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Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Mathematische Fragestellungen
Pippen
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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von Pippen » 17. Jan 2017, 00:31

Ich habe prinzipiell mit folgendem ein Problem:

Sei R eine konvergierende Reihe und G deren Grenzwert. Dann gilt für jedes Folgeglied der Reihe R_n: R_n < G. Wenn jedes Folgeglied der Reihe kleiner als G ist, wie kann dann die Reihe jemals G so erreichen, dass keine Zahl mehr dazwischen passt und R = G ist? Das ist für mich widersprüchlich. Wenn ich jedes Reihenglied lokal betrachte wird G nicht erreicht, betrachte ich alle als unendliche Reihe, dann wird G auf einmal erreicht, aber ich habe doch JEDES R_n gecheckt und es war kleiner als G. Ich habe das Gleiche nur aus unterschiedlichen Perspektiven gemacht: einmal alle R_n einzeln angeschaut und dann alle R_n als unendliche Reihe...da müsste eigentlich das Gleiche rauskommen.

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ralfkannenberg
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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2017, 07:48

Pippen hat geschrieben:Sei R eine konvergierende Reihe und G deren Grenzwert. Dann gilt für jedes Folgeglied der Reihe
Hallo Pippen,

auch wenn es pedantisch erscheinen mag: bitte trenne die Begriffe "Folge" und "Reihe". Bei Konvergenzüberlegungen genügt es, den Folgenbegriff zu untersuchen und den Reihenbegriff als Anwendung zu nutzen.
Pippen hat geschrieben:R_n: R_n < G. Wenn jedes Folgeglied der Reihe kleiner als G ist, wie kann dann die Reihe jemals G so erreichen, dass keine Zahl mehr dazwischen passt und R = G ist?
Deine Frage betrifft schlussendlich eine topologische Fragestellung: man kann eben nicht beweisen, dass beliebige (d.h. auch "unendliche") Vereinigungen offener Mengen wieder eine offene Menge ergeben.


Freundliche Grüsse, Ralf

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tomS
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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2017, 09:33

Hallo Pippen,

Sei (xn) eine konvergierende Folge und x deren Grenzwert. Die Folge konvergiere z.B. von unten gegen x; z.B. konvergiert 1 - xn = 1/n in diesem Sinne gegen Eins. Deine Frage: Wenn jedes Folgenglied xn kleiner ist als x, wie kann dann die Folge jemals x so erreichen, dass keine Zahl mehr dazwischen passt?

Zum Konvergenzbegriff: Sei xn eine Folge reeller Zahlen; Voraussetzung: es gelte, dass für jedes beliebige ε > 0, d.h. insbs. für jedes beliebig kleine ε > 0 alle Folgenglieder ab eine bestimmten Index N(ε) in einerm Intervall [x-ε, x+ε] liegen; d.h. ab einem bestimmten Index N(ε), der von deinem gewählten ε abhängt, gilt |x - xn| < ε für alle Folgenglieder mit n > N(ε).

Definition: Die Zahl x ∈ R heißt Grenzwert der Folge (xn)n ∈ N, wenn zu jedem ε > 0 ein N(ε) existiert, so dass |x - xn| < ε für alle falls n > N(ε).

Man sagt dann, dass die Folge (xn) gegen x konvergiert, d.h. x als Grenzwert hat.


Für das Beispiel (xn) = (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) ist zunächst zeigen, dass diese Folge im o.g. Sinn tatsächlich gegen Eins konvergiert. Das ist einfach; zunächst gilt

xn = 1 - 1/10n

Ich berechnen den Abstand für x = 1 und beliebige n > 0:

|x - xn| = |1 - ( 1 - 1/10n)| = 1/10n

Wenn ich ein ε mit 0 < ε < 1 wähle, dann hat dieses eine Dezimaldarstellung

ε = aK 1/10K + aK+1 1/10K+1 + ...

wobei das K > 0 die erste nicht-verschwindende Dezimalstelle aK > bezeichnet.

