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Quaternionen hier hilfreich?

Mathematische Fragestellungen
positronium
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Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 9. Mai 2017, 23:07

Hallo allerseits,

leider kenne ich mich mit Quaternionen überhaupt nicht aus, habe aber schon mehrfach gelesen, dass diese bei Drehungen im 3D-Raum sehr praktisch sein sollen.
Jetzt habe ich ein derartiges Problem, und mit Matrizen wird das recht kompliziert; ob es aber mit Quaternionen einfacher ist, kann ich angesichts meines Unwissens nicht abschätzen.
Könnte es sinnvoll sein, bei diesem Problem Quaternionen einzusetzen (und deren Anwendung zu erlernen):

Ich habe ein Objekt O, das durch Drehung mit den Euler-Winkeln (die Matrix nenne ich hier E(a,b,c)) in alle Raumrichtungen gedreht wird, und so einen 3D-Raum dieses Objektes bildet.
Hinzu kommt, dass jedes dieser Objekte eine zeitliche Entwicklung erfährt; dabei handelt es sich um bis zu drei Matrizen M1(d), M2(e) und M3(f), welche Drehungen um bestimmte Achsen (nicht die Koordinatenachsen) des Objekts beschreiben. Die Stärke der Drehung wird durch eine Funktion F in Abhängigkeit das gedrehten Objekts O bestimmt - ein richtungsabhängiger Einfluss von aussen.
Die drei Matrizen können als Näherung infinitesimal aufgefasst, und deshalb zusammengefasst werden, weil aber die Drehwinkel d, e und f zeitlich variabel sind, ergibt sich zwar nur eine Winkelfunktion w(t), aber auch eine zeitabhängige Drehachse v(t) (in Abhängigkeit einer Funktion G des gedrehten O). M3.M2.M1 wird also zu M(w(a,b,c,t), v(a,b,c,t)).
Insgesamt ergibt sich E(a,b,c).M(w(a,b,c,t), v(a,b,c,t)).O.
Die Zeitentwicklung ist demnach:



Ich hoffe, das konnte man einigermassen verstehen, und habe Euch nicht damit gequält - ist wieder 'mal länger und komplizierter geworden, als gedacht.
Jedenfalls möchte ich dann die räumliche Ausrichtung aller O als Distribution zeitlich/frequenzmässig betrachten.
Sind dabei Quaternionen möglicherweise hilfreich?

Gruss

positronium

ralfkannenberg
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 10. Mai 2017, 00:10

positronium hat geschrieben:
9. Mai 2017, 23:07
leider kenne ich mich mit Quaternionen überhaupt nicht aus
Hallo positronium,

die Physik und die Anwendung interessieren mich offen gestanden nicht, aber auch die Mathematik dahinter ist durchaus interessant.

Sicherlich kennst Du den Körper der reellen Zahlen. Ein "Körper" in der Algebra ist eine Struktur, in der man "sinnvoll" die 4 Grundrechenarten durchführen kann und wenn eine Körperstruktur zugrundeliegt, so gilt auch der Hauptsatz der Algebra, welcher besagt, dass Polynome n.-ten Grades höchstens n Nullstellen haben können. Man kann diesen "höchstens" übrigens auch genau angeben, d.h. im "Zerfällungskörper" haben Polynome n.ten Grades mit Vielfachheiten gezählt genau n Nullstellen.

Erstaunlicherweise gibt es einen (bis auf Isomorphie) grösst-möglichen Körper, und den erhält man, indem man zum Körper der reellen Zahlen auch noch eine "imaginäre Einheit" dazuadjungiert, also alle Zahlen der Gestalt r + s*i bildet, und festlegt, dass das Quadrat dieser imaginären Einheit = -1 ist. Daher kommt auch die Abkürzung "i" für die Quadratwurzel von -1, das bedeutet "imaginäre Einheit". Der resultierende Körper ist der bekannte Körper der komplexen Zahlen.


Nun kann man eine weitere imaginäre Einheit "j" hinzu adjungieren, die nicht im Körper der komplexen Zahlen liegt. Dann betrachtet man also alle Zahlen der Form r + s*i + t*j, muss nun aber noch festlegen, was i*j, j*i und j*j ergeben soll. Hamilton war es gelungen, eine sinnvolle Multiplikation zu finden, die wie folgt aussieht:

i*j ist eine weitere imaginäre Einheit, man nennt sie üblicherweise "k"
j*i:=-i*j

Man kann sich dann die anderen Produkte der imaginären Einheiten der Quaternionen berechnen und bemerkt, dass beispielsweise gilt:
k*k = (i*j)*(i*j) = (i*j)*[-(j*i)] = -(i*j)*(j*i) = -i*(j*j)*i = -i*(-1)*i = +i*i = -1

Somit ist das Quadrat aller imaginären Einheiten ebenso wie ihrer negativen gleich -1.

Wir haben etwas "hässliches" gesehen: i*j = -j*i, d.h. es gilt nicht das Kommutativgesetz der Multiplikation !

Somit bilden die Quaternionen keinen Körper, sondern nur einen sogenannten "Schiefkörper". Und damit gilt auch der Hauptsatz der Algebra nicht mehr, was man unschwer daran erkennt, dass das quadratische Polynom x² + 1 unter anderem von {i,-i, j, -j, k, -k} gelöst wird, und das sind mehr als 2 Nullstellen.

Man kann übrigens zeigen, dass die Quaternionen den (bis auf Isomorphie) grösst-möglichen Schiefkörper bilden. Zu Ehren Hamiltons werden die Quaternionen übrigens mit IH abgekürzt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 10. Mai 2017, 01:48

Quaternionen werden tatsächlich zur Modellierung von Drehungen benutzt, weil es dadurch möglich ist, die Drehung direkt über einen Einheitsvektor in Richtung der Drehachse sowie einen Drehwinkel um diese Drehachse festzulegen; man benötigt für eine Drehung - anders als bei Eulerwinkeln - nur einen Drehwinkel, d.h. eine Drehung = eine Drehmatrix.

