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Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Mathematische Fragestellungen
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Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 9. Dez 2016, 23:46

Die moderne Mathematik ist zur Wissenschaft exakter Fantasien geworden, ihre Annahmen basieren auf als-ob Szenarien. Eines dieser Szenarien ist, dass wir so tun, als ob es unendliche Mengen wie IN gäbe. Auf den ersten Blick geht man damit kein großes Risiko ein: Wenn jmd. kommt und einwendet, in der realen Welt gäbe es keine Unendlichkeiten, dann weist man ihn darauf hin, dass es auch keine lila Einhörner gäbe und dennoch spricht nichts dagegen so zu tun (zu fantasieren), als gäbe es welche. In dieser Fantasiewelt wären Einhörner wahr. Mit dieser Methode hat es die moderne Mathematik weit gebracht - viel weiter als die althergebrachte.

Leider funktioniert das nicht unbegrenzt. So kann man zB nicht sagen, man stelle sich eine Fantasiewelt mit einem allmächtigen Gott vor, denn unsere Fantasie endet dort, wo Widersprüche entstehen, einfach weil wir dann gar nicht mehr wissen, was wir meinen und weil uns die Logik sagt, dass wir dann alles schließen können, also auch gerade das, was wir eigentlich gar nicht hören wollen. Ein anderer Grund kann sein, wenn uns die Realität auch unsere Fantasiegrenzen zieht. Dazu ein Bild: Eine natürliche Zahl könnte sich auch nicht in ihrer Fantasie eine negative Zahl vorstellen, weil die Peano-Axiome das verbieten; was auch immer sie sich einbildet, es wäre per se nie eine negative Zahl.

Nun schauen wir uns mal eine Menge wie IN an. "IN" ist einfach nur ein Etikett, aber für was? Für eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Doch wir sind vorsichtig, wir wissen, dass man auch leicht ein Etikett "allmächtiges Wesen" erstellen kann, aber bei genauerem Hinschauen gibt's nichts, wo man es drauf machen kann. Was immer wir uns nun unter dieser Menge mit unendlich vielen Elementen drin vorstellen und zusammenfantasieren, der Inhalt der Menge wird nie unendlich sein, das geben wohl auch die Befürworter von IN zu. So sehr wir auch wollen, wir können auch nicht so tun als ob diese Menge (aktual) unendlich viele Elemente hätte, genauso wie wir uns auch nicht ein jenseits der Farbe Schwarz gefärbtes Einhorn vorstellen können, weil bei uns bei Schwarz Schluß ist. Doch ist damit die Annahme unendlicher Mengen (Unendlichkeitsaxiom) nicht in sich widersprüchlich, nämlich weil wir für ein Ding (Menge) etwas postulieren (Unendlichkeit), was wir für das Ding dann gar nicht denken können, womit es sich gerade als falsch erweist? Wenn ich nur das Etikett (Zeichen) "unendlich viele Elemente" denke, nicht aber dessen Bezugsobjekt so denken kann, wie das Etikett, dann ist das Etikett ein Schwindel und es referiert auf nichts, so sehr ich es auch postuliere...und das Etikett ist nun freilich ganz unstreitig keine unendliche Menge.

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 10. Dez 2016, 12:10

Pippen hat geschrieben:Die moderne Mathematik ist zur Wissenschaft exakter Fantasien geworden, ihre Annahmen basieren auf als-ob Szenarien.
Ja, das ist so, und daraus macht die Mathematik auch kein Geheimnis.

