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Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

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Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 11. Okt 2018, 02:35

Nur weil etwas bisher immer der Fall war, so folgt nicht daraus, dass es auch zukünftig der Fall sein wird. Das ist das sog. Induktionsproblem, idR exerziert an der physikalischen Welt und DER Grund dafür, dass zB Physiker genaugenommen nie über Hypothesen hinaus kommen.

Doch wieso kann man dieses Problem nicht ausweiten (das macht meines Wissens nach niemand)? Wer sagt denn, dass wir ab morgen nicht gezwungen sein könnten, unseren Zeichen ganz andere Bedeutungen als bisher zu geben und damit bisher gültige Schlüsse ungültig würden? Dann wären math./log. Wahrheiten nicht besser dran als empirische.

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 11. Okt 2018, 09:40

Die Logik ist von den Zeichen unabhängig, darum geht es nicht.
Pippen hat geschrieben:
11. Okt 2018, 02:35
Dann wären math./log. Wahrheiten nicht besser dran als empirische.
Das ist im Grunde so, es gibt auch dort keine absolute Sicherheit, weil log. Wahrheiten davon abhängig sind, dass ihr Bezugsrahmen "Logik", der unserem Denken entspringt, richtig ist. Wir können aber aus dem Denken heraus nicht beweisen, dass das Denken richtig ist, weil kein System sich selbst beweisen kann, man müsste hier das Denken sozusagen von außen betrachten/untersuchen, was (für uns) unmöglich ist.

Allerdings schätzen wir die Sicherheit von als "wahr befundenen Aussagen" dort als höher ein als in den Naturwissenschaften, das ist auch sinnvoll so.
Deshalb, weil Mathematik weniger Voraussetzungen benötigt: Bei ihr muss nur der konstruierte logische Rahmen als Voraussetzung richtig sein, damit eine korrekt erarbeitete Aussage in dem Rahmen beweisbar richtig ist, bei den NW muss zusätzlich noch die Empirie passend sein, eben weil der Bezugsrahmen der NW ein anderer ist: die Natur.
Grüße
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 11. Okt 2018, 11:22

seeker hat geschrieben:
11. Okt 2018, 09:40
Die Logik ist von den Zeichen unabhängig, darum geht es nicht.
Ich meine sowas wie, dass es ab morgen einfach keine Implikation mehr gibt, dass also "->" gar keine Bedeutung mehr hat. So eine Welt wäre denkbar, man negiere einfach jede Art von Implikation. Dadurch wäre jeder Beweis nur noch eine sinnlose Zeichenkette, genauso wie die meisten unserer Theorien. Unsere Welt und unser Wissen würde auf einfach Stellungsnahmen wie "Dort ist ein Baum" zusammenschrumpfen, wenn überhaupt. Mich wundert nun, dass sowas nie zumindest angedacht wurde, weil es heißen würde, dass das Induktionsproblem nicht nur für die Empirie gilt, sondern genauso auch für die Logik und Mathematik. Im Gegenteil: Schon Hume hat damals sauber getrennt und wollte sein Induktionsproblem nur für empirische Tatsachen gelten wissen.
Allerdings schätzen wir die Sicherheit von als "wahr befundenen Aussagen" dort als höher ein als in den Naturwissenschaften, das ist auch sinnvoll so.
Deshalb, weil Mathematik weniger Voraussetzungen benötigt: Bei ihr muss nur der konstruierte logische Rahmen als Voraussetzung richtig sein, damit eine korrekt erarbeitete Aussage in dem Rahmen beweisbar richtig ist, bei den NW muss zusätzlich noch die Empirie passend sein, eben weil der Bezugsrahmen der NW ein anderer ist: die Natur.
Ja, aber das wäre reine Pragmatik, denn es gibt keine Gesetz, wonach weniger Voraussetzungen -> höherer Wahrscheinlichkeit.