Wenn du also Drehachse und Drehwinkel kennst, ist die Methode mittels Quaternionen das Mittel der Wahl, da man sich die (teils problematische) Ermittlung der Eulerwinkeln sparen kann.

Betrachtung einer zeitabhängigen Drehachse, eines zeitabhängigen Drehwinkels oder infinitesimaler Drehungen ist algebraisch auch einfacher.
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 10. Mai 2017, 13:07

Vielen Dank für Euere Antworten!
Dann versuche ich, das mit Quaternionen zu formulieren.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 14. Mai 2017, 14:54

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die ganze Nützlichkeit der Drehung mit Quaternionen schon verstanden habe.

Jetzt gehe ich so vor, dass ich eine Basis Bx und By in 3D definiere, und in dieser Basis sind die Drehachsen konstant. Dann drehe ich die Basis mittels einer Differentialgleichung um die in der Basis befindlichen Achsen
Der entstehende Audruck ist zwar etwas kompakter als mit Kreuzprodukten, aber auch nur um etwa ein Drittel.

Deshalb stellt sich mir die Frage, ob ich den Umstand mit der Basis weglassen könnte.
Ist es möglich, eine Quaternion als Basis zu verwenden, und diese per Differntialgleichung zeitlich zu verändern? - Immerhin kann ja eine Quaternion sowohl eine infinitesimale Drehung als auch eine um einen/mehrere Winkel vollständig beschreiben.

Ich stelle mir das so vor:
Startparameter: q(0)=QuaternionAusEulerwinkeln
DGL: q'(t)=f(q(t), Drehachsen mit q(t) transformiert, äussereFunktion(Punkte mit q(t) transformiert))

Das Problem, was ich dabei sehe, ist der Erzeuger der Drehung in der DGL; der ist eine Matrix (alle Grössen sind zeitabhängig; v steht hier für einen Basisvektor, alpha für den Drehwinkel, und a für die Drehachse):

Kann man das umformulieren, so dass ich ohne Basisvektoren, dafür mit nur einer Quaternion für die Drehung rechnen kann?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 15. Mai 2017, 01:11

Ich verstehe nicht genau, was du tun möchtest. Kannst du deine Problemstellung schildern? Noch ohne Lösungsansatz?

Als erstes vergiss mal die Eulerwinkel.

Ich bezeichne die Einheitsquaternionen {1, i,j,k} mit {1, uª}, den Einheitsvektor in Richtung der Rotationsachse mit (nª) sowie den Drehwinkel θ.

Daraus konstruiere ich q(θ) = cosθ/2 + sinθ/2 ⋅ nªuª.

Einem Vektor (vª) ordne ich v = vªuª zu.

Die Rotation von v ist durch q-1 v q gegeben.

Die normierte Rotationsachse (nª) sowie der Drehwinkel θ können beliebige Zeitabhängigkeit haben.
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 15. Mai 2017, 12:31

Danke für Deine Antwort!
tomS hat geschrieben:
15. Mai 2017, 01:11
Ich bezeichne die Einheitsquaternionen {1, i,j,k} mit {1, uª}, den Einheitsvektor in Richtung der Rotationsachse mit (nª) sowie den Drehwinkel θ.

Daraus konstruiere ich q(θ) = cosθ/2 + sinθ/2 ⋅ nªuª.

Einem Vektor (vª) ordne ich v = vªuª zu.

Die Rotation von v ist durch q-1 v q gegeben.

Die normierte Rotationsachse (nª) sowie der Drehwinkel θ können beliebige Zeitabhängigkeit haben.
Abgesehen von der Formel für die Rotation, für die ich q v q* habe, entspricht das, soweit ich das verstanden habe, einer Drehung um einen Winkel θ, nicht aber dθ, wofür man eine DGL aufstellen kann. Würde das q-1 v q für dθ funktionieren? - Das kann ich jetzt nicht erkennen.
Meine Recherche zur infinitesimalen Rotation mit Quaternionen ergab vor allem
http://www.ecsutton.ece.ufl.edu/ens/han ... rnions.pdf
in Kapitel "4 Time derivative of a quaternion". Wobei ich inzwischen an dem Faktor 1/2 zweifle, und mir klar geworden ist, dass darin die rechte untere 3x3-Matrix nichts anderes als die Kreuzproduktmatrix ist - damit ist in meiner Rechnung eigentlich gar keine Quaternion mehr enthalten.
tomS hat geschrieben:
15. Mai 2017, 01:11
Ich verstehe nicht genau, was du tun möchtest. Kannst du deine Problemstellung schildern? Noch ohne Lösungsansatz?
Das ist alles sehr spekulativ und experimentell, aber gerne beschreibe ich das:
Ich versuche, eine Bewegungsgleichung zu formulieren, und das Problem hier ist der wesentliche Punkt, der auf einen Wechselwirkungsterm (ohne Gravitation) führen soll. Ausserdem nehme ich nur das als Parameter, was ich mit einem Elektron identifiziere, beschränke mich auf grosse Entfernungen, und ruhende Teilchen. Von daher sollte nur das Coulomb-Potential übrig bleiben. In meiner Rechnung gibt es auch nur jeweils einen "Punkt" in zwei verschiedenen Feldern, und ich betrachte erst einmal nur, was am Punkt der Wirkung W durch den Punkt der Ursache U passiert - nicht umgekehrt bzw. in Wechselwirkung.