Ich wähle nun N(ε) = K, d.h. n = K+1, K+2, ... Damit gilt für alle diese n

|x - xn| = 1/10K+1, 1/10K+2, ... < 1/10K < aK 1/10K + aK+1 1/10K+1 + ... = ε

also

x - xn| < ε


Nun zu deiner Fragestellung; man muss diese m.E. umformulieren: Wenn die Folge (xn) in diesem o.g. Sinne gegen x konvergiert, ist es dann möglich, dass eine Zahl y existiert, die von x verschieden ist und die echt zwischen der Folge (xn) sowie x liegt? Dieses y wäre dann die Zahl, die zwischen die Folge und deren Grenzwert passt. Anstatt also zu fragen, wie es sein kann, dass da keine Zahl dazwischen passt, frage ich explizit nach einer Zahl y, die tatsächlich dazwischen passt. Ich versuche also dieses y zu finden. Wenn ich kein derartiges y finde, dann schlussfolgere ich, dass keines existiert.

y muss folgende Bedingungen erfüllen:
i) es muss echt kleiner sein als x, d.h. y < x.
ii) es muss echt größer sein als alle Folgeglieder, d.h. xn < y

Nehmen wir an, wir hätten für ein festes N ein derartiges y gefunden, d.h. xN < y < x.

Dann kannst du zeigen, dass jedes derartige y immer nur für ein gegebenes N dazwischen passt, dass ich jedoch immer ein größeres N' > N finden kann, für das y nicht mehr dazwischen passt, da xN' > y. D.h. wie auch immer ich y < x wähle, ich finde immer ein geeignetes N', für das die Ungleichung xN' < y < x verletzt ist. Ich kann also kein y finden, das diese Ungleichung für beliebige N erfüllt. Und damit habe ich gezeigt, dass das geforderte y nicht existiert.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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ralfkannenberg
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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2017, 10:34

Hallo zusammen,

mein Eindruck ist der, dass Pippen die Definition und den dann nachfolgenden Beweis zwar versteht, aber der Meinung ist, dass diese Definition nicht "ausreichend" sei, um diese Gleichheit nachzuweisen.

Betrachten wir hierzu beispielhaft folgende 2 Folgen:
Sei r eine beliebige reelle Zahl.
Sei Folge (an){n in IN}: an = (r + 1/n){n in IN}, also (r+1, r+1/2, r+1/3), r+1/4), r+1/5, ...) die "obere Folge"
Sei Folge (bn){n in IN}: bn = (r - 1/n){n in IN}, also (r-1, r-1/2, r-1/3), r-1/4), r-1/5, ...) die "untere Folge"

Wir sehen:
1. jedes Folgenglied von (an) ist echt grösser als r
2. jedes Folgenglied von (bn) ist echt kleiner als r
3. weder (an) noch (bn) enthalten r
4. (an) ist streng monoton fallend und nach unten beschränkt (letzteres folgt aus (1) )
5. (bn) ist streng monoton wachsend und nach oben beschränkt (letzteres folgt aus (2) )
6. der Mittelwert der beiden Folgen ist stets r (genauer: der Mittelwert des n.ten Gliedes beider Folgen ist stets r für alle n in IN)


Sind hierzu Fragen ?


Und noch einmal (3):
weder (an) noch (bn) enthalten r

Anders formuliert: die "Oberfolge" und die "Unterfolge" konvergieren gegen r, aber sie enthalten r nicht.


Gibt es hierzu noch eine Frage ?


Freundliche Grüsse, Ralf

Pippen
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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von Pippen » 17. Jan 2017, 23:11

tomS hat geschrieben:Nun zu deiner Fragestellung; man muss diese m.E. umformulieren: Wenn die Folge (xn) in diesem o.g. Sinne gegen x konvergiert, ist es dann möglich, dass eine Zahl y existiert, die von x verschieden ist und die echt zwischen der Folge (xn) sowie x liegt? Dieses y wäre dann die Zahl, die zwischen die Folge und deren Grenzwert passt. Anstatt also zu fragen, wie es sein kann, dass da keine Zahl dazwischen passt, frage ich explizit nach einer Zahl y, die tatsächlich dazwischen passt. Ich versuche also dieses y zu finden. Wenn ich kein derartiges y finde, dann schlussfolgere ich, dass keines existiert.

y muss folgende Bedingungen erfüllen:
i) es muss echt kleiner sein als x, d.h. y < x.
ii) es muss echt größer sein als alle Folgeglieder, d.h. xn < y

Nehmen wir an, wir hätten für ein festes N ein derartiges y gefunden, d.h. xN < y < x.

