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Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

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Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Apr 2020, 15:38

Hallo zusammen,

ich denke, dieser Beitrag Skelteks, dem ich in dieser Form nicht zustimmen mag - was aber auch auf banalen Missverständissen beruhen kann - ist einen eigenen Thread wert.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 17. Apr 2020, 15:44

Das lässt sich auf die Frage reduzieren, was du mit 'mehr' gemeint hast. Mir wäre keine Definition bekannt, welche mit 'Überabzählbarkeit' ein 'Mehr' meint.
Solltest du den Thread nicht mit einer Erklärung beginnen, weshalb du mit der Wortwahl nicth einverstanden bist?
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 17. Apr 2020, 16:05

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:44
Das lässt sich auf die Frage reduzieren, was du mit 'mehr' gemeint hast. Mir wäre keine Definition bekannt, welche mit 'Überabzählbarkeit' ein 'Mehr' meint.
Zwei Mengen A und B haben per definitionem gleiche Mächtigkeit |A|= |B|, wenn zwischen A und B eine Bijektion f existiert.

Wenn dagegen nur einen Bijektion f zwischen A und B* existiert, wobei B* eine echte Teilmenge von B ist, jedoch keine Bijektion von A auf B, dann ist offenbar |B*| < |B| und damit auch |A| < |B|.

In diesem Sinne existieren „mehr“ reelle als rationale Zahlen, da |Q| < |R|. Die Annahme der Existenz einer Bijektion f von Q (oder N) auf R wird mit dem bekannten Diagonalargument nach Cantor zum Widerspruch geführt.

Die Definition der Mächtigkeiten gilt allgemein ein, die Argumentation mittels Abzählbarkeit bzw. Überabzählbarkeit gilt nur in dem Spezialfall, dass die Mengen A, B* abzählbar sind.

In diesem Sinne kann man „von größerer Mächtigkeit“ auch als „hat mehr Elemente“ übersetzen; ersteres ist jedoch der präzisere Sprachgebrauch.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Apr 2020, 16:43

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:44
Das lässt sich auf die Frage reduzieren, was du mit 'mehr' gemeint hast. Mir wäre keine Definition bekannt, welche mit 'Überabzählbarkeit' ein 'Mehr' meint.
Solltest du den Thread nicht mit einer Erklärung beginnen, weshalb du mit der Wortwahl nicth einverstanden bist?
Hallo Skel,

doch, aber zum einen wollte ich nicht mit der Tür ins Haus fallen und zum anderen bin ich berufstätig und habe heute abend noch etwas abzuliefern.

Ich werde später Deinen - nota bene jederzeit interessanten ! - Beitrag durchgehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 17. Apr 2020, 16:55

tomS hat geschrieben: Die Annahme der Existenz einer Bijektion f von Q (oder N) auf R wird mit dem bekannten Diagonalargument nach Cantor zum Widerspruch geführt.
Ja,da stimme ich völlig zu.
tomS hat geschrieben: In diesem Sinne existieren „mehr“ reelle als rationale Zahlen, da |Q| < |R|.
Ein 'in diesem Sinne' davor zu machen, macht die Verwendung des Wortes nicht zwangsläufig richtiger (ich halte es für irreführend).
Man kann R in einen abzählbaren Teil und einen nicht abzählbaren Teil splitten und argumentieren, daß dort gegenüber Q ein zusätzlicher nicht abzählbarer Teil existiert. Analog kann man mittels Bijektion beim Vergleich überabzählbarer Mengen argumentieren.
Die Menge R ist strukturell größer bzw mächtiger als die Menge Q, enthält aber nicht 'mehr' Elemente.

Menge 'mächtiger' ja, 'größere' Menge ja, aber bei 'mehr' Elemente tendiere ich zu einem nein.
Die Betrachtung auf Mengenebene ist relativ klar und da stimme ich auch voll zu. Es geht mir primär darum, daß man bei einer mächtigeren Menge nicht sagen kann, sie habe 'mehr' Elemente. Der Begriff ist mir da einfach zu umgangssprachlich.

Der Begriff 'mächtiger' ist da schon besser, da er sich mehr an die Struktur der Menge richtet, als auf die 'Anzahl' der darin enthaltenen Elemente bezieht.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Apr 2020, 18:45

ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:38
ich denke, dieser Beitrag Skelteks, dem ich in dieser Form nicht zustimmen mag - was aber auch auf banalen Missverständissen beruhen kann - ist einen eigenen Thread wert.
Hallo zusammen,

dann wollen wir uns das mal anschauen.
Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Apr 2020, 15:02
... dass gewisse Zahlen, die übrigens die überwältigende Mehrheit aller Zahlen bilden (d.h. deren Gesamtmenge "überabzählbar unendlich" ist)...
Die Zahlen bilden keine 'Mehrheit' und es sind auch nicht mehr. Es gibt nicht mehr transzendente Zahlen oder reele Zahlen als konstruierbare Zahlen.
Wenn dem so wäre, dann würde die "Wahrscheinlichkeit", einen Vertreter der einen oder der anderen Menge bei einer willkürlichen aber fairen Lotterie 50% betragen. Tatsächlich aber kann man mit Mitteln der Maßtheorie zeigen, dass abzählbare Mengen in den überabzählbaren Mengen eine Nullmenge bilden, d.h. die Wahrscheinlichkeit (nachdem man eine solche mit Hilfe der Maßtheorie definiert hat), einen Vertreter der abzählbaren Menge zu ziehen, beträgt exakt 0%.

Ich selber mag solche Argumente nicht, aber für die Anschauung ist das gar nicht so schlecht. Der "Klassiker" hier ist natürlich das Integral von 0 bis 1 der Funktion f(x) = 1, falls x rational, und f(x) = 0 falls x reell, aber nicht rational.

Das Riemann-Integral konvergiert nicht, da die Obersumme 1 beträgt, denn in jedem beliebigen Intervall findet sich mindestens eine rationale Zahl, während die Untersumme 0 beträgt, denn in jedem Intervall befindet sich auch eine reelle Zahl, welche nicht rational ist. Man kann hier übrigens das Wort rational durch algebraisch ersetzen, dann hat man auch alle Wurzeln und so dabei, und es wird gar nicht einfach sein, eine konkrete Zahl anzugeben, die in diesem Intervall liegt und nicht-algebraisch ist, wie beispielsweise die Liouville'sche Zahl oder 1/e oder 1/pi, aber das muss dann auch erst noch bewiesen werden.

Da aber diese Ausnahmemenge - auch wenn sie praktisch alle positiven Zahlen oder deren Kehrwerte enthält - eine Nullmenge ist, ist es wünschenswert, vorgenannter Funktion dennoch einen Integralwert zuzuordnen, und das macht man dann mit dem Lebesgue-Integral und es bekommt dann den Wert 0, weil die "wenigen" rationalen oder algebraischen Zahlen, bei denen die Funktion 1 wird, das Integral nicht hochreissen können.