In einem euklidischen Raum, ohne Wechselwirkung, und ohne Welleneigenschaften, sehe ich U und W, und deren Dynamik beim Elektron durch diese Animation beschrieben.
Bild
Ein Zyklus ist eine "zeitlose Dynamik", nach dem eine Planck-Zeit vergeht - die Achslängen sind Planck-Längen.

Punkt 4 zeigt also pro Zyklus 3 Drehungen um drei Punkte. Daraus ergeben sich die Parameter der Rechnung: 3 Drehpunkte, 3 Drehachsenvektoren, 3 Startpunkte der Drehungen um 2pi.
Nun hat noch jeder dieser Punkte die Eigenschaft, den Raum zu definieren - dieser breitet sich von jedem Ort, den die Punkte während eines Zykluses erreichen (hier ist nur Punkt 4 relevant) mit linearer "Dichte"abnahme vom Zentrum ausgehend als Vektor der momentanen Bewegungsrichtung aus.
Wenn man diese Bewegungsvektoren des Raums über alle drei Drehungen aufintegriert und aufsummiert, erhält man bei unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit ein Vektorfeld, das eine Raumdynamik beschreibt:

Darin ist DP der Index des Drehpunktes, G die Position von Punkt 4 (in der Animation), DR seine momentane Drehrichtung und X der Feldparameter.
Wenn man grosse Entfernungen in Z-Richtung betrachtet, also den Ort X mit {0,0,r} plus dort lokale Koordinaten {x,y,z} ersetzt, wird die Formel recht einfach:

(Die Planck-Länge als Faktor des Ausdrucks lasse ich hier weg.)

Das Teilchen W, auf welches die Wirkung erfolgt, zeigt natürlich die gleiche Dynamik wie U, allerdings kommt jetzt die Dynamik des Raums durch K zum tragen. D.h. eine Drehung um 2pi ist beim Teilchen/Ort W ein bisschen mehr oder weniger als 2pi im euklidischen Raum! - Je nachdem, wie und in welcher Richtung K bei den Drehungen durchlaufen wird.
Das errechnet sich:

(G enthält lokale Koordinaten am Punkt {0,0,r})

Du siehst sofort an obiger Animation, dass das zu einem Neigen der Ebene führt, in der sich diese Dynamik abspielt. Das beschreibe ich durch o.g. Basis.
Wenn ich die Basen von U und W parallel zu den Koordinatenachsen lege, kommt z.B.

heraus. Also, der erste Wert ist die Drehung um den ersten Drehachsenvektor, der zweite um den zweiten...

Die vollständige Formel kann (und will :wink: ) ich hier im Editor gar nicht einfügen, weil die bei freien Basen für U und W (müssen ja beide Drehen können) mehr als 12 Bildschirmseiten lang ist.
Mein Gedanke ist, die Basisvektoren durch eine Quaternion

für U und eine für W zu ersetzen, und diese infinitesimal anzupassen.
Geht das?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 15. Mai 2017, 16:00

positronium hat geschrieben:
15. Mai 2017, 12:31
Danke für Deine Antwort!
tomS hat geschrieben:
15. Mai 2017, 01:11
Ich bezeichne die Einheitsquaternionen {1, i,j,k} mit {1, uª}, den Einheitsvektor in Richtung der Rotationsachse mit (nª) sowie den Drehwinkel θ.

Daraus konstruiere ich q(θ) = cosθ/2 + sinθ/2 ⋅ nªuª.

Einem Vektor (vª) ordne ich v = vªuª zu.

Die Rotation von v ist durch q-1 v q gegeben.

Die normierte Rotationsachse (nª) sowie der Drehwinkel θ können beliebige Zeitabhängigkeit haben.
Abgesehen von der Formel für die Rotation, für die ich q v q* habe, entspricht das, soweit ich das verstanden habe, einer Drehung um einen Winkel θ, nicht aber dθ, wofür man eine DGL aufstellen kann. Würde das q-1 v q für dθ funktionieren? - Das kann ich jetzt nicht erkennen.
Man kann q sowohl als Quaternion als auch als unitäre Drehmatrix aus der SU(2) betrachten; im letzten Fall sind die i,j,k (bis auf einen Faktor) mit den Paulimatrizen identisch; demnach entsprechen sich q* und q-1; die Darstellung über SU(2) und Paulimatrizen ist sogar noch etwas einfacher zu hantieren.

Ich verstehe nicht, warum du eine infinitesimal Drehung dq für ein dθ betrachten möchtest. Aber natürlich funktioniert das auch; im Falle der Paulimatrizen entspricht dies einfach

Q(θª) = exp(iθªσª) ≈ 1 + iθªσª (für infinitesimale θª)

Du kannst die DGL aber auch direkt für Q(θª) formulieren, ohne über infinitesimale dθ gehen zu müssen.

Ich empfehle dir auf jeden Fall, dich mit der SU(2) zu befassen. Das ist m.E. noch etwas dichter an deinem Problem dran und du findest viel mehr Literatur.

Ich habe mich im Rahmen effektiver Quantenfeldtheorien mit der kollektiven Rotation von Solitonen befasst; das ist genau das o.g. Q(θª) mit zeitabhängigem θª.

Den Rest muss ich mir noch genauer durchlesen ...
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 15. Mai 2017, 18:15

Das sieht auf den ersten Blick recht interessant aus, aber ganz verstanden habe ich das noch nicht.
In wie weit ist folgendes richtig?

