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Counting

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 19. Mär 2018, 23:26

Deine Vorgehensweise ist nicht konsistent. Es bleibt bei 1/7. Die Wahrscheinlichkeit die Paarung am Anfang zu ziehen ist 1/28. Die Wahrscheinlichkeit sie bei der zweiten Paarung zu ziehen ist ebenfalls 1/28, ebenso bei der dritten und und vierten und 4*(1/28) ergeben 1/7. Für die zweite Paarung löse ich das auf: (6/8)*(5/7)*(2/6)*(1/5)=1/28.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 20. Mär 2018, 00:03

Aber wo mache ich da einen Fehler?

Ich sehe die Auslosung als Baumdiagramm. Jeder Auslosungsast, zB Barca-Madrid-Bayern-Sevilla-Juve-ManC-Liverpool-Rom, hat die Wahrscheinlichkeit 0,0000248 (1/8 * 1/7 * ... *1). Es gibt 1440 Äste, in denen "Liverpool-Rom bzw. Rom-Liverpool" erscheint (k! * (n-k)!). Damit multipliziert man 1440 * 0,0000248 und kommt auf eine Wahrscheinlichkeit von 1/28. Bei deiner Lösung müßte es 5276 solcher Äste geben, was dann zu ca. 1/7 führen würde, aber das scheint mir zuviel.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 20. Mär 2018, 15:29

Dann hast du bei deiner Überlegung mit dem Baumdiagramm falsch gezählt. Jede Mannschaft kann auf 7 potentielle Gegner treffen. Kein Gegner wird bei der Verlosung bevorzugt. Somit kommt man schon rein intuitiv auf 1/7.

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Re: Counting

Beitrag von tomS » 21. Mär 2018, 08:17

Die Abzählung mittels Baumdiagramm ist nicht einfach.

Betrachten wir Mannschaften A, B, ..., H; wir interessieren uns für die Paarung AB.

Wenn wir das Ziehen der einzelnen Mannschaften im Baum darstellen, dann haben wir folgendes Problem: seien bereits einige Mannschaften gezogen und betrachten wir nun die nächsten beiden einzelnen Züge; gezogen werden erst A und dann B. Im Baumdiagramm entsteht damit eine Zweigstruktur *-A-B wobei * für den davort stehen den Auuschnitt des Baumes gilt. Daraus folgt die Paarung AB genau dann, wenn A in einem ungeraden Zug und B im darauffolgenden geraden Zug gezogen wird; andernfalls folgt zunächst die Paarung *A, anschließend B*.

Um vernünftig zählen zu können, darf man nicht einzeln ziehen, sondern paarweise, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Ziehen ohne Berücksichtigung der Reichenfolge ist äquivalent zu Ziehen mit Berücksichtigung der Reihenfolge sowie Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Der Knoten "Paarung AB ohne Berücksichtigung der Reichenfolge" erhält seine Wahrscheinlichkeit durch Addition der Wahrscheinlichkeiten für "Paarung Heim A, Gast B" sowie "Paarung Heim B, Gast A".

Wenn man sich dies überlegt hat, kann man in jedem Schritt direkt Paarungen ziehen, d.h. der Baum der Tiefe 8 für einzelne Ziehungen wird zu einem Baum der Tiefe 4 für Paarungen. Anschließend ermittelt man alle Knoten und ordnet jedem Knoten im Baum die Wahrscheinlichkeit des Vaterknotens mal der Wahrscheinlichkeit der gerade betrachteten Paarung unter Berücksichtigung der noch verbliebenden Mannschaften (im Vaterknoten) zu. Hat man dies erldigt, markiert man alle Knoten (und Blätter) die AB enthalten und addiert ihre Wahrscheinlichkeiten.

Oder man folgt direkt der Logik von Analytiker
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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 21. Mär 2018, 19:18

Vier Paarungen werden gezogen. Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Eine bestimmte Partie, in diesem Fall Rom - Liverpool, kann nur einmal gezogen werden, entweder in der ersten, zweiten, dritten oder vierten Paarungen. Die Einzelwahrscheinlichkeiten können wir addieren.