Das ist nun alles sehr salopp formuliert und dient primär der Anschauung.

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
Das 'überabzählbar' bezieht sich lediglich auf das Fehlen einer abzählbaren sequentiellen Sortierung bzw eines Aufzählalgorithmus, welcher alle existenten Werte in die Sortierbare Menge einschließt.
Ich sehe nicht, an welcher Stelle eine Sortierung erforderlich wäre. Ok, Aufzählalgorithmus oder noch lieber: Abzählalgorithmus; hierbei ist aber auch zu beachten, dass es nicht der Regelfall ist, dass man beweisen kann, dass es einen solchen nicht gibt.

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
Je nach Struktur, welche man auf einer Topologie mit einer endlichen Menge an Operatoren aufspannt, sind diese bzgl einer Operation u.U. unvollständig.
Auch Topologien und Vollständigkeiten braucht man an dieser Stelle meines Wissens nicht zu bemühen.

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
Cantor hat bewiesen, daß jede abzählbare (sequentielle) Auflistung einer Menge mindestens einen (unendlichen) Teil ihrer Elemente ins unendliche an das Ende der Liste verlegen muss.
Kannst Du mir bitte zeigen, an welcher Stelle im Diagonalbeweis Cantor so etwas bewiesen hat ?

Und das mit dem Verlegen eines Teiles einer Liste an das Ende der Liste möchte ich wie folgt widerlegen - zuerst komplizert, damit man es den Haken nicht gleich sieht, und dann trivial:

Behauptung: die algebraischen Zahlen sind überabzählbar unendlich
"Beweis": wir nehmen die rationalen Zahlen, die bekanntlich abzählbar unendlich sind.

Repetition: man macht das ja mit den Zwei-Tupeln positiver ganzer Zahlen, deren erste Komponente der Zähler und deren zweite Komponente der Nenner ist und "sortiert" diese dann in der Reihenfolge ihrer Summe, also zuerst diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=1 - das ist nur 0/1 = 0), dann diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=2, da kommt dann noch 1/1=1 dazu, dann diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=3, da kommen dann noch 1/2 und 2/1=2 dazu, dann diejenigen mit Summe(Zähler+Nenner)=4, da kommen noch 1/3 und 3/1=3 dazu; schauen wir uns noch die mit Summe(Zähler+Nenner)=5 an, das sind dann 1/4, 2/3, 3/2 und 4/1=4. usw.

Und nach jedem positiven Bruch listen wir noch sein additiv Inverses, also sein Negatives auf.

So machen wir also immer weiter, aber all die Quadrat-, Kubik-, Biquadrat- usw. -Wurzeln sind ja noch nicht in unserer Liste, d.h. die verlegen wir ans Ende der Liste.

Das beweist aber nicht, dass die algebraischen Zahlen überabzählbar unendlich sind, sondern nur, dass wir eine wenig günstige Bijektion ausgesucht haben. Und für die Gleichmächtigkeit genügt eine günstige Bijektion. Nun lässt sich ja jede algebraische Zahl als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Zahlen darstellen (wenn man den Hauptnenner hochmultipliziert sogar mit ganzen Zahlen); diese Polynome kann man als n-Tupel ganzer Zahlen darstellen; vom Beweis der Abzählbarkeit rationaler Zahlen wissen wir, dass 2-Tupel ganzer Zahlen abzählbar sind, und mit vollständiger Induktion zeigt man, dass auch n-Tupel ganzer Zahlen abzählbar sind: für n=3 packt man die beiden ersten Komponenten der 3-Tupel in eine Komponente: (k,l,m) = ( (k,l), m) und da wir wissen, dass (k,l):=n abzählbar ist, können wir das 3-Tupel als (n,m) darstellen und haben ein 2-Tupel zweier abzählbarer Komponenten.

Ok, wir haben also nur abzählbar viele solcher Polynome n.-ten Grades und nach dem Hauptsatz der Algebra hat jedes dieser Polynome höchstens n Nullstellen, wobei das kein Schreibfehler ist: dieses "n" und der vorgenannte "n.-te Grad" ist dasselbe n.

Bei diesen algebraischen Zahlen sind übrigens auch alle komplexen Zahlen mit rationalwertigem Realteil und Imaginärteil dabei und man kann auch zeigen, dass da sogar alle komplexen Zahlen mit algebraischwertigem Realteil und Imaginärteil dabei sind.

Es ist also alles andere als einfach, eine nicht-algebraische Zahl zu finden, und doch sind diese im Gegensatz zu den algebraischen Zahlen übermächtig.

Das wäre übrigens 1874 fast noch peinlich geworden, da Cantor das in diesem Jahr gezeigt hat, denn mit diesem Beweis hätte man die Existenz einer überabzählbaren Menge nachgewiesen, ohne ein einziges Element in ihr konkret benennen zu können. Diese Schmach blieb der Mathematik aber erspart, da Liouville im Jahre 1851 mit Hilfe seines 7 Jahre zuvor bewiesenen Approximationssatzes eine transzendente Zahl angeben konnte, und dank Hermite hat man ein Jahr vor dem Cantorschen Diagonalbeweis ebenfalls gewusst, dass die Eulersche Zahl e nicht-algebraisch ist.

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
Seine Diagonalzahl halbiert mit jeder zusätzlichen Binärziffer die Anzahl noch nicht aufgezählter Elemente, die noch mit der Diagonalzahl übereinstimmen können. Durch die Art des Verfahrens wird gezeigt, daß die Diagonalzahl sich 'am Ende' der Liste befinden muss, also nicht innerhalb der Menge existiert. Es sind trotzdem weder mehr noch weniger Zahlen innerhalb der Liste als an ihrem 'Ende' (im Unendlichen).
Ich kann diesem Gedankengang nicht folgen.

Statt dieses von mir bewusst unübersichtliche Gegenbeispiel mit den algebraischen Zahlen und den rationalen Zahlen hätte ich auch ein einfacheres wählen können, z.B. die Liste der ganze Zahlen, an deren Ende ich die echten Brüche aufführe. Das ändert aber nichts daran, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind.

Oder die Liste der natürlichen Zahlen, an deren Ende ich die 0 und die negativen ganzen Zahlen aufführe, um die (trotzdem abzählbaren) ganzen Zahlen zu erhalten.

Oder noch viel einfacher: die Menge der natürlichen Zahlen, an deren Ende ich die 0 aufführe - bleibt trotzdem abzählbar.

Und vor allem: man kann nicht an das Ende einer unendlichen Liste etwas anhängen, man muss das schon "irgendwie" im Endlichen tun !