David Hilbert die Mathematik sehr fundamental an. Nicht am Rechnen war ihm gelegen, sondern an den dahintersteckenden abstrakten Strukturen: Hilbert hielt die Mathematik für ein formales Spiel, strukturiert durch Regeln. In der Geometrie hatte man jahrtausendelang Euklid nachgebetet: »Eine Strecke ist eine Länge ohne Breite« – Geometrie als Formalisierung unserer intuitiven Vorstellungen von Punkten, Strecken und Dreiecken.
Von dieser konkreten Sicht auf die Dinge löste sich Hilbert. Stattdessen stellte er Regeln auf (»Axiome«), die in jeder Geometrie gelten müssen – zum Beispiel: »Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade.« Die Axiome beschreiben Beziehungen der Objekte untereinander: Struktur statt konkreter Anschauung. Statt »Punkte, Geraden, Ebenen« müsse man jederzeit auch »Liebe, Gesetz, Schornsteinfeger« oder »Tische, Stühle, Bierseidel« sagen können, so sein Credo. Sein radikaler Bruch mit der Anschauung wurde ein Exportschlager. Hilbert machte die Universität Göttingen in dieser Zeit zum Zentrum der mathematischen Welt. Von hier aus trat die abstrakte Algebra im 20. Jahrhundert ihren Siegeszug an.
Pippen hat geschrieben:Leider funktioniert das nicht unbegrenzt. So kann man zB nicht sagen, man stelle sich eine Fantasiewelt mit einem allmächtigen Gott vor, denn unsere Fantasie endet dort, wo Widersprüche entstehen, einfach weil wir dann gar nicht mehr wissen, was wir meinen und weil uns die Logik sagt, dass wir dann alles schließen können.
Ja.

Aber zu dieser Sichtweise gelangt man erst, wenn man den Schritt der Axiomatisierung geht. Diese Probleme liegen auch ohne die Axiomatisierung implizit vor, sie sind jedoch verdeckt.
Pippen hat geschrieben:Ein anderer Grund kann sein, wenn uns die Realität auch unsere Fantasiegrenzen zieht. Dazu ein Bild: Eine natürliche Zahl könnte sich auch nicht in ihrer Fantasie eine negative Zahl vorstellen, weil die Peano-Axiome das verbieten; was auch immer sie sich einbildet, es wäre per se nie eine negative Zahl.
Verstehe ich nicht.

Die Mathematiker sind diesbzgl. in keinster Weise der Realität verhaftet, ihre Phantasie ist absolut frei. Lies' dazu einfach mal wirklich abstrakte Themen; die natürlichen Zahlen und ihre Unendlichkeiten sind vergleichsweise trivial.
Pippen hat geschrieben:Was immer wir uns nun unter dieser Menge mit unendlich vielen Elementen drin vorstellen und zusammenfantasieren, der Inhalt der Menge wird nie unendlich sein, das geben wohl auch die Befürworter von IN zu.
Auch wenn du es 'zig mal abstreitest und das Gegenteil nicht hören willst: die Mathematiker sind durchaus in der Lage, mit aktual Unendlichem zu arbeiten.
Pippen hat geschrieben:... wir können auch nicht so tun als ob diese Menge (aktual) unendlich viele Elemente hätte
Doch.

Du evtl. nicht, aber die Mathematiker schon.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 12:52

Die Sicht der Ingenieurswissenschaften ist folgende: Mathematik ist ein Werkzeug zur Modellbildung. Es gibt jedoch keine wahren Modelle.

Die Vorgehensweise bei uns ist immer

1. Betrachtung der Daten
2. Finden eines mathematischen Modells
3. Schlussfolgern auf Basis des Modells
4. Übersetzung der Schlussfolgerungen in Daten

Mathematik beschäftigt sich nur mit Schritt 3. Dieser ist der einzige, der exakt ist. Mit Mathematik lassen sich natürlich auch Dinge modellieren, die es in der realen Welt nicht gibt.

Aber Mathematik ist eine Sprache. Auch mit einer natürlichen Sprache kann man Dinge formulieren, die es nicht gibt, z.B. "Nachts ist als kälter als draußen." Der Satz ist grammatikalisch korrekt, aber in der Realität sinnlos. Die Mathematik beschäftigt sich aber nicht mit dem Sinn, sondern der Grammatik.