Wir haben dann



Wie schon aufgeführt kommt man mit dem intuitiven logisch begründetem Vorgehen schneller auf 1/7. Das aufwendig geführte Nachrechnen bestätigt dann das Ergebnis.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 21. Mär 2018, 23:47

Neues Problem: Immer wieder mal ist Sturm und man fährt mit dem Auto durch den Wald die Straße lang. Ich frage mich dann immer: Soll ich jetzt anhalten und abwarten oder weiterfahren, wo ist die Wahrscheinlichkeit niedriger, von einem umfallenden Baum erschlagen zu werden, oder ist es Jacke wie Hose (mein Gefühl).

Mein Modell sähe so aus, ich will's mal nicht zu abstrakt machen: Ich nehme eine Strecke von 100m und teile sie in 100 Abschnitte. Nehmen wir mal an, es stürzen während des 60min. (=1200s) Sturms 2 Bäume auf die Strecke. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit 2/100, dass ein Baum auf mich kracht, wenn ich brav irgendwo auf der Strecke anhalte und 60min. warte. Wenn ich nun in Bewegung bleibe, dann wäre die Chance, dabei von einem Baum getroffen zu werden: 2 * (1/100 * 1/1200) = 1/60.000, also viel viel weniger als beim Abwarten. Da die Zahlen beliebig sind, sollte das zur These führen, dass man bei einem Sturm nicht anhalten sollte (oder bei einem Gewitter zB nicht irgendwo stehen, sondern immer in Bewegung, bleiben sollte...man könnte das sogar abstrahieren und sagen: willst du Unannehmlichkeiten vermeiden, bleibe nicht lange am selben Ort bzw. umgekehrt wenn's um Annehmlichkeiten ginge, zB wenn Lottogewinne auf die Strecke fielen^^).

Wie findet ihr meine Rechnung? Ist das in sich OK oder schon irgendwo falsch gedacht oder gerechnet? Mich würde mal interessieren, wie ihr sowas angehen würdet, welche Überlegungen usw. Ich sehe ja - zuletzt bei dem CL-Bsp. - das mir schon oft die richtige Herangehensweise fehlt; das will ich lernen.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 22. Mär 2018, 18:49

60 Minuten umfassen 3600 Sekunden und nicht 1200 Sekunden. Wenn die Waldstrecke nur 100 m lang ist, dann würde ich sie zu Fuß bei 6 km/h in einer Minute durchqueren und mit 60 km/h in 10 Sekunden. Wenn ich das Waldstück meiden würde, dann würde mich kein Baum dieses Waldstückes erschlagen können. Wenn ich aber die Strecke gezwungen bin zu durchqueren, dann wäre es, wenn man vom statistischen Mittel ausgeht, empfehlenswert sich möglichst schnell von der Gefahrenquelle zu entfernen. Wenn man stehen bleibt und Glück hat, dann kann es im Einzelfall günstiger sein, als sich davon zu begeben und unglücklicherweise von einem Baum getroffen zu werden.

Dem zahlenmäßige Zusammenhang " Wenn ich nun in Bewegung bleibe, dann wäre die Chance, dabei von einem Baum getroffen zu werden: 2 * (1/100 * 1/1200) = 1/60.000" fehlt die logische Grundlage. Man kann nicht irgendwelche Zahlen beliebig operativ verknüpfen und erwarten, dass sich ein gewünschter Zusammenhang einstellt.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 30. Mär 2018, 10:34

Moment! Wenn ich auf einer Strecke von 100m, bei der innerhalb der nächsten 3600s 2 Bäume umfallen, irgendwo auf dieser Strecke 3600s warte und mich nicht bewege, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass mich einer der beiden Bäume trifft: 1/100 + 1/100 = 2/100. Da sind wir und einig, oder?

