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Coulombeichung

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positronium
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Coulombeichung

Beitrag von positronium » 25. Apr 2017, 21:32

Hallo allerseits,

auf Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Coulomb-Eichung) steht, dass das Skalarpotential

als Lösung

ergibt.
Die Gleichung gibt doch aber nur eine Krümmung am Ort der Ladung(sdichte) an.
So, wie das dasteht, kann ich dem nicht folgen. Von zwei Orten, x und x', ist ja zuvor nicht die Rede. Die Gleichung müsste doch irgendwie nicht-lokal sein.
Muss man das über die Integralform des Gaußschen Gesetzes lösen? Oder was/welche Bedingung fehlt an der Stelle sonst?

Gruss

positronium

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belgariath
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Re: Coulombeichung

Beitrag von belgariath » 26. Apr 2017, 10:47

positronium hat geschrieben:
25. Apr 2017, 21:32
[...] Die Gleichung gibt doch aber nur eine Krümmung am Ort der Ladung(sdichte) an. [...] Die Gleichung müsste doch irgendwie nicht-lokal sein.
Die Ladungsdichte hat ja überall einen definierten Wert. Dort wo Ladung ist, hat die Ladungsdichte halt einen von Null verschiedenen Wert, und dort wo keine Ladung ist hat sie den Wert =0. Aber =0 ist ja trotzdem was anderes als "nicht definiert".
Wenn du zum Beispiel nur ein Elektron im Vakuum betrachtest, dann wird die Ladungsdichte oft durch eine Diracsche Delta-Funktion beschrieben. Die ist aber zunächst über das komplette Volumen definiert, auch wenn sie fast überall einen Wert nahe Null annimmt.
Also ist die Gleichung nicht nur für den Ort gültig, wo Ladung vorhanden ist, sondern für alle Orte für die die Ladungsdichte definiert ist. Deswegen würde ich sagen die Gleichung ist nicht lokal.
positronium hat geschrieben:
25. Apr 2017, 21:32
[...] Von zwei Orten, x und x', ist ja zuvor nicht die Rede. [...]
Aber es wird ja über x' integriert, das heißt, das Potenzial ist nur von x und nicht von x' abhängig.
Der harmonische Oszillator ist die Drosophila der Physiker (Carsten Honerkamp)
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positronium
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Re: Coulombeichung

Beitrag von positronium » 26. Apr 2017, 11:02

Vielen Dank für Deine Antwort, belgariath!
belgariath hat geschrieben:
26. Apr 2017, 10:47
positronium hat geschrieben:
25. Apr 2017, 21:32
[...] Die Gleichung gibt doch aber nur eine Krümmung am Ort der Ladung(sdichte) an. [...] Die Gleichung müsste doch irgendwie nicht-lokal sein.
Die Ladungsdichte hat ja überall einen definierten Wert. Dort wo Ladung ist, hat die Ladungsdichte halt einen von Null verschiedenen Wert, und dort wo keine Ladung ist hat sie den Wert =0. Aber =0 ist ja trotzdem was anderes als "nicht definiert".
Wenn du zum Beispiel nur ein Elektron im Vakuum betrachtest, dann wird die Ladungsdichte oft durch eine Diracsche Delta-Funktion beschrieben. Die ist aber zunächst über das komplette Volumen definiert, auch wenn sie fast überall einen Wert nahe Null annimmt.
Also ist die Gleichung nicht nur für den Ort gültig, wo Ladung vorhanden ist, sondern für alle Orte für die die Ladungsdichte definiert ist.
Bis hierhin sehe ich das alles ganz genau so.
belgariath hat geschrieben:
26. Apr 2017, 10:47
Deswegen würde ich sagen die Gleichung ist nicht lokal.
Ich denke schon, dass die Gleichung lokal ist. Links hat man den Laplace-Operator bzw. in einer Dimension hätte man einfach die zweite Ortsableitung von Phi, also die Krümmung am Punkt x. Das wird mit dem rechten Teil der Gleichung gleich gesetzt, also rho am Punkt x. Das ist, was ich unter lokal verstehe; es steht ja nicht so etwas da, wie: links(x)=rechts(x').
Wenn man eine Punktladung mit Dirac-Delta-Funktion beschreibt, dann erhält man als Lösung (eindimensional) nur eine Funktion mit einem "Knick", aber kein 1/r-Potential, für welches man zwei Koordinaten, x und x', braucht. Daher vermute ich dass man vielleicht noch den elektrischen Fluss braucht.
belgariath hat geschrieben:
26. Apr 2017, 10:47
positronium hat geschrieben:
25. Apr 2017, 21:32
[...] Von zwei Orten, x und x', ist ja zuvor nicht die Rede. [...]
Aber es wird ja über x' integriert, das heißt, das Potenzial ist nur von x und nicht von x' abhängig.
Ich sehe aber leider nicht, wie das 1/r zustande kommt bzw. wo das x' her kommt, und wie/wo definiert wird, wie es in die Rechnung eingehen soll.

positronium
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Re: Coulombeichung

Beitrag von positronium » 27. Apr 2017, 19:19

Ich habe jetzt noch einige Dokumente zu dem Problem durchgesehen, aber überall wird die Gleichung und dann gleich die Lösung angegeben, nirgendwo die Berechnung.