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 10. Dez 2016, 13:45

Eine ähnliche Sichtweise hat die Physik auch. In der Physik werden Modelle jedoch mit universellerem Gültigkeitsanspruch formuliert. Z.B. gilt nach Meinung der Physiker 'die Quantenmechanik', es gilt nicht nur jeweils ein spezifisches Modell für das Wasserstoffatom, eines für den Halbleiterübergang usw.

Aus Sicht der reinen Mathematik reden wir dabei jedoch gerade nicht über Mathematik, sondern lediglich über deren Anwendungen. Das muss man streng auseinanderhalten, da man der Sache der Mathematik sonst nicht gerecht wird.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 12. Dez 2016, 04:01

tomS hat geschrieben:Die Mathematiker sind diesbzgl. in keinster Weise der Realität verhaftet, ihre Phantasie ist absolut frei.
Ich meine das so: Stell dir vor, das Universum hätte eine Struktur, nach der es bestimmte Fantasien nicht geben kann, genauso wie es in den Peano-Axiomen keine "Fantasien" von ganzen Zahlen geben kann. Dann wäre unsere Fantasie nicht absolut frei, das wäre nur ein Schein, manche unserer Fantasien wären nicht das, was wir denken, dass sie sind (und damit widersprüchlich), egal was wir wollen, eben ganz so, wie man iRd Peano-Axiome keine -5 konstruieren kann, egal wie sehr man das glaubt oder will.
Pippen hat geschrieben:Was immer wir uns nun unter dieser Menge mit unendlich vielen Elementen drin vorstellen und zusammenfantasieren, der Inhalt der Menge wird nie unendlich sein, das geben wohl auch die Befürworter von IN zu.
Auch wenn du es 'zig mal abstreitest und das Gegenteil nicht hören willst: die Mathematiker sind durchaus in der Lage, mit aktual Unendlichem zu arbeiten.
Das mag sein, aber die Frage ist, ob aktuale Unendlichkeiten denkunmöglich sind. Du kannst auch einfach den Namen "Pippen-Objekt" erfinden, welches auf Aussagen der Form "p & ~p" referiert. Der Name "Pippen-Objekt" ist nicht widersprüchlich, damit kann man allerlei tun, aber das interessiert ja eigentlich auch nicht, es geht uns ja um den Inhalt und der wäre widersprüchlich. Genauso mag der Name "aktuale Unendlichkeit" möglich sein und man möge damit rechnen, aber das hilft nicht, wenn das damit Gemeinte - also die wirkliche aktuale Unendlichkeit - widersprüchlich wäre. Und wir können uns eben zwar den Namen "aktuale Unendlichkeit" vorstellen, aber dieser Name wird immer auf Mengen referieren, die nie unendlich viele Elemente haben. Da hilft es dann auch nicht, wenn wir so tun, als ob der Name "aktuale Unendlichkeit" auf Mengen referieren soll, die unendlich viele Elemente hätten, weil das so wäre als würden wir sagen: Tun wir mal so, als ob Widersprüche wahr wären und das geht doch nicht, oder?

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 12. Dez 2016, 07:04

Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Die Mathematiker sind diesbzgl. in keinster Weise der Realität verhaftet, ihre Phantasie ist absolut frei.
Ich meine das so: Stell dir vor, das Universum hätte eine Struktur, nach der es bestimmte Fantasien nicht geben kann ...
Da wir noch nicht wirklich verstehen, wie unser Gehirn funktioniert, wenn es Mathematik betreibt, ist das sehr spekulativ.

Letztlich läuft es auf eine Trivialität hinaus: wenn etwas nicht denken können, können wir es nicht denken.