Ich habe jetzt für Q

und Vektoren konstruiere ich so

Die Drehung ist dann

Wenn ich das für eine Drehung eines Vektors {0,1,0} um die X-Achse mit dem Winkel pi/3 teste

erhalte ich

Wenn ich das nach obiger Konstruktion von V auflöse, erhalte ich leider die falschen Werte:

Was mache ich falsch?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 15. Mai 2017, 21:24

tomS hat geschrieben:
15. Mai 2017, 16:00
Ich empfehle dir auf jeden Fall, dich mit der SU(2) zu befassen.
Hallo zusammen,

wer sich damit noch nicht so vertraut ist sollte mit der SO(2) anfangen, also der "spezielle orthogonale Gruppe" in der Ebene. Das sind alle Drehungen in der Ebene (um den Nullpunkt), wobei in der Linearen Algebra stets stillschweigend vorausgesetzt wird, dass diese Drehungen um den Nullpunkt erfolgen. Das ist deswegen so, weil diese Matrizen lineare Abbildungen sind und lineare Abbildungen stets den Nullpunkt auf sich selber abbilden.

All diese furchterregenden Begriffe der Wikipedia wie Lie-Gruppen, Skalarprodukt und Endomorphismus kann man an dieser Stelle getrost weglassen, diese sind zunächst auch nicht Thema in der Linearen Algebra, sondern werden erst in der Anwendung von Interesse.


Da Drehungen Längen und Orientierung erhalten haben sie eine Determinante +1.

Wichtig an dieser Stelle sind schon die "anderen": aus geometrischer Sicht gibt es nämlich noch einen anderen Typ linearer Kongruenzabbildungen, und das sind die Spiegelungen. Netterweise kann man jede Kongruenzabbildung als Drehung oder als Drehung mit nachfolgender Spiegelung beschreiben, so dass es zu jeder Drehung auch eine Drehspiegelung gibt. Diese Drehspiegelungen haben die Determinante -1, d.h. sie sind flächenerhaltend, drehen aber die Orientierung um.

Zur Erinnerung: sei S eine beliebige Spiegelung, dann gilt S*S = Id: wenn ich an derselben Spiegelachse noch ein zweites Mal spiegele, so erhalte ich das ursprüngliche Bild wieder.

Und die Menge aller Drehungen und Drehspiegelungen in der Ebene, also die Menge aller linearen Kongruenzabbildungen, also die Menge aller linearen Abbildungen mit Absolutbetrag der Determinante = 1, also Menge aller linearen Abbildungen mit Determinante in {1, -1} heisst O(2).

Ich würde also als erstes einmal nur die SO(2) und dann die O(2) gut studieren, dann hat man schon mehr als die halbe Miete. Und dann als nächstes die SO(3) und die O(3), also die Drehungen und die Drehspiegelungen im dreidimensionalen Raum.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 15. Mai 2017, 22:15

Zu meinem Beitrag, oben:
positronium hat geschrieben:
15. Mai 2017, 18:15
Ich habe jetzt für Q

...
Das wird von Mathematica anders als erwartet ausgewertet. Ich weiss nicht, ob das in dieser Form der Notation bzw. dem ganz kurzen exp(iθªσª) auch gehen sollte, aber der Vektor alpha (Winkel * normierter Vektor der Drehachse) wird in die Winkelfunktionen geschrieben.
Wenn ich dagegen

ansetze, funktioniert die Drehung.

edit: Wie ich soeben heraus gefunden habe, gibt es für die Exponentialfunktion einer Matrix in Mathematica eine eigene Funktion: MatrixExp[]. Das war der Fehler.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 16. Mai 2017, 08:13

Schau mal hier ...

http://www.physics.rutgers.edu/~steves/ ... _SU(2).pdf

Mathematica ist bei der SU(2) eher nicht nützlich
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 16. Mai 2017, 08:14

Ich habe immer noch nicht verstanden, was du tun willst
Gruß
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2017, 08:56

positronium hat geschrieben:
15. Mai 2017, 22:15
Wenn ich dagegen

ansetze, funktioniert die Drehung.
Hallo positronium,

warum gehst Du nach der Methode "Versuch und Irrtum" vor statt einfach aufzuschreiben, was konkret Du willst und es Dir dann mit Hilfe von Tom und meinetwegen noch etwas algebraischem Background von mir selber herzuleiten ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 16. Mai 2017, 11:41

ralfkannenberg hat geschrieben:
15. Mai 2017, 21:24
Ich würde also als erstes einmal nur die SO(2) und dann die O(2) gut studieren, dann hat man schon mehr als die halbe Miete. Und dann als nächstes die SO(3) und die O(3), also die Drehungen und die Drehspiegelungen im dreidimensionalen Raum.
Drehungen, Spiegelungen etc. und deren Anwendung auf Vektoren in 2D und 3D mit Matrizen kenne ich schon. Ob ich "alles" darüber weiss, kann ich aber nicht sagen; wohl eher nicht. Diese Bezeichnungen wie SO(2) sind mir dagegen nicht so geläufig. Soweit ich weiss, steht O für orthogonal, und U für unitär. Ich denke, dass mir U(1), O(2), SO(2), O(3) und SO(3), und auch so Dinge wie Scherungen (und wie auch immer man solche in diesem Schema bezeichnet) klar sind - aber alles, abgesehen von U(1) nur mit Matrizen.
Mit der SU(2) fremdel ich aber zugegebenermassen.
tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 08:13
Schau mal hier ...

http://www.physics.rutgers.edu/~steves/ ... _SU(2).pdf

Mathematica ist bei der SU(2) eher nicht nützlich
Danke für den Link!
Warum sollte Mathematica in dem Bereich nicht nützlich sein?

