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Quaternionen hier hilfreich?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 18. Jul 2017, 22:11

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Jul 2017, 21:08
Mir ist irgendwie nicht ganz klar, wieso Du von 3 reellen Zahlen schreibst; könntest Du das etwas näher ausführen ?
Vielleicht täusche ich mich ja... Aber soweit ich glaube, das verstanden zu haben, ist die SU(2) so definiert:

mit

und

Demnach gibt es in obiger Matrix (im Gegensatz zu einer 2x2-Matrix mit voneinander unabhängigen Einträgen) nur zwei komplexe Zahlen, welche mittels vier reeller Zahlen darstellbar sind. Und die Bedingung ...=1 sollte von diesen vier Stück eine eliminieren.
Ich verstehe das so, dass obiges die Bedingungen für die Unitarität sind, und diese dazu führt, dass eine Matrix der SU(2) drei reelle Parameter besitzt.
Sehe ich das richtig?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 19. Jul 2017, 07:01

Die Unitarität führt auf vier reelle Parameter, die Forderung an die Determinante reduziert dies um einen weiteren Parameter auf drei. Jede U(2) - Matrix kann geschrieben werden als Produkt eines Faktors exp(ia) mal einer SU(2)-Matrix, d.h. für die Gruppe gilt U(2) = U(1) * SU(2). Das gilt für jede U(N), N = 2,3,...
Gruß
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Jul 2017, 09:51

positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 22:11
ist die SU(2) so definiert:

mit

und

Demnach gibt es in obiger Matrix (im Gegensatz zu einer 2x2-Matrix mit voneinander unabhängigen Einträgen) nur zwei komplexe Zahlen, welche mittels vier reeller Zahlen darstellbar sind. Und die Bedingung ...=1 sollte von diesen vier Stück eine eliminieren.
Hallo positronium,

"sollte" ist zwar schön und gut, muss aber bewiesen werden, dass dem wirklich so ist.

Ich führe es "ungenau" aus, damit es anschaulich bleibt:

Die Zusatzbedingung beschreibt ja den Einheitskreis, ist also eine Gleichung sin²(x)+cos²(x) = 1. Somit sind also α und ß über den Winkel "verbandelt" und hier gewinnst Du tatsächlich einen Freiheitsgrad.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 19. Jul 2017, 11:48

Vielen Dank für Euere Antworten!
Könnte bitte noch jemand etwas zu den anderen Fragen schreiben? - Das mit den reellen Parametern war ja nur die Einleitung:
positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 12:28
Hallo allerseits,

könntet Ihr mir bitte bei der SU(2) und Spinoren etwas weiter helfen? - Ich finde dazu nichts für mich verständliches.

Eine komplexe 2x2-Matrix hat ja normalerweise 8 reale Parameter. Ich sehe es doch richtig, dass allein durch die Definition der SU(2) die Zahl der realen Parameter auf 3 reduziert wird, korrekt?
Wenn man diese Parameter, d.h. einen realwertigen reellen 3er-Vektor mit den Pauli-Matrizen multipliziert, bleiben die imaginären Teile der Hauptdiagonalen gleich 0. Ist das, und auch die Form der Pauli-Matrizen nur Konvention? Haben die Pauli-Matrizen die Form, die sie haben, nur, damit bei der gerne verwendeten z-Komponente für den Spin, durch sigma3 gleich die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen stehen?
Diese Eigenschaften müssen sich ja auch auf das Verhalten von Spinoren auswirken. Gibt es in diesen irgendwelche Bedingungen für die Pauli-Matrizen?
Und damit bin ich bei meiner wichtigsten Frage: Was ist ein Spinor, oder besser gefragt: was kodiert er wie?
Danke!

Gruss

positronium
Mein Eindruck ist, dass die Pauli-Matrizen mit i multipliziert nichts anderes als im 3-dimensionalen reellen Raum die Kreuzproduktmatrizen für die drei Basisvektoren sind.