Dann kannst du zeigen, dass jedes derartige y immer nur für ein gegebenes N dazwischen passt, dass ich jedoch immer ein größeres N' > N finden kann, für das y nicht mehr dazwischen passt, da xN' > y. D.h. wie auch immer ich y < x wähle, ich finde immer ein geeignetes N', für das die Ungleichung xN' < y < x verletzt ist. Ich kann also kein y finden, das diese Ungleichung für beliebige N erfüllt. Und damit habe ich gezeigt, dass das geforderte y nicht existiert.
:sp: :sup:

Jetzt verstehe ich, wie und warum man mit Grenzwerten zeigen kann, dass zwei Zahlen gleich sind, ja warum man wirklich Folgen und Reihen mit Grenzwerten repräsentieren kann, die nicht nur "gerundet" den Wert der Folge oder Reihe haben. Danke auch dir, ralf, für das didaktische Tieferbohren!

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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von tomS » 17. Jan 2017, 23:17

Super!
Gruß
Tom

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Re: Zahl zwischen zwei reellen Zahlen?

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Jan 2017, 12:25

Hallo zusammen,

ich möchte hier noch etwas ergänzen. Das ist zwar für die technische Anwendung irrelevant, aus mathematischer Sicht indes von äusserster Bedeutung, vor allem, wenn man keine Lust hat, sich mit Dedekind'schen Schnitten herumzuschlagen, trotzdem aber die Menge der reellen zahlen sauber definieren möchte.

Wir konstruieren uns nun also im Folgenden zu einer beliebigen reellen Zahl eine Oberfolge und eine Unterfolge, die aber beide nur aus rationalen Zahlen bestehen.

Anschaulich gesprochen machen wir das so, dass wir die reelle Zahl nach n-Schritten abbbrechen und dies als Folge tun. Die Unterfolge besteht einfach aus den nach n Kommastellen abgebrochenen Zahlen und die Oberfolge aus denen, bei denen dann noch zur letzten nicht-abgebrochenen Kommastelle 1 hinzuaddiert wird; Vorsicht: wenn diese eine 9 ist gibt es dabei einen Übertrag, der zu berücksichtigen ist.


Konkret machen wir das wie folgt:
sei r eine beliebige reelle Zahl
sei K die Anzahl ihrer Vorkommastellen
sei rj ihre j.-te Ziffer

Dann gilt:
r = Summe{j in IN} (rj * 10K+1-j)

Bemerkung:
es ist möglich, dass mir bei irgendeinem Index nun noch ein kleiner Fehler unterlaufen ist, den möge die Leserschaft bitte selber korrigieren.

Die Oberfolge (an) und die Unterfolge (bn) seien nun wie folgt definiert:
an:=Summe{j,n} (rj * 10K+1-j) + 10K+1-n
bn:=Summe{j,n} (rj * 10K+1-j)

Beide Folgen konvergieren trivialerweise gegen r, beide Folgen bestehen nur aus rationalen Zahlen.


Was bedeutet das nun:
Man kann also zur Menge der rationalen Zahlen, einer abzählbar unendlichen Menge, durch "Vervollständigung", d.h. durch das Hinzufügen der konvergenten Grenzwerte, die Menge der reellen Zahlen konstruieren, eine Menge, die eine überabzählbar unendlich gross ist.

Die Konsistenz zu den Grundrechenarten zeigt man mit Hilfe der Dreieckungleichung, bei anderen Überlegungen betreffend der Fortsetzung von IQ auf IR muss man i.A. die Stetigkeit nutzen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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