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
Ohne weiter auszuführen (und damit vom Topic noch weiter weg zu kommen), verweise ich daher mal auf das 'Abzählbare Auswahlaiom' und Dedekind-Unendlichkeit. Man kann die reelen Zahlen in Mengen von abzählbaren Mengen clustern, die dann wieder abzählbar sind.
Mir ist an dieser Stelle nicht ganz klar, was Du mit "Clustern" von abzählbaren Mengen" meinst.

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 15:21
Es ist dann lediglich strittig, ob wirklich alle reelen Zahlen in dieser Menge enthalten sind oder gar keine Zahlen. Primärgrund für die Nichtabzählbarkeit reeler Zahlen ist die Nichtabzählbarkeit der zugehörigen Menge an Auswahlfunktionen.
Mag sein, aber die Abzählbarkeit ist über Bijektionen und nicht über Auswahlfunktionen definiert, d.h. hier müsste vorgängig noch ein Zusammenhang hergestellt werden.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Apr 2020, 00:20

Skeltek hat geschrieben:
17. Apr 2020, 16:55
Die Menge R ist strukturell größer bzw mächtiger als die Menge Q, enthält aber nicht 'mehr' Elemente.

Menge 'mächtiger' ja, 'größere' Menge ja, aber bei 'mehr' Elemente tendiere ich zu einem nein.
Die Betrachtung auf Mengenebene ist relativ klar und da stimme ich auch voll zu. Es geht mir primär darum, daß man bei einer mächtigeren Menge nicht sagen kann, sie habe 'mehr' Elemente. Der Begriff ist mir da einfach zu umgangssprachlich.

Der Begriff 'mächtiger' ist da schon besser, da er sich mehr an die Struktur der Menge richtet, als auf die 'Anzahl' der darin enthaltenen Elemente bezieht.
Hallo Skel,

dieser Einwand von Dir ist berechtigt und zutreffend; bitte beachte dabei aber auch, dass die Wortwahl "mehr" nur für endliche Mengen definiert ist. Indem man dann den Begriff der Gleichmächtigkeit über diese Bijektionen einführt erreicht man, dass endliche Mengen dann und nur dann gleichmächtig sind, wenn sie gleich viele Elemente enthalten.

Bei unendlichen Mengen klappt da so natürlich nicht mehr. So ist IN eine echte Teilmenge von IN0 = IN U {0}, d.h. die zweite Menge hat irgendwie "ein Element mehr" als die erste, nämlich das Element 0, jedoch sind beide Mengen gleichmächtig.

Wieder einmal sieht man an diesem Beispiel, wie wichtig es ist, dass eine Summe der Form oo+1 keineswegs gleich oo ist, sondern eben nicht definiert ist. Übrigens nicht deswegen, weil das Resultat "falsch" wäre, sondern weil der Begriff "oo" nicht widerspruchsfrei definierbar ist:


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 00:55

Dein 'Gegenbeispiel' ist glaube ich schlecht gewählt. Wenn ich sage 'nicht alle Katzen sind schwarz, weil einige weiß sind', dann kann man das nicht widerlegen, in dem man die Verallgemeinerung auf Tiere im Allgemeinen widerlegt. Die Aussage wird nicht falsch, nur weil diese für Giraffen nicht gilt.

Dein Wahrscheinlichkeitsbeispiel mit der Dirichlet-Funktion hinkt insbesondere deshalb, weil es eben von der Maßtheorie abhängt. Vergleiche lieber mal die Rationalen Zahlen oder sowas mit dem Cantor-Diskontinuum, welches auch überabzählbar ist aber trotzdem eine Lebesgue-Nullmenge.
Die größere Mächtigkeit ist nicht ausreichend dafür sagen zu können, die Menge habe mehr Elemente.
ralfkannenberg hat geschrieben: Und vor allem: man kann nicht an das Ende einer unendlichen Liste etwas anhängen, man muss das schon "irgendwie" im Endlichen tun !
Das hab ich auch so gesagt und gemeint; da sind wir auf demselben Nenner. Die Zahlen sind nicht innerhalb der Liste enthalten, existieren also nicht innerhalb der Liste.
ralfkannenberg hat geschrieben: Kannst Du mir bitte zeigen, an welcher Stelle im Diagonalbeweis Cantor so etwas bewiesen hat ?
Ich versuche mal ein einfaches Beispiel in Form des Diagonalbeweises (nicht den Beweis selbst) hier anzuführen, nur um zu zeigen, was ich meine:
Nimm die Zahlenreihe:
0
01
001
0001
usw
Ist klar daß sich die Reihe asymtotisch auf 0 zu bewegt. Nach dem Cantorschen Diagonalalgorithmus ist die nicht enthaltene Diagonalzahl exakt 0 (eine von vielen nicht enthaltenen Werten). Es wird gezielt eine Zahl konstruiert, welche sich von allen Zahlen, welche eine endliche Stelle in der Liste haben unterscheidet und sich höchstens am Ende der Liste finden lässt.
Es ist ein Algorithmus angebbar, welcher jeder möglichen Diagonalzahl eine Stelle in der Liste zuweist. Da die Diagonalzahl sich nicht festlegt, sondern sich um die Ziffern der Listeneinträge windet wie eine glitschige Schlange, geht die Position des Listeneintrages gegen unendlich.
Aber das nur nebenbei, da es nicht wirklich zur Diskussion beiträgt.

Anderer Aspekt:
  • Man kann alle Binärzahlen in zwei Mengen unterteilen. Die eine Menge enthält alle Zahlen, welche mit '0' beginnen, die andere alle Zahlen, welche mit einer '1' beginnen.
  • Die beiden Mengen unterteilt man nach dem selben Prinzip(auf die nächste Ziffer bezogen) und führt dies für alle Untermengen durch. Das wird dann unendlich widerholt.
  • Man kann sagen, daß diese unendliche Untermengenbildung existiert und alle Zahlen der ursprünglichen Menge enthält.
  • Diese Mengen und Untermengen sind alle abzählbar.
  • Es sind keine Mengen dabei, welche nicht abzählbar sind
  • Jede Menge enthält exakt zwei Elemente (bzw zwei Mengen als Elemente)
  • Die Abzählbarkeit der Mengen lässt sich nicht auf die Elemente übertragen, welche sich darin befinden.
-> Alles oberhalb dieser Zeile trägt aber kaum wirklich zur Dikussion bei.
Ich habe vor ein paar Jahren ein Beispiel hier im Forum genau zu diesem Thema gebracht, in dem ich eine überabzählbare Menge konstruiert hatte, welche genau gleich viele Elemente wie eine abzählbar unendliche Menge hatte (ohne daß jedoch eine Bijektion existiert). Ich krame das mal bei Gelegenheit heraus und schau nochmal drüber. Zur Not nehme ich nochmal das vereinfachte Beispiel mit dem Baumdiagram.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 00:57

