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Substitution bei der Integration

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Marcel
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Substitution bei der Integration

Beitrag von Marcel » 21. Sep 2017, 20:44

Hi Leute,
ich bin da auf ein Problem gestoßen, was ich nicht so einfach klären kann, vielleicht wisst ihr da weiter:
Ich arbeite nur auf den echt positiven reellen Zahlen:
Sei , Intervall stetige Funktion und stetig differenzierbar. Dann gilt (hier ohne Beweis, z.B auf https://en.wikipedia.org/wiki/Integrati ... bstitution)



Dies ist einfach die Substitution wie man es bereits in der Schule lernt. Nun stellt sich mir die Aufgabe die Stammfunktion von zu bestimmen. Spaßeshalber probiere ich es mit Substitution und erhalte das falsche Ergebnis. Was geht also bei der Rechnung kaputt:



Ich vermute, dass es bei der Transformation des Maßes kaputt geht.
Zuletzt geändert von Marcel am 22. Sep 2017, 08:23, insgesamt 1-mal geändert.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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ralfkannenberg
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Re: Substitution bei der Integration

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Sep 2017, 23:28

Marcel hat geschrieben:
21. Sep 2017, 20:44
vielleicht wisst ihr da weiter:
Hallo Marcel,

zunächst einmal schadet es nicht, die Notation etwas "korrekter" zu tätigen.
Marcel hat geschrieben:
21. Sep 2017, 20:44
Du schreibst das dt vor der zu integrierenden Funktion. An sich kann man das tun, aber es ist nicht üblich, d.h. man schreibt das normalerweise "hinten".

Zudem fehlt noch eine Klammer, und zwar vor dem φ', d.h. das φ' ist nicht ein Parameter von f.

Marcel hat geschrieben:
21. Sep 2017, 20:44
die Stammfunktion von
Hierunter verstehst Du sicherlich (log(x))², nicht wahr ? Ich bevorzuge da die Notation log²(x), aber das mag Geschmackssache sein.

Marcel hat geschrieben:
21. Sep 2017, 20:44
Könntest Du bitte definieren, was Du unter "| z" verstehst, um sicherzugehen, dass wir dasselbe Verständnis der Notation haben ?

Marcel hat geschrieben:
21. Sep 2017, 20:44
Ich vermute, dass es bei der Transformation des Maßes kaputt geht.
Was verstehst Du an dieser Stelle unter einem "Maß" ? Natürlich benötigst Du Maße, wenn Du Dich beispielsweise mit Lebesque-Integralen beschäftigst, aber das ist bei Deiner Aufgabenstellung ja nicht der Fall.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Marcel
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Re: Substitution bei der Integration

Beitrag von Marcel » 22. Sep 2017, 08:22

Guten morgen Ralf,
die Notation mit dem dt am Anfang des Integrals ist bei uns so üblich, da man hier an dieser Stelle sehen kann welches Integral zu welchem Maß gehört.

Das Maß selber ist ja klar definiert (aus der Maß- und Integrationstheorie) https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics).
gegeben einer A über einer nichtleeren -(Grund-)Menge (in diesem Fall die echt positiven Reellenzahlen) dann ist ein Maß wenn gilt:

und
An dieser stelle geht die Theorie wie du sagst in der tat etwas weit aber ich brauchte ein Namen für das ''dx''.
Könntest Du bitte definieren, was Du unter "| z" verstehst, um sicherzugehen, dass wir dasselbe Verständnis der Notation haben ?
mit ''z'' meine ich die Funktion mit der wir substituieren und mit dem ''|'' wollte ich nur abgrenzen, dass ich an der stelle etwas indirektes zum Integral mache. Da fehlen in der Tat einige Leerzeichen, tut mir leid.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Substitution bei der Integration

Beitrag von tomS » 22. Sep 2017, 08:42

Das "dt" am Anfang beim Integralzeichen ist bei Physikern üblich - und m.E. auch sinnvoll, da man sieht, was zusammengehört
Gruß
Tom

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Re: Substitution bei der Integration

Beitrag von Analytiker » 22. Sep 2017, 09:17

Marcel hat geschrieben:
21. Sep 2017, 20:44




Ich vermute, dass es bei der Transformation des Maßes kaputt geht.
Man kann nicht x wie eine Konstante behandeln. x ist in dem Fall ja



Das muss man einsetzen und über zweimalige partielle Integration und Rücksubstitution kommt man auf die analytische Lösung

Zuletzt geändert von Analytiker am 22. Sep 2017, 09:23, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Substitution bei der Integration

Beitrag von Marcel » 22. Sep 2017, 09:22

Ahh na klar ... da stand ich wohl aufm Schlauch. Okay danke :)
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Substitution bei der Integration

Beitrag von Analytiker » 22. Sep 2017, 09:24

Gerne, habe soeben noch einen Fehler in meiner Rechnung entdeckt und es geändert. So stimmt es dann.

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