Ein Rätsel

[tomS]

Evtl. bereits bekannt, passt jedoch zu den topologischen Fragestellungen:

Gegeben sei ein Kreis, n Punkte auf der Kreislinie sowie alle durch jeweils zwei Punkte definierte Geraden, die sich im Inneren des Kreises immer nur paarweise treffen (d.h. in einem Schnittpunkt treffen sich immer nur zwei Linien, nie drei oder mehr; dies gilt offensichtlich nicht für die Punkte auf der Kreislinie selbst).

Frage: in wieviele Flächen F zerlegen diese Geraden den Kreis?

circle-lines.png (10.58 KiB) 13533 mal betrachtet

[ralfkannenberg]

Fangen wir mal an, aber ich will das nicht abschliessen:

n=2 => (P1,P2), d.h. 1 Gerade => 2 Flächen
n=3 => (P1,P2), (P1,P3), (P2,P3), d.h. 3 Geraden => 4 Flächen
n=4 (Bild) => (P1,P2), (P1,P3), (P1,P4), (P2,P3), (P2,P4), (P3,P4), d.h. 6 Geraden => 8 Flächen

Die Zahl der Geraden ist einfach zu bestimmen: (1), dann (2+1), dann (3+2+1) u.s.w., also 1+2+...+(n-1).

Die Formel dazu ist eine kleine Übungsaufgabe für eine vollständige Induktion, aber ich sehe momentan noch nicht die Bildungsformel für die Anzahl der Flächen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dares]

Hallo Tom,

gestern stand die Frage aber noch ganz anders da. Aber ok.

die sich immer nur paarweise treffen (d.h. in einem Schnittpunkt treffen sich immer nur zwei Linien, nie drei oder mehr).

Stimmt denn diese Aussage? In Deiner Grafik treffen sich aber mehr als 2 Linien? Ich habe jeweils 3 am Rand ausgemacht?

[tomS]

gestern stand die Frage aber noch ganz anders da. Aber ok.

Ja, war leider falsch formuliert.

die sich immer nur paarweise treffen (d.h. in einem Schnittpunkt treffen sich immer nur zwei Linien, nie drei oder mehr).

Stimmt denn diese Aussage? In Deiner Grafik treffen sich aber mehr als 2 Linien? Ich habe jeweils 3 am Rand ausgemacht?

Sorry, wieder ein Flüchtigkeitsfehler: die Einschränkung gilt nicht für die Punkte auf dem Rand; ich korrigiere das :-(

[Dgoe]

Hallo,

ich hatte die Version von heute morgen durchprobiert:
Alle Punkte müssen mit min. 1 Geraden verbunden sein und keinen Schnittpunkt kreuzen mehr als 2 Geraden, also inkl. Kreisbogenpunkte.
Daraus folgte auch, dass sich an den Kreisbogenpunkten nicht unbedingt 2 Geraden kreuzen müssen (was ich, letzteres, zuerst falsch gemacht hatte und noch weniger Möglichkeiten zuließ).

Mein empirisches Ergebnis dazu:
n=0 --> F=1
n=1 --> F=1
n=2 --> F=2
n=3 --> F=3,4
n=4 --> F=3,4,5,6
n=5 --> F=4,5,6,7,8
n=6 --> F=5,6,8,9,10,11,12,13

Mehr oder weniger ging nicht. Formeln sehe ich noch keine. Mit der zusätzlichen Freiheit (mehr als 2 Geraden dürfen die Kreisbogenpunkte schneiden) werden es natürlich mehr, kann aber erst später weitermachen.

Gruß,
Dgoe

P.S.: Das eigentliche Interessante bisher ist, wie stark die Auswirkungen kleinster Regeldetails sind.

[positronium]

Ich tippe für n>1 auf:

[Dgoe]

Aha,

jetzt habe ich es verstanden, das Wort "alle" in #1 meint(e), dass jeder Kreispunkt mit jedem anderen verbunden wird, also nicht nur mit irgendeiner Geraden. Dadurch ist auch klar, dass sich dort mehr als 2 Geraden schneiden dürfen.