Aus einem Spinor muss doch eine interpretierbare Information extrahierbar sein, und er muss doch auch explizit konstruierbar sein, nicht nur einfach als irgendeine Lösung einer DGL dastehen.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 22. Jul 2017, 19:22

Leider habe ich nirgendwo etwas für mich brauchbares finden können, und habe deshalb versucht, das selbst zu analysieren. Ist das wie folgt richtig?

Mit s wird der Spinor und seine Komponenten mit s1 und s2 bezeichnet; n sei die Norm bzw. Amplitude der Wellenfunktion. Mit x, y und z werden die Koordinaten des 3-dimensionalen Raums bezeichnet.





Umgekehrt erhalte ich:


sowie:
,
was

entspricht.
Die beiden letzten Gleichungen bestimmen allerdings nur den Phasenunterschied von s1 und s2.
Es fehlt mir jetzt nur noch arg(s1) oder alternativ arg(s2). Darauf bin ich noch nicht gekommen - ich habe den Eindruck, dass mir dafür noch etwas fehlt, oder übersehe ich etwas? Wie muss diese letzte Formel lauten?


edit: Das hat sich erledigt. Ich hatte die Norm des Spinors fälschlicherweise als freien Parameter eingeschätzt. In Wirklichkeit ist diese von x, y und z abhängig. Der vierte Parameter ist ein frei wählbarer Phasenfaktor.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 16. Jan 2018, 18:31

Hallo allerseits,

eine Bemerkung in der Wikipedia unter https://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A4re_(Mathematik) verstehe ich leider nicht:
Die 3-Sphäre S³ ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum R4. Die 3-Sphäre lässt sich als Menge der Quaternionen vom Betrag 1 auffassen und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, welche gerade SU(2) entspricht.
Der letzte Teil bzgl. der SU(2) ist mir nicht klar.
Die SU(2) beschreibt im inneren Raum eines Spinors einen 3er-Vektor. Demnach ist es zwar so, dass Drehungen in 4D, mit denen man mit einem 4er-Vektor eine S³ berechnen kann, wie das innere eines Spinors 3 Parameter besitzen, aber unter Anwendung der Pauli-Matrizen dreht man doch im inneren Raum des Spinors einen 3er-Vektor und verändert eben nicht drei Winkel, über welche man einen anderen Punkt der S³ erhält. Würde man beispielsweise rechnen, dann würde man den zweiten und dritten Drehwinkel "drehen", also sozusagen nicht direkt einen anderen Ort auf der S³ ansteuern, sondern indirekt, eigentlich sogar eine nicht offensichtlich vorhersehbare Richtung einschlagen.
Könntet Ihr mir bitte erklären, was ich hier falsch sehe? Danke!

Gruss

positronium

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2018, 08:42

Schauen wir uns doch zunächst ein einfacheres Beispiel an: die SO(2) bzw. U(1) beschreiben eine Drehung in der reellen bzw. komplexen Ebene. Gleichzeitig entspricht die U(1) formal einen Kreis: z = exp[ia] überstreicht für reelle a einen Kreis in der komplexen Ebene.
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2018, 09:45

positronium hat geschrieben:
16. Jan 2018, 18:31
Hallo allerseits,

eine Bemerkung in der Wikipedia unter https://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A4re_(Mathematik) verstehe ich leider nicht:
Die 3-Sphäre S³ ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum R4. Die 3-Sphäre lässt sich als Menge der Quaternionen vom Betrag 1 auffassen und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, welche gerade SU(2) entspricht.
Der letzte Teil bzgl. der SU(2) ist mir nicht klar.
Hallo positronium,

an sich kannst Du das viel einfacher haben:

Ich nehme an, Du hast verstanden, dass die 3-Sphäre S³ einfach die Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel ist. Wenn ich den Wikipedia-Artikel richtig verstanden habe wird dabei der Radius dieser Kugel auf 1 normiert, d.h. diese Sn sind Einheitssphären. Somit findest Du vier linear-unabhängige Vektoren vom Betrage 1, die diese Kugel "aufspannen".