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:20
dieser Einwand von Dir ist berechtigt und zutreffend; bitte beachte dabei aber auch, dass die Wortwahl "mehr" nur für endliche Mengen definiert ist. Indem man dann den Begriff der Gleichmächtigkeit über diese Bijektionen einführt erreicht man, dass endliche Mengen dann und nur dann gleichmächtig sind, wenn sie gleich viele Elemente enthalten.
Das habe ich erst nach dem abschicken meines Beitrages gelesen. Stimme dem völlig zu. auf unendliche Mengen kann man das nicht einfach verallgemeinern. Gerade binär kann man zeigen, daß überabzählbare Mengen und abzählbare Mengen gleich viele Elemente haben können, obwohl keine Bijektion existiert und eine der Mengen mächtiger ist.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 18. Apr 2020, 01:06

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:57
Gerade binär kann man zeigen, daß überabzählbare Mengen und abzählbare Mengen gleich viele Elemente haben können, obwohl keine Bijektion existiert und eine der Mengen mächtiger ist.
Wie ist dieses „ gleich viele Elemente“ denn definiert?
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 01:24

tomS hat geschrieben:
18. Apr 2020, 01:06
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:57
Gerade binär kann man zeigen, daß überabzählbare Mengen und abzählbare Mengen gleich viele Elemente haben können, obwohl keine Bijektion existiert und eine der Mengen mächtiger ist.
Wie ist dieses „ gleich viele Elemente“ denn definiert?
Das ist noch nicht definiert und ich könnte erstmal auf eine Definition von "mehr Elemente" warten.
Ich würde zeigen, daß sich die Anzahl beider nicht um einen Faktor unendlich sondern um einen endlichen Faktor unterscheidet?
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 18. Apr 2020, 10:05

Es geht nicht um „einen Faktor“.

Cantor hat die Definition für uns bereits erledigt.

Bsp.:

Man betrachtet die Menge X = {a,b} mit |X| = 2.
Man konstruiert die sogenannte Potenzmenge als Menge aller Teilmengen P(X) = { {}, {a}, {b}, {a,b} } mit |P(X)| = 4.

Offenbar gilt für die Mächtigkeit |P(M)| = 2|X|

Dies ist beweisbar für alle endlichen Mengen und konstruierbar auch für unendliche Mengen.

Damit erhält man auch für unendliche Mengen eine Folge von Mächtigkeiten. Dabei startet man mit der „kleinsten“ unendlichen Menge, nämlich den natürlichen Zahlen N sowie allen gleichmächtigen Mengen):

|N| < |P(N)| < |P(P(N))| < ...

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese besagt für unendliche Mengen, dass nach |X| immer |P(X)| die nächsthöhere Mächtigkeit darstellt. Dass also keine Menge Y mit

|X| < |Y| < |P(X)|

existiert.

Für die natürlichen N und reellen Zahlen R besagt die Kontinuumshypothese speziell, dass mit R = P(N) keine echte Teilmenge Y von R existiert, so dass

|N| < |Y| < |R|

gilt.

Die Kontinuumshypothese sowie die verallgemeinerte Kontinuumshypothese sind mittels des Axiomensystems ZFC von Zermalo-Fraenkel inklusive dem Auswahlaxiom C (Choice) weder beweisbar noch wiederlegbar (Gödel, Cohen).

D.h. ZFC ist zu schwach, um etwas über die Existenz oder nicht-Existenz der hypothetischen Entität Y sagen zu können (geschweige denn, sie konstruieren zu können). Die Mathematiker untersuchen daher Erweiterungen von ZFC, also verschiedene inäquivalente Mengenlehren und deren Konsequenzen für die (verallgemeinerte) Kontinuumshypothese sowie die Existenz oder nicht-Existenz von Y.

Die Gültigkeit der verallgemeinerte Kontinuumshypothese vorausgesetzt entspricht die o.g. Folge

|N| < |P(N)| < |P(P(N))| < ...

eineindeutig den Kardinalzahlen

ℵ₀ < ℵ₁ < ℵ₂ < ...

und damit kannst die Mächtigkeit beliebiger unendlicher Mengen X, Y mit |X| < |Y| immer genau dadurch vergleichen, dass du die entsprechenden ℵ mit

ℵ(X) = |X|
ℵ(Y) = |Y| = |P(P(...(X)...))|

in der Folge findest und vergleichst.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 12:58

tomS hat geschrieben:
18. Apr 2020, 10:05
Es geht nicht um „einen Faktor“.
Das weiß ich, du hattest aber nach einer nicht existenten Definition gefragt. Ich will mit meinem Beispiel nur zeigen, daß Mächtigkeit eben nicht über ein 'mehr' an Elementen definiert ist.
Letztlich sprichst du genau das aus, was ich eigentlich sagen will.
Es geht gar nicht darum, ob eine Menge 'mehr' Elemente hat, egal ob man einen Faktor hat oder sonstigen Vergleich. Die Mächtigkeit ist, wie du sagst anders definiert.

@ralfkannenberg:
Nimm mal (da sie bereits oben von mit erwähnt wurde) Cantor-Menge. In jedem der abzählbar unendlichen Iterationsschritte wird die Anzahl der Elemente verdoppelt.
drei Feststellungen:
  • Die Anzahl der Konstruktionsknoten ist abzählbar unendlich.
  • Jede neue Reihe hat exakt so viele Elemente wie die Summe der vorherigen Reihen.
  • Die 'letzte Reihe' ist überabzählbar unendlich.
Man sieht leicht, daß man hier nicht von einem 'mehr Elemente' sprechen kann. Der Begriff der 'Überabzählbarkeit' bzw verallgemeinert 'Mächtigkeit' hat nichts mit einem anzahlmäßigen 'mehr' an elementen zu tun.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 18. Apr 2020, 14:12

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 12:58
Ich will mit meinem Beispiel nur zeigen, daß Mächtigkeit eben nicht über ein 'mehr' an Elementen definiert ist.
Doch, natürlich, im einfachsten Sinne genau das!

Wir nehmen einen Menge A = {a,b,c,d,...} und eine andere Menge B = {1,2,3,...} konstruieren eine Bijektion; wenn dies gelingt - wenn wir also eine 1:1-Zuordnung haben - dann haben beide Mengen gleich viele Elemente (das ist letztlich das Wesen der Bijektion).

Wenn dies nicht gelingt, wenn beim Versuch der Konstruktion einer Bijektion wie zwischen R und N immer Objekte einer Menge - hier R - übrigbleiben, wenn also eine Bijektion einer Teilmenge von R mit N existiert, jedoch keine Bijektion von ganz R mit N, dann hat R in einem recht anschaulichen Sinne mehr Elemente als N, nämlich so viele, wie übrigbleiben.