Es fallen im Prinzip, ab 5, nur die symetrischen Versionen weg, mit gleichen Punktabstand, weil sich dann Schnittpunkte im Inneren bilden, die mehr als 2 Geraden kreuzen.

n=3 --> F=4
n=4 --> F=8
n=5 --> F=16
n=6 --> F=32 (korrigiert, verzählt gehabt)

Richtig?


Gruß,
Dgoe

[Dares]

Zuerst verdoppeln sich die Flächen um nachher wieder die Verdoppelung abnimmt weil nicht genügent Raum da ist?

[ralfkannenberg]

Ich tippe für n>1 auf:

Hallo positronium,

rechne das mal für n=2 nach und vergleiche das mit der Lösung ...

Wobei es auch nicht ganz einfach sein dürfte, in der Summenformel i von 2 bis 0 laufen zu lassen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

das Hauptproblem dürften diese inneren Schnittpunkte sein, die da ab n=4 auftreten. Im Bild (n=4) gibt es da erst einen davon.


Freundliche Grüsse, Ralf

[tomS]

für n = 1 2 3 4 5 6 gilt F = 1 2 4 8 16 31

Durch die fünf Linien kommen offensichtlich nur 15 statt 16 Flächen hinzu - mehr geht nicht.

circle-lines.png (18.5 KiB) 13484 mal betrachtet

[ralfkannenberg]

für n = 1 2 3 4 5 6 gilt F = 1 2 4 8 16 31

Durch die fünf Linien kommen offensichtlich nur 15 statt 16 Flächen hinzu - mehr geht nicht.


circle-lines.png

Hallo Tom,

ich zähle 32.

Kannst Du die Flächen bitte mal anschreiben ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Argh, hatte mich wieder verzählt, ja 31, hatte zuerst 28, dann 32 gezählt, drumherum, um genau den wunden Punkt. Ist aber auch verwirrend, die zu zählen...

Interessant, und komisch auch, nicht erwartet!

Gruß,
Dgoe

[positronium]

Ich tippe für n>1 auf:

Hallo positronium,

rechne das mal für n=2 nach und vergleiche das mit der Lösung ...

Wobei es auch nicht ganz einfach sein dürfte, in der Summenformel i von 2 bis 0 laufen zu lassen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Du hast Recht. Ich habe einen Fehler beim Abzählen gemacht, weiß aber noch nicht genau wo.

[ralfkannenberg]

Du hast Recht. Ich habe einen Fehler beim Abzählen gemacht, weiß aber noch nicht genau wo.

Hallo positronium,

das war auch nicht als Vorwurf, sondern als Review-Kommentar zu Deinem konstruktiven Lösungsansatz gedacht.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

das Hauptproblem dürften diese inneren Schnittpunkte sein, die da ab n=4 auftreten. Im Bild (n=4) gibt es da erst einen davon.

Hallo Ralf,

ja das meinte ich oben mit den symmetrischen Vielecken ab 5, ist aber erst ab 6 so (größer 5). Bei der 4 sind es noch die 2 erlaubten Geraden in einem Schnittpunkt, egal wie angeordnet. Bei 5 gar keine im Mittelpunkt. Ab 6 dann gleich alle, also alle geraden Zahlen schneiden sich im Mittelpunkt, so dass man die Punkte etwas asymmetrisch verschieben muss, was mehr Flächen ergibt. Die Punkte dürfen nicht im gleichen Abstand angelegt sein.

Bei höheren Werten gibt es noch andere Schnittpunkte, als den Mittelpunkt, die mehr als 2 Geraden kreuzen, außer alles ist eben etwas schief sozusagen.