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 11. Okt 2018, 13:38

Pippen hat geschrieben:
11. Okt 2018, 11:22
Mich wundert nun, dass sowas nie zumindest angedacht wurde, weil es heißen würde, dass das Induktionsproblem nicht nur für die Empirie gilt, sondern genauso auch für die Logik und Mathematik.
In gewisser Weise ja.
Und es wurde schon vor Jahrtausenden angedacht:
Ich weiß, dass ich nicht weiß. Auch das weiß ich nicht.
Sokrates

An dieser Lage hat sich seither nichts geändert und wird sich nie etwas ändern.
Pippen hat geschrieben:
11. Okt 2018, 11:22
Ja, aber das wäre reine Pragmatik, denn es gibt keine Gesetz, wonach weniger Voraussetzungen -> höherer Wahrscheinlichkeit.
So ist es, aber es ist so.
Grüße
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 11. Okt 2018, 20:23

seeker hat geschrieben:
11. Okt 2018, 13:38
An dieser Lage hat sich seither nichts geändert und wird sich nie etwas ändern.
Das kann man so nicht sagen, weil das implizierte, dass ich ja doch weiß, dass ich nichts weiß. Wenn du aber nichts weißt, dann eben auch nicht, ob du nicht vllt. doch mal was wissen kannst. Du kannst vielmehr nur folgern: das wird sich nie ändern oder es wird sich ändern. :)

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 11. Okt 2018, 22:02

Pippen hat geschrieben:
11. Okt 2018, 20:23
Du kannst vielmehr nur folgern: das wird sich nie ändern oder es wird sich ändern. :)
Wenn du nichts weißt, dann kannst du nicht mal das folgern, weil evtl. nicht mal die zweiwertige Logik bzw. der Satz vom ausgeschlossenen Dritten sicher ist. Damit kannst du dann folgern, dass diese - jede - Diskussion völlig sinnlos ist. Und noch nicht mal das.
Gruß
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 11. Okt 2018, 22:31

tomS hat geschrieben:
11. Okt 2018, 22:02
Damit kannst du dann folgern, dass diese - jede - Diskussion völlig sinnlos ist. Und noch nicht mal das.
Muss man aber nicht. Man sollte nur erkennen, dass es letztlich nie um "absolute Wahrheit" geht oder gehen kann.
Es geht stattdessen um unser Vertrauen, um Bewährtheit für uns, um funktionieren für uns, um Nutzen für uns und um Vernünftigkeit für uns.
Und hierbei kann jede Diskussion prinzipiell sinnvoll und hilfreich sein, weil wir solche Dinge nicht absolut sicher wissen müssen - wir entscheiden sie!
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 11. Okt 2018, 23:18

Laut Pippen geht es aber um die Möglichkeit der absoluten Unlogik. Und es kann man jede Diskussion beenden.
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 12. Okt 2018, 00:02

tomS hat recht, selbst ich habe mich da zu weit aus'm Fenster gelehnt. Man muss dann wirklich schweigen oder klarmachen, dass das, was man daraus folgert, völlig willkürlich ist.

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Skeltek » 12. Okt 2018, 04:41

Man sollte nicht außer Acht lassen, dass nicht garantiert ist (vermutlich ist es eher nie so), dass jeder Mensch die Axiome oder Grundannahmen gleich versteht.
Verschiedene Menschen können aus den unterschiedlich verstandenen Axiomen Implikationen ziehen und dasselbe symbolische Ergebnis aufschreiben. Jeder wird die Widerspruchsfreiheit der Implikation zwischen Annahme und Implikationsergebnis feststellen und annehmen, dass 'Urbildraum' und 'Bildraum' für die anderen dieselbe Bedeutung haben wie für einen selbst.

Es ist vielleicht vergleichbar mit der Farblehre, wo man auch auf ein 'hard problem' trifft:
Jeder wird sich einig sein, dass beim Mischen von rotem und grünem Licht eine gelbe Farbe herauskommt. Trotzdem ist nicht nachvollziehbar, wie die anderen die einzelnen Farben jeweils wahrnehmen. Wir können nur annehmen, dass andere Personen die Farben genauso wahrnehmen und dabei dasselbe empfinden wie wir selbst.

Dass Implikationen immer gelten kann man eigentlich auch als eine 'Grundannahme' auffassen. Wir gehen davon aus, dass andere Menschen die Welt genauso wahrnehmen wie wir selbst und diese die Welt genauso wie wir selbst als eine Abfolge von Ursachen und Folgen erfahren. Die Frage, ob Gesetzmäßigkeiten wie z.B. 'Ursache-Wirkung' welche heute gelten auch morgen noch gelten werden ist stark verwandt mit der Frage, ob Gesetzmäßigkeiten, welche für einen selbst oder am diesigen Ort gelten, auch woanders gelten. Das eine ist die Annahme der Gültigkeit an einem anderen Zeitpunkt, das andere eine Annahme der Gültigkeit an einem anderen Ort oder für eine andere Person.

