Potenzmenge, Problem

[Pippen]

Die Potenzmenge einer Menge A definiert sich als Menge aller Teilmengen von A. Wenn A := {1,2}, dann P(A) := {leere Menge, {1}, {2}, {1,2}}. Doch {1} und {2} sind doch gar keine Teilmengen von A, weil zB 1 nur Element in A ist und keine eigenständige Menge (und damit auch keine Teilmenge)!

edit: Ist die Lösung das sog. Aussonderungsaxiom, nach dem quasi aus {1,2} "automatisch" {1} und {2} folgen?

[positronium]

Ich bin nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstehe, sehe da aber überhaupt kein Problem.

Wenn {} ein Eimer ist, in dem sich Äpfel, Birnen und Bananen befinden: {Äp,Bi,Ba}
Und wenn man daraus Apfel und Birnen nimmt, und in einen anderen Eimer {} legt: {Äp,Bi}
Ist das eine genau so gute neue Menge, wie wenn ich die Bananen in ihren eigenen Eimer lege: {Ba}
Eine Menge mit nur einem Element ist ja keine "schlechtere" Menge als eine mit mehreren.

Ja, ich bin einfach gestrickt. Aber wenn's um Futter geht, macht so eine Analogie sofort Sinn, denke ich.

[tomS]

Pippen,

1 ist keine Teilmengen von A = {1,2}; aber {1} ist eine Teilmenge.

[Pippen]

1 ist keine Teilmengen von A = {1,2}

Wenn 1 keine Teilmenge von A wäre, dann könnte {1} auch nicht in P(A) drin sein, die ja nur die Teilmengen von A enthielte. Aber es scheint so zu sein, dass durch das Aussonderungsaxiom gilt: Wenn {1,2}, dann automatisch auch {1} und {2} und dadurch ist dann klar, dass bei {1,2} auch {1} und {2} Teilmengen und damit in P(A) sind.

Noch eine andere Frage: Wenn ich ohne ZFC oder Klassenaxiome eine Allmenge definiere, A := {x|x & kein Widerspruch in x oder dessen Verhältnis zu A}, dann müßte ich da alle möglichen (konsistenten) Gegenstände drinhaben, oder? Genauso müßte ich definieren können: R := {x|x ~€ x & kein Widerspruch in x oder dessen Verhältnis zu R}, womit R schlicht sich selbst nicht enthielte. Mir wäre nämlich wichtig, diese "Mengen" naiv konstruieren zu können.

[tomS]

Du verstehst den Unterschied zwischen 1 und {1} nicht.

1 ist ein Element von {1,2}; {1} ist eine ein-elementige Teilmenge von {1,2}; das ist nicht das selbe.

Daher ist P(A) = { {}, {1}, {2}, {1,2} }; P(A) enthält die Teilmengen, auch die ein-elementigen, nicht die Elemente selbst.

Konkrete Realisierung: gegeben sei ein Sack, in dem je eine Kugel mit der Aufschrift "1" und eine mit der Aufschrift "2" enthalten ist; die Potenzmenge ist dann ein Sack, in dem vier Säcke enthalten sind; diese enthalten
1) nicht,
2) eine Kugel mit der Aufschrift "1",
3) eine mit der Aufschrift "2" sowie
4) zwei Kugeln, eine mit der Aufschrift "1" und eine mit der Aufschrift "2".

[Pippen]

1 ist ein Element von {1,2}; {1} ist eine ein-elementige Teilmenge von {1,2}; das ist nicht das selbe.

Daher ist P(A) = { {}, {1}, {2}, {1,2} }; P(A) enthält die Teilmengen, auch die ein-elementigen, nicht die Elemente selbst.

Ja, mich wunderte nur, woher {1} in P(A) kommt, was ja nicht in A war. {1,2} hat die Elemente 1 und 2, aber eben u.a. auch die Teilmenge {1}, die per Axiom als existent angenommen wird. Wenn man das nicht weiß, dann denkt man: {1,2} hat eine Teilmenge, nämlich {1,2} und sonst keine, weil da eben keine anderen Mengen da sind.

[tomS]

hier solltest du finden, was du suchst:

https://books.google.de/books?id=mJXLBg ... ge&f=false

[Pippen]

Naja, jedenfalls existiert neben {1,2} noch die Teilmenge {1} wg. des Aussonderungsaxioms. Liegt ich da richtig?