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Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

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Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Jul 2017, 10:26

Hallo zusammen,

derzeit findet im Thread Wieder mal zum Anfang der Welt eine Paralleldiskussion statt, die m.E. das Thema nur unnötig überlastet. Deswegen möchte ich die "mathematische" Thematik aus dem Thread auslagern.


Dabei habe ich das Thema nun allgemeiner gefasst:

- negative ganze Zahlen lassen sich mit den Peano-Axiomen und mit Gruppentheorie behandeln
- negative rationale Zahlen lassen sich mit der Ring- und Körpertheorie behandeln; sie sind ebenfalls abzählbar, liegen aber zusätzlich dicht
- negative algebraische Zahlen lassen sich mit der Ring- und Körpertheorie behandeln; sie sind ebenfalls abzählbar, lassen aber auch Wurzeln zu
- negative reelle Zahlen lassen sich mit der Analysis behandeln und sind überabzählbar, sie eignen sich somit für geometrische Fragestellungen


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von seeker » 3. Jul 2017, 16:21

Ich glaube hier sollten wir uns zunächst mit folgender Frage beschäftigen:

Was ist überhaupt eine Zahl? Weche Grundbedingungen gibt es, damit man ein Objekt als "Zahl" bezeichnen kann/darf?

Zunächst:
Zahlen sind abstrakte, mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle.[1]

In der Mathematik, welche Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff sehr verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, sodass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obwohl sie teilweise wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allen Teilgebieten.

In die Urgeschichte zurück reicht das Konzept der natürlichen Zahlen, welche zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Ab etwa 2000 v. Chr. rechneten Ägypter und Babylonier mit Bruchzahlen (rationalen Zahlen). In Indien entwickelte sich im 7. Jh. n. Chr. ein Verständnis von der Null und den negativen Zahlen.[2] Irrationale Zahlen wie oder, deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus dem antiken Griechenland ergab (spätestens ab dem 4. Jh. v. Chr.), wurden in der Blütezeit des Islam eingeführt.

Die Idee imaginärer Zahlen, durch die die reellen Zahlen später zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäische Renaissance zurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Jahrhundert hinreichend geklärt werden. Ende des 19. Jahrhunderts konnte erstmals auch unendlichen Größen ein präziser Sinn als Zahlen gegeben werden. Auch wurden erstmals die natürlichen Zahlen axiomatisch definiert. Mit den Anfang des 20. Jh. geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.

Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern (spezielle Zahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z. B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können).
https://de.wikipedia.org/wiki/Zahl

... ich möchte aber eigentlich auf die allergrundlegendsten Eigenschaften aller Zahlen hinaus.

Z.B. würde ich sagen, dass eine Zahl ein eindeutig bestimmtes Objekt sein muss, mit einem eindeutigen, exakten Wert. Außerdem müssen diese Objekte eindeutig durch ein sie erzeugendes bzw. sie sichtbar machendes Axiomensystem festlegbar sein. Und es muss eindeutige logische Regeln geben, wie sie manipuliert werden können und welche Manipulationen erlaubt/möglich sind und welche nicht (z.B. Addition, Distributivgesetze, usw.).

Kann man das so sagen? Was muss das Ding "Zahl" sonst noch erfüllen?

"Unendlich" hätte z.B. gerade diese Eigenschaft nicht, ein eindeutig bestimmtes Objekt mit einem eindeutigen Wert zu sein.
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Jul 2017, 16:52

seeker hat geschrieben:
3. Jul 2017, 16:21
Ich glaube hier sollten wir uns zunächst mit folgender Frage beschäftigen:

Was ist überhaupt eine Zahl? Weche Grundbedingungen gibt es, damit man ein Objekt als "Zahl" bezeichnen kann/darf?
Hallo seeker,

üblicherweise spricht man von einem "Zahlenkörper", also einer Struktur, in der die 4 Grundrechenarten sinnvoll definiert ist. Da der Körper der komplexen Zahlen bis auf Isomorphie (d.h. bis auf Schreibweise) die grösst-mögliche Körper ist, wären also die komplexen Zahlen die grösste-mögliche Zahlenmenge.


Nur ...