Es ist teils eine 'Win-NoLoss-Strategie'. Falls frühere Gesetzmäßigkeiten später noch Gültigkeit haben, ziehen wir einen Nutzen aus der Annahme. Sollten diese später keine Gültigkeit haben, haben wir zumindest nichts verloren.
Es gibt auch eine fernöstliche buddhistisch angehauchte Annahme, dass sich Kausalität und Nichtkausalität gegenseitig abwechseln. Sollte die Kausalität und Vergangenheit von jetzt auf danach keine Gültigkeit mehr haben, würde sich alles in Nichtexistenz auflösen. Da hier nichts existiert und auch keine Zeit vergeht, folgt darauf eigentlich direkt wieder der Zustand der Existenz. Von dem 'esoterischen' mal ganz abgesehen, macht das auf mich irgendwie den Eindruck eines frühen Versuchs einer Kontinuumshypothese: Zwischen jedem Zeitpunkt an welchem das Universum existiert befindet sich ein Zustand, an welchem nichts existiert. Der vergebliche Versuch die Zeit in kleinste Teile zu spalten und darüber nachzudenken, was sich zwischen den einzelnen Zeitpunkten befindet ^^

Du kannst es so ähnlich sehen wie in der Viele Welten Theorie wo jeder mögliche Ausgang realisiert wird: Entweder das Prinzip der Kausalität (und damit auch aller Implikationen) bricht zusammen und hat keine Gültigkeit mehr (in welchem Fall sofort alles aufhören würde zu existieren, Sinn zu machen oder sonst wie als irgendetwas erkennbar zu bleiben) oder die Regeln haben weiterhin Bestand. Man kann glaube ich in dem Fall davon ausgehen, dass beide Fälle realisiert werden.
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr
oder
Diese Menge hat zwei Elemente: A und B

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 12. Okt 2018, 14:47

Skeltek hat geschrieben:
12. Okt 2018, 04:41
Man sollte nicht außer Acht lassen, dass nicht garantiert ist (vermutlich ist es eher nie so), dass jeder Mensch die Axiome oder Grundannahmen gleich versteht.
Ja. Ganz genau gleich wäre dabei auch gar nicht nötig, nötig ist "im wesentlichen mathematischen Kern" gleich.
Und dabei gehen wir davon aus, dass alle Menschen in diesem wesentlichen Kern gleich denken und schlussfolgern oder dies zumindest lernen können.
Woher weiß z.B. der Mathelehrer aber, dass ihn sein Schüler verstanden hat, dass er die gelehrten Strukturen und Zusammenhänge so verinnerlicht hat und damit mindestens im Kern so denkt wie der Lehrer?

Ganz einfach: Er stellt dem Schüler Fragen und Aufgaben, schaut sich die Ergebnisse und Ausarbeitungen des Schülers an und schlussfolgert dann daraus, ob es so ist oder nicht. Wenn sich Übereinstimmung ergibt, geht des Lehrer davon aus, dass es der Schüler kapiert hat.
Wichtig: Das ist aber Empirie! Und schon damit greift das Induktionsproblem auch hier.

Genauso bei mathematischen Konstruktionen und Beweisen:
Jemand stellt einen Beweis vor, andere prüfen den, wenn genügend Leute ihn geprüft haben und keinen Fehler finden konnten, akzeptieren wir ihn und behaupten, dass er bezüglich seines mathematischen Rahmens in zeitloser und absolut-objektiver Weise richtig sei. Das kann so sein, aber wissen können wir das gar nicht 100%ig: Dieser Vorgang der wiederholten Prüfung durch unabhängige Prüfer ist Reproduktion und das ist wiederum ein Mittel der Empirie und deshalb gelten hier letztlich auch die Einschränkungen wegen des Induktionsproblems genauso wie in der Physik: Wenn 1000 Leute einen math. Beweis geprüft haben und keinen Fehler darin gefunden haben, dann schließt das nicht 100%ig aus, dass der 1001ste Prüfer nicht doch noch einen Fehler darin finden kann.

Bei näherem Hinsehen stellen wir fest:
Wir müssen also auch in der Mathematik deutlich mehr Grundannahmen treffen die wir in ihrer Richtigkeit nur annehmen, aber nicht absolut sicher wissen können, als gewöhlich im Bewusstsein der Leute ist.
Grüße
seeker


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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Skeltek » 12. Okt 2018, 16:25

Der Lehrer kann über die Testergebnisse höchstens feststellen, dass die Gedankengänge des Schülers homomorph zu seinen eigenen Gedankenkonstrukten sind. Es ist genau genommen nicht wirklich zweifelsfrei feststellbar, ob Isomorphie vorliegt.
Der Lehrer kann nur prüfen, ob die Ergebnisse im Widerspruch zu seinem eigenen Gedankenmodel stehen - findeter keine Widersprüche, geht er von der Richtigkeit des Lösungsvorgangs des Schülers der Problemstellung aus.

