jedem Knoten den Durchschnitt seiner Elemente als Repräsentant zu, so kann man sehen, daß keine zwei Knoten denselben Repräsentanten haben.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 16:47

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:16
Führt man das unendlich oft durch, erhält man die lilane Linie rechts, welche überabzählbar ist.
Es erscheint zunächst mindestens 'nicht abwägig', daß die Linie rechts genauso viele Elemente hat, wie der Baum Knoten.
Hallo Skel,

besten Dank, das also gilt es zu widerlegen.

Vermutlich brauche ich hierfür gar nicht den Cantor'schen Diagonalbeweis zu bemühen, der Beweis der Irratioanlität der Quadratwurzel von 2 müsste völlig genügen.

Aber erst später, da ich nur eine kurze Arbeitspause mache.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 20. Apr 2020, 16:52

ralfkannenberg hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:47
Vermutlich brauche ich hierfür gar nicht den Cantor'schen Diagonalbeweis zu bemühen, der Beweis der Irratioanlität der Quadratwurzel von 2 müsste völlig genügen.
Da wäre ich mir nich so sicher. Man kann auch die Quadratwurzel von 2 durch eine unendliche Kette an Ziffern ausdrücken. Die lilane Linie enthält durchaus irrationale Zahlen.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 16:57

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:52
ralfkannenberg hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:47
Vermutlich brauche ich hierfür gar nicht den Cantor'schen Diagonalbeweis zu bemühen, der Beweis der Irratioanlität der Quadratwurzel von 2 müsste völlig genügen.
Da wäre ich mir nich so sicher. Man kann auch die Quadratwurzel von 2 durch eine unendliche Kette an Ziffern ausdrücken. Die lilane Linie enthält durchaus irrationale Zahlen.
Hallo Skel,

ich habe ja nur geschrieben, wie ich es ansetzen möchte. Ich habe nicht geschrieben, dass das auch funktionieren wird :wink:


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 17:20

ralfkannenberg hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:47
Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:16
Führt man das unendlich oft durch, erhält man die lilane Linie rechts, welche überabzählbar ist.
Es erscheint zunächst mindestens 'nicht abwägig', daß die Linie rechts genauso viele Elemente hat, wie der Baum Knoten.
(...) das also gilt es zu widerlegen.

Vermutlich brauche ich hierfür gar nicht den Cantor'schen Diagonalbeweis zu bemühen, der Beweis der Irratioanlität der Quadratwurzel von 2 müsste völlig genügen.
Hallo Skel,

ok, ich vermute, dass ich das Szenario massiv unterschätzt habe, zumal Dein Baum auf eine 2n-Situation hinausläuft und diese ist die Mächtigkeit der Potenzmengen. Und diese ist überabzählbar ...

Auf der anderen Seite ist Dein Baum aber "nur" eine Art Intervallschachtelung, und eine solche ist abzählbar.


Da werden wir uns also noch ein bisschen mehr Gedanken dazu machen müssen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 19:57

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 16:16
Daß die Knoten abzählbar sind und die Linie überabzählbar steht außer Frage.
Hallo Skel,

das habe ich zunächst auch gedacht, aber es ist falsch: mit Deiner Baumstruktur kannst Du jeden Punkt der lila Linie beliebig genau approximieren und was Du da machst ist eine konvergente Cauchy-Folge rationaler Zahlen - von {0,1} über {0, 1/3, 2/3, 1}, {0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1}, u.s.w. , nur im Binärsystem anstatt wie sonst üblich im Zehnersystem.

Schon mit einer Intervallschachtellung, wo es also immer nur einen Mittelwert gibt, kannst Du jede beliebige reelle Zahl beliebig genau approximieren, und bei Deiner Baum-Konstruktion hast Du da Deine Bäume zwei Zweige nach unten haben sogar eine feinere Granulierung.

EDIT 21:50 Uhr: wie man die Intervalle richtig aufspaltet zeigt uns Skeltek im nächsten Beitrag

Und konvergente Cauchy-Folgen rationaler Zahlen sind überabzählbar.

Somit ist Deine Feststellung, dass der Grenzübergnag der Knoten der lila Linie entspricht, richtig. Ebenfalls richtig war Deine Feststellung, dass diese Linie überabzählbar viele Punkte enthält.

