Hinweis auf die DSGVO: Auf unserer Seite werden keine Dritt-Anbieter-Cookies verwendet und nur Daten erfasst, welche für das Minimum an Board-Funktionalität notwendig sind.
Bevor Sie sich registrieren oder das Board verwenden, lesen Sie bitte zusätzlich die DSGVO-Erklärung, welche in der Navigationsleiste verlinkt ist.

Kurzfassung der unserer Meinung nach wichtigsten DSGVO-Punkte:
Es kann vorkommen, dass Benutzer eigenverantwortlich Videos oder sonstige Medien in ihren Beiträgen verlinken, welche beim Aufruf der Forenseite als Teil der Seite samt zugehörigem Material mitgeladen werden. Sollten Sie dies nicht wünschen, verwenden Sie beim Benutzen des Forums einen Blocker wie z.B. uMatrix, welcher das Laden von Inhaltsblöcken von Fremd-URLs effektiv unterbinden kann.
Wir blenden keine Werbung ein und schränken die Inhalte in keinster Weise bei Benutzung von Addblockern ein. Dadurch ist die Grundfunktionalität des Forums auch bei vollständigem Blockieren von Drittanbieter-Inhalten stets gegeben.

Cookies werden unsererseits nur verwendet um das Einloggen des Benutzers für die Dauer der Forenbenutzung zu speichern. Es steht dem Benutzer frei die Option 'Angemeldet bleiben' zu verwenden, damit der Cookie dauerhaft gespeichert bleibt und beim nächsten Besuch kein erneutes Einloggen mehr notwendig ist.
EMail-Adressen werden für Kontakt bei wichtigen Mitteilungen und zur Widerherstellung des Passwortes verwendet. Die verwendeten IPs können von uns ohne externe Hilfsmittel mit keiner realen Person in Verbindung gebracht werden und werden nach spätestens 7 Tagen gelöscht. Diese IPs werden höchstens verwendet um Neuanmeldungen unerwünschter oder gesperrter Nutzer zu identfizieren und zu unterbinden. Wir behalten uns daher vor bei Verdacht, die Frist für die IP-Löschung auf maximal 14 Tage zu verlängern.
Unsere Webseite läuft auf einem virtuellen Linux-Server, welcher von einem externen Anbieter gehostet wird. Etwaige Verstöße der DSGVO-Auflagen seitens dieses deutschen Hosters können wir nicht feststellen und somit auch nicht verfolgen.
Wir halten Backups unserer Datenbanken, welche in regelmäßigen Abständen als Schutz vor Katastrophen, Hackerangriffen und sonstigen Ausfällen erstellt werden. Sollte ein Nutzer die Löschung seiner Daten wünschen, betrachten wir es als Unzumutbar die Backups auch von den Daten zu befreien, da es sich hierbei um eine mehrtägiges Unterfangen handelt - dies ist für eine Einzelperson beim Betrieb eines privaten Forums nicht zumutbar möglich ohne das Backup komplett zu löschen.
Sollten Sie etwas gegen die dauerhafte anonyme Speicherung ihrer EMail-Adresse, ihres Pseudonyms und ihrer Beiträge in einem Backup haben, sehen Sie von der Registrierung in diesem Forum ab. Für Mitglieder, welche vor dem 25.05.2018 registriert waren steht jedoch das Recht im Raum, eine Löschung der Datenbank-Backups zu beantragen.



Wenn dies Ihr erster Besuch hier ist, lesen Sie bitte zunächst die FAQs sowie die wesentlichen Regeln zur Benutzung des Forums.
Um an den Diskussionen teilnehmen zu können, müssen Sie sich zunächst registrieren.

Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Mathematische Fragestellungen
Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN

Beitrag von tomS » 3. Mai 2020, 16:22

Noch eine Beweisskizze für

|Π(R)| = |F| = |P(R)|


Betrachte die „Konstruktion“ aller

f ∈ F = {f : R → R}

Wenn x ganz R durchläuft, dann ist je x der mögliche Funktionswert f(x) ∈ R

Daraus folgt die Mächtigkeit „R über R“

|F| = |RR|


Endliches Analogon:

Die Grundmenge sei {0,1,2}; die Wertemenge sei {a,b}; wenn x die Grundmenge x = 0,1,2 durchläuft, dann lauten die möglichen Funktionswerte

f(x=0) = a,b
f(x=1) = a,b
f(x=2) = a,b

d.h.

|F| = 2³ = 8



Betrachten wir nun die Konstruktion aller

π ∈ Π = {π : R → R | π bijektiv} ⊂ F

Wiederum durchlaufe x ganz R.

Seien alle π ∈ Π „konstruiert“ für alle a < x und betrachten wir nun die möglichen Funktionswerte einer Funktion π für genau dieses x.

Es sei

Dx = ]-∞,x[

die Menge aller bereits durchlaufenen a < x und π(D) die Menge aller dabei bereits durchlaufenen Funktionswerte π(x < a)

Die Menge aller noch zulässigen Funktionswerte für π(x) ist dann offenbar

R \ π(Dx)

Für einen Funktionswert π(x) aus π(Dx) wäre π keine Bijektion.

Nun ist jedoch für allgemeine Funktionen

| R \ π(Dx) | = |R|

und somit in Analogie zu F

|Π| = |RR|
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Mai 2020, 22:12

tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 15:42
Also G ⊂ F ist eine Menge von Funktionen g von R auf R. Demnach durchläuft x die reellen Zahlen.
Hallo Tom,

zurecht weist Du mich darauf hin, dass ich Definitions- und Wertebereich nicht angegeben habe, was dann zur Folge hatte, dass mir dieser Fehler unterlaufen ist.


Besten Dank und freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 3. Mai 2020, 23:01

Aber du musst doch eine Idee zu dieser Indexfunktion gehabt haben.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Mai 2020, 23:12

tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 23:01
Aber du musst doch eine Idee zu dieser Indexfunktion gehabt haben.
Hallo Tom,

ja, aber es geht nicht auf, weil ich auf verschiedenen Mengen "operiert" habe. Mir war schon klar, dass es so nicht gehen wird, aber ich hatte den konkreten Fehler nicht gesehen und deswegen nachgefragt.

Und selbst wenn es aufgegangen wäre, so hätte man daraus noch lange nicht schliessen können, dass die Mächtigkeiten wirklich verschieden gewesen wären. - Ich wäre sehr überrascht gewesen, wenn es so einfach gegangen wäre, deswegen war ich mir auch sicher, dass da in meiner Argumentation ein Fehler vorliegen muss.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 3. Mai 2020, 23:26

na dann ... schau dir doch mal meine Ideen an, ob du die für schlüssig hältst;-)
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 4. Mai 2020, 10:26

tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 23:26
na dann ... schau dir doch mal meine Ideen an, ob du die für schlüssig hältst;-)
Hallo Tom,

ich bin mir das Rechnen mit Mächtigkeiten nur in sehr eingeschränktem Umfang gewohnt, meist im Kontext einer abzählbaren Liste. Letzte Woche habe ich erstmals in meinem Leben den Wohlordnungssatz angewandt, ok, es erschien mir seltsam, aber nicht übermässig schwer, auch wenn mir mit der Möglichkeit dieser unendlich langen "Zwischenglieder" die Intuition dazu völlig fehlt.

Und bei den Betrachtungen der Mächtigkeiten von aleph_2 kenne ich mich wirklich überhaupt nicht aus, weiss aber, dass man im Kontext der Mächtigkeiten intuitiv rasch mal in die Irre geführt ist.

Auch wenn mir Deine Konstruktion insgesamt plausibel erscheint, so sitze ich da auf der Schulbank und mein Urteil dazu ist nichts wert.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 4. Mai 2020, 12:54

ralfkannenberg hat geschrieben:
4. Mai 2020, 10:26
Auch wenn mir Deine Konstruktion insgesamt plausibel ...
... so könntest du sie doch kritisieren;-)
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 5. Mai 2020, 15:50

tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 07:38
Etwas googeln liefert diverse Beweise ;-)
Hallo Tom,

ich habe mehr als nur "etwas" gegoogelt und trotzdem nichts gefunden.