Pippen hat geschrieben:Das mag sein, aber die Frage ist, ob aktuale Unendlichkeiten denkunmöglich sind ... wir können uns eben zwar den Namen "aktuale Unendlichkeit" vorstellen, aber dieser Name wird immer auf Mengen referieren, die nie unendlich viele Elemente haben.
Warum nicht? Die Mathematiker tun das ständig: Zahlensysteme, (große) Kardinalzahlen, Abbildungen und Funktionen, Banach- und Hilberträume, ... Alle diese Objekte haben unendlich viele Elemente.

Du selbst scheinst dir die Beschränkung auferlegt zu haben, derartige Mengen immer nur als Grenzprozess über endliche Mengen vorstellen zu können. Die Mathematik ist da weiter.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 12. Dez 2016, 11:28

Im Grunde geht es darum, über das Undenkbare durch indirekte logische Methoden dennoch (sinnvolle und auf Konsistenz untersuchbare!) Aussagen generieren zu können - und es insofern doch denken zu können, das ist der 'Trick'.

Gruß
seeker
Grüße
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 12. Dez 2016, 11:34

seeker hat geschrieben:Im Grunde geht es darum, über das Undenkbare durch indirekte logische Methoden dennoch (sinnvolle und auf Konsistenz untersuchbare!) Aussagen generieren zu können - und es insofern doch denken zu können, das ist der 'Trick'.
Was soll den dieses Undenkbare sein? Bitte ein Beispiel!
Gruß
Tom

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 12. Dez 2016, 12:46

Undenkbar im Sinne von unvorstellbar...
z.B. Unendlichkeiten, natürlich
Grüße
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 12. Dez 2016, 12:49

seeker hat geschrieben:Undenkbar im Sinne von unvorstellbar...
z.B. Unendlichkeiten, natürlich
Aber Mathematiker können die Unendlichkeit geistig erfassen. Was soll daran nicht vorstellbar sein? (die Unendlichkeit ist allenfalls nicht bildlich vorstellbar, aber das ist eine Limitierung der gegenständlichen Welt, nicht der Vorstellungskraft an sich)
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 12. Dez 2016, 12:56

Es geht über das Bildliche hinaus, "bildlich" halte ich für nicht ganz treffend.
Unendlichkeiten, sind nicht direkt vorstellbar, wohl aber indirekt.
Ist ja auch kein Problem, es muss nicht immer alles direkt vorstellbar sein, ein Problem ergibt sich erst dann, wenn man genau das fordert.

Und nein, Mathematiker können die Unendlichkeit eben auch nicht geistig-direkt erfassen, was sie geistig erfassen können, sind Eigenschaften ihres Konstruktes.
Grüße
seeker


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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 12. Dez 2016, 13:06

seeker hat geschrieben:Und nein, Mathematiker können die Unendlichkeit eben auch nicht geistig-direkt erfassen, was sie geistig erfassen können, sind Eigenschaften ihres Konstruktes.
Woher weißt du das? Und was unterscheidet die Unendlichkait von anderen, endlichen Strukturen?

https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 12. Dez 2016, 13:56

Dass es auch endliche Strukturen gibt, die auch nur indirekt vorstellbar sind, beweist nicht, dass unendliche Strukturen direkt vorstellbar seien.
Prinzipiell (bei beliebig hoher Intelligenz/Vorstellungskraft) können aber immer nur endliche Strukturen direkt vorstellbar sein.
Grüße
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von deltaxp » 12. Dez 2016, 14:30

Alleine die Existenz des Begriffes unendlich zeigt doch, dass viele mit dem Modell umgehen können. Es gibt sogar noch ein anderes Wörtchen des Alltages, was häufig sinngleich eingesetzt wird. IMMER. wie z.b. Das wird IMMER so sein. Ich denke also, daß das geistige Spielchen mit der Unendlichkeit keineswegs auf Mathematiker beschränkt ist. sie erlegen dem nur regeln auf

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von tomS » 12. Dez 2016, 17:02

Es ist doch gerade ein (der) Wesenszug der Mathematik, komplexe Strukturen auf einfache Axiome, Theoreme oder einfachere Strukturen zu reduzieren.