Doch ausgerechnet bei dem Gesichtspunkt, an dem wir beide die wenigsten Zweifel hatten, nämlich die Mächtigkeit der Baumstruktur, da haben wir uns beide gleich geirrt: diese ist nicht abzählbar, sondern überabzählbar.

Dieser Irrtum, der uns beiden unterlaufen ist, ist keine Schande, sondern ein schöner Anlass, etwas dazugelernt und vor allem Erfahrung auf diesem Gebiet gewonnen zu haben.


Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 20. Apr 2020, 21:50, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 20. Apr 2020, 20:32

Hey Ralf,
Im Grunde genommen teilt man das erste Intervall [0,1[ auf in
[0, 1/2[ und [1/2, 1[
Die teilt man dann wieder auf in [0 , 1/4[ und [1/4 , 1/2[ und [1/2 , 3/4[ und [3/4 , 1[ usw
Als Stellvertreter für z.B. [1/4 , 1/2[ kann man z.B. 3/8 nehmen.
Aber das nur nebenbei.

Das Durchnavigieren des Baumes von links nach rechts entspricht dem ständigen Hinzufügen einer neuen Ziffer zur Zahl. Die lila Linie entspricht denn den Zahlen, welche unendlich viele Nachkommastellen haben (je nach Betrachtungsweise, allerdings schreibe ich es mal vereinfacht hin).
ralfkannenberg hat geschrieben: Doch ausgerechnet bei dem Gesichtspunkt, an dem wir beide die wenigsten Zweifel hatten, nämlich die Mächtigkeit der Baumstruktur, da haben wir uns beide gleich geirrt: diese ist nicht abzählbar, sondern überabzählbar.
Da müsste ich widersprechen, je nachdem was du mit Baumstruktur meinst. Einschließlich oder ausschließlich der lila Linie? Alles, was sich links von der lila Linie befindet (also die Menge aller Baumknoten), ist abzählbar.
Auch kann man die Menge der Knoten bijektiv auf die Menge aller endlichen Ziffernfolgen abbilden, während die lila Linie den unendlichen Ziffernfolgen entspricht. Ich denke soweit wäre es geklärt?

Ich halte die lila Linie für den Abschluss der offenen unvollständigen Menge links davon. Die Menge links bleibt unvollständig, solange man die lila Linie nicht zur Menge hinzufügt. die lila Linie entspricht allen Elementen, welche links von ihr nicht enthalten sind.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 21:41

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
Im Grunde genommen teilt man das erste Intervall [0,1[ auf in
[0, 1/2[ und [1/2, 1[
Die teilt man dann wieder auf in [0 , 1/4[ und [1/4 , 1/2[ und [1/2 , 3/4[ und [3/4 , 1[ usw
Als Stellvertreter für z.B. [1/4 , 1/2[ kann man z.B. 3/8 nehmen.
Aber das nur nebenbei.
Hallo Skel,

ja natürlich, ich hatte mich schon sehr über die krummen Zahlen gewundert. Zumal 4 Intervalle eigentlich eine Länge von 1/4 ergeben sollten. Aber ich habe die Endpunkte und nicht die Intervalle gezählt. Mein trivialer Gedankenfehler vereinfacht das ganze natürlich gewaltig, haben wir es nun sogar mit einer echten Intervallschachtelung zu tun.

Ich sollte mir wirklich abgewöhnen, während einer Kaffeepause sowas zu rechnen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Apr 2020, 22:12

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
ralfkannenberg hat geschrieben:Doch ausgerechnet bei dem Gesichtspunkt, an dem wir beide die wenigsten Zweifel hatten, nämlich die Mächtigkeit der Baumstruktur, da haben wir uns beide gleich geirrt: diese ist nicht abzählbar, sondern überabzählbar.
Da müsste ich widersprechen, je nachdem was du mit Baumstruktur meinst. Einschließlich oder ausschließlich der lila Linie? Alles, was sich links von der lila Linie befindet (also die Menge aller Baumknoten), ist abzählbar.
Hallo Skel,

alles was sich echt links der lila Linie befindet ist endlich. Ebenso wie die ersten n Glieder einer Cauchy-Folge rationaler Folgenglieder erstens endlich und zweitens rational-wertig sind. - Erst beim Grenzübergang kann es passieren, dass der Grenzwert irrational wird. Und das kann so richtig heftig werden, da sich jede reelle Zahl, also nicht nur die algebraischen Zahlen, mit rationalen Zahlen beliebig genau approximieren lässt, d.h. von der abzählbaren Menge gelangt man über die Vervollständigung in eine überabzählbare Menge.