Üblicherwiese bezeichnet man die Quaternionen ebenfalls als "Zahlen", und diese bilden bis auf Isomorphie den grösst-möglichen Schiefkörper, d.h. man fordert nicht mehr die Gültigkeit des Kommutativgesetzes bezüglich der Multiplikation. Also könnte man für eine "Zahl" voraussetzen, dass sie Element eines Schiefkörpers ist. - Hierzu ist noch unbedingt zu ergänzen, dass diese Verallgemeinerung vom Körper nur auf einen Schiefkörper zwar nett und hübsch aussieht, man dabei aber die Gültigkweit des Hauptsatzes der Algebra verliert, welcher besagt, dass ein Polynom vom Grade n höchstens n Nullstellen haben kann. Genauer: gilt, dass ein solches Polynom im eindeutig bestimmbaren Zerfällungskörper mit Vielfachheiten gezählt genau n Nullstellen hat.

Bei den Quaternionen - das sind die komplexen Zahlen, zu denen noch eine weitere imaginäre Einheit hinzuadjungiert wird - sieht man das ganz zwanglos, denn diese definieren ja i² = (-i)² = j² = (-j)² = k² = (-k)² = -1, d.h. allein über die Definition finden wir schon 6 verschiedene Lösungen des quadratischen Polynoms x² + 1.


Des weiteren werden auch die Oktaven - das sind die Quaternionen, zu denen noch eine weitere unabhängige imaginäre Einheit hinzuadjungiert wird - meist noch als "Zahlen" bezeichnet, und diese bilden bis auf Isomorphie die grösste-mögliche Divisionsalgebra. Also könnte man sagen, dass Zahlen Elemente einer Divisionsalgebra sind. Eine Divisionsalgebra ist eine algebraische Struktur, in der nur ein eingeschränktes Assoziativgesetz bezüglich der Multiplikation gültig ist.

Doch was ist mit den Non-Standard-Zahlen ? Die werden üblicherweise ebenfalls als "Zahlen" bezeichnet und denen kommt man mit solchen algebraischen Strukturen nicht bei.


Kurz und gut: eine Zahl ist ein "Ding", mit dem man die 4 Grundrechenarten ausführen kann, wobei x/0 nicht definiert ist. Das folgt aber schon ganz einfach aus 0*x = (r-r)*x = rx + (-rx) = 0, kann also nicht 1 werden. Wenn Du nich tuber das "Ding" argumentieren möchtest, würde ich den Begriff der Zahl ersatzlos streichen und statt dessen von einem Zahlenkörper sprechen, auch dann ist alles exakt und widerspruchsfrei definiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Jul 2017, 17:12

seeker hat geschrieben:
3. Jul 2017, 16:21
"Unendlich" hätte z.B. gerade diese Eigenschaft nicht, ein eindeutig bestimmtes Objekt mit einem eindeutigen Wert zu sein.
Hallo seeker,

wieso: Du kannst die Multiplikation als "rekursive Addition" und die Potenz als "rekursive Multiplikation" definieren. Dann kann man ganz ähnlich wie bei der Ackermann-Funktion neue "Grundrechenarten" definieren und auch solche, die rekursiv mit sich selber die Addition ergeben, dann solche, die rekursiv mit sich selber die Grundrechenart ergibt, die rekursiv mit sich selber die Addition ergibt, u.s.w. Man kann diesen Grundrechenarten einen Index geben und die Rechenregeln werden besonders einfach, wenn man diesen bei der Addition zu 0 normiert und dann "rückwärts" durchnummeriert, also Multiplikation mit dem Index -1, Potenzieren mit dem Index -2 usw.

Jetzt forderst Du per Axiom, dass die Grundrechenarten mit Index grösser gleich -1 ein eindeutiges Neutralelement haben sollen - im Gegensatz zur Potenz und zu den ackermannfunktions-artigen Grundrechenarten kannst Du das tun, weil da noch nichts definiert ist, was einen Widerspruch erzeugen könnte, und damit entpuppt sich mit mindestens einer geeigneten Zusatzannahme, die sich beispielsweise über eine "erweiterte Abstandsmessung" mit inversen Elemente bewerkstelligen lässt, beispielsweise die Grösse "-oo" das Neutralelement der Grundrechenart vom Index -1 ist. Diese Grundrechenart ist sehr ähnlich wie der Nachfolgeoperator, nur dass der Nachfolgeoperator 1 Argument hat während unsere Grundrechenarten ja immer 2 Argumente haben.