Nun sind Vektoren Elemente eines Vektorraumes, d.h. da sind Additionen und Vielfache definiert, sowie Bilinearformen und ihre positiv-definiten Spezialfälle, also die Skalarprodukte. Ein richtiges Product ist dort zunächst einmal nicht definiert. Hier kommen nun die Quaternionen ins Spiel, den man kann diese vier linear unabhängigen Vektoren der 3-Sphäre S³ mit {1, i, j, k} identifizieren und dann die MUltiplikation, die auf den Quaternionen definiert ist, nutzen.

Da die SU(2) die Gruppe der unitären (2×2)-Matrizen über die komplexen Zahlen sind und aufgrund der Unitarität die Bedingung |z1|² + |z2|² = 1 gilt - beachte die Absolutstriche, weil z1 und z2 komplexe Zahlen sind, deren Quadrat nicht positiv zu sein braucht, ist der Nachweis der Isomorphie zwischen der Gruppe der Quaternionen vom Betrage 1 unter der Multiplikation und der SU(2) eine kleine Übung. An sich "sieht" man, dass das dasselbe ist und kann sich den formalin Nachweis ersparen.


Freundliche Grüsse, Ralf


Korrigenda 11:03 Uhr: Autoformatter hat mir die komplexe Zahl i zu "I" formattiert; ich habe das wieder auf i gesetzt
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 17. Jan 2018, 11:03, insgesamt 1-mal geändert.

positronium
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 10:54

Vielen Dank für Euere Antworten!
tomS hat geschrieben:
17. Jan 2018, 08:42
Schauen wir uns doch zunächst ein einfacheres Beispiel an: die SO(2) bzw. U(1) beschreiben eine Drehung in der reellen bzw. komplexen Ebene. Gleichzeitig entspricht die U(1) formal einen Kreis: z = exp[ia] überstreicht für reelle a einen Kreis in der komplexen Ebene.
Ja, das ist mir klar.

ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Jan 2018, 09:45
Ich nehme an, Du hast verstanden, dass die 3-Sphäre S³ einfach die Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel ist.
Ja.
ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Jan 2018, 09:45
Wenn ich den Wikipedia-Artikel richtig verstanden habe wird dabei der Radius dieser Kugel auf 1 normiert, d.h. diese Sn sind Einheitssphären. Somit findest Du vier linear-unabhängige Vektoren vom Betrage 1, die diese Kugel "aufspannen".
Könnte man so sagen, ja.
ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Jan 2018, 09:45
Nun sind Vektoren Elemente eines Vektorraumes, d.h. da sind Additionen und Vielfache definiert, sowie Bilinearformen und ihre positiv-definiten Spezialfälle, also die Skalarprodukte. Ein richtiges Product ist dort zunächst einmal nicht definiert. Hier kommen nun die Quaternionen ins Spiel, den man kann diese vier linear unabhängigen Vektoren der 3-Sphäre S³ mit {1, I, j, k} identifizieren und dann die MUltiplikation, die auf den Quaternionen definiert ist, nutzen.
Bedeutet das, dass die Multiplikation normierter Quaternionen in 4D eine höherdimensionale Variante der Multiplikation normierter komplexer Zahlen in 2D ist?
Wie sind dann aber die Pauli-Matrizen zu interpretieren, und wie die vier Koordinaten in einem Spinor kodiert?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2018, 11:34

Die Quaternionen haben eine besondere Eigenschaft. Sie stellen eine Divisionsalgebra dar, d.h.
1) sie sind bzgl. der Addition - genau wie die reellen und komplexen Zahlen - ein Vektorraum, d.h. du kannst sie addieren, und du kannst sie mit komplexen Zahlen multiplizieren
2) sie sind bzgl. der Multiplikation eine Gruppe, d.h. du kannst sie untereinander multipliziert, und es existiert ein eindeutiges inverses Element