Gruß,
Dgoe

P.S.: Sind 31, brauch' man nicht anschreiben, hab die Brille geputzt. ^^

[positronium]

Jetzt aber hoffentlich:


Für n=1..20:
{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036}

[tomS]

Ich denke, ihr habt noch nicht mal ansatzweise eine Lösungsidee :-)

[positronium]

Ich denke, ihr habt noch nicht mal ansatzweise eine Lösungsidee

Habe ich doch hingeschrieben, aber ich kann auch detailierter:
Ich betrachte, wie viele neue Flächen beim Hinzukommen einer Linie entstehen.
Erst einmal hat man den Kreis, also 1+...
Dann mache ich zwei Summen, also für Linien von einem Punkt a zu einem Punkt b. Dann stellt sich die Frage, wie viele Schnitte diese neue Linie ergibt - die neuen Flächen sind die Zahl der Schnitte +1. Und die Zahl der Schnitte mit der neuen Linie ergibt sich, indem man die Punkte zwischen a und b (=b-a-1) mit der Zahl der Punkte vor a (=a-1) multipliziert.

[ralfkannenberg]

Ich denke, ihr habt noch nicht mal ansatzweise eine Lösungsidee

Hallo Tom,

daraus schliesse ich, dass die Lösung trivial ist, sonst hättest Du das nicht geschrieben.

Und wenn sie trivial ist, dann ist sie geometrisch und nicht analytisch.


Freundliche Grüsse, Ralf

[tomS]

sie ist nicht-trivial

[Dgoe]

Ich denke, ihr habt noch nicht mal ansatzweise eine Lösungsidee

Habe ich doch hingeschrieben, ...

Ja, aber Tom hat geschrieben: das war nix!

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

sie ist nicht-trivial

Ich probiere trotzdem mal einen Ansatz.

Da wir von "Topologien" reden kann ich - ob das o.E.d.A. gültig ist muss aber noch nachgewiesen werden - jede Lösung ein bisschen "verbiegen", damit es einfacher wird.

Fangen wir mit 3 Punkten an und ordnen wir diese so an, dass sie ein regelmässiges Dreieck um den Kreis bilden.

Nun setzen wir den 4.Punkt in die Mitte zweier anderer Punkte und zählen ab, wieviele Flächen neu dazukommen. Irgendwie sind nur solche in der Mitte betroffen, weil diese halbiert werden, und irgendwie bleiben diejenigen, die weit genig von der 4.Gerade entfernt liegen, unverändert.

Nun gibt es allerdings noch zwei weitere neue Geraden, die ebenfalls Flächen in zwei Flächen aufspalten.


Nehmen wir an wir haben das nun alles schon gelöst und haben also eine Lösung für 4 Punkte.

Nun verbiegen wir die so, dass sie ein bequemes Quadrat um den Kreis bilden und fügen erneut einen 5.Punkt in irgenedeiner Mitte hinzu, der Bequemlichkeit nehmen wir eine Mitte, die möglichst weit gegenüber liegt. Wo werden nun Flächen durchschnitten, also in 2 Flächen aufgeteilt ? Und wieviele neue Geraden kommen nun dazu und welche Flächen warden deswegen alles in 2 Flächen aufgeteilt ?

Dann machen wir mit dem regelmässigen Fünfeck weiter. u.s.w.

Das ist nur ein Ansatz, das kann auch ein Holzweg sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

[positronium]

Ich denke, ihr habt noch nicht mal ansatzweise eine Lösungsidee

Habe ich doch hingeschrieben, ...

Ja, aber Tom hat geschrieben: das war nix!

Gruß,
Dgoe

Dann warte ich einfach, bis Ihr Euere Ergebnisse zeigt.

[ralfkannenberg]

Da wir von "Topologien" reden kann ich - ob das o.E.d.A. gültig ist muss aber noch nachgewiesen werden - jede Lösung ein bisschen "verbiegen", damit es einfacher wird.

Hallo zusammen,

und falls das stimmt beschränkt sich unsere Aufgabe darauf, ein regelmässiges n-Eck um den Kreis zu zeichnen, alle Eckpunkte miteinander zu verbinden und dann daraus mit irgendeiner Graphen-Formel die Flächen herzuleiten.


Intuitiv sehe ich allerdings noch ein Problem mit dem Kreis-Mittelpunkt, denn bei regelmässigen n-Ecken mit n=2*m, also bei geradzahligen n-Ecken, laufen zahlreiche Geraden durch den Kreismittelpunkt. Ob das im Allgemeinen auch so ist ? Vielleicht muss man hier noch eine *"kleine" Korrektur anbringen.


Freundliche Grüsse, Ralf