Das funktioniert bei endlichen Mengen trivialerweise und bei unendlichen Mengen - für den Mathematiker- praktisch genau so anschaulich.

Dass du den Sprachgebrauch „mehr Elemente“ nicht magst ist ja OK, aber er ist nicht soooo irreführend oder gar falsch.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Apr 2020, 14:46

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Dein 'Gegenbeispiel' ist glaube ich schlecht gewählt. Wenn ich sage 'nicht alle Katzen sind schwarz, weil einige weiß sind', dann kann man das nicht widerlegen, in dem man die Verallgemeinerung auf Tiere im Allgemeinen widerlegt. Die Aussage wird nicht falsch, nur weil diese für Giraffen nicht gilt.
Hallo Skel,

natürlich war es schlecht gewählt, aber es ging mir primär um die Anschauung und nicht darum, etwas, das ohnehin nicht hieb- und stichfest ist, hieb- und stichfest zu machen. Ich wollte nur darauf hinaus, dass man mit demselben Argument, das Du vorgebracht hast, wenn man nicht aufpasst auch zeigen könnte, dass die algebraischen Zahlen überabzählbar unendlich seien, was sie nicht sind.

Meine umständlichen und pseudo-anschaulichen Beweisketten mache ich übrigens nicht für Dich -Du kennst das alles, sondern für den stillen Mitleser, damit er oder sie die Beweisidee (ohne die Details dahinter) sieht.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Dein Wahrscheinlichkeitsbeispiel mit der Dirichlet-Funktion hinkt insbesondere deshalb, weil es eben von der Maßtheorie abhängt.
Damit bin ich an sich auch einverstanden, weil man diese Betrachtungen ohne Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen tätigen kann, aber zumindest für die Anschauung kann das enorm helfen, gerade das Beispiel mit der Funktion f(x)=1 für x in IQ und f(x)=0 für x in IR\IQ und dann das Riemann-Integral von 0 bis 1 darüber.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Vergleiche lieber mal die Rationalen Zahlen oder sowas mit dem Cantor-Diskontinuum, welches auch überabzählbar ist aber trotzdem eine Lebesgue-Nullmenge.
Im Studium habe ich in den Übungen oft genug meine "Lösungen" am Cantorschen Diskontinuum überprüft, das hat den Vorteil, dass ich die meisten von ihnen ohne viel Aufwand frühzeitig widerlegen konnte.

Leider haben wir nicht viel Zeit gehabt, uns ausführlich mit dem Cantorschen Diskontinuum zu beschäftigen, was mir bis heute geblieben ist ist vor allem, dass hier die Irrtums-Wahrscheinlichkeit sehr gross ist, auch wenn man sehr vorsichtig agiert.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Die größere Mächtigkeit ist nicht ausreichend dafür sagen zu können, die Menge habe mehr Elemente.
Gefühlsmässig stimme ich mit dem nicht überein, d.h. ich wittere hier eine Falle, die wir beide noch nicht erkannt haben. Letztlich haben wir nun drei Begriffe, mit denen man den "Umfang" (was auch immer das nun sein soll) von Mengen zu vergleichen:

- deren Anzahl, d.h. "mehr" oder "weniger" Elemente
- deren Mächtigkeit
- die Teilmengen-Beziehung

Und eben: nur für endliche Mengen gilt: echte Teilmenge <=> echt kleinere Anzahl <=> echt kleinere Mächtigkeit

Bei nicht-endlichen Mengen - ganz bewusst vermeide ich an dieser Stelle die Wortwahl "unendliche Mengen", d.h. ich begnüge mich mit der Feststellung, dass diese Mengen nicht endlich sind, gilt das nicht mehr:

IN ist eine echte Teilmenge von IN0, dennoch sind sie gleichmächtig, via b(n):=n-1. f(n)=n leistet das beispielsweise nicht, da würde das Element 0 übrigbleiben und müsste ans "Ende" der Liste angehängt werden, was aber nur bei endlichen Mengen möglich ist.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
ralfkannenberg hat geschrieben:Und vor allem: man kann nicht an das Ende einer unendlichen Liste etwas anhängen, man muss das schon "irgendwie" im Endlichen tun !
Das hab ich auch so gesagt und gemeint; da sind wir auf demselben Nenner. Die Zahlen sind nicht innerhalb der Liste enthalten, existieren also nicht innerhalb der Liste.
Ich stimme dem zu, aber dennoch Vorsicht: es wurde eine abzählbare Liste ausgewählt. Es ist nicht gesagt, dass das für alle solchen Listen gilt. Worauf ich hinauswill: das Argument lautet ja, dass wenn das reellzahlige Intervall [0,1) abzählbar unendlich wäre, dann gäbe es eine abzählbare Liste usw. und man zeigt dann ja, dass es eine solche abzählbare Liste nicht geben kann, indem man ein Element aus dem Intervall konstruiert, welches nicht in der Liste enthalten ist.

Das Detail, das der stille Mitleser überspringen kann, kennen wir alle: besagtes Element hat an der ersten Stelle eine andere Ziffer als die erste Zahl der Liste, an der zweiten Stelle eine andere Ziffer als die zweite Zahl der Liste u.s.w.


Wichtig ist nur: wir reden hier von einer abzählbaren Liste, die es gar nicht gibt !

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
ralfkannenberg hat geschrieben: Kannst Du mir bitte zeigen, an welcher Stelle im Diagonalbeweis Cantor so etwas bewiesen hat ?
Ich versuche mal ein einfaches Beispiel in Form des Diagonalbeweises (nicht den Beweis selbst) hier anzuführen, nur um zu zeigen, was ich meine:
Nimm die Zahlenreihe:
0
01
001
0001
usw
Ist klar daß sich die Reihe asymtotisch auf 0 zu bewegt. Nach dem Cantorschen Diagonalalgorithmus ist die nicht enthaltene Diagonalzahl exakt 0 (eine von vielen nicht enthaltenen Werten). Es wird gezielt eine Zahl konstruiert, welche sich von allen Zahlen, welche eine endliche Stelle in der Liste haben unterscheidet und sich höchstens am Ende der Liste finden lässt.
Ja und nein: wichtig ist mir dass sie in der Liste eben nicht drin ist. Wenn Dir das Argument mit dem "Ende der Liste" aus didaktischen Gründen hilft, ok und auch selbstverständlich, wirklich brauchen tut man es aber m.E. nicht.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Es ist ein Algorithmus angebbar, welcher jeder möglichen Diagonalzahl eine Stelle in der Liste zuweist.
Jetzt habe ich etwas verpasst: welche Stelle ? Die am Ende ? Aber diese Listenposition gibt es doch nicht.