Z.B. kennt man den Begriff der erzeugenden Funktion, die sozusagen unendlich viele Zahlen als Koeffizienten der Taylorentwicklung kodiert bzw. zusammenfasst. Ähnliches funktioniert für sogenannte zeta-Funktionen bzw. L-Reihen; dabei besteht u.a. die Hoffnung, dass eine einzige Funktion die Gesamtheit aller Primzahlen kodiert; alternativ kann man z.B. ein einziges Polynom von endlichem Grad verwenden, um daraus alle (unendlich viele) Primzahlen zu generieren.

Ein unendliches Objekt zu verstehen bedeutet eben gerade nicht, unendlich viele Bestandteile zu kennen, sondern die endlich konstruierten Regeln zu verstehen, die dahinter liegen.
Gruß
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 12. Dez 2016, 17:40

Ja, genau. Und das ist auch alles in Ordnung.
Ich wollte das ja auch gar nicht kritisieren, sondern benennen...
Grüße
seeker


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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 12. Dez 2016, 17:46

@tomS: Wenn aktuale Unendlichkeiten in sich widersprüchlich sind, dann wäre ZFC inkonsistent. Wenn ich es richtig verstehe, dann kann man sogar beweisen, dass ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom konsistent wäre, ja sogar Gödel's Unvollständigkeitssätze wären ohne aktuale Unendlichkeiten undenkbar, weil der Gödelsatz durch Diagonalisierung erschaffen wird und diese Diagonalisierung aktuale Unendlichkeit voraussetzt.

Ich glaube, die moderne Mathematik ist widersprüchlich, weil aktuale Unendlichkeiten in sich widersprüchliche Konzepte sind. Wir tun so als ob es Mengen mit tatsächlich unendlich vielen Elementen gäbe, doch wir können immer nur Mengen mit endlich vielen Elementen denken, d.h. wir belügen uns selbst. Wir können nicht so tun als ob es Unendlichkeiten gäbe, weil wir immer nur Endlichkeiten denken können, genauso wie wir gar nicht so tun können, als ob Widersprüche wahr wären, weil wir immer nur Konsistentes denken können. Die Grenze unseres Denkens markiert auch die Grenze unserer Fantasien.
Ein unendliches Objekt zu verstehen bedeutet eben gerade nicht, unendlich viele Bestandteile zu kennen, sondern die endlich konstruierten Regeln zu verstehen, die dahinter liegen.
Das ist was ganz Anderes - potentielle Unendlichkeit. Um die geht es nicht.

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathemati

Beitrag von tomS » 12. Dez 2016, 22:37

Pippen hat geschrieben:Ich glaube, die moderne Mathematik ist widersprüchlich ...
Aber du kannst es nicht beweisen
Pippen hat geschrieben:... weil aktuale Unendlichkeiten in sich widersprüchliche Konzepte sind.
Warum?
Pippen hat geschrieben:Wir tun so als ob es Mengen mit tatsächlich unendlich vielen Elementen gäbe, doch wir können immer nur Mengen mit endlich vielen Elementen denken, d.h. wir belügen uns selbst.
Geh' doch einfach mal davon aus, dass Mathematiker genau das denken können.

Mozart konnte die Zauberflöte hören, bevor er sie aufgeschrieben hatte. Ich kann das nicht, aber ich bin auch nicht Mozart. Und du bist kein Mathematiker.
Pippen hat geschrieben:Wir können nicht so tun als ob es Unendlichkeiten gäbe, weil wir immer nur Endlichkeiten denken können, ...
Du kannst das nicht, weil du dich weigerst, den notwendigen Schritt zur Abstraktion zu gehen.
Pippen hat geschrieben:
Ein unendliches Objekt zu verstehen bedeutet eben gerade nicht, unendlich viele Bestandteile zu kennen, sondern die endlich konstruierten Regeln zu verstehen, die dahinter liegen.
Das ist was ganz Anderes - potentielle Unendlichkeit. Um die geht es nicht.
Es geht dabei um aktuale Unendlichkeit.
Gruß
Tom

