Abenteuer-Universum

seeker hat geschrieben: ↑

13. Jan 2018, 11:36

Die ursprüngliche Aufgabe ist ja schon von positronium gelöst... aber darüber hinaus: Die Figur hat interessante Eigenschaften...
Ich habe das bis n=7 gezeichnet und es sieht danach aus, dass sich mit zunehmendem n ein fraktales (selbstähnliches) Muster ergibt!

Ich bin kein Mathematiker und kann bei den Berechnungen von euch auch nicht mithalten, aber wäre es möglich das Ergebnis mal als
Grafik darzustellen, vor allen Dingen wenn es hierbei mal wieder um Fraktale und Selbstähnlichkeit geht?

Danke

Dares

Hab's schnell eingetippt:
(Manche sind wegen der Symmetrie nicht ganz regelkonform gezeichnet, aber sonst müsste ich eine zufällige Verteilung der Punkte verwenden, was dann willkürlich wäre.)

Noch ein paar Auswertungen, alles von n=1..20:

Punkte innerhalb des Kreises:
{0, 0, 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, \
1820, 2380, 3060, 3876, 4845} Kanten mit denen des Kreises:
{1, 3, 6, 12, 25, 51, 98, 176, 297, 475, 726, 1068, 1521, 2107, 2850, \
3776, 4913, 6291, 7942, 9900} Flächen:
{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, \
1941, 2517, 3214, 4048, 5036}

positronium hat geschrieben: ↑

13. Jan 2018, 11:46

Hab's schnell eingetippt:
(Manche sind wegen der Symmetrie nicht ganz regelkonform gezeichnet, aber sonst müsste ich eine zufällige Verteilung der Punkte verwenden, was dann willkürlich wäre.)

raetsel.gif

Danke Positronium.

Es ist schon erstaunlich was Rechenaufgaben, wenn man sie graphisch darstellt so alles an Strukturen offenbaren die unserer Natur
sehr ähnlich sind. Bei der obigen Grafik würde ich auf eine Blüte tippen oder wegen der Selbsähnlichkeit auf Romanesco.

Wer weiss welcher Designer der Natur nicht auch nur einen einfachen Kreis und gerade Linien benutzt um das Leben und Natur zu
erschaffen.


Aber mal anders gefragt: Bei einfachen Rechenaufgaben die graphisch dargestellt werden ergeben sich erstmal einfache Strukturen
die jeweils welche Parameter man benutzt unterschiedlich aussehen wenn mansie graphisch darstellt. Aber egal ob die Parameter
unterschiedlich sind und wenn man sie immer weiter fortführt kommen diese dann eben immer zu dem gleichen Ergebnis in der
Form wie in der obigen Grafik? Also ganz egal welche Parameter gegeben sind es zum selben grafischen Ergebnis führt?

Dares hat geschrieben: ↑

13. Jan 2018, 19:12

Es ist schon erstaunlich was Rechenaufgaben, wenn man sie graphisch darstellt so alles an Strukturen offenbaren die unserer Natur
sehr ähnlich sind. Bei der obigen Grafik würde ich auf eine Blüte tippen oder wegen der Selbsähnlichkeit auf Romanesco.

Mathematik spielt in der Natur nicht nur auf unterster Ebene (Physik) eine Rolle, sondern auch bis nach ganz oben. Beispielsweise neigen manche Pflanzen dazu, ihre Blätter für optimale Ausnutzung der Sonneneinstrahlung entsprechend kleiner Primzahlen um den Zweig auszurichten; so etwas soll es auch bei den Reproduktionszyklen bei manchen Beute- und Raubtieren geben. Leider weiß ich darüber fast nichts zu schreiben, aber es gibt ja bei Interesse Suchmaschinen.

Dares hat geschrieben: ↑

13. Jan 2018, 19:12

Aber mal anders gefragt: Bei einfachen Rechenaufgaben die graphisch dargestellt werden ergeben sich erstmal einfache Strukturen
die jeweils welche Parameter man benutzt unterschiedlich aussehen wenn mansie graphisch darstellt. Aber egal ob die Parameter
unterschiedlich sind und wenn man sie immer weiter fortführt kommen diese dann eben immer zu dem gleichen Ergebnis in der
Form wie in der obigen Grafik? Also ganz egal welche Parameter gegeben sind es zum selben grafischen Ergebnis führt?

Ich denke, so etwas trifft nur auf spezielle Fälle zu, aber als nicht-Mathematiker kann ich das leider nicht klassifizieren.

Vielen Dank an positronium für die aufschlussreichen Grafiken!

positronium hat geschrieben: ↑

13. Jan 2018, 19:27

Beispielsweise neigen manche Pflanzen dazu, ihre Blätter für optimale Ausnutzung der Sonneneinstrahlung entsprechend kleiner Primzahlen um den Zweig auszurichten; so etwas soll es auch bei den Reproduktionszyklen bei manchen Beute- und Raubtieren geben.

Es sind die Fibonacci-Zahlen, die eine Rolle bei der Anzal der Blütenblätter und bei Reproduktionszyklen spielen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge

Die Grafiken von positronium zeigen meiner Einschätzung nach bei erweiterter Abstraktion in den Mustern ein lineares Verhalten auf, wenngleich das Wachstum der Anzahl der Kanten und Flächen nichtlinear ist. Die Ausdifferenzierung der Strukturen bei nur geraden n ist offensichtlich, ebenso bei nur ungeraden n.

In der Natur tritt lineares Verhalten nur unter idealisierten Bedingungern auf. Es dominiert das Nichtlineare, dass in der Regel nicht leicht berechenbar ist. Trotzdem kann man im Chaos noch Inseln der Ordnung entdecken.

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung

Man beachte die Grafiken!

Beim Übergang von periodischem zu chaotischen Verhalten kommt es zu Periodenverdoppelungen.

Einen Überblick über die Chaosforschung liefert folgender Artikel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Chaosforschung

Vielen Dank für die Grafiken!

Wie sieht's nun mit der Lösung aus?

Ich persönlich habe eine halbe Ewigkeit mit Irrwegen verbracht, die dennoch interessant waren. Im Moment passt es zeitlich nicht so gut bei mir, so muss ich mich gleich schon wieder anderen Aufgaben widmen. Setze mich aber auf jeden Fall noch dran, egal und unabhängig davon, wer welche Lösungen darlegt.

Gruß,
Dgoe

tomS hat geschrieben: ↑

15. Jan 2018, 14:22

Wie sieht's nun mit der Lösung aus?

Hallo Tom,

was gibt es dann an der Lösung mit Nachtrag von positronium auszusetzen ?


Freundliche Grüsse, Ralf

Ich dachte auch dass Positronium und Dgoe die Lösung hätten???

Hallo Dares,

nur positronium, nicht ich. Tom hat nur noch eine andere Formel in Petto, die anders aussieht und er hat Tipps gegeben, wie wir sie finden könn(t)en.

Kommt noch.

Gruß,
Dgoe

Dgoe hat geschrieben: ↑

15. Jan 2018, 19:35

Hallo Dares,

nur positronium, nicht ich. Tom hat nur noch eine andere Formel in Petto, die anders aussieht und er hat Tipps gegeben, wie wir sie finden könn(t)en.

Kommt noch.

Gruß,
Dgoe

Ach so, also einen anderen Lösungsweg? Dann muss man sich überlegen welcher der eifachere und bessere ist.

Gruß

Dares