Ich hatte mal Jahre lang in gewissen Bereichen der Matrizenrechnung eine falsche Vorstellung von einigen Sachverhalten (im Zusammenhang mit Eigenvektoren) gehabt. Trotzdem hatte ich immer die richtigen Ergebnisse heraus bekommen...
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 12. Okt 2018, 20:50

seeker hat geschrieben:
12. Okt 2018, 14:47
Bei näherem Hinsehen stellen wir fest:
Wir müssen also auch in der Mathematik deutlich mehr Grundannahmen treffen die wir in ihrer Richtigkeit nur annehmen, aber nicht absolut sicher wissen können, als gewöhlich im Bewusstsein der Leute ist.
Vor allem verstehe ich dich so: Wir müssen auch in der reinsten Mathemtik empirische Annahmen/Aussagen treffen, damit Mathematik funktioniert, und ist das damit nicht der Beweis dessen, worüber wir uns im Thread von Nebenan so abmühen: nämlich dass Mathematik von der Beschaffenheit der Welt genauso abhängt wie andere Wissenschaften (wenn auch sicherlich nicht so sehr)?

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 12. Okt 2018, 21:02

Pippen hat geschrieben:
12. Okt 2018, 20:50
Wir müssen auch in der reinsten Mathemtik empirische Annahmen/Aussagen treffen, damit Mathematik funktioniert ... und ist das damit nicht der Beweis dessen, worüber wir uns im Thread von Nebenan so abmühen: nämlich dass Mathematik von der Beschaffenheit der Welt genauso abhängt wie andere Wissenschaften (wenn auch sicherlich nicht so sehr)?
Ich wüsste nicht, welche empirische Annahme wir treffen müssen.
Gruß
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 12. Okt 2018, 21:25

tomS hat geschrieben:
12. Okt 2018, 21:02
Ich wüsste nicht, welche empirische Annahme wir treffen müssen.
Dass das worüber die Mathematik redet (Axiome, Beweise, Sätze, Zahlen,...) von allen normalen Menschen gleich verstanden und angewendet wird. Was ist zB 1+1=2 wert, wenn irgendwann "herauskommt", dass bis dahin alle Menschen aufgrund eines weit verbreiteten Gehirndefekts nicht merkten (aber durchaus korrekt wahrnahmen), dass die damalige "1" eigentlich "0" bedeutete, so dass sie die ganze Zeit falsch rechneten, nämlich 0+0=2. Noch schlimmer bei abstrakten Axiomen, wo Neurologen vllt. irgendwann herausfinden, dass unsere Vorstellung des Unendlichkeitsaxioms eine ganz andere ist als wir es denken, weil wir uns dieses "und immer so weiter" entgegen unserer naiven Vorstellung gar nicht wirklich vorstellen können.

Oder was ist, wenn alle Menschen sterben? Sterben mit ihnen nicht auch die Zahlen, Axiome und Beweise, weil diese untrennbar mit unserer Konstruktion verschmolzen sind? Da musst du nur Konstruktivist sein und schon hättest du ein Problem und auf einmal hing die Mathematik an unserer Existenz.

Oder ganz simpel seeker's Szenario: Woher wissen wir, dass ein Beweis richtig ist, wenn wir nie ausschließen können, dass wir alle schlicht blind für den entscheidenden Fehler sein könnten?

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 12. Okt 2018, 21:50

Nö.

Auf David Hilbert geht die formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik zurück: „Man muss jederzeit an Stelle von Punkten, Geraden, Ebenen, Tische, Stühle, Bierseidel sagen können ...“. Es ist ausreichend, dass gewisse formale Strukturen passen.