Und es kommt noch viel schlimmer: betrachte folgende Zahl:
sei diese so, dass sie an ihrer zweiten Stelle von der zweiten Stelle der 1.Listenzahl abweicht und an ihrer ersten Stelle von der 2.Listenzahl abweicht, danach stets an der n.-ten Stelle von der n.-ten Listenzahl.

Ok, es könnte noch passieren, dass die beiden ersten Ziffern der Liste an ihren beiden ersten Stellen gleich sind, dann permutiertman eben die ersten endlich vielen Listenzahlen so, dass dem nicht so ist - das kann man einrichten, d.h. o.E.d.A. haben die 1. und die 2.Listenzahl an ihren beiden ersten Stellen verschiedene Ziffern.

Auch diese Zahl ist in der Liste nicht drin, aber sie ist von der "Diagonalzahl" verschieden. Was machst Du mit ihr: sie ans Ende der Liste anhängen, wo schon die Diagonalzahl steht ? Oder noch eine "Position" (die ebenfalls nicht definiert ist) weiter hinten ?

Worauf ich hinaus will: das Konzept mit dem Ende der Liste klappt m.E. ohne zusätzliche Definitionen nicht.
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Da die Diagonalzahl sich nicht festlegt, sondern sich um die Ziffern der Listeneinträge windet wie eine glitschige Schlange, geht die Position des Listeneintrages gegen unendlich.
Korrekt, mit dem Ergebnis, dass sie nicht in der Liste drin ist.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Aber das nur nebenbei, da es nicht wirklich zur Diskussion beiträgt.
Lass mal, ich finde diesen Ansatz gar nicht uninteressant, auch wenn er sich zumindest auf diese Weise nicht realisieren lässt.

Lass mich den Rest Deines Beitrages in einem eigenen Beitrag anschauen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 15:07

Ich sehe es trotzdem als einen topologischen Unterschied an. Die Bijektion muss kein Homöomorphismus sein, noch nicht einmal lokal homöomorph, aber es sind nicht die enthaltenen Elemente direkt(eher indirekt) verantwortlich, welche die Mächtigkeit bestimmen.
Im einfachsten Sinne gebe ich dir recht, aber wenn man genau hinsieht, sind die möglichen Elemente bzw Strukturen von der einbettenden Topologie abhängig.
Man kann es nicht 'bottom-up' betrachten, wenn das eigentlich untersuchte Konstrukt 'top-down' emergiert. Die Mengen sind nicht eine Aggregation ihrer Elemente, sondern die Elemente entstehen durch Konstruktion/Clustern/Einteilen der Obermenge in Einzelteile durch entsprechende Vorschriften/Algorithmen (wie z.B. das Herauspicken von ganzen Zahlen aus der einbettenden Obermenge bzw Intervall [0,unendlich]).
Von diesen Algorithmen sind dann auch die Auswahlfunktionen und Ordinalzahlen abhängig. Da jedoch eine Wohlordnung (der Auswahlfunktionen) bei Potenzmengen und dergleichen nicht möglich ist, sind diese Mengen dann überabzählbar, mächtiger usw.

Wir können uns gerne darauf einigen, daß der Begriff 'mehr' nicht optimal ist, um zu beschreiben, was gemeint ist.
Ich hätte obiges auch genauer ausführen können, wollte aber lieber den Text kurz halten, damit klarer wird, woraus ich hinaus will.
ralfkannenberg hat geschrieben: Gefühlsmässig stimme ich mit dem nicht überein, d.h. ich wittere hier eine Falle, die wir beide noch nicht erkannt haben.
Ja, halte ich für sehr gut möglich. Das Studium ist bei mir auch schon eine Weile her; bin derzeit mehr in der Informatik unterwegs.
Das Thema ist denke ich auch nicht trivial. 'Einfach gesprochen' kann man viel mit vereinfachenden Worten erklären, akkurat dargestellt, würde es andererseits den Rahmen einer Forendiskussion sprengen. Denke wir sind uns beide bewusst, daß wir das hier vermutlich nicht bis ins letzte Detail werden klären können. Ich schließe auch nicht aus, daß ich mich am ende der Diskussion halb lächerlich mache, aber es ist finde ich auch ein gutes Training, um sich über die vielen Dinge, die man vergessen hat, wieder etwas bewusster zu werden.
ralfkannenberg hat geschrieben: indem man ein Element aus dem Intervall konstruiert, welches nicht in der Liste enthalten ist.
Ja, aber wie man bei IN und IN0 erkennt hat, ist das kein Indiz für mehr Elemente, sondern lediglich für eine höhere Mächtigkeit.

Wir versuchen mal die Voraussetzungen für eine vollständige Liste jeder unendlichen Folge an Binärziffern aufzustellen:
  • Jede Zahl soll mindestens, möglichst jedoch genau einmal vorkommen.
  • Jede Zahl hat/braucht nur eine Position.
  • Unterschiedliche Ziffern führen zu unterschiedlicher Position, und nie zu einer bereits vergebenen Position.
  • Konstruiert man die Position nach dem Schema X, dann erhält man eine nicht weiter kompaktifizierbare Liste minimaler Entropie.
  • Schema X sei: Position = Summe( Ziffer(n) * 2^(n) ); wobei Ziffer(n) die Ziffer an Stelle n ist.
  • Es gibt kein Schema, welches allen unendlich langen Ziffernfolgen unterschiedliche Positionen gibt aber alle Folgen auf eine endliche Position rückt.
  • Die Auswahlfunktion für jede Zahl würde der Listenposition (als Ordinalzahl betrachtbar) die Ziffer zuordnen.
  • Da die Auswahlfunktionen ebenfalls überabzählbar sind, lassen sich die Zahlen auch nicht wohlordnen.
Die Liste kann somit nicht alle Elemente enthalten.
Keine Ahnung ob das etwas hilft. Mir war es wichtig, daß es keine Möglichkeit gibt die Wohlordnung der ganzen Zahlen auf die reelen Zahlen zu übertragen. Deshalb mein Fokus auf den topologischen Aspekt. Ich wüsste gerade wirklich nicht, wie ich das anders verdeutlichen sollte.
Die Menge der Konstruktionsvorschriften der Zahlen bzw Auswahlfunktionen/Ordinalzahlen lässt sich nicht bijektiv auf die der reelen Zahlen übertragen.