-oo ist dann also gar kein unendlich grosses Element mehr, sondern "nur" noch das drittgrösste Neutralelement.


Dann ergeben sich ganz witzige Gestze wie beispielsweise (Grundrechenart{-1}(-oo,-oo) = 2; man stellt fest, dass -oo das Neutralelement des Nachfolgeoperators ist, und man kann auch feststellen, dass das viertgrösste Neutralelement dort ist, wo der Nachfolgeoperator identisch verschwindet. In der Praxis ist das alles natürlich unbrauchbar, ebenso wie die Erkenntnis, dass man nun ja jeder natürlichen Zahl ein solches Neutralelement zuordnen kann, deren Grenzübergang indes kein Neutralelement sein kann.


Was ich sagen will: axiomatisch kannst Du da problemlos was hineindefinieren, doch sinnvoll ist das davon noch lange nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von Skeltek » 6. Jul 2017, 10:41

Die Dinge haben immer die Bedeutung, die wir ihnen geben.
Die ersten drei aufgezählten Mengen Räume unterscheiden sich doch ohnehin nur in ihrer Struktur.
Mir ist es egal welche Namen, Bezeichner oder Notation wir welchem Element geben. Namen sind nur Schall und Rauch, auf die Kontext-abhängige Bedeutung kommt es an.
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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 6. Jul 2017, 17:28

Skeltek hat geschrieben:
6. Jul 2017, 10:41
Die ersten drei aufgezählten Mengen Räume unterscheiden sich doch ohnehin nur in ihrer Struktur.
Hallo Skeltek,

mir ist gar nicht bewusst, dass ich über irgendeinen "Raum" gesprochen hätte.

Zwar kann man bei Zahlen ebenso wie bei Räumen zweckmässige Additionen definieren, z.B. komponentenweise, doch bei der Multiplikation gibt es Unterschiede: bei einem Raum hat man üblicherweise eine Vielfachenbildung, d.h. ein Element eines Raumes wird mit einem Element eines Vielfachenkörpers multipliziert, während bei den vorgenannten algebraischen Strukturen tatsächlich zwei Elemente derselben Menge miteinander multipliziert werden.


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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von Skeltek » 6. Jul 2017, 21:02

Sprichst du gerade über lineare Funktionenräume oder Vektorräume allgemein?
Was hat das mit allgemeinen Räumen zu tun?
Nicht jeder Raum hat ein Skalarprodukt und was soll eine 'Vervielfachung' in z.B. einem topologischen Raum darstellen?
Es geht eher darum, die Zahlenräume im Top-Down-Verfahren herzuleiten und zu axiomatisieren.
Die Frage ist, was du unter z.b. rationalen Zahlen verstehst? Die Menge der Elemente oder die Struktur, auf welcher die Elemente der Menge liegen?
Die Elemente der verschiedenen Mengen sind ohne eine der Menge zugeordnete wenigestens topologische Struktur völlig ununterscheidbar.

Alan Turing konnte damals z.B. Gödel's Unvöllständigkeitssatz auf das Halteproblem von Turing-Maschinen übertragen, weil es strukturell exakt dieselbe Bedeutung hat.
Ein Element ist nichts ohne den strukturellen Kontext wecher ihm überhaupt erst eine Bedeutung gibt.
Die Peano-Axiome allein definieren zunächst nur die Kette "ganzer" Elemente; das fünfte Axiom garantiert die Wohldefiniertheit der rekursiven Definitionen der Addition und Multiplikation. Ohne eine Separate rekursive strukturelle Induktion welche diese definitiert hat man zunächst keine Addition und Multiplikation, und die Kette an Elementen ist nicht mehr als eine primitive Kette.