Darüberhinausist es denkbar - da Berechenbarkeit und Beweise mittels Gödels Ideen eng verwandt sind - dass Computerprogramme Beweise führen (sie tun diesseits schon in bestimmten Spezialfällen). Das bedeutet jedoch nicht, dass Computerprogramme irgendein Verständnis dessen haben müssten, was sie da tun oder mit welchen Objekten sie operieren.
Gruß
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 12. Okt 2018, 23:39

tomS hat geschrieben:
12. Okt 2018, 21:50
Es ist ausreichend, dass gewisse formale Strukturen passen.
Du brauchst aber immer mind. einen (empirischen) Menschen als Adressaten dieser Strukturen. Ohne ihn wären die Strukturen bedeutungslos, sie werden erst durch diesen Menschen zu ebenjenen Strukturen. Und dann brauchst du weitere Menschen, welche sicherstellen, dass dieser eine Mensch die Strukturen richtig versteht und anwendet und sich nicht verschreibt oder verrechnet. Hilbert übergeht dieses Problem einfach und kommt erst dadurch zur Unabhängigkeit der Mathematik von der Empirie. Und das ist ein schwerer Fehler des Formalismus, weil er nämlich das o.G. immer schon voraussetzen muss (und es auch tut), wenn er ehrlich ist.
Darüberhinausist es denkbar - da Berechenbarkeit und Beweise mittels Gödels Ideen eng verwandt sind - dass Computerprogramme Beweise führen (sie tun diesseits schon in bestimmten Spezialfällen). Das bedeutet jedoch nicht, dass Computerprogramme irgendein Verständnis dessen haben müssten, was sie da tun oder mit welchen Objekten sie operieren.
Sie wissen ja auch genauso wenig wie eine automatische Autowaschanlage, ob sie ihre Aufgabe korrekt ausgeführt haben; sie machen einfach was und erst wir sind's, die daraus etwas interpretieren, was für uns eine Bedeutung hat, weil wir mind. eine Ebene höher sitzen als die Maschinen. Genauso könnte auch ein Stein den Berg herunterrollen, doch erst für jemanden, der hinsieht und merkt, dass die Stellen, an denen der Stein jeweils auf den Boden aufschlug einen Code darstellt, gibt es diesen Code auch als solches. Für den Stein war da gar nichts.

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 13. Okt 2018, 00:06

Pippen hat geschrieben:
12. Okt 2018, 23:39
Du brauchst aber immer mind. einen (empirischen) Menschen als Adressaten dieser Strukturen. Ohne ihn wären die Strukturen bedeutungslos, sie werden erst durch diesen Menschen zu ebenjenen Strukturen.
Nein, das stimmt nicht.

Eine Struktur kann zunächst existieren, ohne dass jemand ihr eine Bedeutung zuspricht.

Nimm‘ als Beispiel die Arithmetik über den natürlichen Zahlen. Offensichtlich ist dies ausreichend, um über Primzahlen zu sprechen, ohne jedoch damit gleich ihre Struktur vollständig zu verstehen. Nach Euklid wissen wir, dass es unendlich viele geben muss. Aber es gab schon unendlich viele vor Euklids Entdeckung. Die Struktur der Primzahlen wurde nicht durch Euklid gemacht, ihre Bedeutung für uns in gewisser Weise schon. Strukturen und ihre Bedeutung sind völlig verschiedene Dinge.
Pippen hat geschrieben:
12. Okt 2018, 23:39
Und dann brauchst du weitere Menschen, welche sicherstellen, dass dieser eine Mensch die Strukturen richtig versteht und anwendet und sich nicht verschreibt oder verrechnet.
Das ist doch irrelevant. Wenn Euklid sich verrechnet hätten dann hätte das doch nichts an der Struktur geändert. Die Erde ist doch auch nicht durch Magellan zur Kugel geworden.
Pippen hat geschrieben:
12. Okt 2018, 23:39
... sie machen einfach was und erst wir sind's, die daraus etwas interpretieren, was für uns eine Bedeutung hat, weil wir mind. eine Ebene höher sitzen als die Maschinen.
Richtig.

Aber trotzdem kann der Algorithmus ohne uns und die Bedeutung, die wir ihm zumessen, arbeiten. Er bedarf keiner Bedeutung.

Nimm die Affen, die über Jahrtausende zufällige Buchstaben schreiben. Irgendwann steht da der Text von Macbeth. Natürlich ist die Ansammlung der Buchstaben für die Affen bedeutungslos, aber sie existiert. Genauso geht es den Mathematikern: es gibt einige Beispiele von zunächst trivialen Beispielen, die ein Kind definieren kann, ohne jedoch vollumfänglich die ganze Struktur dessen, was es da definiert hat zu begreifen; teilweise das sogar für die Mathematiker noch ein Rätsel.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Laver_table#Periodicity
Gruß
Tom

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von Pippen » 13. Okt 2018, 00:55

Ist IN (Bsp. einer formalen Struktur) in einer völlig leeren Welt möglich? Antwortest du mit -ja- so widersprichst du dir selbst (leer und nicht leer wg. IN). Antwortest du mit -nein-, so hängt IN von der Beschaffenheit der Welt ab, nämlich zumindest mal davon, dass die Welt nicht leer ist.