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 16. Mai 2017, 13:10

tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 08:14
Ich habe immer noch nicht verstanden, was du tun willst
ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2017, 08:56
warum gehst Du nach der Methode "Versuch und Irrtum" vor ...
Das tue ich glaube ich nicht. Ich habe mich auf Tom und verschiedene Quellen verlassen, das nur in Mathematica falsch eingegeben.
ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2017, 08:56
...statt einfach aufzuschreiben, was konkret Du willst und es Dir dann mit Hilfe von Tom und meinetwegen noch etwas algebraischem Background von mir selber herzuleiten ?
Ich versuche, den Kern des Problems besser zu beschreiben, jedoch fällt mir das nicht leicht, weil ich eigentlich noch weiter vorne anfangen müsste, aber ich muss ja Länge und Komplexität so gestalten, dass das für Euch keine Zumutung ist.

Ich habe eine Basis Bn=x,y,z, in der drei Drehachsen, durch die Vektoren DV1..3 dargestellt, liegen.
Zu jeder vollen Planck-Zeit, wird diese Basis um die in ihr liegenden DV gedreht. Es gilt also mit den Winkeln w1..3 (w sind nicht konstant) mit der Drehmatrix M(w, DV): M(w3,DV3)M(w2,DV2)M(w1,DV1)Bn.

Soweit lässt sich das zwar schön hinschreiben, aber kaum oder gar nicht berechnen, weil Drehmatrizen in 3D um beliebige Achsen extrem unschön sind, und ausserdem muss diese Operation zu jeder Planck-Zeit durchgeführt werden, weshalb längere Zeiträume so gar nicht betrachtet werden können.
Deshalb ist mein Gedanke, die Drehungen dahingehend umzuformulieren, dass ich integrieren kann - Drehmatrizen aufintegrieren geht ja nicht, weil die durch Matrizenmultiplikationen verknüpft werden.
Ich habe also die Matrizen M durch die Erzeuger der Drehung (heisst glaube ich so) ersetzt, und eine DGL aufgestellt:

Leider ist die so entstehende Formel noch immer recht kompliziert, weil einerseits DV für die Drehung aus der Basis B in normale Koordinaten umgerechnet werden muss, und andererseits vor allem die Berechnung der Winkel w auch umständlich wird.

Was ich mir wünschen würde, wäre, dass ich nicht eine Basis per DGL transformieren müsste, sondern eine Abbildung von den Koordinatenachsen zur Basis, wobei die Basis selbst dann eigentlich weg fällt. - Bei der Basis muss ich ja, damit es nicht umständlich wird, 6 Koordinaten berechnen.

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 16. Mai 2017, 21:02

Mathematics ist nutzlos, da man in der SU(2) alles analytisch berechnen kann.

Die SO(3) ist salopp gesprochen die Gruppe aller Drehungen reeller 3er-Vektoren im 3-dim. Raum, parametrisiert durch die Eulerwinkel (o.a. Darstellungen). Die SU(2) ist salopp gesprochen die Gruppe aller Drehungen komplexer 2er-Spinoren im 2-dim. Raum, u.a. parametrisiert wie oben.

Interessanterweise sind beide Gruppen eng verwandt; sie sind nämlich lokal isomorph, d.h. - bis auf Vernachlässigung einer Tatsache, die wir jetzt noch nicht betrachten - kann man jeder Drehung aus der SO(3) eine solche aus der SU(2) zuordnen u.u., und man kann den 3er-Vektoren eine su(2)-Matrix (man beachte die Kleinschreibung!) zuordnen, auf die die Drehung wirkt; letzteres führt dann auf eine etwas andere Darstellung der SU(2).

Ohne jetzt in mathematische Feinheiten abzutauchen ist die Darstellung mittels SU(2) einfach wesentlich praktischer.

Es besteht bisher noch keine Notwendigkeit, infinitesimale Drehungen einzuführen. Die SU(2) enthält bereis die "aufintegrierten Drehungen", die man - wenn nötig - nochmals aufintegrieren könnte! Es besteht auch keine Notwendigkeit, eine Basis und drei Drehwinkel einzuführen; man kann mittels der SU(2) zunächst ohne Basis arbeiten; oder man kann mit einer Basis und einem Drehwinkel um eine vorgegebene Achse arbeiten (die man bzgl. der Basis darstellt).

Versuch' doch mal, dein Problem in Worten, ohne Gleichungen und ohne die Verwendung einer Basis zu formulieren. Welches Objekt soll rotieren? Wie schnell? Um welche Achse? Was genau hängt von der Zeit ab, die Frequenz und/oder die Achse?
Gruß
Tom