Der Unterschied deiner drei zuerst genannten 'Mengen' liegt in dieser rekursiven strukturellen Definition, nicht in den Elementen selbst.
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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 6. Jul 2017, 22:17

Skeltek hat geschrieben:
6. Jul 2017, 21:02
Sprichst du gerade über lineare Funktionenräume oder Vektorräume allgemein?
Was hat das mit allgemeinen Räumen zu tun?
Hallo Skeltek,

was habe ich denn im Threadtitel zu diesem Thema geschrieben ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von Skeltek » 7. Jul 2017, 00:37

Sorry, habe mich beim ersten Verfassen erstmal vorwiegend auf die Überschrift konzentriert und auf dein "minus unendlich".
Wie gesagt, die Sachen haben diejenige Bedeutung, welche wir ihnen zuordnen.
Das "minus" fand ich einfach nur irgendwie echt blöd und wollte darauf eingehen.
Am besten ich lasse euch hier einfach mal in Ruhe machen und les erstmal nur mit, sonst artet das in einem OT aus.
Werd aber in jedem Fall mitlesen und maybe gelegentlich mal schreiben.
Lg
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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Jul 2017, 09:45

Skeltek hat geschrieben:
7. Jul 2017, 00:37
Sorry, habe mich beim ersten Verfassen erstmal vorwiegend auf die Überschrift konzentriert und auf dein "minus unendlich".
Wie gesagt, die Sachen haben diejenige Bedeutung, welche wir ihnen zuordnen.
Das "minus" fand ich einfach nur irgendwie echt blöd und wollte darauf eingehen.
Hallo Skeltek,

ich (persönlich) denke, dass dieses "minus unendlich" genau das Problem ist, weswegen es zwischen den Laien und den Mathematikern zu missverständnissen kommt, und meine Intention dieses Threads ist es, diese Missverständnisse auszuräumen.

Ich sehe momentan aber nicht, was am "minus" bei -oo so "blöd" ist, ausser dass - sollte -oo "irgendwie" eine Zahl sein, die beispielsweise die Eigenschaft e-oo = 0 hat, diese Zahl nicht negativ ist.

Natürlich ist -oo als "Ding" von mit einem Absolutbetrag, der über alle Schranken anwächst, keine Zahl. Man kann sich aber durchaus Gedanken machen, hier Erweiterungen vorzunehmen. Doch bevor man das tut, muss einem vorerst in voller Konsequenz klar sein, was axiomatisch zur Verfügung steht - beispielsweise sind das die negativen Zahlen, von denen es zwar unendlich viele gibt, von denen aber jede einzelne von endlichem Absolutbetrag ist. "-oo" indes ist axiomatisch nicht gegeben.

Skeltek hat geschrieben:
7. Jul 2017, 00:37
Werd aber in jedem Fall mitlesen und maybe gelegentlich mal schreiben.
Darauf freue ich mich ausdrücklich ! :)


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Jul 2017, 11:02

Skeltek hat geschrieben:
6. Jul 2017, 21:02
Nicht jeder Raum hat ein Skalarprodukt und was soll eine 'Vervielfachung' in z.B. einem topologischen Raum darstellen?
Hallo Skeltek,

zunächst einmal hat die Vielfachenbildung nichts mit dem Skalarprodukt zu tun. Das sieht man schon ganz einfach daran, dass das Vielfache eines Vektors wieder ein Vektor ist, während das Ergebnis einer Bilnearform bzw. im Spezialfall des positiv-definiten Skalarproduktes eine Zahl ist.

Skeltek hat geschrieben:
6. Jul 2017, 21:02
Es geht eher darum, die Zahlenräume im Top-Down-Verfahren herzuleiten und zu axiomatisieren.
Die Frage ist, was du unter z.b. rationalen Zahlen verstehst? Die Menge der Elemente oder die Struktur, auf welcher die Elemente der Menge liegen?
Meines Wissens ist das klar definiert: eine von den Peano-Axiomen definierte Menge kann man zur Halbgruppe der natürlichen Zahlen "normieren", indem man das Startelement o.E.d.A. zur 1 setzt.
Dann kann man diese Halbgruppe der natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig zur Gruppe der ganzen Zahlen fortsetzen, indem man - etwas gar salopp formuliert - das Neutralelement 0 und die additiv-inversen Elemente der natürlichen Zahlen hinzufügt.