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathemati

Beitrag von Pippen » 13. Dez 2016, 05:43

tomS hat geschrieben:Du kannst das nicht, weil du dich weigerst, den notwendigen Schritt zur Abstraktion zu gehen.
Nein, ich kann es nicht, weil ich es nicht kann. Und du kannst es auch nicht, weigerst dich aber, es zu akzeptieren. Du kannst keine unendliche Menge denken, du kannst nur deren Etikett "unendliche Menge" oder deren Bildungsvorschrift denken, aber das ist Beides nicht die unendliche Menge - und genau und nur um die geht es. Und genau deshalb wäre das Unendlichkeitsaxiom widersprüchlich.

Und wenn Mathematiker dann Anderen vorwerfen, sie könnten nicht oder nicht richtig abstrahieren, dann sind wir in der Religion, wo der Heide eben auch "the spirit of Jesus" nicht hat und ihm Gott daher nicht erscheint. Wie also soll man sich eine unendliche Menge IN vorstellen? Oder ist sie auch nur rein formales Symbol, was sich in den Beziehungen zu anderen Mengen zeigt? Ich denke nicht, denn die unendliche Menge wird axiomatisch als konkretes Objekt angesehen, oder?

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathemati

Beitrag von tomS » 13. Dez 2016, 07:07

Pippen hat geschrieben:Du kannst keine unendliche Menge denken, du kannst nur ... deren Bildungsvorschrift denken, aber das ist Beides nicht die unendliche Menge - und genau und nur um die geht es. Und genau deshalb wäre das Unendlichkeitsaxiom widersprüchlich.
Du begreifst nicht, wie Mathematik funktioniert.

Man kann mit unendlichen Mengen arbeiten, ohne dass eine Bildungsvorschrift für jedes Element gegeben wäre. Genau das ist Mathematik: das Arbeiten mit abstrakten, jedoch wohldefinierten Strukturen (das Arbeiten mit einzelnen Objekten ist nur Rechnen).

Z.B. zeigte Andrew Wiles, dass jede semistabile elliptische Kurve modular ist: "für jede elliptische Kurve E existiert eine Modulform f, so dass die Galoisdarstellungen von E und f äquivalent sind". Dazu war es nicht notwendig, alle (unendlich viele) elliptischen Kurven bzw. Modulformen zu konstruieren.

Und Perelman zeigte, dass die Poincare-Vermutung für 3-Mannigfaltigkeit gültig ist. Mit diesem Ergebnis sowie früheren Beweisen von Freedman und Smale gilt die allgemeine Aussage, dass jede kompakte unberandete n-Mannigfaltigkeit genau dann (n-1)-zusammenhängend ist, wenn sie homöomorph zur n-Sphäre ist. Dazu müssen nicht alle (überabzählbar viele) derartige geometrische Objekte je Dimension n sowie in (potentiell) unendlich vielen Dimensionen n konstruiert werden. Eine erschöpfende Konstruktionsvorschrift für diese topologischen Objekte ist m.W.n. nicht bekannt, eine für die geometrischen Objekte prinzipiell unmöglich.

Zumindest ist es also möglich, die Eigenschaften aller Objekte aus überabzählbar unendlichen Mengen konkret und präzise zu "denken", ohne dass es möglich oder notwendig wäre, alle diese Objekte zu konstruieren (entweder, weil keine erschöpfende Konstrutionsvorschrift bekannt ist, oder weil sie prinzipiell nicht existieren kann, z.B. weil überabzählbar unendlich viele Objekte vorliegen).