D.h. man hat immer zwei Aspekte: man kann die Quaternionen gemäß
(1) selbst als Vektoren auffassen
(2) als Objekte begreifen, die auf anderen Vektoren operieren, d.h. diese z.B. drehen
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2018, 11:52

tomS hat geschrieben:
17. Jan 2018, 11:34
Die Quaternionen haben eine besondere Eigenschaft. Sie stellen eine Divisionsalgebra dar, d.h.
Hallo Tom,

sie sind sogar mehr: sie bilden einen Schiefkörper, d.h. das Assoziativgesetz der Multiplikation ist gültig. Wenn man noch vier weitere imaginäre Einheiten hinzunimmt (d.h. zusätzlich zu i und j - das k ergibt sich dann als Produkt von i*j - eine dritte imaginäre Einheit l adjungiert), dann erhält man eine Divisionsalgebra, die aber kein Schiefkörper mehr ist, weil das Assoziativgesetz der Multiplikation nicht mehr gültig ist, sondern nur die Eigenschaft der Alternativität, weswegen gelegentlich auch von einem "Alternativkörper" die Rede ist.

Ein Schiefkörper ist "fast" ein Körper, "lediglich" das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt nicht mehr. Mit weitreichenden Folgen allerdings, weil somit der Hauptsatz der Algebra nicht mehr gültig ist, was man einfach daran erkennen kann, dass die quadratische Gleichung x²+1 mehr als 2 Lösungen hat, nämlich neben i und -i von den komplexen Zahlen unter anderem auch j, -j, k und -k.


Es gilt:
- die reellen Zahlen bilden bis auf Isomorphie den grösstmöglichen Körper, den man anordnen kann
- die komplexen Zahlen bilden bis auf Isomorphie1 den grösstmöglichen Körper, somit die grösstmögliche Struktur, in der der Hauptsatz der Algebra gültig ist
- die Quaternionen bilden bis auf Isomorphie den grösstmöglichen Schiefkörper
- die Oktaven bilden bis auf Isomorphie die grösstmögliche Divisionsalgebra


Freundliche Grüsse, Ralf

1 einen solchen isomorphen Körper zu IC erhält man, wenn man statt der imaginären Einheit i die imaginäre Einheit j zu IR adjungiert :)


2 EDITs: 1. Fussnote 1 zugefügt und 2. xquadrat durch x² ersetzt
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 17. Jan 2018, 12:00, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 11:54

@Tom: Gut, aber das mit der SU(2) verstehe ich nicht.
In der QM hat man bei einem Spinor eine Phase (1 reeler Parameter) und einen 3er-Vektor im inneren Raum (3 reele Parameter), also damit U(1) x SU(2). Und die Pauli-Matrizen definieren Drehungen des 3er-Vektors um die x-, y- und z-Achse.
Wenn ich jetzt die S³ ansehe, sollte wegen der Normierung die U(1) keine Rolle spielen, bleibt also außen vor. Man betrachtet also den inneren Raum mit 3 freien Parametern. Ich vermute, dass diese in 4D keine x,y,z sein können, weil man die vierte Koordinate dann über die Normierung ermitteln müsste...
Kannst Du hinschreiben, wie man die vier Koordinaten des 4er-Vektors aus einem Spinor extrahiert?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2018, 11:54

ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Jan 2018, 11:52
sie sind sogar mehr: sie bilden einen Schiefkörper
Richtig.

Mir ging es nur darum, auf die beiden Aspekte (1) und (2) hinzuweisen
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2018, 12:27

positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 10:54
Bedeutet das, dass die Multiplikation normierter Quaternionen in 4D eine höherdimensionale Variante der Multiplikation normierter komplexer Zahlen in 2D ist?
Hallo positronium,

warum so kompliziert ?

Du hast die reellen Zahlen IR.

Nun kann man sich die Frage stellen, ob man die "grösser" machen kann, also eine echte Körpererweiterung vornehmen kann.

Das klappt tatsächlich, beispielsweise durch durch "Hinzunahme" einer sogenannten imaginären Einheit.

Die Addition erfolgt komponentenweise, das ist ohnehin kein Problem, das ist und bleibt eine kommutative Gruppe (wie auch bei einem Vektorraum).