Unter Hinzunahme der Multiplikation bildet die Gruppe der ganzen Zahlen dann den Ring der ganzen Zahlen, unmd zwar einen Ring, der drei zusätzliche Eigenschaften aufweist:

(1) er enthält ein Einselement, nämlich die "1" - Vorsicht: zunächst einmal handelt es sich hierbei um die ganze Zahl +1 und keineswegs um die natürliche Zahl 1, d.h. hierzu muss man einen Isomorphismus zwischen den positiven ganzen Zahlen IZ+ und den natürlichen Zahlen IN definieren

(2) er ist nullteilerfrei, d.h. a*b=0 <=> a=0 oder b=0; in der IZ4 ist das beispielsweise nicht der Fall, da gilt 2*2=0, weil 2*2=0(4) ist; hierauf beruht übrigens der Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 nicht rational ist

(3) er ist kommutativ in der Multiplikation


Ringe mit diesen drei Zusatzeigenschaften nennt man "Integritätsbereiche".


Und nun kann man beweisen, dass sich Integritätsbereiche zu einem "Quotientenkörper" erweitern lassen, auch diese Konstruktion ist bis auf Isomophie eindeutig. Der Quotientenkörper des Integritätsbereiches der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen.


Erneut ist zu beachten, dass die Elemente des Quotientenkörpers andere Elemente als diejenigen des Integritätsbereiches sind, man kann aber erneut einen Isomorphismus finden, beispielsweise indem man sich zunächst einmal darauf einigt, dass man die rationalen Zahlen als Vertreter der Äquivalenzklasse gekürzter Zähler und Nenner und positiver Nenner schreibt, und danach die rationalen Zahlen mit Nenner 1 auf die ganze Zahlen abbildet.


Sei noch ergänzt, dass Ringe kein Einselement zu besitzen brauchen: so enthält beispielsweise der Ring der geraden ganzen Zahlen kein Einselement.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von Skeltek » 7. Jul 2017, 19:38

Ja, die Hinzunahme der Multiplikation benötigt etwas mehr als die Peano-Axiome wollte ich sagen.
Ansonsten stört mich an dem ganzen gerade gar nichts.
Das Minus fasse ich mehr als "Richtung" auf, statt einer Inversenbildung. Letzteres hat irgendwie einen "ausgleichenden" Nachgeschmack.
Schönen Gruß, Skel
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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Jul 2017, 22:23

Skeltek hat geschrieben:
7. Jul 2017, 19:38
Das Minus fasse ich mehr als "Richtung" auf
Hallo Skel,

das ist eine geometrische Deutung. Diese hat übrigens ihre Berechtigung und die Mathematik in wesentlichen Aspekten sehr bereichert !
Skeltek hat geschrieben:
7. Jul 2017, 19:38
, statt einer Inversenbildung. Letzteres hat irgendwie einen "ausgleichenden" Nachgeschmack.
Na ja, diesen "Nachgeschmack" brauchst Du aber, wenn Du Gleichungen lösen möchtest. Sei noch ergänzt, dass diese Inversenbildung auch noch eindeutig sein muss ! Beim kleinen Beweis, dass in einem beliebigen Ring immer gilt, dass x*0 gleich 0 ist, wird diese Eindeutigkeit der Inversen wesentlich verwendet.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von Herr5Senf » 14. Sep 2017, 20:17

Die "Null" ist etwa 500 Jahre älter als bisher angenommen:

Das Bakhshali manuscript wurde neu datiert auf 3./4. Jhd n"0" http://www.ox.ac.uk/news/2017-09-14-ear ... st-thought

Grüße Dip

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von Skeltek » 15. Sep 2017, 07:29

ralfkannenberg hat geschrieben:
7. Jul 2017, 22:23
Skeltek hat geschrieben:
7. Jul 2017, 19:38
Das Minus fasse ich mehr als "Richtung" auf
Hallo Skel,