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 13. Okt 2018, 08:21

Die Frage ist irrelevant, da die natürlichen Zahlen mit der darauf definierten Arithmetik offensichtlich existieren - und zwar in vielfältiger Weise.

Zum einen kann ich z.B. Äpfel zählen, und meine Mitmenschen ebenso. D.h. dass in gewisser Weise eine physikalische Realisierung eines Teilbereiches vorliegt. Zum anderen können wir Mathematik betreiben, d.h. es liegt auch eine mentale Realisierung vor, die über die physikalische hinausgeht.
Gruß
Tom

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 13. Okt 2018, 11:07

Pippen hat geschrieben:
12. Okt 2018, 20:50
seeker hat geschrieben:
12. Okt 2018, 14:47
Bei näherem Hinsehen stellen wir fest:
Wir müssen also auch in der Mathematik deutlich mehr Grundannahmen treffen die wir in ihrer Richtigkeit nur annehmen, aber nicht absolut sicher wissen können, als gewöhlich im Bewusstsein der Leute ist.
Vor allem verstehe ich dich so: Wir müssen auch in der reinsten Mathemtik empirische Annahmen/Aussagen treffen, damit Mathematik funktioniert,
Nicht ganz. Es ist so, dass wir auch in der Mathematik empirische Annahmen/Aussagen treffen müssen, um begründen zu können, dass wir annehmen bzw. wissen können, dass unsere Mathematik funktioniert - und zwar immmer und überall und genau so, wie wir denken. Bezüglich unseres Wissens greift das Induktionsproblem: Wir können dies nicht absolut sicher wissen.
und ist das damit nicht der Beweis dessen, worüber wir uns im Thread von Nebenan so abmühen: nämlich dass Mathematik von der Beschaffenheit der Welt genauso abhängt wie andere Wissenschaften (wenn auch sicherlich nicht so sehr)?
Nein. Die Behauptung dass etwas "an sich" von etwas anderem abhängig sei, ist etwas anderes. Das ist getrennt zu betrachten.
tomS hat geschrieben:
12. Okt 2018, 21:50
Darüberhinausist es denkbar - da Berechenbarkeit und Beweise mittels Gödels Ideen eng verwandt sind - dass Computerprogramme Beweise führen (sie tun diesseits schon in bestimmten Spezialfällen).
Computer helfen da auch nicht weiter, denn:

Woher wissen wir absolut sicher, dass reale Computer immer und überall, exakt und stets fehlerfrei das tun, das wir glauben bzw. ihnen sozusagen aufgetragen haben zu tun?
Wir wissen es nicht! Wir können das nur empirisch prüfen. Und damit greift an der Stelle auch hier das Induktionsproblem.
tomS hat geschrieben:
13. Okt 2018, 00:06
Aber trotzdem kann der Algorithmus ohne uns und die Bedeutung, die wir ihm zumessen, arbeiten. Er bedarf keiner Bedeutung.
tomS hat geschrieben:
13. Okt 2018, 00:06
Eine Struktur kann zunächst existieren, ohne dass jemand ihr eine Bedeutung zuspricht.
Jedoch muss es immer eine Minimalbedeutung geben, im Sinne eines Bezugs zu einem Rahmen:

Der Algorithmus kann nur dann existieren und arbeiten, wenn ein Rahmen-Regelwerk existiert, das dem Algorithmus sozusagen sagt, was er zu tun hat, wie die Zeichen zu manipulieren sind, die er manipuliert.
Die Primzahlen können nur existieren, wenn der Bezugsrahmen "natürliche Zahlen" existiert: Die Eigemschaft einer Zahl "prim zu sein" hat mindestens eine Bedeutung im Sinne eines notwendigen Bezugs bezüglich des Rahmens "Menge der natürlich Zahlen".
Grüße
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 13. Okt 2018, 11:59

Nein.

Nach der Gödelisierung haben wir ein formales und strukturell zum ursprünglichen strukturell identisches System ohne weitere Bedeutung. Es geht nur noch um ein Regelwerk zur Manipulation von Zahlen, mehr nicht. Da muss weder eine weitere Bedeutung existieren, noch kann man in der gödelisierten Mathematik irgendeine Bedeutung erkennen.