Wenn ich mich nun bewege, dann kommt ein weiteres unabhängiges Ereignis hinzu: nämlich zu welcher Zeit der Baum fällt. Die Wahrscheinlichkeit, von einem der beiden Bäume getroffen zu werden, wäre dann auf einmal die Wahrscheinlichkeit, am falschen Ort zu sein (2/100) und die Wahrscheinlichkeit, dort zur exakt falschen Zeit zu sein (2/3600). Und das ergibt aufgrund der Unabhängigkeit der Wahrscheinlichkeiten eine extrem kleine Wahrscheinlichkeit. Das wäre schon ein signifikanter Unterschied.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 30. Mär 2018, 11:25

In dem Modell steht nur fest, dass innerhalb einer Stunde zwei Bäume fallen. Man kennt nicht den Ort und nicht den exakten Zeitpunkt. Würde man darüber nähere Informationen haben, dann könnte man sein Verhalten darauf abstellen. Ohne Kenntnis weiterer Informationen ändert es nichts an der Wahrscheinlichkeit erschlagen zu werden, wenn man sich in dem genannten Bereich aufhält, ob still oder in Bewegung.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 30. Mär 2018, 12:32

Analytiker hat geschrieben:
30. Mär 2018, 11:25
In dem Modell steht nur fest, dass innerhalb einer Stunde zwei Bäume fallen. Man kennt nicht den Ort und nicht den exakten Zeitpunkt. Würde man darüber nähere Informationen haben, dann könnte man sein Verhalten darauf abstellen. Ohne Kenntnis weiterer Informationen ändert es nichts an der Wahrscheinlichkeit erschlagen zu werden, wenn man sich in dem genannten Bereich aufhält, ob still oder in Bewegung.
Das verstehe ich nicht. Wenn man auf der 100m-Strecke die ganze Zeit still steht, dann steht man entweder auf den beiden Metern, wo die Bäume runterkommen oder auf den 98 anderen. Bewegt man sich über die Strecke, kommt eine neue Dimension dazu, die auch in die W-Rechnung einfließt, die vorher nicht da war. Es handelt sich doch ganz klar um ein neues unabhängiges Ereignis zum Ereignis "Umfallen des Baumes am Ort x", oder nicht?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 30. Mär 2018, 17:16

Wenn man festlegt, dass man in stationärer Position nur höchstens von einem Baum getroffen werden kann, weil der andere Baum dann woanders nieder geht, so wäre dann die Wahrscheinlichkeit in Bewegung getroffen zu werden höher, weil ein zweiter Baum im Spiel wäre. Diese Einschränkung ist jedoch im Grundmodell nicht getroffen worden. Wenn zwei Bäume an der gleichen Stelle niederkommen können, ändert sich nichts.

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Re: Counting

Beitrag von tomS » 31. Mär 2018, 09:23

Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baum auf einen beliebigen Streckenabschnitt s fällt, mit P(s) = p gegeben ist, und wenn weiter nichts bekannt ist, dann folgt für zwei Bäume auf zwei beliebigen Streckenabschnitten s und s‘

P(s,s‘) = P(s) ⋅ P(s‘) = p²

Damit ist es völlig egal, wann man sich wo in welchem Streckenabschnitt aufhält.
Gruß
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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 9. Apr 2018, 22:06

Kann es sein, wir reden aneinander vorbei? Nochmal zur Klarstellung.

1. Wenn man sich auf einem Streckenabschnitt nicht bewegt, d.h. sich einfach irgendwo hinstellt und den Sturm abwartet, dann ist die Wahrscheinlichkeit von dem betreffenden Baum getroffen zu werden gleich der Wahrscheinlichkeit, am falschen Ort (wo der Baum hinfällt) zu sein. Auf unser 100m Streckenbeispiel bezogen, auf dem ein Baum während des Sturms umfallen soll, heißt das: p = 1/100, dass ich getroffen werde. Da sind wir uns einig, oder?

2. Jetzt nehme ich das gleiche Beispiel her, doch zusätzlich bewege ich mich unaufhörlich. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich jetzt aus 2 Komponenten: der Wahrscheinlichkeit am falschen Ort zu sein (1/100) und der Wahrscheinlichkeit, am falschen Ort genau zu falschen Zeit zu sein. Weil diese Wahrscheinlichkeit eine Teilmenge der Ausgangswahrscheinlichkeit (1/100) ist, kann sie nie größer als diese sein, also nie größer als 1/100. Schon damit wäre bestätigt, dass ich mich bewegen soll, weil das zumindest nie mehr schaden würde als still zu stehen. Ich würde dann rechnen, mal unter den Annahme man befindet sich 3600s auf der 100m Strecke im Sturm, wo der Baum auf einem bestimmten Meter zu einer bestimmten Sekunde umfällt: 1/100 * 1/3600.