das ist eine geometrische Deutung. Diese hat übrigens ihre Berechtigung und die Mathematik in wesentlichen Aspekten sehr bereichert !
An Geometrie habe ich dabei eigentlich gar nicht gedacht. Ein Signum ist in der Regel ohne Wert, die wertstellige Bedeutung kommt erst durch einen zuätzlichen Parameter herbei. Man kann genausowenig zwei Sigma voneinander subtrahieren, höchstens konkatinieren.
Wenn ich einmal links, einmal rechts am Reh vorbei schieße und dann noch einmal genau in die Mitte der beiden Flugbahnen , dann ist das Reh nicht zwangsläufig im Durchschnitt tot.
Vor allem dann nicht, wenn ich beim erstem mal 10 Meter und beim zweitem mal 20 Meter vorbei schieße.
Genauso wie links und rechts haben Plus und Minus im Falle von unendlich genausowenig ausgleichende Wirkung, weil der Begriff unendlich alleine keinerlei Aussage über die Wertstellung oder Mächtigkeit des zu assoziierenden Wertes trifft - es hat schkicht einfach keinen Wert, welcher negiert werden könnte.
ralfkannenberg hat geschrieben:
7. Jul 2017, 22:23
Skeltek hat geschrieben:
7. Jul 2017, 19:38
, statt einer Inversenbildung. Letzteres hat irgendwie einen "ausgleichenden" Nachgeschmack.
Na ja, diesen "Nachgeschmack" brauchst Du aber, wenn Du Gleichungen lösen möchtest. Sei noch ergänzt, dass diese Inversenbildung auch noch eindeutig sein muss ! Beim kleinen Beweis, dass in einem beliebigen Ring immer gilt, dass x*0 gleich 0 ist, wird diese Eindeutigkeit der Inversen wesentlich verwendet.


Freundliche Grüsse, Ralf
Du kannst aber bei 'Unendlich' kaum von Eindeutigkeit der Inversen sprechen.
Null als Grenzwert hat überabzählbar viele Folgen mit sich assoziiert, genauso wie Unendlich auch überabzählbar viele Folgen Grenzwert-technisch mit sich assoziiert. Und die Bijektion Null<->Unendlich kann man nicht pauschal stellvertretend nehmen für eine Schar überabzählbar vieler Bijektionen zwischen Folgen.

Selbst die Null kann man mit etwas Phantasie als eine NichtEindeutigkeit auffassen, es gibt viele verschiedene Nullen.
Das Volumen einer Fläche ist Null.
Das Volumen einer Linie ist Null.
Das Volumen eines Punktes ist Null.
Trotzdem hat die Fläche unendlich mehr Volumen als die Linie; das Problem ist nur dass die bewertende Funktion das ganze 'aus dem 3D' betrachtet.
Das wäre dieser Gedankengang auf die Spitze getrieben. Es geht leider nicht so einfach.
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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von ralfkannenberg » 15. Sep 2017, 10:17

Skeltek hat geschrieben:
15. Sep 2017, 07:29
Du kannst aber bei 'Unendlich' kaum von Eindeutigkeit der Inversen sprechen.
Hallo Skel,

eine Menge, die als Operation die Addition hat und die "unendlich" enthält, kann ja auch keine Gruppe bilden.

Skeltek hat geschrieben:
15. Sep 2017, 07:29
Null als Grenzwert hat überabzählbar viele Folgen mit sich assoziiert, genauso wie Unendlich auch überabzählbar viele Folgen Grenzwert-technisch mit sich assoziiert. Und die Bijektion Null<->Unendlich kann man nicht pauschal stellvertretend nehmen für eine Schar überabzählbar vieler Bijektionen zwischen Folgen.
Das gilt für jede beliebige Zahl, nicht nur für die Null. Allerdings verstehe ich nicht, was Du mit diesen Bijektionen erreichen willst.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über den Unterschied von negativen (ganzen, rationalen, algebraischen, reellen) Zahlen und von "minus unendlich"

Beitrag von tomS » 15. Sep 2017, 17:26

ralfkannenberg hat geschrieben:
15. Sep 2017, 10:17
eine Menge, die als Operation die Addition hat und die "unendlich" enthält, kann ja auch keine Gruppe bilden.
Ganz so möchte ich das nicht stehen lassen: es existiert z.B. eine Gruppenoperation auf elliptischen Kurven; die Definition der Gruppenoperation auf einer Kurve erfordert, dass man diese Kurve um den unendlich fernen Punkt als neutralem Element ergänzt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisc ... rsion).svg
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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