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..und dann schnell die Bayern verlieren sehen!

Der Durchschnitt zweier leerer Mengen ist mE schlicht leer, denn A & B = {x|x € A und x € B} und das wäre bei zwei leeren Mengen schlicht kein x, also leerer Schnitt (Menge). Jetzt lese ich aber, dass der Durchschnitt zweier leerer Mengen nicht definiert sei. Stimmt das und wo ist da mein Argument falsch?

Pippen hat geschrieben: ↑

20. Feb 2018, 20:48

Der Durchschnitt zweier leerer Mengen ist mE schlicht leer, denn A & B = {x|x € A und x € B} und das wäre bei zwei leeren Mengen schlicht kein x, also leerer Schnitt (Menge).

Hallo Pippen,

zumindest "naiverweise" spricht nichts dagegen.

Pippen hat geschrieben: ↑

20. Feb 2018, 20:48

Jetzt lese ich aber, dass der Durchschnitt zweier leerer Mengen nicht definiert sei.

Könnte man auch machen, wenn man will, andererseits gilt, dass für jede Menge A gilt, dass: A geschnitten {} = {}
Ich sehe momentan keinen Grund, warum das nur für Mengen A ungleich {} gelten sollte.

Wo hast Du das denn gelesen ?


Mehr interessant finde ich eigentlich eine andere Aussage: die leere Menge hat nämlich auch eine Teilmenge, nämlich die leere Menge. Und sie ist die einzige Teilmenge der leeren Menge. Somit ist die Potenzmenge der leeren Menge die Menge, die die leere Menge enthält. Diese ist gerade die Menge, die man bei der Konstruktion der Peano-Axiome aus der leeren Menge im 1.Folgeschritt erhält.


Freundliche Grüsse, Ralf

Verstehe nicht worauf du hinaus willst. Eine Definitionslücke und leere Menge als Ergebnissmenge sind doch im Standardgebrauch leider äquivalent?
A={a, b, c}
B={d, e}
wobei
C=A & B = {} etwas anderes ist als kein Ergebniss.

Weiss aber leider nicht wie das heute gebräuchlich ist. Bei uns hatte damals unser Schulrektor Nullmenge und leere Menge gleichbehandelt - obwohl z.B. der Durchschnitt zweier disjunkter Mengen etwas anderes ist als eine Operation über zwei Mengen, für die kein Ergebnis festgelegt ist. Hier gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen Mengenoperationen und der Betrachtung der Relationen über deren Inhalt(der manchmal einfach nicht definiert ist)

Wurzel (-1) im Reelen ist nicht definiert und nicht die leere Menge, die Summe aller undefinierten Ergebnisse ist Teil der leeren Menge. Spitzfindigkeiten...

Pippen hat geschrieben: ↑

20. Feb 2018, 20:48

Jetzt lese ich aber, dass der Durchschnitt zweier leerer Mengen nicht definiert sei.

Wo steht das? Und wie lautet das Argument?

(einziger Hinweis: es gibt keine zwei verschiedenen leeren Mengen)

Es scheint zwei Definitionen von Schnittmengen zu geben:

1. A & B = {x|x € A und x € B}, da wäre leere Menge mit sich selbst geschnitten schlicht leere Menge.
2. ∩A := {x|for all A € M -> x € A}. Wenn jetzt die leere Menge M wäre, dann wäre "x € A" für beliebige x und A immer wahr, d.h. das wäre die Allmenge, die es aber nicht geben kann, deshalb wird das verboten.

Siehe hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)

Was ich nicht verstehe: Wie kann die Definition 1 als Spezialfall zur allgemeineren Definition 2 zu anderen Ergebnissen kommen?

Ich habe deine Notation angepasst:

1)
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
"Da wäre leere Menge mit sich selbst geschnitten schlicht leere Menge."

2)
A ∈ M: ∩A = {x|∀ A ∈ M ⇒ x ∈ A}
"Wenn jetzt die leere Menge M wäre, dann wäre "x ∈ A" für beliebige x und A immer wahr, d.h. das wäre die Allmenge, die es aber nicht geben kann, deshalb wird das verboten."

Zu 1) das ist OK

Zu 2) das hast du falsch verstanden: in (2) ist M eine Familie von Mengen M = {A₁, A₂, A₃, ...}; ich verwende hier der Einfachheit die Notation für eine abzählbare Familie, aber das stört das Argument im Folgenden nicht;
der Durchschnitt ∩ wird über alle Mengen in M, also über alle A₁, A₂, A₃, ... gebildet;
jedes einzelne A₁, A₂, A₃, ... darf durchaus die leere Menge sein, aber M selbst darf nicht die leere Menge sein, weil andernfalls der Durchschnitt ∩ über keine Menge gebildet werden müsste, und das ist sinnlos;
M muss also mindestens eine Menge A₁ enthalten, und in diesem Fall wäre ∩A = A₁;
im Falle von zwei Mengen A₁, A₂ landest du wieder beim bekannten Fall (1), d.h. A₁ ∩ A₂;
und im allgemeinen Fall folgt ∩A = A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...;
wenn nun mindestens eine der Mengen in M, d.h. eine oder mehrere, gleich der leeren Menge ist, dann folgt
A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ... ∩ ∅ ∩ ... = ∅

Pippen hat geschrieben: ↑

20. Feb 2018, 20:48

Jetzt lese ich aber, dass der Durchschnitt zweier leerer Mengen nicht definiert sei.

Der Durchschnitt zweier leerer Mengen A = ∅ und B = ∅ ist also sehr wohl definiert: A ∩ B = ∅ ∩ ∅ = ∅.

Aber wenn A und B Elemente einer Familie M sein sollen, also A, B ∈ M, dann ist M = ∅ verboten, d.h. es muss zwingend M ≠ ∅ gelten.

Danke!

Was ist die Vereinigung von {1, {1,2}} und {3}. {1,2,3} oder {1, {1,2}, 3}? ME müssten das Beides Vereinigungen sein, nur über unterschiedlichen Mengen.

Natürlich nur letzteres, denn

1 => Topf
2 => Deckel
3 => Pfanne

{1} => Schrank mit Topf
{1,2} => Schrank mit Topf und Deckel
{3} => Schrank mit Pfanne
{1,{1,2}} => Küche mit einem Topf sowie einem Schrank mit Topf und Deckel

{1,{1,2}} + {3} = {1,{1,2},3} => Küche mit einem Topf und einer Pfanne sowie einem Schrank mit Topf und Deckel

Aber {1,2,3} => Schrank mit Topf, Deckel und Pfanne. Du verlierst also die Küche, und das ist offensichtlich falsch.