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Element und Teilmenge, Klarstellung

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Pippen
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Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von Pippen » 9. Mär 2018, 16:29

Sei eine Menge A = {1,2}. Dann ist P(A) = {{}, {1}, {2}, {1,2}}. A ist laut Definition Teilmenge von P(A), wenn alle Elemente von A auch in P(A) wären. Das Element 1 aus A findet sich nicht in P(A), denn das dortige {1} ist was anderes als 1. Damit ist A keine Teilmenge von P(A). A ist aber Element von P(A). Richtig?

Sei A = {1,2} und A' = {1, {2}}, dann ist A keine Teilmenge von A'. Richtig? Denn A' hat nicht das Element 2, sondern nur das Element {2}. Richtig?

Wie lest ihr das? https://de.wikipedia.org/wiki/Teilmenge ... t_of_B.svg Für mich ist das B ={4,8,{1,11,9}} und A = {1,11,9} und damit ist A keine Teilmenge von B. Die lesen das aber offenbar als B={4,8,1,11,9} und A={1,11,0} und dann ist A Teilmenge von B. Aber wie würde man dann meine Version bildhaft darstellen?

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ralfkannenberg
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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2018, 17:12

Pippen hat geschrieben:
9. Mär 2018, 16:29
Das Element 1 aus A findet sich nicht in P(A), denn das dortige {1} ist was anderes als 1.
Hallo Pippen,

wie kommst Du darauf ? Das "Element 1" ist doch per definitionem {1}.


Freundliche Grüsse, Ralf

Raskolnikow
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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von Raskolnikow » 9. Mär 2018, 18:08

Nein, Pippen hat schon Recht. {1} ist eine Menge, die die Zahl 1 enthält.

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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mär 2018, 18:16

Raskolnikow hat geschrieben:
9. Mär 2018, 18:08
{1} ist eine Menge, die die Zahl 1 enthält.
Hallo Raskolnikow,

diese Formulierung ist selbstverständlich ebenfalls richtig. Pippen hat aber nicht von der "Zahl 1" geschrieben, sondern vom "Element 1".

Und das Element 1 kannst Du in die geschweifte Klammer schreiben und hast dann die Menge mit dem Element 1.

Ich denke (bzw. errate) schon, worauf Pippen hinaus möchte: er möchte zwischen dem Begriff des "Element" und der "Teilmenge" unterscheiden, so dass dann:

"1" ist Element von {1,2} gilt und
{1} ist Teilmenge von {1,2} gilt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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seeker
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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von seeker » 9. Mär 2018, 18:23

Pippen hat geschrieben:
9. Mär 2018, 16:29
A ist laut Definition Teilmenge von P(A), wenn alle Elemente von A auch in P(A) wären.
Schaun mer mal, ob das stimmt.

P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A, nicht aller Elemente von A.

A = {1,2}

Teilmengen von A sind:

T(1) = {}
T(2) = {1}
T(3) = {2}
T(4) = {1,2}

womit sich ergibt:

P(A) = {T(1), T(2), T(3), T(4)} = {{}, {1}, {2}, {1,2}}


Deshalb:
Pippen hat geschrieben:
9. Mär 2018, 16:29
Das Element 1 aus A findet sich nicht in P(A)
Natürlich nicht, in P(A) können sich nur Mengen befinden.
Wo ist das Problem?

P.S.:
Auch du meinst das hier:
A ist eine Teilmenge von B und B ist eine Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Teilmenge

Na ja, indirekt ist das ja dann schon so: Das Element "1" befindet sich in T(2), das sich in P(A) befindet, entsprechend ist es mit dem Element "2".
A ist aber nicht Teilmenge von P(A) sondern Element von P(A).
A wäre Teilmenge z.B. einer Menge M = {1, 2, {1,2}, {1}, {2}, {}}

Etwas genauer müsste man in Wiki schreiben:
"A ist eine Teilmenge von B und B ist eine Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch in B als Element enthalten ist."
Grüße
seeker


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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von Pippen » 9. Mär 2018, 20:55

Mein erstes Problem ist, dass ich mich fragte, ob in der Menge A = {1, 2, {3}} die "3" Element von A ist, weil 3 ja Element von {3} ist und vielleicht sowas wie Transitivität gilt. ME ist 3 kein Element von A, sondern nur {3}. {{3}} ist dagegen Teilmenge von A.