Herausgefunden habe ich, dass man die Gleichung als Poisson-Gleichung bezeichnet. Für eine eindeutige Lösung braucht man natürlich noch Randwerte, wobei sog. Dirichlet-Randbedingungen eine Rolle spielen könnten.

Wenn ich bei numerischer Lösung der Differentialgleichung in Mathematica eine DirichletCondition[] mit Phi[x,y,z]=0 verwende, ergibt sich eine Lösung, die geplottet an ein 1/r-Potential erinnert, wenn ich mir vorstelle, dass der Integrationsbereich gegen unendlich, und bei einer Normalverteilung als Ladungsdichte sigma gegen 0 geht.
Die analytische Lösung durch Mathematica hat aber mit dieser Lösung nichts gemein, aber sinnvoller erscheint mir das Ergebnis der analytischen Lösung.
Auch muss man wohl immer eine kontinuierliche Ladungsverteilung annehmen, weil bei einer Dirac-Delta-Funktion, führen verschiedene Randbedingungen nur zu einer Verschiebung der Höhe des Potentials, und zu einem sowieso sinnlosen Kippen entsprechend einer Geraden.

Ich verstehe das nicht.

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Re: Coulombeichung

Beitrag von deltaxp » 28. Apr 2017, 10:35

vielleicht hilft auch die physikalishce interpretation.

das potential am ort x einer punktladung am Ort ist

jetzt hast de viele punktladungen an verschiednene orten .

dann ist das potenital am ort x



Wenn du jetzt den Grenzübergang machst im sinne, dass die Ladung in einem kleine raumelement die dichte mal dem Volumen des raum elements sind

wobei ist und die summe durch das Integral ersetzt kommst du auf de Gleichung



das potetential an der Stelle x ist nichtsanderes als die aufsummierten infinitesimalen kleinen Potentiale aller infinitesimalen kleinen Ladungseinheiten im raum

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Re: Coulombeichung

Beitrag von positronium » 28. Apr 2017, 10:58

Vielen Dank für die Antwort, deltaxp!
Dieser Weg ist mir schon klar. Dabei nimmt man an, dass das Potential einen 1/r-Verlauf aufweist, also man nimmt das auf Grundlage des Coulombschen Gesetzes, also weil dieses gültig ist, an.
Umgekehrt ist es aber nicht so klar, wenn man von den Maxwellgleichungen bzw. bei diesen vom Gaußschen Gesetz ausgeht. Da hat man erst

und durch Coulomb-Eichung erhält man für das Skalarpotential

Diese Rechnung verstehe ich.
Was ich aber nicht verstehe, ist, wie man allein von dieser Gleichung zu dem Ergebnis

kommt.
Also, vom Coulombschen Gesetz ausgehend, ist mir die Berechnung des Potentials klar, aber nicht von den Maxwell-Gleichungen unter Anwendung der Coulomb-Eichung. Und letzteres ist ja gerade im Rahmen der QFT einer der zu beschreitenden Wege.

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Re: Coulombeichung

Beitrag von belgariath » 28. Apr 2017, 19:07

positronium hat geschrieben:
28. Apr 2017, 10:58
[...]
Was ich aber nicht verstehe, ist, wie man allein von dieser Gleichung zu dem Ergebnis

kommt.
[...]
Also wahrscheinlich ist das so gelaufen: Der Argumentation von deltaxp folgend hat man die Gleichung

"erraten".
Wenn man sie erst mal erraten hat, kann man zeigen dass sie die Poisson-Gleichung erfüllt. Nämlich unter Verwendung von

(fragt sich natürlich wie man das zeigen kann. Nachlesen kann man es z. B. am Anfang des Buchs Elektrodynamik von Wolfgang Nolting.).
Jedenfalls kann man nun den Laplace-Operator auf die erratene Lösung anwenden, dann den Laplace-Operator ins Integral reinziehen (was erlaubt ist, weil das Integral über r' läuft, während der Laplace-Operator auf r wirkt) und dann die gerade von mir angegebene Identität ausnutzen. Dann noch die Eigenschaft einer Delta-Funktion in einem Integral ausnutzen und dann hat man die rechte Seite der Poisson-Gleichung.
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Re: Coulombeichung

Beitrag von positronium » 28. Apr 2017, 21:09

Jetzt ist es mir wie Schuppen von den Augen gefallen. :wink:
Mein Fehler war, dass ich die Dimensionalität des Raumes leichtfertig ignoriert hatte. :oops:
Vielen Dank, belgariath!

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