Das heisst nicht, dass ich gut gesucht habe, aber vielleicht kannst Du mir trotzdem einen Tipp geben.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 5. Mai 2020, 17:20

Hallo zusammen,

wir Ihr sicherlich bemerkt habt komme ich in diesem Thread immer wieder an die Grenzen meiner Erfahrung und meiner Intuition.

Deswegen eine Frage, auch wenn das ein "Exkurs" ist und ich eigentlich vorgängig mehr über aleph_2 in Erfahrung bringen möchte: was ist die Mächtigkeit der "Menge aller Mengen", dem "Ding", das mit dem Russell'schen Paradoxon zunächst einmal ein sehr ernsthaftes Problem mit der Widerspruchsfreiheit hat, wenn man sich da nicht in den Klassen-Begriff rettet.

Da sich ja aleph_(n+1) mit n in IN als Menge aller Teilmengen einer Menge mit der Mächtigkeit aleph-n ergibt, müssten ja alle Konstrukte der Mächtigkeit aleph_n für alle n in IN in der "Menge aller Mengen" enthalten sein.

Das heisst, ein - wie auch immer zu definierender Grenzübergang für diese aleph_n könnte zu einer Art "aleph_unendlich" führen und könnte der "Menge aller Mengen" zugeordnet werden. Ich verwende absichtlich viele Konjunktive.

Und da "unendlich" als Zahl nicht definiert ist, kann man bei einem solchen Grenzübergang Probleme bekommen, beispielsweise in Form des Rusell'schen Paradoxon.


Ist das so oder sitze ich hier einem Irrtum auf ?


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 5. Mai 2020, 23:17

ralfkannenberg hat geschrieben:
5. Mai 2020, 15:50
tomS hat geschrieben:
3. Mai 2020, 07:38
Etwas googeln liefert diverse Beweise ;-)
Hallo Tom,

ich habe mehr als nur "etwas" gegoogelt und trotzdem nichts gefunden.

Das heisst nicht, dass ich gut gesucht habe, aber vielleicht kannst Du mir trotzdem einen Tipp geben.
Sei F die Menge aller Funktionen f(x), die reelle Zahlen x auf reelle Zahlen f(x) abbilden.

Zu zeigen ist, dass |F| > |R|.

Wir nehmen an, es gelte |F| = |R|, und führen das mittels eines Diagonalargumentes zu einem Widerspruch.

Unter dieser Annahme existiert eine bijektive Abbildung von F auf das Intervall [0,1]. Sei also einer Zahl z aus [0,1] die Funktion fz(x) zugeordnet.

Wir konstruieren eine Funktion g(z) so, dass für alle z gilt: g(z) ≠ fz(z).

Dieses g(x) ist ebenfalls eine Funktion aus F, und demnach g(x) = fa(x) für ein a.

Betrachten wir nun g(a) = fa(a): gemäß Konstruktion gilt jedoch jedoch g(a) ≠ fa(a), und dies ist ein Widerspruch.

Demnach ist die Annahme |F| = |R| falsch, d.h. |F| > |R|.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 6. Mai 2020, 00:34

tomS hat geschrieben:
5. Mai 2020, 23:17
Sei F die Menge aller Funktionen f(x), die reelle Zahlen x auf reelle Zahlen f(x) abbilden.

Zu zeigen ist, dass |F| > |R|.
Hallo Tom,

herzlichen Dank, der Beweis kommt in mein "Repertoire" !

Und jetzt endlich verstehe ich auch, was Du mir damals sagen wolltest:

1. |F| > |R|
2. |P(R)| > |R|

Aber ob |F| = |P(R)| gilt kannst Du nicht beweisen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 6. Mai 2020, 07:48

ralfkannenberg hat geschrieben:
6. Mai 2020, 00:34
herzlichen Dank, der Beweis kommt in mein "Repertoire" !
Gerne.
ralfkannenberg hat geschrieben:
6. Mai 2020, 00:34
Aber ob |F| = |P(R)| gilt kannst Du nicht beweisen.
Nicht so einfach, aber doch, das geht natürlich auch.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 6. Mai 2020, 21:27

Sei F die Menge aller Funktionen f(x), die reelle Zahlen x auf reelle Zahlen f(x) abbilden.