Ich denke im Wesentlichen sind wir uns bei den Argumenten und Anschauungen einig. Ich denke einfach nur, daß 'mehr' hier der falsche Begriff ist, nur weil ein Element nicht enthalten ist.
IN lässt sich bijektiv auf jede 'kleinste Teilmenge' von IR abbilden (falsch formuliert), aber eben nie auf alle gleichzeitig (ist immer unvollständig). Man kann nicht sagen, ein ganz bestimmtes Element sei nicht enthalten, da man ja selbst auswählt, welche Elemente in der Bijektion enthalten sind und welche nicht.
Das ist, als wollte man eine Linie auf eine Fläche stetig abbilden; man kann hier nicht sagen, ein bestimmter Punkt der Fläche sei in der Bijektion nicht enthalten, da man diese selbst auswählt. Man kann genausowenig sagen, es seien 'mehr' Punkte, da es nichtstetige Bijektionen gibt. Es hängt halt viel von der Struktur ab (Stetigkeit ist kein anschauliches Beispiel).
Wobei wir wieder bei der Maßtheorie wären. die stetige Linie ist im Vergleich zur Fläche immer ohne Inhalt.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 18. Apr 2020, 15:21

Das „mehr“ ist nach Cantor sogar präzise additiv.

Nehmen wir die reellen Zahlen R, eine abzählbare Teilmenge wie z.B. N. Dann haben die überabzählbare Teilmenge R* = R \ N.

Für deren Mächtigkeiten |N| = ℵ₀, |R*| = ℵ₁ und |R| = ℵ₁ gilt dann

ℵ₀ + ℵ₁ = ℵ₁

(falls die Kontinuumshypothese nicht gilt, steht einfach ein anderes aleph als ℵ₁ da)

D.h. R hat ℵ₁ mehr Elemente als N.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Apr 2020, 15:40

Hallo Skel,

ich habe Dein nachfolgendes Zitat von Dir dahingehend geändert, dass ich den tag "list" entfernt habe, weil ich direkt darauf eingehen möchte.
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Anderer Aspekt:

[*]Man kann alle Binärzahlen in zwei Mengen unterteilen. Die eine Menge enthält alle Zahlen, welche mit '0' beginnen, die andere alle Zahlen, welche mit einer '1' beginnen.
ok
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Die beiden Mengen unterteilt man nach dem selben Prinzip(auf die nächste Ziffer bezogen) und führt dies für alle Untermengen durch.
ok

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Das wird dann unendlich widerholt.
Hier könnte eine Falle stecken.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Man kann sagen, daß diese unendliche Untermengenbildung existiert und alle Zahlen der ursprünglichen Menge enthält.
Ich möchte lieber nur eine n-fache Untermengenbildung durchführen und dann eine Induktion drüberlegen.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Diese Mengen und Untermengen sind alle abzählbar.
Moment: die ursprüngliche Menge ist überabzählbar und durch Deine Konstruktion wird keine dieser Mengen abzählbar. Du hast zwar einen abzählbaren Prozess von Untermengen-Bildungen durchgeführt, aber das ändert nichts daran, dass jede dieser Untermengen überabzählbar viele Elemente enthält.
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Es sind keine Mengen dabei, welche nicht abzählbar sind
Im Gegenteil: keine einzige von ihnen ist abzählbar.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Jede Menge enthält exakt zwei Elemente (bzw zwei Mengen als Elemente)
Die aber beide überabzählbar unendlich viele Elemente enthalten.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Die Abzählbarkeit der Mengen lässt sich nicht auf die Elemente übertragen, welche sich darin befinden.
Ganz genau !!!!

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
-> Alles oberhalb dieser Zeile trägt aber kaum wirklich zur Dikussion bei.
Vielleicht doch, das weiss ich jetzt noch nicht.

Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Ich habe vor ein paar Jahren ein Beispiel hier im Forum genau zu diesem Thema gebracht, in dem ich eine überabzählbare Menge konstruiert hatte, welche genau gleich viele Elemente wie eine abzählbar unendliche Menge hatte (ohne daß jedoch eine Bijektion existiert). Ich krame das mal bei Gelegenheit heraus und schau nochmal drüber. Zur Not nehme ich nochmal das vereinfachte Beispiel mit dem Baumdiagram.
Ich fürchte, so klappt das nicht. Niemand bezweifelt dass man eine überabzählbar grosse Menge in abzählbar viele gleich grosse Teilmengen einteilen kann. Das kannst Du übrigens einfacher haben: statt das alles im Binärsystem zu betrachten kannst Du das ebenso gut im n-er-System betrachten und n durch IN laufen lassen. Da bekommst Du die Aufteilung auf dem goldenen Tablett serviert.

Wobei beide Vorgehensweisen völlig äquivalent sind, da die ersten n Binärziffern letztlich nur eine Darstellung der n im Zweiersystem sind.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 16:03

Sorry, ich habe meinen Beitrag oben nach und nach ergänzt. Vielleicht schaut ihr euch nochmal die neueste Version an.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2020, 16:25

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Apr 2020, 15:40
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
Das wird dann unendlich widerholt.
Hier könnte eine Falle stecken.
Ja, da steckt eine drin.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Man kann sagen, daß diese unendliche Untermengenbildung existiert und alle Zahlen der ursprünglichen Menge enthält.
Ich möchte lieber nur eine n-fache Untermengenbildung durchführen und dann eine Induktion drüberlegen.
Ja, aber man kann annehmen (wenn man kein Konstruktivist ist), daß die resultierende Menge für n->unendlich aktual existiert.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Diese Mengen und Untermengen sind alle abzählbar.
Moment: die ursprüngliche Menge ist überabzählbar und durch Deine Konstruktion wird keine dieser Mengen abzählbar. Du hast zwar einen abzählbaren Prozess von Untermengen-Bildungen durchgeführt, aber das ändert nichts daran, dass jede dieser Untermengen überabzählbar viele Elemente enthält.
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Es sind keine Mengen dabei, welche nicht abzählbar sind
Im Gegenteil: keine einzige von ihnen ist abzählbar.
Hier gehen wir auseinander. Keine einzige der Mengen hat mehr als zwei Elemente, was wir vorher durch Induktion sicher gestellt haben. Das 'Ende der Kette' existiert nicht.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Jede Menge enthält exakt zwei Elemente (bzw zwei Mengen als Elemente)
Die aber beide überabzählbar unendlich viele Elemente enthalten.
Du hast selbst die Induktion vorgeschlagen. Es wurde sicher gestellt, daß jede Menge nur zwei Elemente enthält und das Problem in die Untermengen verlagert wird.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
18. Apr 2020, 00:55
[*]Die Abzählbarkeit der Mengen lässt sich nicht auf die Elemente übertragen, welche sich darin befinden.
Ganz genau !!!!
Das Paradoxon/Widerspruch wollte ich zeigen.

Mein obiges Beispiel mit der Bijektion von Linie auf Fläche zeigt denke ich ganz gut, daß es von der Struktur abhängt, daß man durchaus eine Bijektion aller Elemente erreichen kann, indem man die aufspannende Struktureinschränkung zerstört.