Die Multiplikation kann man für gemischte Faktoren als Vielfachenbildung definieren, auch das ist kein Problem, aber die Multiplikation "untereinander" muss konsistent durchgeführt werden. Bei Hinzunahme nur einer solchen imaginären Einheit muss man nur eine Vorschrift zusätzlich definieren, und das ist die Vorschrift i*i = ?

Wenn man dieses negativ setzt und zu 1 normiert hat man alle gewünschten Eigenschaften => i*i = -1.


Wir sind jetzt also nicht den "üblichen" Weg gegangen und haben uns gefragt, was die Quadratwurzel von -1 ist - genauer: was die Lösung der quadratischen Gleichung x²+1=0 ist, sondern wir haben uns gefragt, was man hinzu-"adjungieren" kann, so dass die Struktur möglichst gut erhalten bleibt. Die Körperstruktur bleibt erhalten, man verliert aber die Anordbarkeit.


Kann man weitere imaginäre Einheiten adjungieren, d.h. wie sieht die Struktur IR(i,j) aus ?

Bezüglich der Addition ist es wieder kein Problem, bezüglich der Vielfachenbildung auch nicht. Alles wie gehabt.

Aber eben - die Multiplikation untereinander ist ein Problem und tatsächlich hatte man das zunächst vergeblich versucht, ehe Mitte des 19.Jahrhunderts der Durchbruch gelang, indem man das Produkt der beiden imaginären Einheit zu einer dritten imaginären Einheit k gesetzt hat. Wenn einem dieser rein-algebraische Anssatz nicht gefällt kann man das - analog wie bei den komplexen Zahlen - auch so formalisieren, dass man diese neuen Zahlen als 2x2-Matrizen mit geeigneten Zusatzeigenschaften beschreibt; man kann einfach zeigen, dass die beiden resultierenden Mengen isomorph sind.

Wie zuvor gesehen verliert man aber die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation und damit den Hauptsatz der Algebra.


Wenn man solche Inhalte in der Algebra üben will, dann geht man natürlich nicht gleich mit dem Kopf durch die Wand und adjungiert Zahlen, die gar nicht auf der Zahlenachse liegen, sondern man studiert den Körper der rationale Zahlen und adjungiert dazu irrationale Zahlen, die aber auf der Zahlengeraden liegen, z.B. die Quadratwurzel(2), doie ich nachfolgend mit sqrt(2) ["square-root(2)"] abkürze. Dann ist also IQ(sqrt(2)) die Menge aller Zahlen der Form p+q*sqrt(2). Die Addition erfolgt komponentenweise, die Multiplikation untereinander ist trivialerweise sqrt(2)*sqrt(2)=2 und die Division führt man durch, indem man mit p-q*sqrt(2) erweitert und dabei beachtet, dass (p+q*sqrt(2))*(p-q*sqrt(2)) = p² - 2*q², welches eine rationale Zahl ist, gilt.

Wenn man das dann hinlänglich studiert hat adjungiert man die Quadratwurzel von 3 ("sqrt(3)") dazu und stellt dann ähnlich wie bei den Quaternionen fest, dass man bei der Produktebildung auch noch die Quadratwurzel(6) ("sqrt(6)") benötigt, da sqrt(2)*sqrt(3)=sqrt(6) ergibt.

Da wir uns die ganze Zeit innerhalb der reellen Zahlen bewegen verlieren wir nicht die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation, so dass der Hauptsatz der Algebra gültig bleibt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 13:21

Vielen Dank für die recht anschauliche Erklärung, aber leider trifft das nicht den Kern meiner Frage. Ich glaube auch, Ihr denkt auf einem abstrakteren/mathematischeren Niiveau als ich, der das rein praktisch macht. Ich verstehe immer noch nicht, wie die S³ in der SU(2) steckt. Dass das wegen der Zahl der Freiheitsgrade möglich ist, ist mir hingegen klar.
Wenn ich wie in der QM und oben beschrieben, den inneren Raum als x, y und z eines dreidimensionalen Raums betrachte, ist das in Verbindung mit den Pauli-Matrizen alles ganz anschaulich. Aber nicht für {x,y,z,w} mit der Norm 1, weil das 4 Zahlen mit drei Freiheitsgraden sind. Deshalb spekulierte ich erst auf die Winkel {theta, phi, rho} für Drehungen in 4D, nur ist das mehr problematisch als eine Lösung. Es sollte also Funktionen s1 und s2 geben, dass sich ein Spinor s wie folgt ergibt:

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2018, 14:35

positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 13:21
Ich verstehe immer noch nicht, wie die S³ in der SU(2) steckt.]
Hallo positronium,

den zugehörigen Isomorphismus findest Du hier im Absatz "SU(2) als Gruppe der Einheitsquaternionen".


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 15:16

Gut, Danke!
Wenn ich jetzt die Normierung betrachte, könnte ich diese bei der Einheitsmatrix ansetzen, so dass die reellen Parameter {+-1,x1/|x0|,x2/|x0|,x3/|x0|} sind. Leider fehlt dadurch aber ein Vorzeichen, wenn ich mich nur auf die Matrizen für i, j und k beschränke - gibt's dafür eine Lösung?
Vom Prinzip her habe ich dann aber etwas wie die Paulimatrizen, welche durch Anwendung auf einen Spinor einen Drehgenerator erzeugen. Wie muss ich mir das in diesem Fall vorstellen? - Die Matrizenmultiplikation sollte der Quaternionenmultiplikation entsprechen, aber wie muss ich mir das Verhalten eines Spinors vorstellen, auf den diese Matrizen wirken?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2018, 16:12

Mir fällt auf, dass du zwischen zwei Fragestellungen hin- und herspringst:
positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 15:16
Vom Prinzip her habe ich dann aber etwas wie die Paulimatrizen, welche durch Anwendung auf einen Spinor einen Drehgenerator erzeugen. Wie muss ich mir das in diesem Fall vorstellen?
positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 13:21
Ich verstehe immer noch nicht, wie die S³ in der SU(2) steckt. Dass das wegen der Zahl der Freiheitsgrade möglich ist, ist mir hingegen klar.
Der erste Punkt adressiert die Eigenschaft, dass die SU(2) Drehungen beschreibt. Der zweite Punkt adressiert lediglich die Tatsache, dass eine topologische Entsprechung vorliegt; d.h. insbs. dass die S³ keine Drehung beschreibt.
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 16:33

tomS hat geschrieben:
17. Jan 2018, 16:12
Der erste Punkt adressiert die Eigenschaft, dass die SU(2) Drehungen beschreibt. Der zweite Punkt adressiert lediglich die Tatsache, dass eine topologische Entsprechung vorliegt; d.h. insbs. dass die S³ keine Drehung beschreibt.
Es geht mir um die Drehung. Gerade die ist doch mit Einheitsquaternionen in 4D durch Multiplikation möglich. Und mit dem von ralfkannenberg verlinkten Isomorphismus beschreibt man dann doch Drehungen auf der S³, oder sehe ich das falsch? Und wenn dem so ist, dann muss es ein Objekt geben, auf das diese Matrizen wirken, eben einen Spinor, dessen innerer Raum nicht der R³ ist, sondern ein R4 mit Normierung der 4 Komponenten, sprich: ein Punkt der S³. Und mit den Matrizen sollte man in diesem Raum die Generatoren der Drehungen erzeugen können - genau wie mit den Pauli-Matrizen.
:wn:

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2018, 16:55

positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 16:33
Der erste Punkt adressiert die Eigenschaft, dass die SU(2) Drehungen beschreibt. Der zweite Punkt adressiert lediglich die Tatsache, dass eine topologische Entsprechung vorliegt; d.h. insbs. dass die S³ keine Drehung beschreibt.
Es geht mir um die Drehung. Gerade die ist doch mit Einheitsquaternionen in 4D durch Multiplikation möglich. Und mit dem von ralfkannenberg verlinkten Isomorphismus beschreibt man dann doch Drehungen auf der S³, oder sehe ich das falsch?
Der Isomorphismus beschreibt eine Abbildung der SU(2) auf die S³; diese S³ beschreibt jedoch m.E. nicht die Drehung; zumindest nicht direkt.
positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 16:33
Und wenn dem so ist, dann muss es ein Objekt geben ... ein Punkt der S³.
Nochmal, die S³, auf die die SU(2) abgebildet wird, ist nicht die S³, auf die die Drehung wirkt.
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 17:01

tomS hat geschrieben:
17. Jan 2018, 16:55
Der Isomorphismus beschreibt eine Abbildung der SU(3) auf die S³; diese S³ beschreibt jedoch m.E. nicht die Drehung; zumindest nicht direkt.
Schade. Das hatte ich befürchtet.
Danke!

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ralfkannenberg
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2018, 17:58

positronium hat geschrieben:
17. Jan 2018, 16:33
Und mit dem von ralfkannenberg verlinkten Isomorphismus beschreibt man dann doch Drehungen auf der S³, oder sehe ich das falsch? Und wenn dem so ist, dann muss es ein Objekt geben, auf das diese Matrizen wirken, eben einen Spinor, dessen innerer Raum nicht der R³ ist, sondern ein R4 mit Normierung der 4 Komponenten, sprich: ein Punkt der S³. Und mit den Matrizen sollte man in diesem Raum die Generatoren der Drehungen erzeugen können - genau wie mit den Pauli-Matrizen.
Hallo positronium,

schau mal hier nach, im Absatz "Pauli-Matrizen und Komplexe Drehungen".

Ist es das, was Dich interessiert ?


Freundliche Grüsse, Ralf

positronium
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Jan 2018, 18:33

ralfkannenberg hat geschrieben:
17. Jan 2018, 17:58
schau mal hier nach, im Absatz "Pauli-Matrizen und Komplexe Drehungen".

Ist es das, was Dich interessiert ?
Nein, Danke, das kann ich.
Ich hatte angesichts des Wikipediaartikels bzgl. der S³ eine eventuell bestehende Möglichkeit gesehen, dass man mit einem Spinor aus der Quantenmechanik nicht einen Vektor in R³, sondern einen normierten Vektor in R4 beschreibt, und den in R4 drehen kann, um die S³ zu erhalten. Deshalb ja oben, in meinem Betrag mit der Frage, ob diese 3 inneren Freiheitsgrade Winkel sind, und ob diese verändert würden... Aber wahrscheinlich ist, wie Tom ja andeutet, der Zusammenhang nicht direkt.

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tomS
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 18. Jan 2018, 00:42

Ich versuche nochmals, diese Spezialfälle zu klären.


U(1)

Wir starten mit der Gruppe U(1), deren Elemente mittels des reellen Parameters θ dargestellt werden als

g(θ) = exp[iθ]

Die Anzahl dieser Parameter entspricht der Dimension der Gruppe; diese entspricht darüberhinaus einer Mannigfaltigkeit.

Speziell bei der U(1) liegt eine 1-dim. Gruppe vor. Die Topologie entspricht der Kreislinie S¹, d.h.

U(1) ~ S¹

Die U(1) rotiert komplexe Zahlen

z = r exp[iφ]

speziell komplexe Zahlen mit Betrag |z| = 1. Deren Topologie entspricht wiederum der Kreislinie S¹.

D.h. die U(1) bildet die Kreislinie auf sich ab:

U(1) : S¹ → S¹
z → g⋅z

Wir haben es also mit zwei Kreislinien zu tun, einmal die Gruppenelemente g, einmal die komplexen Zahlen z mit |z| = 1.


SU(2)

Weiter geht es mit der Gruppe SU(2), deren Elemente mittels drei reeller Parameters (θ¹, θ², θ³)

dargestellt werden.

Die Darstellung der 2*2 Matrix ist etwas kompliziert, kann jedoch mittels der Pauli-Matrizen vereinfacht werden.