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
Auch kann man die Menge der Knoten bijektiv auf die Menge aller endlichen Ziffernfolgen abbilden, während die lila Linie den unendlichen Ziffernfolgen entspricht. Ich denke soweit wäre es geklärt?
Korrekt; praktisch ist das einfach die Übersetzung vom Zehnersystem ins Binärsystem, wobei man noch ein bisschen mit den 1-er Enden im Binärsystem bzw. den 9-er Enden im Zehnersystem aufpassen muss. Die Bijektion bezieht sich auf die Zahl selber, nicht auf ihre mögliche Doppeldeutigkeit in ihrer Dezimaldarstellung bei einem 0-er Ende.

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
Ich halte die lila Linie für den Abschluss der offenen unvollständigen Menge links davon.
Korrekt.
Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
Die Menge links bleibt unvollständig, solange man die lila Linie nicht zur Menge hinzufügt.
Das kommt daher, dass vor dem Grenzübergang alles noch endlich ist, wobei die Elemente der "Menge links" einer abzählbaren Menge entstammen, die dicht in der Menge der lila Linie liegt.

Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
die lila Linie entspricht allen Elementen, welche links von ihr nicht enthalten sind.
Wieso das denn ? - Offenbar habe ich Deine Konstruktion immer noch nicht verstanden ...

Oder ist Deine Idee etwa die, dass Du sämtliche Knotenpunkte "ausschliesst", also zuerst 1/2, dann 1/4 und 3/4, dann 1/8, 3/8, 5/8 und 7/8 usw. ? - Aber was hättest Du davon: Zahlen wie 1/3 oder 1/5 oder die Quadratwurzel(2) schaffen es bis auf die lila Linie !

Also ganz konkret alle Zahlen, die sich nicht als k/(2n) schreiben lassen mit 0 < k < 2n.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 20. Apr 2020, 22:44

Mach dir keinen Kopf, ich mache das ja auch nur nebenher wie es die Zeit erlaubt. Wir wollen ja Spaß haben und nicht das Gefühl kriegen, das Forum sei auch Arbeit :)

Als nächstes kannst du ja versuchen jedem Knoten im Baum einen Punkt auf der lila Linie zuzuweisen (das geht tatsächlich).
Auch kann man glaube ich jedem selektierbaren(!) Punkt auf der lila Linie, einen Pfad (als auch einen Knoten) im Baum zuordnen.
Die Knoten im Baum sind abzählbar, die Pfade von der Wurzel zur lila Linie überabzählbar.
Die Selektierbarkeit hängt stark davon ab, ob es einen in endlichen Schritten formulierbaren Algorithmus gibt, welcher diesen Punkt festlegen (definieren) kann.
ralfkannenberg hat geschrieben:
20. Apr 2020, 22:12
Skeltek hat geschrieben:
20. Apr 2020, 20:32
die lila Linie entspricht allen Elementen, welche links von ihr nicht enthalten sind.
Wieso das denn ? - Offenbar habe ich Deine Konstruktion immer noch nicht verstanden ...
Sorry, das war ein Fehler meinerseits. Ich hatte kurz angenommen, daß der Durchschnitt der ersten Menge (0,5) rechts davon nicht mehr vorkommt. Er wird aber auf der lila Linie abgebildet, indem man im Baum zunächst eins hoch geht und dann immer immer die unter Abzweigung nimmt. War also ein Denkfehler von mir. Würde man statt [0,1[ das Interval ]0,1] auf die Art aufteilen, würde man es halt durch eine Periode approximieren.

(halb) Interessant übrigens:
0,5 (dezimal geschrieben) ist das unterste Element, wenn man die erste Abzweigung zuerst nach oben geht und dann immer die untere nimmt.
0,5 (dezimal geschrieben) ist in der unteren Hälfte nicht enthalten, auch wenn man bei der ersten Abzweigung nach unten und dann immer nach oben gehen kann.
Das heißt (binär gesehen) im unteren Teil des Baumes ist das "Null Komma Null Periode Eins" nicht enthalten. Das gilt auch für jeden Knoten, daß der oberste Pfad nicht enthalten ist. Entsprechend hat man ja auch beim Interval [0,1[ die Eins ausgeschlossen.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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