Der Mathematiker denkt also nicht diese unendliche Menge im Sinne einer Sammlung aller darin enthaltenen Objekte, sondern er denkt endlich viele Eigenschaften, Strukturen, ggf. Konstruktionsvorschriften, ..., so dass er in der Lage ist, eine Klassifizierung, Beschreibung,... der darin enthaltenen Objekte anhand dieser endlich vielen Eigenschaften o.ä. vorzunehmen. Und er ist in der Lage, Klassifikationen zur Anwendung zu bringen, ohne dass er dazu eine konkrete Konstruktion benötigt.
Gruß
Tom

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathemati

Beitrag von Frank » 13. Dez 2016, 12:00

tomS hat geschrieben: Du begreifst nicht, wie Mathematik funktioniert....
:lolol:

Sorry, ich konnte grad nicht anders.......mea culpa
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von deltaxp » 13. Dez 2016, 15:44

Das wird mir heir entweder zu theoretisch, oder zu philosophisch und von pippens seite vielleicht auch etwas polemisch. so der so, ich bin zu sehr mathematik-Pragmatiker, als dass ich mir darum Gedanken mache. kann ich mir ne Unendlichkeit in der tat direkt vorsteleln, wohl nicht, aber die Mathematik bietet endliche regeln, um mit ihnen umgehen zu können. das reicht mir vollends. lim 1/x, x->unendlich gleich 0 hat bis jetzt in jeder Näherung funktioniert. ich weiss schon, warum ich kein Mathematiker geworden bin, sondern NUR experimentalphysiker :)

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 14. Dez 2016, 13:49

Mathematik ist ein Werkzeug.
Mathematik ist auch ein Spiel, ein Spiel mit Regeln.

Pippen, ich glaube, ein Teil deiner Fragestellung hängt damit zusammen, dass du von (objektiven) Objekten (z.B. |N) in der Mathematik ausgehst.
Und dann denkst du wie in den Naturwissenschaften und fragst, ob und wie man diese Objekte (richtig) beschreiben kann, quasi als Beobachter.
So muss man die Mathematik aber nicht sehen...

Mathematik funktioniert im Grunde genau umgekehrt wie eine Naturwissenschaft: In den NW schließt du von vielen Einzelbeobachtungen auf das Allgemeine (die Regeln), d.h. das Einzelne ist dort dein eigentlicher Ausgangspunkt.
In der Mathematik ist umgekehrt das (von uns generierte) Allgemeine (die Regeln) der eigentliche Ausgangspunkt, mit dem du dann auf das Spezielle/Einzelne schließt.

Wenn ich dich z.B. frage: "Was ist denn eine aktuale Unendlichkeit in der Mathematik?
Antwort: "Eine aktuale Unendlichkeit, ist das, was sich ergibt, wenn man bestimmte Regeln festlegt und diese anwendet! Nicht mehr, nicht weniger!"

Das ist das, was du nun aber als "existierendes Objekt" siehst und wo du nun bemägelst, dass man sich das eventuell gar nicht vorstellen bzw. nicht denken könne.
In Wirklichkeit muss man sich aber gar nicht darum kümmern, ob da wirklich ein existierendes Objekt ist oder nicht, es reicht wenn man sich allein auf die Regeln konzentriert. Wenn der Regelsatz existent, denkbar und konsistent ist und nur eine endliche Menge an Regeln vorliegt, ergibt sich so gesehen kein Problem. Man muss Objekten wie N gar keine Existenz zugestehen, die über den Regelsatz hinausgeht.
(Was hier m. E. vielleicht für Verwirrung sorgt, ist die Tatsache, dass der Mensch öfters schon beim Regel-erstellen das Objekt im Auge hat, das er erhalten möchte, dass also Regeln gerne zielgerichtet generiert werden. Das spielt aber keine Rolle, das ist nur eine Wahrnehmungsgeschichte, am Ende sind dann doch nur Regeln generiert, nichts weiter.)

