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Frage in der Topologie

Mathematische Fragestellungen
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Marcel
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Frage in der Topologie

Beitrag von Marcel » 14. Okt 2016, 15:22

Guten Tag,
ich hab da mal ne Frage die sehr mathematischer Natur ist, aber vielleicht einen echten physikalischen Hintergrund haben könnte, der in der Beschreibung von astronomischen Objekten Anwendung finden kann. Aber dazu später.
Zunächst möchte ich wissen, beziehungsweise beweisen (und dafür brauche ich noch ein paar Ideen), ob es einen Raum geben kann der fast überall, also bis auf an endlich vielen Bereichen, normiert ist. Das heißt:
Sei U ein Vektorraum endlicher Dimension über einem Körper. U ist fast überall normiert, genau dann wenn er normiert ist, aber es endlich viele Teilräume gibt für die die Normierung nicht gilt. Des Weiteren sollen diese nicht metrisch dafür aber topologisch sein. Dabei kann die Topologie von i abhängig sein, dies ist aber nicht zwingend erforderlich.
Meine bisherigen Ideen zum Beweis sind folgende:
1. In erster Näherung spricht nichts dagegen aus einem Raum etwas auszuschneiden (Auswahlaxiom), was einer festen Bedingung genügt.
Dass das nicht ganz aussreicht ist offensichtlich.
2. Wir bilden mit einem Raum der normiert ist und einem nicht normierten Raum mithilfe des Ersetzungsschemas einen 3. in dem genau diese Bedingung von oben erfüllt ist, d.h. wir erzwingen zwei Prädikate mit
- allen Elementen, die zu einem normierten Raum gehören
- allen Elementen, die zu einem reintopologischen Raum gehören
und setzen somit unsern neuen Raum U zusammen.

Zur Hintergrundidee komme ich in einem anderen Post, sobald sie etwas ausgereifter ist.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von positronium » 14. Okt 2016, 18:46

Vermutest Du, in Schwarzen Löchern könnten Entfernungen ihre Bedeutung verlieren, in der Form, dass unsere Raumzeit nur eine mit Metrik versehene niederdimensionale Einbettung in einen höherdimensionalen Raum ohne Metrik ist, und z.B. am oder beim Ereignishorizont die "Nahtstelle" liegt?

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von tomS » 14. Okt 2016, 21:56

Der Sprachgebrauch ist unklar.

Du sprichst zunächst von einem Vektorraum über einem Körper. Die Normierung soll überall gelten, außer für endlich viele Teilräume. Das wäre z.B. ein Rn mit einer Norm auf Rn-k, und keiner Norm auf Rk.

Dann sprichst du davon, dass "Bereiche" gibt, in denen keine Norm existiert. Und du sprichst davon, aus dem Raum etwas "herauszuschneiden". Das klingt jetzt eher so, als ob du verschiedene Bereiche einer Mannigfaltigkeit betrachtest, wobei du überabzählbar viele (paarweise isomorphe) normierte Räume über dieser Mannigfaltigkeit konstruierst, außer in gewissen Bereichen. Das wären z.B. die Tangentialräume Tp(M) über einer Mannigfaltigkeit M, mit einer Norm für alle Punkte P aus M \ X, d.h. über dem Bereich X gäbe es keine normierten Tangentialräume.

Welche dieser beiden Ideen trifft zu?

Zu letzterem: nein, das funktioniert nicht, denn eine Mannigfaltigkeit wird üblicherweise gerade so definiert, dass sie lokal isomorph zu einem Rn ist bzw. auf diesen abgebildet werden kann und damit immer dessen Struktur bzw. Norm zulässt.

Aber evtl. hab' ich nur noch nicht genau verstanden, worauf du hinauswillst.
Gruß
Tom

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von Marcel » 15. Okt 2016, 15:18

@positronium, nein die Vermutung ging aber in eine ähnliche Richtung, dies ist aber relativ egal für die Mathematik hier :)
@tomS
Der Teil mit den "Bereichen" sollte für eine "bildliche" beschreibung sein also nicht mathematisch korrekt formuliert.
In der Tat habe ich über komplizierte Mannigfaltigkeiten nachgedacht, doch leider habe ich nur ein sehr waages Verständnis dieser. So nach dem motto das was man in Analysis 2 mal beispielhaft gehöhrt hat.
Aber wie du selber schon sagst, mit Mannigfaltigkeiten kann man hier wohl garnicht arbeiten. Auch ich bin zu diesem Schluss gelangt.
Dein erstes Beispiel trifft es schon ganz gut. Nur dass man auf dem immer eine Norm hat. Das macht diesen Raum ja so schön für Mechanik usw :)
Um die Idee noch einmal an zu gehen: Du hast einen normierten Vektorraum, in dem es Bereiche gibt die nicht normiert sondern lediglich Topologisch sind. Das ist in der Tat etwas, was man nicht trivialer weise hinschreiben kann, dass macht den Beweis der existens, wenn er denn möglich ist, so schwierig.
Die Problematik liegt auch weniger in der konstruktion, als mehr in der Existenz. Siehtst du etwas, wogegen ein solcher Raum widersprechen würde?
Ist es dadurch noch etwas klarer geworden?
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von tomS » 15. Okt 2016, 15:33

Also lass' uns statt von Bereichen besser von Unterräumen sprechen.

