Abenteuer-Universum

Ich hatte das schonmal gefragt, will's aber nochmal auf den Punkt gebracht haben, weil es der elementare Einstieg in die Maßtheorie ist: Wir haben eine Strecke, die aus Punkten besteht, die wiederum jeweils keine Ausdehnung haben. Dann kann aber auch die Strecke keine Ausdehnung haben. Doch wir sehen ja, dass die Strecke eine Ausdehnung (Länge) hat. Was tun? Wir entscheiden uns, unserer Wahrnehmung mehr zu trauen als unserer Vernunft und bezeichnen daraufhin den Anfang und das Ende der Strecke mit irgendwelchen willkürlichen Zahlenwerten und die Länge mit der Differenz der beiden und dann sorgen wir dafür, dass bei dieser ganzen Rechnerei keine Widersprüche herauskommen und schon haben wir ein Maß für Streckenlängen. Das Punkteproblem wird schlicht ignoriert.

Ist das die Idee? Wie würdet ihr das ganz laienverständlich erklären, wie man von einer Ansammlung von ausdehnslosen Punkten (also quasi Nullen) zu "etwas" kommt.

Man definiert nicht das Maß der Strecke ausgehend von Punkten, sondern das Maß eines Punktes als Grenzfall des Maßes einer Strecke.

Definitionen sind in der Mathematik so gewählt, dass die resultierenden mathematischen Strukturen vernünftig und sinnvoll sind; "vernünftig und sinnvoll" liegt dabei im Auge des Betrachters. Wenn du dich für die Länge von Strecken interessierst, dann solltest du eine Maßdefinition verwenden, dir du weiterhilft.

Ja, aber mich interessiert die Grundinuition, wie man zum Maß kommt. Wie kommt man von ausdehnungslosen Punkten (Nullen) zu Längen? Wie wird aus 0cm+0cm+0cm+0cm+... = 13cm einer Strecke S? Da muss offenbar was ganz anders laufen. Wenn ich die Maßtheorie richtig verstehe, dann sagt sie einfach: alle Punkte zwischen dem Anfangs- und Endpunkt von S bekommt die Zahl 13 zugewiesen, basta. Und dann baut sie ein System, wo das so funktioniert, dass "mehr Punkte" auch "mehr Länge" bedeutet. Man ignoriert also das Ausdehnungsproblem schlicht so ähnlich wie wenn man ein Zahlensystem erschafft, in dem x+y = x+y+1 sei, also 2+2 = 5, 2+3 = 6 usw., contraintuitiv, aber konsistent.

Man geht einfach nicht von Punkten sondern von Strecken aus. D.h. man baut das Maß m(X) einer Menge X mit m(X) > 0 nicht aus dem Maß m(P) = 0 von Punkten auf, weil das nicht funktioniert.

Es ist so wie wenn du die reellen Zahlen durch rationale Zshlen "aufbauen" willst; das geht nicht.