Zu zeigen ist zunächst, dass |P(R)| ≤ |F|.

Sei A ⊆ R eine beliebige Teilmenge von R, und damit insbs. A ∈ P(R), also Element der Potenzmenge von R.

Sei ξA(x) die Indikatorfunktion der Menge A, d.h. wenn x ∈ A, dann ξA(x) = 1, sonst 0.

Damit ist ξA ∈ X ⊂ F.

Außerdem sind alle diese Funktionen ξA verschieden, d.h. wenn A ≠ B, dann und nur dann ξA ≠ ξB.

Damit liegt eine bijektive Abbildung von P(R) auf die Menge der Indikatorfunktionen X ⊂ F vor, und damit ist |P(R)| = |X| ≤ |F|.

Damit ist |P(R)| eine untere Schranke von |F|.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Mai 2020, 10:14

tomS hat geschrieben:
6. Mai 2020, 21:27
Sei F die Menge aller Funktionen f(x), die reelle Zahlen x auf reelle Zahlen f(x) abbilden.

Zu zeigen ist zunächst, dass |P(R)| ≤ |F|.

Sei A ⊆ R eine beliebige Teilmenge von R, und damit insbs. A ∈ P(R), also Element der Potenzmenge von R.

Sei ξA(x) die Indikatorfunktion der Menge A, d.h. wenn x ∈ A, dann ξA(x) = 1, sonst 0.

Damit ist ξA ∈ X ⊂ F.

Außerdem sind alle diese Funktionen ξA verschieden, d.h. wenn A ≠ B, dann und nur dann ξA ≠ ξB.

Damit liegt eine bijektive Abbildung von P(R) auf die Menge der Indikatorfunktionen X ⊂ F vor, und damit ist |P(R)| = |X| ≤ |F|.

Damit ist |P(R)| eine untere Schranke von |F|.
Hallo Tom,

ich erlaube mir einen fullquote, weil es so schön ist.

Trotzdem eine Frage: ich dachte, das folgt schon aus der erweiterten Kontinuumshypothese. Natürlich ist es viel schöner, das direkt zu beweisen statt die erweiterte Kontinuumshypothese zu bemühen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 7. Mai 2020, 10:48

Nee, das funktioniert ohne die Kontinuumshypothese.

Zunächst mal habe ich ja nur eine untere Schranke |P(R)| = |X| ≤ |F| abgeleitet.

Ziel ist aber z.z. dass |P(R)| = |F| gilt; dazu benötigt man noch eine obere Schranke|F| ≤ |P(R)|. Das funktioniert normalerweise immer mit dem Wechselspiel injektiver / subjektiver Funktionen und damit letztlich |P(R)| ≤ |F| und |F| ≤ |P(R)|, also |F| = |P(R)|.

Die erweiterte Kontinuumshypothese benötigt man nicht. Mittels dieser wäre z.z. dass |P(R)| die unmittelbar auf |R| folgende Mächtigkeit ist, aber das ist ja nicht gefragt.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1868
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Mai 2020, 12:50

tomS hat geschrieben:
7. Mai 2020, 10:48
Die erweiterte Kontinuumshypothese benötigt man nicht. Mittels dieser wäre z.z. dass |P(R)| die unmittelbar auf |R| folgende Mächtigkeit ist, aber das ist ja nicht gefragt.
Hallo Tom,

stimmt, das habe ich übersehen, dass wir hier nicht daran interessiert sind, ob P(X) genau eine Mächtigkeit höher ist als X.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10472
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 7. Mai 2020, 13:13

Also nachdem wir jetzt die untere Schranke haben, brauchen wir noch die obere. Da muss ich nochmal nachdenken.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Antworten