Dieses Regelwerk würde ich nicht „Bedeutung“ nennen wollen, denn das trifft es nicht. Es ist ein Regelwerk, sozusagen die Minimalform von Arithmetik einschließlich Logik und Beweistheorie, jedoch ohne deren inhaltlichen Gehalt, den wir Ihnen normalerweise zuschreiben.

Eine empirische Prüfung derartiger formaler Systeme ist unmöglich, da zum einen die Gödelschen Sätze besagen, dass dies nicht vollumfänglich möglich ist, und da uns ein empirischer Bezug zur Überprüfung fehlt - den haben wir zwar bei einfachen Beispielen aus der Praxis, aber das ist ja nur ein Sandkörnchen im Vergleich zur gesamten Arithmetik.

Es ist m.E. grundfalsch, die Mathematik von der Empirie her verstehen zu wollen, denn man bleibt immer bei dem Sandkörnchen. Aber vieles von dem, was man meint, da sagen zu können, gilt eben nur in diesem Spezialfall.
Gruß
Tom

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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 14. Okt 2018, 18:31

Fest steht, dass jede Bedeutung auch ein Bezug ist, ob jeder Bezug auch eine Bedeutung ist... darüber kann man diskutieren.
Ich würde halt sagen, als Minimalinterpretation: "Ja!" Keine Bedeutung "für uns", aber eine Bedeutung "für sich". Aber egal...
tomS hat geschrieben:
13. Okt 2018, 11:59
Eine empirische Prüfung derartiger formaler Systeme ist unmöglich, da zum einen die Gödelschen Sätze besagen, dass dies nicht vollumfänglich möglich ist, und da uns ein empirischer Bezug zur Überprüfung fehlt - den haben wir zwar bei einfachen Beispielen aus der Praxis, aber das ist ja nur ein Sandkörnchen im Vergleich zur gesamten Arithmetik.

Es ist m.E. grundfalsch, die Mathematik von der Empirie her verstehen zu wollen, denn man bleibt immer bei dem Sandkörnchen. Aber vieles von dem, was man meint, da sagen zu können, gilt eben nur in diesem Spezialfall.
Mag sein, aber von Gödel habe ich es gar nicht.
Deine Argumentation setzt stillschweigend die unbeweisbare Existenz der platonischen Welt voraus. Und genau an dem Punkt existiert daher eine weiterer, davon unabhängige Unsicherheit.

Es ging gar nicht darum die Mathematik aus dieser Richtung verstehen zu wollen, es ging um Einordnung.
Die gestellte Frage war ja, so wie ich sie verstanden hatte, die:

Wenn wir schon in den Naturwissenschaften u.a. wegen dem Induktionsproblem keine absolute Sicherheit, kein absolutes Wissen erreichen können, können wir dies dann wenigstens in der Mathematik erreichen?

Die Antwort scheint mir recht klar zu sein:

1) Für die Mathematik - an sich und für sich (also auch bezüglich ihres eigenen Rahmens)- existiert eine solche Unsicherheit nicht, die allermeisten Aussagen und Beweise sind hier absolut und absolut sicher, nur kleine und seltene Ausnahmen bezüglich Gödel sind hier zu nennen.

2) Für die Mathematik -soweit wir sie erkennen können- gilt das nicht, hier greift zusätzlich noch das Induktionsproblem durchaus, auch wenn es hier im Vergleich zu den Naturwissenschaften winzig erscheint: Die Mathematik ist hier vergleichsweise so sicher, wie man es sich nur wünschen kann, aber nicht absolut sicher.

3) Die Mathematik 'an sich' kennen wir aber nicht, auch können wir nicht sicher wissen, ob eine Mathematik nach 1) überhaupt gegeben ist, daher gilt für uns Menschen 2)!
Grüße
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von tomS » 14. Okt 2018, 23:36

seeker hat geschrieben:
14. Okt 2018, 18:31
Wenn wir schon in den Naturwissenschaften u.a. wegen dem Induktionsproblem keine absolute Sicherheit, kein absolutes Wissen erreichen können, können wir dies dann wenigstens in der Mathematik erreichen?

Die Antwort scheint mir recht klar zu sein:

1) Für die Mathematik - an sich und für sich (also auch bezüglich ihres eigenen Rahmens)- existiert eine solche Unsicherheit nicht, die allermeisten Aussagen und Beweise sind hier absolut und absolut sicher, nur kleine und seltene Ausnahmen bezüglich Gödel sind hier zu nennen.

2) Für die Mathematik -soweit wir sie erkennen können- gilt das nicht, hier greift zusätzlich noch das Induktionsproblem durchaus, auch wenn es hier im Vergleich zu den Naturwissenschaften winzig erscheint: Die Mathematik ist hier vergleichsweise so sicher, wie man es sich nur wünschen kann, aber nicht absolut sicher.