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 16. Mai 2017, 23:03

tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 21:02
Mathematics ist nutzlos, da man in der SU(2) alles analytisch berechnen kann.
Gut!
tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 21:02
Es besteht bisher noch keine Notwendigkeit, infinitesimale Drehungen einzuführen.
Das kann ich mir zwar bei meinem Problem (noch) nicht vorstellen, weil im mir geläufigen Fall der Drehung mittels Matrizen man auch nicht die Matrizen selbst verwenden kann, sondern man das Kreuzprodukt als Erzeuger der Drehung verwenden muss, aber vielleicht ist das ja in der SU(2) anders.
tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 21:02
Die SU(2) enthält bereis die "aufintegrierten Drehungen", die man - wenn nötig - nochmals aufintegrieren könnte! Es besteht auch keine Notwendigkeit, eine Basis und drei Drehwinkel einzuführen; man kann mittels der SU(2) zunächst ohne Basis arbeiten; oder man kann mit einer Basis und einem Drehwinkel um eine vorgegebene Achse arbeiten (die man bzgl. der Basis darstellt).
Ja, soweit sehe ich das schon genau so.
tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 21:02
Versuch' doch mal, dein Problem in Worten, ohne Gleichungen und ohne die Verwendung einer Basis zu formulieren.
Eine Basis macht die Formulierung einfacher, aber es geht auch ohne.
tomS hat geschrieben:
16. Mai 2017, 21:02
Welches Objekt soll rotieren? Wie schnell? Um welche Achse? Was genau hängt von der Zeit ab, die Frequenz und/oder die Achse?
Rotieren sollen insgesamt 9 Vektoren, also anhand der Graphik
- 3 Ortsvektoren (DP für Drehpunkt),
- an jedem dieser DP setzt ein Drehachsenvektor (DV; roter, grüner und blauer Pfeil) an,
- und ebenfalls an jedem DP setzt ein weiterer Vektor DP->G3 an, der senkrecht auf DV steht.
(Die anderen Elemente in der Graphik kannst Du ignorieren - dafür müsste ich weiter ausholen.)
All das liegt in einer Ebene, für die ich die Basis eingeführt hatte.
graphik.png
graphik.png (15.44 KiB) 17303 mal betrachtet
Nun müssen alle 9 Objekte um die drei DV gedreht werden, also während die DV im Lauf der Zeit selbst gedreht werden - die DV zeigen ja in unterschiedliche Richtungen, und drehen jeweils den/die anderen.
Die Drehwinkel sind mittels der Vektoren nach G3 zu berechnen; diese ergeben sich jeweils aus dem Integral einer anderen Drehung von G3 um DP und einer Funktion am jeweiligen Ort von G3. Dieser Teil ist aber weniger problematisch, weil ich diese Drehung einfach durch zwei Vektoren mit Sin und Cos erzeugen kann.

Ich glaube, das ist noch weniger verständlich als was ich oben mit Formeln geschrieben habe. :roll:

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von tomS » 17. Mai 2017, 06:41

Ich beginne zu verstehen.

Was genau in der o.g. Skizze sind die zu drehenden Vektoren? Die 6 Gn sowie die 3 DPk?

M.E. ist dein Problem zunächst rein geometrischer Natur: in deiner Skizze sind Drehachsen gegeben, die selbst mittels anderer Drehungen gedreht werden, richtig?

Also z.B. wird DP1 und damit die rote Drehachse um die blaue Drehachse gedreht, während die blaue Drehachse selbst gedreht wird, richtig?

Kannst du die Skizze für einen späteren Zeitpunkt andeuten?
Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 17. Mai 2017, 18:12

tomS hat geschrieben:
17. Mai 2017, 06:41
Was genau in der o.g. Skizze sind die zu drehenden Vektoren? Die 6 Gn sowie die 3 DPk?
Es sind nur 3 Gn, aber: Ja. Zu drehen sind drei G (Ortsvektoren), die 3 DP (Ortsvektoren), und auch die drei farbigen Drehachsenvektoren, die in der Zeichnung nicht benannt sind.
In der Zeichnung sind 6 Orte der 3 Gn zu sehen... siehe unten.
tomS hat geschrieben:
17. Mai 2017, 06:41
M.E. ist dein Problem zunächst rein geometrischer Natur: in deiner Skizze sind Drehachsen gegeben, die selbst mittels anderer Drehungen gedreht werden, richtig?
Ja!
tomS hat geschrieben:
17. Mai 2017, 06:41
Also z.B. wird DP1 und damit die rote Drehachse um die blaue Drehachse gedreht, während die blaue Drehachse selbst gedreht wird, richtig?
Vom Grundsatz her richtig.
tomS hat geschrieben:
17. Mai 2017, 06:41
Kannst du die Skizze für einen späteren Zeitpunkt andeuten?
Ja, und ich glaube, dass ich doch ein Stück weiter ausholen sollte.
Ich versuche, alles möglichst kompakt zu beschreiben, und hoffe, dass Dich die Länge nicht erschlägt.


Ich nehme hier einen 3D-Raum als gegeben an. Dieser ist nicht abstrakt, sondern entspricht vom Prinzip her dem unserer Alltagsanschauung, jedoch mit dem Unterschied, dass darin noch keine Orte und Entfernungen definiert sind.

Zeit ist in dem Modell zweidimensional. Die erste Dimension entspricht einem Takt des Universums, ist aber mit der Zeit unserer Alltagsvorstellung vergleichbar. Diese Zeit ist kontinuierlich, hat aber zu jeder Planck-Zeit eine zweite Dimension, die soz. aufgerollt/geschlossen ist.
Es vergeht also eine Planck-Zeit, dann wird eine "Schleife" in der zweiten Zeitdimension durchlaufen, wieder eine Planck-Zeit usw.. In dieser zweiten Dimension werden durch geometrische Vorgänge Teilcheneigenschaften, wie z.B. Ladung "erzeugt" - um Ladung und deren Wirkung geht es bei diesem Problem.

An dieser Stelle ist ein kleiner Einschub mit einer Analogie sinnvoll. Es geht darum, wie dieser leere Raum Eigenschaften bekommt, die zu einer "Kraft"-Wirkung führt:
Stelle Dir ein fliessendes Gewässer vor. Ein Strom fliesst am Rand langsamer als in der Mitte. Nehmen wir an, wir schlagen einen Pfahl in der Nähe des Ufers in das Flussbett, halten uns mit einer Hand an dem Pfahl fest, und laufen dann auf der Wasseroberfläche um den Pfahl. Wenn wir in einem Meter Entfernung herum laufen, ist einmal herum 2pi Meter. Bei einem stehenden Gewässer ist nichts besonderes zu beobachten; bei einem wie gerade beschriebenen fliessenden, bewegt sich aber die Wasseroberfläche, auf der wir laufen, nicht überall gleich schnell. D.h. je nach Laufrichtung (links-/rechts herum) legen wir mehr oder weniger als 2pi Meter zurück.