@Tom: Du addierst Mächtigkeiten, nicht die Elemente selbst. Die Strukturgebung ist intrinsisch in der Mengendefinition enthalten und wird als selbstverständlich vorausgesetzt. Das von dir aufgeführte Argument halte ich unter Annahme der Prämissen durchaus für legitim.
Es ist die Struktur der Mengen, welche die Mächtigkeit festsetzt und nicht die Labels, Bezeichner oder sonstiges, mit welchem man dann innerhalb der Menge die Identifier für die darin generierten Elemente definiert.

Wenn man die zusäzlichen 'übrig bleibenden' Elemente als synonym für die nicht im Durchschnitt der Mengen enthaltene Strukturerweiterung nimmt, dann halte ich den Begriff 'mehr' durchaus für berechtigt. Im Grunde sind wir uns ja bei der Sache an sich relativ einig. Die Fragestellung läuft letztlich denke ich darauf hinaus, ob man die Mengen als simple Aggregate/Sets von Elementen betrachtet oder die Elemente als aus einer Obermenge emergierende Entitäten (Selektion/Unterteilung mittels Vorschriften; z.B. Neumann-Modell).

Möglicherweise hängt es auch von der Interpretation en und derselben Sache ab, welche Wortwahl man in dem Zusammenhang als am besten passend bezeichnen würde?
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Apr 2020, 22:22

Hallo Skel,

tatsächlich verstehe ich momentan nicht, worauf konkret Du hinaus möchtest. Dass der "mehr Elemente haben"-Begriff bei nicht-endlichen Mengen wenig zielführend ist haben wir ja gesehen, und dass echte Teilmengen dieselbe Mächtigkeit haben können, ebenfalls. Somit läuft das ganze darauf hinaus, dass der Begriff der Mächtigkeit einerseits und der nach wie vor widerspruchsfreie Begriff der Teilmenge andererseits geeignete Werkzeuge sind, um Mengen zu vergleichen. Insbesondere sehe ich momentan keinen Bedarf für ein weiteres solches Werkzeug und möchte insbesondere die Thematik auch nicht mit Kardinalzahlen und/oder Ordnungszahlen erschlagen - solange wir uns nur mit abzählbaren Mengen und zu ihnen überabzählbaren Mengen beschäftigen benötigt man das ebensowenig wie eine Addition auf den Kardinalzahlen.

Zu Deiner Konstruktion, das Kontinuum in eine abzählbare Menge "gleichgrosser Mengen" aufzuspalten: das kannst Du an sich einfacher haben, indem Du einfach die Intervalle [n,n+1) für n in IN0 betrachtest; von diesen gibt es abzählbar viele und jedes enthält überabzählbar viele Elemente. Und Du kannst diese sogar ganz einfach zuordnen, indem Du diejenigen einander zuordnest, die dieselben Nachkommastellen haben; das ist sogar eine Bijektion.

Allerdings ist mir nach wie vor unklar, was Du mit dieser Konstruktion, die zweifelsohne korrekt ist, bezwecken möchtest.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von Skeltek » 19. Apr 2020, 01:42

Sorry, es ging mir lediglich darum, daß es durchaus überabzählbare Mengen gibt, bei welchen man nicht sagen kann, daß diese mehr Elemente hätten als eine abzählbare Menge.
Andere Idee: Was würde denn z.B. passieren, wenn man von IR alle konstruierbaren Zahlen abzieht? Kann man IN injektiv auf eine Menge abbilden, von der man kein einziges Element benennen kann? Bräuchte man für die injektive Abbildung dann nicht auch eine Auswahlfunktion, welche natürliche Zahlen als Parameter akzeptiert und ein nicht konstruierbares Element ausspuckt? Gibt es per Definition nicht. Die beiden Mengen wären nicht wirklich vergleichbar.
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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Apr 2020, 05:53

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 01:42
Sorry, es ging mir lediglich darum, daß es durchaus überabzählbare Mengen gibt, bei welchen man nicht sagen kann, daß diese mehr Elemente hätten als eine abzählbare Menge.
Hallo Skel,

Du hast mich aber noch nicht davon überzeugt, dass das geht. Und meinem Verständnis nach sollte das auch nicht gehen.

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 01:42
Andere Idee: Was würde denn z.B. passieren, wenn man von IR alle konstruierbaren Zahlen abzieht? Kann man IN injektiv auf eine Menge abbilden, von der man kein einziges Element benennen kann? Bräuchte man für die injektive Abbildung dann nicht auch eine Auswahlfunktion, welche natürliche Zahlen als Parameter akzeptiert und ein nicht konstruierbares Element ausspuckt? Gibt es per Definition nicht. Die beiden Mengen wären nicht wirklich vergleichbar.
Das wäre ja nach dem Cantor'schen Diagonalbeweis passiert, wenn nicht zwei Jahrzehnte zuvor LIouville eine transzendente Zahl gefunden hätte. Dass Hermite ein Jahr vor dem Diagonalbeweis noch ein Transzendenzbeweis der Eulerschen Zahl gelang war natürlich noch ein Sahnehäubchen.

Nur: warum willst Du auf diese Menge der nicht-konstruierbaren Zahlen eine Injektion auf IN tätigen ? Es genügt doch, dass die Differenzmenge einer überabzählbaren Menge und einer abzählbaren Menge überabzählbar bleibt, weil andernfalls diese Differenzmenge abzählbar wäre, im Widerspruch zur Tatsache, dass die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen abzählbar bleibt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von tomS » 19. Apr 2020, 08:32

Skeltek hat geschrieben:
19. Apr 2020, 01:42
Sorry, es ging mir lediglich darum, daß es durchaus überabzählbare Mengen gibt, bei welchen man nicht sagen kann, daß diese mehr Elemente hätten als eine abzählbare Menge.
Davon hast du mich nicht überzeugt.
Gruß
Tom

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Re: Überabzählbarkeit von IR über IN (oder gleichwertig: über IQ)

Beitrag von seeker » 19. Apr 2020, 10:43

Ich denke hier arbeitet man eben nicht ohne Grund mit dem Begriff "Mächtigkeit", weil genau definiert sein muss, was damit gemeint ist und weil die Begriffe "mehr" oder "größer" schon anderweitig vergeben sind. Und "mächtiger" ist eben nicht dasselbe wie das gewöhnliche "mehr".

Ich meine die gesamte Problematik fängt ja auch schon damit an, dass man zunächst einmal akzeptieren muss, dass (solche) Unendlichkeiten überhaupt in irgendeiner sinnvollen Form als existent angenommen werden können bzw. sollen, denn ohne die Akzeptanz dieser Voraussetzung würde man sich hier (im übertragenen Sinn) nur darüber unterhalten, wie viele Engel auf einer Nadelspitze tanzen können.
Grüße
seeker


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