3) Die Mathematik 'an sich' kennen wir aber nicht, auch können wir nicht sicher wissen, ob eine Mathematik nach 1) überhaupt gegeben ist, daher gilt für uns Menschen 2)!
Zu 1.: Bereits die Konsistenz der Arithmetik der natürlichen Zahlen ist nicht beweisbar, d.h. dass zu jeder Aussage wie „1 + 1 = 2“ auch jede beliebige andere Aussage wie „1 + 1 = 3“ beweisbar sein kann. D.h. dass in diesem Sinne kein Beweis absolut sicher ist! Die Tatsache, dass Beweise für „1+ 1 = 2“ einfacher zu sein scheinen als die für „1 + 1 = 3“, stärkt uns in der Auffassung, dass Konsistenz vorliegt, jedoch besagt dies im engeren Sinne für die Mathematik nichts - außer dass Mathematiker nicht jeden Tag mit einem unguten Bauchgefühl in die Arbeit gehen

Zu 2.: Das Induktionsproblem greift insofern, als das Prinzip der vollständigen Induktion ein Axiom der natürlichen Zahlen ist bzw. aus einem äquivalenten Peanoschen Axiom hergeleitet werden kann. Die Unsicherheit bzgl. der Gültigkeit der vollständigen Induktion bzw. der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik der natürlichen Zahlen ist unvermeidbar.

Zu 3.: Doch, die Mathematik 'an sich' kennen wir! Sie existiert genau in dem Sinne, in dem wir reine Mathematik betreiben. Das ist Mathematik. Nach (1) wissen wir sicher, dass wir die Konsistenz sicher nicht wissen können. Einen Unterschied zwischen (1) und (2) sehe ich nicht - ich gehe mit beiden nicht konform, und nach Richtigstellung besagen sie das selbe.

All dies gilt zunächst „für uns Menschen“. Wenn die Mathematik - z.B. die Arithmetik - widerspruchsfrei ist - was wir nicht wissen können, dann ist das letztlich gleichbedeutend mit ihrer Existenz. Über die Existenzweise im Sinne von Hilbert, Brouwer, ... können wir noch diskutieren. Wenn sie aber nicht widerspruchsfrei ist, dann existiert sie auch nicht - nicht für uns Menschen, nicht eingeschränkt, nicht sonst irgendwie.

Das, was dann noch existieren würde, wäre nicht das, was Mathematiker unter Mathematik verstehen. Man müsste erstens dafür einen neuen Namen prägen, und man müsste zweitens neue Axiome finden, die den Status der Mathematik wieder restaurieren würden. Dieses neue System wäre dann wieder Mathematik - bzw. das, an dessen Konsistenz und Existenz Mathematiker heute glauben bzw. dann in einer neuen Form wieder glauben würden.
Gruß
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Re: Hume's Induktionsproblem auch für die Logik und Mathematik?

Beitrag von seeker » 15. Okt 2018, 03:07

Wie würdest du dann diese Frage in möglichst kurzer Form beantworten?
seeker hat geschrieben:
14. Okt 2018, 18:31
Wenn wir schon in den Naturwissenschaften u.a. wegen dem Induktionsproblem keine absolute Sicherheit, kein absolutes Wissen erreichen können, können wir dies dann wenigstens in der Mathematik erreichen?
Und wie gehst du damit um?
seeker hat geschrieben:
12. Okt 2018, 14:47
Genauso bei mathematischen Konstruktionen und Beweisen:
Jemand stellt einen Beweis vor, andere prüfen den, wenn genügend Leute ihn geprüft haben und keinen Fehler finden konnten, akzeptieren wir ihn und behaupten, dass er bezüglich seines mathematischen Rahmens in zeitloser und absolut-objektiver Weise richtig sei. Das kann so sein, aber wissen können wir das gar nicht 100%ig: Dieser Vorgang der wiederholten Prüfung durch unabhängige Prüfer ist Reproduktion und das ist wiederum ein Mittel der Empirie und deshalb gelten hier letztlich auch die Einschränkungen wegen des Induktionsproblems genauso wie in der Physik: Wenn 1000 Leute einen math. Beweis geprüft haben und keinen Fehler darin gefunden haben, dann schließt das nicht 100%ig aus, dass der 1001ste Prüfer nicht doch noch einen Fehler darin finden kann.
Grüße
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