Mein zweites Problem ist Folgendes: Was meint eures Erachtens u.g. Bild und wie würde man das Andere dann darstellen? Für mich meint es die 2. Variante, doch mehr und mehr glaube ich, dass die übrige Welt das als erste Variante interpretiert, was ich komisch und unintuitiv finde, außerdem weiß ich dann nicht mehr, wie ich meine Variante darstellen soll. Gibt es da Vorgaben?
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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von seeker » 9. Mär 2018, 23:13

Pippen hat geschrieben:
9. Mär 2018, 20:55
Mein erstes Problem ist, dass ich mich fragte, ob in der Menge A = {1, 2, {3}} die "3" Element von A ist
Nein, 3 ist nicht Element von A, {3} ist Element von A und 3 ist Element von {3}.
Immer nur die nächst-tiefere Ebene nennt man "Element einer Menge".
Pippen hat geschrieben:
9. Mär 2018, 20:55
Mein zweites Problem ist Folgendes:
...
In deinem Bild würde ich noch eine Verbindungslinie ziehen zwischen dem äußeren Kreis zu B und zwischen dem inneren Kreis zu A, damit es nicht zu Missverständnissen kommt.
Es gilt dann:

B = {A, 3}
A = {1, 2}

Man muss das so machen, schau mal z.B. folgende Menge an:

M = {A, B, C, D, E}

Du möchtest wissen wie viele Elemente M hat. Das kann man abzählen: es sind 5.
Jetzt könnte es ja so sein, dass A, B, ... selbst Mengen sind (oder sonst irgend etwas anderes), du aber nicht weißt ob und falls, wie viele Elemente diese Mengen dann intern enthalten.
Wenn dem so wäre, könntest du bei deinem Vorschlag nicht mehr sagen, wie viele Elemente M hat. Das wäre ja dann nicht so gut.
D.h. man muss die Elemente in einer Menge erst einmal sozusagen als "Black Boxes" auffassen, was in den Boxen los ist, muss egal sein.

Anderes Beispiel:

Die Menge der Länder der EU ist:

M = {Deutschland, Frankreich, ...}
M hat 28 Elemente, da die EU 28 Mitgliedstaaten hat.
Nun hat jedes Land aber auch Einwohner, sodass ich z.B. Deutschland als Menge aufassen kann D = {Pippen, seeker, ...}
Es ist aber egal, wie viele und welche Einwohner die Länder haben, denn M bezieht sich eben auf Länder - und Einwohner sind keine Länder.
Auch alles andere muss egal sein, ob nun ein Einwohner blond oder dunkelhaarig ist, gerne Zeitung liest, usw. darf kein Rolle spielen.

Verstehst du?
Mengen definiert man ja meist aus einem bestimmten Zweck: Sie sollen etwas zusammenfassen, das irgendwie zusammengehört, irgendeine gemeinsame Eigenschaft aufweist - und wenn die Gemeinsamkeit nur darin besteht Element der festgelegten Menge zu sein.
Grüße
seeker


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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von Pippen » 9. Mär 2018, 23:23

Ja, ich verstehe und ich sehe es genauso. Wäre aber nicht eine transitive Eigenschaft ziemlich cool und intuitiv, wonach die Elemente einer Elementmenge auch Elemente der Obermenge sind, also: M = {{1}, 2) hätte danach die Elemente {1}, 1 und 2. In deinem Beispiel hätte halt M neben den 28 EU-Staaten auch alle deren Einwohner als Elemente. Oder kann man sowas durch ein absurdes Bsp. widerlegen? Sonst könnte man das einfach in ZFC axiomatisieren und ZFC-Pippen nennen und staunen, wohin uns das führt. :)

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Re: Element und Teilmenge, Klarstellung

Beitrag von seeker » 9. Mär 2018, 23:32

Nee, da geht es weniger um widerlegen, es geht um Definitionen und darum ob man zufrieden ist, mit dem was man durch die Definitionen dann baut/erhält.
Du kannst das gerne anders defineren, so wie du vorschlägst, vielleicht ist es auch cool.
Aber das muss man dann eben herausfinden, ob das dann auch für irgendetwas gut ist. Das kannst du ja erforschen wenn du möchtest, welche Vor- und Nachteile man sich mit so etwas einhandelt.
Mathematik ist im Grunde eine sehr sehr pragmatische Wissenschaft, weißt du... ich befürchte die Nachteile werden überwiegen...
Grüße
seeker


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