ME beweist sich an diesem einfachen und jederzeit erweiterbaren Beispiel, dass man in Bewegung "ein schlechteres Ziel für das Schicksal" darstellt.

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Re: Counting

Beitrag von tomS » 9. Apr 2018, 22:12

1. ist richtig, 2. ist falsch.
Gruß
Tom

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 11. Apr 2018, 00:59

tomS hat geschrieben:
9. Apr 2018, 22:12
2. ist falsch.
Und warum? Immerhin kommt bei 2. etwas Neues hinzu, nämlich die Bewegung auf der Strecke, was bei 1. fehlt. Schon intuitiv berechnet sich damit doch die Wahrscheinlichkeit eines Baumtreffers nicht mehr nur danach, an welcher Stelle der 100m Strecke man steht, sondern zusätzlich wann man da steht. Warum nicht P (Baumtreffer) = P(Baum fällt auf meinen Standort) * P(Baum fällt auf meinen Standort zur "rechten" Zeit|Baum fällt auf meinen Standort)?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 11. Apr 2018, 11:20

Es muss doch auch über die verschiedenen Zeiten summiert werden und nicht nur eine Zeit herausgepickt werden,

rechnerisch also 3600*(1/100)*(1/3600), was 1/100 ergibt.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 11. Apr 2018, 16:36

Ok, nochmal ein einfacheres Modell, um es festzunageln:
Wir stellen uns ein Papierband vor, dass in 100 gleich große Abschnitte geteilt wird. Ein Spieler wird aufgefordert, einen Stein auf eine Stelle des Bandes zu legen. Dann beginnt eine Wartezeit von einer Stunde (=3600s), innerhalb deren durch Zufall auf irgendeinem der 100 Abschnitte ein roter Punkt markiert wird.

1. Wie hoch ist P(Stein liegt auf rotem Punkt)?
2. Wie hoch ist P(Stein liegt auf rotem Punkt), wenn der Spieler innerhalb der Wartezeit, seinen Stein beliebig umsetzen kann?
Meine Lösung:

1. P(Stein liegt auf rotem Punkt) = 1/100 und zwar schlicht nach Laplace: günstige Ereignisse durch alle möglichen Ereignisse. Die Zeit spielt schlicht keine Rolle, sie kann weggelassen werden oder führt zu Redundanz.
2. P(Stein liegt auf rotem Punkt) = P(Stein liegt auf dem Bandabschnitt, der rot markiert werden wird) * P(Stein liegt auf dem Bandabschnitt, der rot markiert werden wird genau zu der Zeit, wo der rote Punkt erscheint|Stein liegt auf einem Bandabschnitt, der rot markiert werden wird) = 1/100 * 1/3600 = 1/360.000.

Was genau rechnet ihr hier?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 11. Apr 2018, 17:31

Fall 1 und 2 ergeben als Wahrscheinlichkeit jeweils 1/100. Bei Fall 2 muss man aufsummieren: (1/100)*((Anzahl der Sekunden, die man auf Platz 1 verbringt)/3600)+(1/100)*((Anzahl der Sekunden, die man auf Platz 2 verbringt)/3600).

Selbst, wenn man mehrfach innerhalb der Strecke wechselt, kommt immer 1/100 raus.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 21. Apr 2018, 01:40

Eine weitere Verständnisfrage: Jemand hat am 11.4.2018 mit seinem Auto um 11:59 einen Unfall an einer Ampel einer ganz bestimmten Kreuzung, die gerade rot zeigt, und wo 3 Leute A, B und C den Unfall sehen. Die a-priori Wahrscheinlichkeit am 1.4.2018 für dieses konkrete Ereignis wäre extrem minimal. Wie erklärt die Wahrscheinlichkeitstheorie die Diskrepanz zwischen der a-priori extrem niedrigen Wahrscheinlichkeit und der nichtsdestotrotzigen späteren Realisation?

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