Gegeben sei also ein linearer Raum, d.h. man kann Vektoren x,y und reelle Zahlen a,b verknüpfen gem. ax + by = z.

Wenn nun in einem Unterraum eine Norm existiert, dann sicher auf den ganzen Unterraum, denn ||ax|| = |a| * ||x||. Wir müssen also einen vollständigen Unterraum ausschließen.

Der einfachste Fall, wo im strengen Sinn keine Norm existiert, ist der Minkowskiraum, denn dort wie die Norm auf dem 3-dim. Unterraum durch ein Skalarprodukt induziert und man erhält für die Eingeitsvektoren (ei, ei) = ||ei||2 = 1. Der verbleibende 1-dim. Unterraum hat jedoch eine Bilinearform (e0,e0) = -1. Das widerspricht gerade der Eigenschaft einer Norm.

Aber das ist dir wahrscheinlich zu simpel, oder?
Gruß
Tom

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von Marcel » 15. Okt 2016, 16:18

@TomS
Das ist doch schonmal ein guter Ansatz. Es gibt also normierte Räume, die allerdings unterräume haben, welche nicht normiert sind. Die Frage ist nun können wir eine Topologie auf diesem Raum erfassen? - Da es ein Unnterraum eines ist, widerspricht nichts eine Topologie anzugeben, z.B. die diskrete.
Du hast recht es ist in der Tat ein simples Beispiel und trifft auch noch nicht in gänze die Fragestellung. Denn nun muss ich noch allgemein zeigen das es von unterschiedene Räume gibt die ähnliche eigenschaften aufweisen können. Damit könnte dann meine Problematik gelößt werden.
Danke schon mal so weit.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von tomS » 16. Okt 2016, 09:31

Mir ist nicht so ganz klar, worauf du hinauswillst und warum dir Normierbarkeit so wichtig ist. Was ist denn deine Problematik?

Der Minkowsi-Raum mit nicht positiv-definiter Raum ist lokal homöomorph zu einem R4; sie unterscheiden sich lediglich geometrisch.
Gruß
Tom

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von Marcel » 18. Okt 2016, 20:36

Ich möchte letztenendlich drauf hinaus, dass es in einem Raum, in dem es Abstände gibt, auch stellen geben kann, in denen es keine Abstände gibt.
Ob er dann nun normiert oder metrisch ist, ist mir eigentlich egal, ich wollte es nur mit der stärkeren aussage versuchen.
Beispiel: Stell dir eine Fläche vor. Auf der du ein Koordinatensystem hast. Doch dann kommst du auf einmal an eine stelle an der eine art Riss auftritt, welcher räumlich begrenzt ist und in dem du exklusive des Randes keine Abstände sinnvoll definieren kannst. (also sozusagen einen offenen Riss)
Das kann auf der Fläche eine Gerade sein z.B.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von tomS » 18. Okt 2016, 21:37

Marcel hat geschrieben:Ich möchte letztenendlich drauf hinaus, dass es in einem Raum, in dem es Abstände gibt, auch stellen geben kann, in denen es keine Abstände gibt.
Verstanden.

Dann handelt es sich jedoch gerade nicht um einen Raum, sondern um eine Mannigfaltigkeit o.ä., die an jedem Punkt einen Raum o.ä. angeheftet hat.

Wenn du eine flache Ebene mit dem Raum selbst identifizierst, im Sinne von "eine Ebene = ein Raum", dann begehst du einen Denkfehler. Stell' dir stattdessen eine Kugeloberfläche vor, die in jedem Punkt P eine flache Tangentialebene TP hat. Offensichtlich hat jeder Punkt P eine eigene Tangentialebene.

Sollen jetzt Punkte P oder Bereiche B existieren, in denen kein derartiges TP existiert?

Ein Beispiel wäre eine Singularität, z.B. eine Spitze wie bei einem Kegel.
Gruß
Tom

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von Marcel » 25. Okt 2016, 19:47

Ok danke,
ich werde mich mit dem Thema Mannigfaltigkeiten etwas mehr auseinandersetzen und melde mich dann wieder ;)
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage in der Topologie

Beitrag von Marcel » 4. Nov 2016, 08:11

Guten Morgen (oder wann auch immer ihr dies hier lest),
ich habe mal ein bisschen durch das Internet geblättert und einige Informationen zu Mannigfaltigkeiten bekommen.
Jetzt stellt sich mir dir Frage:
Sei M eine n-Mannigfaltigkeit welche lokal homomorph zu einem sein muss. Kann es dann überhaubt untermannigfaltigkeiten geben, für die es keine Metrik gibt? Denn ein Homomorphismus muss ja die Abstände des lokal auf dieser untermannigfaltigkeit erhalten oder?
Ansonsten habe ich auch noch über eine komplexwertige Mannigfaltigkeit nachgedacht, dess (vorerst) relevanter Unterschied ja darin besteht, dass es einen lokalen homomorphismus geben muss, der auf den abbildet. Nun wird bei einer derartigen Mannigfaltigkeit nicht vorrausgesetzt das man überall eine lokale (Riemann) Metrik besitz, wenn ich das richtig verstanden habe.

Habe ich das soweit erstmal richtig verstanden? Oder habe ich etwas essentielles übersehen, sind so viele Informationen auf einmal :D
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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