Vergleichbares passiert in dem Modell. Das um den Pfahl laufen möchte ich gerne von jetzt an Drehung nennen; die Abweichung von 2pi als Rotation bezeichnen.

In oben eingeführter zweiten Zeitdimension findet die Drehung um 2pi+Delta statt. Effektiv ist in der ersten Zeitdimension aber nur das Delta=Rotation (jeweils ein kleines Stückchen pro Planck-Zeit).

Jetzt beschreibe ich kurz den Teilchenaufbau, wovon in der Zeichnung, oben, ein Teil dargestellt ist:
Es gibt Objekte Gn; jedes G ist ein Feld, und erfüllt den ganzen Raum, aber es genügt, hier nur einen Punkt des Feldes zu betrachten. Jede Lageveränderung (Verschiebung, Drehung, Spiegelung) breitet sich von G ausgehend als Vektorfeld mit linearer Stärkeabnahme aus - dieses Feld nenne ich K (das "Gewässer").
Zu jedem G gibt es ein zugehöriges E; die beiden bilden einen Vektor G->E, beim Elektron mit der Länge einer Planck-Länge. Und jedes E muss sich am Ort eines anderen G befinden. D.h. man hat es mit einem Graph zu tun - dessen Struktur bestimmt die Teilchenart.

Bedingung an diese Strukturen/Teilchen ist, dass sie im Verlauf der zweiten Zeitdimension alle ihrer Struktur möglichen Ausrichtungen einnehmen. Jedes G muss also entsprechend derer Reihenfolge gespiegelt und gedreht werden.
Beim Drehen kommt es entsprechend obiger Analogie mit dem fliessenden Gewässer zur Rotation.

Natürlich wäre es für ein exaktes Ergebnis nötig, für die zweite Zeitdimension eine DGL aufzustellen, und die Ergebnisse, die sich zu jeder Planck-Zeit ergeben, aufzusummieren. Wie so etwas gehen sollte, weiss ich nicht. Deshalb ist mein Ansatz, die erste Zeitdimension per DGL zu modellieren, und die Drehungen in der zweiten Zeitdimension gar nicht wirklich durchzuführen, sondern die daraus resultierende Rotation aufzuintegrieren.
Vom Prinzip her funktioniert das, aber meine Formulierung ergibt ein sehr kompliziertes Ergebnis, mit dem ich kaum weiter arbeiten kann.

Besser verständlich wird die Sache bestimmt durch eine Animation:
anim.gif
anim.gif (196.78 KiB) 17285 mal betrachtet
Die angesprochenen Spiegelungen führen nacheinander zum roten, grünen und blauen Dreieck. Jedes dieser Dreiecke wird durch G3 einmal gedreht.
Die Rotation (Drehung über 2pi hinaus) führt dazu, dass die nächste Spiegelung in einer anderen Ebene erfolgt. Somit wird das, was ohne Kraft in der Ebene der in hellgrau dargestellten Dreiecke liegen würde, in eine andere Ebene verlagert - meine Basis...

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 20. Mai 2017, 18:46

Ohje, ich glaube, dass ich das inzwischen verstanden habe.

Ist das richtig:
Sei a der momentane Drehwinkel mal die normierte Drehachse, und der Erzeuger der Drehung

dann kann man mit exp(q) eine Drehung wie mit einer normalen 3x3-Drehmatrix durchführen.
In DGL ist es möglich, q ganz einfach aufzusummieren

exp(q) kann man hingegen nicht integrieren, man kann nur mittels Matrizenmultiplikation mehrere aneinander fügen exp(q1).exp(q2).
Will ich aber die Veränderung von Q in der DGL, also q, in Abhängigkeit von Q (d.h. eine vom aktuellen Drehungszustand abhängige Drehachse und -Drehwinkel) haben

dann wird es kompliziert, denn dann gilt z.B. für die Drehachse a:


Letzteres ist dann der Drehachsenvektor.

Die DGL mit dem Aufsummieren der Drehung ist eigentlich genau das, was ich gesucht habe, aber die Ermittlung der Drehachse und des Drehwinkels mittels Q(t) ist extrem aufwendig. Die Berechnung in Mathematica habe ich nach zu langer Wartezeit abgebrochen.

edit: Nach ca. 1,5 Stunden Rechenzeit musste ich jetzt leider feststellen, dass ich das offenbar doch noch nicht ganz verstanden habe. Es muss wohl an der DGL liegen - vermutlich ist das Aufintegrieren nur bei konstanter Drehachse erlaubt...

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 18. Jul 2017, 12:28

Hallo allerseits,

könntet Ihr mir bitte bei der SU(2) und Spinoren etwas weiter helfen? - Ich finde dazu nichts für mich verständliches.

Eine komplexe 2x2-Matrix hat ja normalerweise 8 reale Parameter. Ich sehe es doch richtig, dass allein durch die Definition der SU(2) die Zahl der realen Parameter auf 3 reduziert wird, korrekt?
Wenn man diese Parameter, d.h. einen realwertigen 3er-Vektor mit den Pauli-Matrizen multipliziert, bleiben die imaginären Teile der Hauptdiagonalen gleich 0. Ist das, und auch die Form der Pauli-Matrizen nur Konvention? Haben die Pauli-Matrizen die Form, die sie haben, nur, damit bei der gerne verwendeten z-Komponente für den Spin, durch sigma3 gleich die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen stehen?
Diese Eigenschaften müssen sich ja auch auf das Verhalten von Spinoren auswirken. Gibt es in diesen irgendwelche Bedingungen für die Pauli-Matrizen?
Und damit bin ich bei meiner wichtigsten Frage: Was ist ein Spinor, oder besser gefragt: was kodiert er wie?
Danke!