Bei der SU(2) liegt eine 3-dim. Gruppe vor. Die Topologie entspricht der 3-Sphäre S³, d.h.

SU(2) ~ S³

Die SU(2) rotiert 2-dim. Vektoren komplexer Zahlen

Z = (z₁, z₂),

speziell 2-dim. komplexe Einheitsvektoren. Deren Topologie entspricht natürlich wiederum der 3-Sphäre S³.

Der Grund für diese Entsprechung ist, dass sowohl aus

det(g) = 1

als auch aus

|Z| = 1

dieselbe Bedingungsgleichung an vier reelle Zahlen abgeleitet werden kann, die einmal die Gruppenelemente g, einmal den Vektor Z parametrieren.

Die SU(2) bildet also die 3-Sphäre auf sich selbst ab:

SU(2) : S³ → S³
Z → g⋅Z

wobei g⋅Z hier für die Multiplikation der 2*2 Matrix g aus der SU(2) mit dem 2-dim. komplexen Einheitsvektor Z steht.

Wir haben es also mit zwei 3-Sphäre zu tun, einmal die Gruppenelemente g mit det(g) = 1, einmal die 2-dim. komplexen Einheitsvektoren mit |Z| = 1.


Für die Betrachtung der Gruppenoperation und der Gruppenmultiplikation ist die Tatsache, dass SU(2) ~ S³ gilt völlig irrelevant. Die Gruppenmultiplikation entspricht einfach dem Matrixprodukt für die SU(2). Übersetzt man das auf die S³, kommt ein recht umständlicher Ausdruck heraus.

Ich hoffe, es ist klargeworden, dass die S³ aus der SU(2) einerseits, und die S³, die von der SU(2) rotiert wird, zwei verschiedene Objekte sind.


SU(n)

Die Gruppenelemente der SU(n) sind n*n Matrizen mit det(g) = 1. Die benötigte Anzahl der Parameter entspricht wieder der Dimension der Gruppe; diese ist

dim SU(n) = n² - 1.

Die SU(n) wirkt auf n-dim. komplexen Vektoren Z = (z₁, z₂, ...); im Falle von n-dim. komplexen Einheitsvektoren resultiert daraus eine Bedingung, die die 2n reellen Zahlen in Z auf 2n-1 reduziert.

Über den reellen Zahlen gilt also

dim SU(n) = n² - 1
dim (komplexe n-Sphäre) = 2n-1.

Nur im Falle von n = 2 sind die Dimensionen identisch. Und nur in diesem Fall funktioniert die von Ralph genannte Abbildung bzw. Entsprechung SU(2) ~ S³. In allen anderen Fällen entspricht die SU(n) keiner Sphäre, wirkt jedoch auf einer Sphäre.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 18. Jan 2018, 11:22

Vielen Dank für die umfangreiche Aufschlüsselung, Tom!
tomS hat geschrieben:
18. Jan 2018, 00:42
Die SU(2) rotiert 2-dim. Vektoren komplexer Zahlen

Z = (z₁, z₂),

speziell 2-dim. komplexe Einheitsvektoren.
Aus mathematischer Sicht, ja. Du siehst es aber auch so, dass im Rahmen der QM tatsächlich ein reeller 3er-Vektor rotiert wird, oder?
tomS hat geschrieben:
18. Jan 2018, 00:42
Für die Betrachtung der Gruppenoperation und der Gruppenmultiplikation ist die Tatsache, dass SU(2) ~ S³ gilt völlig irrelevant. Die Gruppenmultiplikation entspricht einfach dem Matrixprodukt für die SU(2). Übersetzt man das auf die S³, kommt ein recht umständlicher Ausdruck heraus.
Das war der Punkt, der mir nach Lesen des Wikipediaartikels nicht offensichtlich war.
tomS hat geschrieben:
18. Jan 2018, 00:42
Ich hoffe, es ist klargeworden, dass die S³ aus der SU(2) einerseits, und die S³, die von der SU(2) rotiert wird, zwei verschiedene Objekte sind.
Ja.

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