Weiterhin möchte ich festhalten, dass deine Fragen zutiefst philosophischer (und nicht etwa mathematischer) Natur sind, das sollte dir klar sein.
Hinter deinen Fragen steht auch eine philosophische Grundhaltung, über diese solltest du dir vielleicht mehr Klarheit verschaffen.

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

Pippen
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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von Pippen » 14. Dez 2016, 20:45

seeker hat geschrieben:Das ist das, was du nun aber als "existierendes Objekt" siehst und wo du nun bemägelst, dass man sich das eventuell gar nicht vorstellen bzw. nicht denken könne.
In Wirklichkeit muss man sich aber gar nicht darum kümmern, ob da wirklich ein existierendes Objekt ist oder nicht, es reicht wenn man sich allein auf die Regeln konzentriert.
Im Unendlichkeitsaxiom der ZFC wird einer aktual unendlichen Menge Existenz zugeschrieben. Wir können aber - darüber sind wir uns wohl einig - so eine Menge nicht denken, auch nicht als ob sie existierte, wir können immer nur endlich oder potentiell unendliche Teile davon denken bzw. denken als ob sie existierten. MaW: Wir führen die Existenz eines Dings ein, was wir nicht denken können und jeder weiß es?!? Das kann nicht sein, denn dann könnten wir auch die Existenz von Widersprüchen einführen und dann Regeln zum Rechnen. Das macht aber niemand, weil diese Regeln nichts nutzen würden (EFQ). Die aktual unendliche Menge ist mE eine contradictio in adjecto, sowas wie ein schwarzer Schimmel oder eckiger Kreis. Und das läßt sich recht gut beweisen (s.o.). Dadurch ist ZFC widersprüchlich...und logisch, wenn ich in meinem Axiomensystem irgendwo die Formel "p & ~p" verstecke, dann ist das System inkonsistent und dieser Widerspruch versteckt sich darin, dass eine Menge angenommen wird, die nicht konsistent angenommen werden kann: die aktual unendliche Menge. Die Mathematiker sehen das nicht, weil sie es nicht sehen wollen. Metamathematisch läßt sich der Beweis leicht führen, so denke ich.

Daher die Frage an alle: Erkennt ihr für euch an, dass ihr das Objekt IN nicht als aktual unendliches Objekt denken könnt, sondern immer nur Teile davon? Wenn man IMMER nur einen Teil von etwas denken kann, dann liegt es nahe, dass dieses Etwas schlicht gleich dem Teil ist und der Rest ein - neudeutsch - Hirnfick.

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Re: Zur Fragwürdigkeit moderner Mathematik

Beitrag von seeker » 15. Dez 2016, 08:03

Pippen, du gehst aus meiner Sicht nicht wirklich auf Argumente ein, stattdessen wiederholst du dich immer wieder,
z.B. hierzu sagst du nichts, nicht wirklich:
seeker hat geschrieben:In Wirklichkeit muss man sich aber gar nicht darum kümmern, ob da wirklich ein existierendes Objekt ist oder nicht, es reicht wenn man sich allein auf die Regeln konzentriert. Wenn der Regelsatz existent, denkbar und konsistent ist und nur eine endliche Menge an Regeln vorliegt, ergibt sich so gesehen kein Problem. Man muss Objekten wie N gar keine Existenz zugestehen, die über den Regelsatz hinausgeht.
D.h.: Ich muss Objekte gar nicht denken können, es reicht wenn ich die verwendeten Regeln denken kann. Das ist das, was ich mit "indirekt" meinte. Wenn man das ablehnt, bleibt von "Mathematik" nicht mehr viel übrig, auch nicht im Endlichen.


Gruß
seeker

P.S.:
Nicht die induktive Menge existiert, nicht das Unendlichkeitsaxiom existiert, als "Ding", sondern die Definitionen dazu, die Regeln, die etwas bilden, das wir dann so nennen.
Grüße
seeker


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