Gruss

positronium

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Jul 2017, 15:02

positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 12:28
Eine komplexe 2x2-Matrix hat ja normalerweise 8 reale Parameter.
Hallo positronium,

ich liebe es nicht, Rätsel raten zu müssen. Was ist ein "realer" Parameter ? Meines Erachtens hat eine 2x2-Matrix, egal über welchem Körper der Matrizenring aufgespannt ist, nur 2*2 Parameter, also derer 4.

Ich nehme an, Dir gefällt die Darstellung z = r*1 + s*i mit 1 der reellen Einheit und i der imaginären Einheit nicht, d.h. statt "z" möchtest Du ein 2-Tupel (r,s) zweier reeller Zahlen eingeben und somit kommt man dann auf 8 reelle Parameter. Wie gesagt, ich rate Rätsel.

Vielleicht gefällt Dir auch die Polarkoordinaten-Darstellung besser, dann hast Du eine Zahl aus IR+0, also der reellen Zahlen grösser oder gleich 0, die man in diesem Zusammenhang "Absolutbetrag" nennt, sowie eine zweite Zahl zwischen [0°,360°), wobei eine der beiden Intervallgrenzen wegfällt, im vorliegenden Fall ist das o.E.d.A. die 360°, weil 360° äquivalent zu 0° modulo 360°. Diese zweite Zahl ist eine Art "Drehwinkel".

Bei dieser Darstellung kommen also gar keine negative Zahlen vor, diese werden durch einen Drehwinkel von 180° realisiert, und Drehwinkel >= 360° oder < 0° kommen auch nicht vor, weil Drehwinkel nur modulo 360° eindeutig sind.


Wie gesagt, ich mag es nicht, Rätsel zu raten, auch wenn ich vermute, dass mein erster Rateversuch das ist, was Du meinst, und mein zweiter Rateversuch nicht das ist, was Du meinst.


Freundliche Grüsse, Ralf

positronium
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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von positronium » 18. Jul 2017, 16:48

ralfkannenberg hat geschrieben:
18. Jul 2017, 15:02
positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 12:28
Eine komplexe 2x2-Matrix hat ja normalerweise 8 reale Parameter.
ich liebe es nicht, Rätsel raten zu müssen. Was ist ein "realer" Parameter ? Meines Erachtens hat eine 2x2-Matrix, egal über welchem Körper der Matrizenring aufgespannt ist, nur 2*2 Parameter, also derer 4.

Ich nehme an, Dir gefällt die Darstellung z = r*1 + s*i mit 1 der reellen Einheit und i der imaginären Einheit nicht, d.h. statt "z" möchtest Du ein 2-Tupel (r,s) zweier reeller Zahlen eingeben und somit kommt man dann auf 8 reelle Parameter. Wie gesagt, ich rate Rätsel.
Ich vermute, Du hast schon längst gemerkt, dass ich kein Mathematiker bin. Von daher formuliere ich für Fachleute bestimmt öfter nicht sauber.

Mit "reale Parameter" meinte ich Zahlen aus IR, so wie eben vom Realteil oder real part gesprochen wird. Ob man die vier komplexen Parameter einer komplexwertigen 2x2-Matrix mittels r*1+s*i oder mit Winkeln beschreibt, erscheint mir unwichtig. Wichtig ist mir, dass bei der SU(2) doch eben 3 Zahlen Element IR (gleich welchen Koordinatensystems) zur Konstruktion einer solchen Matrix nötig sind (Von 1 1/2 Zahlen Element C möchte selbst ich als nicht-Mathematiker nicht schreiben. :wink: ).

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Re: Quaternionen hier hilfreich?

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Jul 2017, 21:08

positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 16:48
Ich vermute, Du hast schon längst gemerkt, dass ich kein Mathematiker bin. Von daher formuliere ich für Fachleute bestimmt öfter nicht sauber.
Hallo positronium,

das ist ja voll ok und dafür sind die Fachleute auch da. Ich wollte eigentlich nur noch einmal betonen, wie schwierig es sein kann, wenn man etwas erraten muss.
positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 16:48
Mit "reale Parameter" meinte ich Zahlen aus IR, so wie eben vom Realteil oder real part gesprochen wird.
Ah - jetzt verstehe ich Deine Wortwahl :)

Ja, Du hast natürlich recht: wenn man die Vielfachen der Einheit 1 als Realteil bezeichnet, dann ist es naheliegend, von realen Zahlen zu sprechen. Danke, jetzt habe ich dank Dir etwas gelernt, was ich als "Dolmetscher" brauchen kann.

Tatsächlich ist es aber so, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil aus reellen Zahlen gebildet wird.

Ich persönlich denke nach wie vor, dass man sich auch als Laie durchaus mal mit der Menge aller Zahlen {p+q*sqrt(2), p,q rationale Zahlen und sqrt(2):= Quadratwurzel aus 2} beschäftigen sollte.Ist sehr spannend, alles ist reell, d.h. keine imaginären Zahlen, und trotzdem gelten fast alle Gesetze, wie wir sie auch von den komplexen Zahlen her kennen.


positronium hat geschrieben:
18. Jul 2017, 16:48
Ob man die vier komplexen Parameter einer komplexwertigen 2x2-Matrix mittels r*1+s*i oder mit Winkeln beschreibt, erscheint mir unwichtig. Wichtig ist mir, dass bei der SU(2) doch eben 3 Zahlen Element IR (gleich welchen Koordinatensystems) zur Konstruktion einer solchen Matrix nötig sind (Von 1 1/2 Zahlen Element C möchte selbst ich als nicht-Mathematiker nicht schreiben. :wink: ).
Mir ist irgendwie nicht ganz klar, wieso Du von 3 reellen Zahlen schreibst; könntest Du das etwas näher ausführen ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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