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Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 19. Jun 2016, 06:55

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Die Zuordnung des Quadrates zu einer Punktmenge ist injektiv, nicht bijektiv.
Doch, man kann diese Abbildung bijektiv vornehmen.

Es ist übrigens ein Kennzeichen überabzählbarer Mengen, dass zu echten Teilmengen eine bijektive Abbildung konstruiert werden kann.
Es ist äußerst schwierig den Zusammenhang den ich meine auf einer so elementaren Ebene völlig richtig auszuformulieren.
Was gemeint war ist:
Die Punktmenge, kann injektiv auf ein Quadrat, einen Kreis, ein Dreieck, eine konvexe Fläche, eine konkave Fläche, das Komplementär dieser Objekte usw abgebildet werden.
Klar -> jede dieser Abbildungen ist bijektiv, jedoch ist die Menge der möglichen Abbildungen mächtiger als die Menge der Punkte der Ursprungsmenge.
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Du kannst nicht sagen:
Ich habe hier eine willkürliche abgeschlossene Menge bzw Fläche und eine Linie unbestimmter Form und behaupte es handelt sich um ein Quadrat.
Doch, denn die geometrische Form ist exakt bekannt, nämlich [0,1] und [0,1] * [0,1]
Hier bringst du einen Übergang weg von der Totalordnung. Bei einer Bijektion von "eindimensional" zu "zweidimensional" gehen die Relationen verloren. Hier wird der wesentiche Unterschied zwischen den beiden im Abbildungsalgorithmus codiert. Die Meßung des "Maßes" ist in der neuen Arithmetik völlig anders; du misst völlig andere Zusammenhänge oder Relationen.
Die Punktmenge an sich interessiert sich nicht dafür, wie sie angeordnet ist: ohne die Translation durch die Bijektion zwischen Quadrat und Linie wäre die Frage nach "Wieviele Linien passen in das Quadrat" gar nicht sinnig.
Fast analog dieselbe Fragestellung:
Zwei Hotels mit jeweils unendlich vielen Zimmern. Im ersten Hotel rücken alle ein Stück weiter sodaß jeder zweite Raum leer ist. Dann rückt jeder soweit weiter, dass zwischen jedem belegten Zimmer abzählbar unendlich viele Zimmer sind.
Danach fragst du, wie oft die Gästeanzahl des zweiten Hotels in die leeren Räume des ersten Hotels hinein passt.
Das ist unsinnig. Beide Hotels haben genau "1 Hotel" an Gästen, egal wie man es schiebt und dreht.
So haben auch Quadrat und Linie exakt denselben Inhalt. Jede andere Interpretation emergiert erst aus der durch den Bijektionsalgorithmus codierten Arithmetik.
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Allein bei der Behauptung, es handele sich um ein Quadrat machst du ja schon eine Maß-technische Festlegung und spannst da eine Arithmetik drüber.
Nein, es handelt sich nicht um eine maßtheoretische sondern einzig um eine geometrische Aussage.

Es ist ganz einfach:
Gegeben sind zwei Mengen [0,1] und [0,1] * [0,1]
Zwischen beiden existiert eine Bijektion [0,1] ↔ [0,1] * [0,1]
Diese ist nicht maßerhaltend, d.h. μ([0,1]) = 0 ≠ 1 = μ([0,1] * [0,1])
[0,1] und [0,1] * [0,1] haben dieselbe Mächtigkeit.
Das Maß wird wie du sagts durch die Bijektion ein völlig anderes und die beidensind nicht vergleichbar.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 19. Jun 2016, 10:58

Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Die Zuordnung des Quadrates zu einer Punktmenge ist injektiv, nicht bijektiv.
Doch, man kann diese Abbildung bijektiv vornehmen.

Es ist übrigens ein Kennzeichen überabzählbarer Mengen, dass zu echten Teilmengen eine bijektive Abbildung konstruiert werden kann.
... jede dieser Abbildungen ist bijektiv, jedoch ist die Menge der möglichen Abbildungen mächtiger als die Menge der Punkte der Ursprungsmenge.
Ja.
Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Du kannst nicht sagen:
Ich habe hier eine willkürliche abgeschlossene Menge bzw Fläche und eine Linie unbestimmter Form und behaupte es handelt sich um ein Quadrat.
Doch, denn die geometrische Form ist exakt bekannt, nämlich [0,1] und [0,1] * [0,1]
Hier bringst du einen Übergang weg von der Totalordnung. Bei einer Bijektion von "eindimensional" zu "zweidimensional" gehen die Relationen verloren ... Du misst völlig andere Zusammenhänge oder Relationen.
Ja.

Ich habe etwas anderes behauptet.
Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Allein bei der Behauptung, es handele sich um ein Quadrat machst du ja schon eine Maß-technische Festlegung und spannst da eine Arithmetik drüber.
Nein, es handelt sich nicht um eine maßtheoretische sondern einzig um eine geometrische Aussage.

Es ist ganz einfach:
Gegeben sind zwei Mengen [0,1] und [0,1] * [0,1]
Zwischen beiden existiert eine Bijektion [0,1] ↔ [0,1] * [0,1]
Diese ist nicht maßerhaltend, d.h. μ([0,1]) = 0 ≠ 1 = μ([0,1] * [0,1])
[0,1] und [0,1] * [0,1] haben dieselbe Mächtigkeit.
Das Maß wird wie du sagts durch die Bijektion ein völlig anderes und die beiden sind nicht vergleichbar.
Ja.

Gleiche Mächtigkeit ist nicht ausreichend für gleiches Maß. Letzteres erfordert die Sigma-Additivität für Mengen und ist daher sehr restriktiv.

Sind wir uns jetzt einig? Ich denke schon.
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 19. Jun 2016, 15:45

Ja, sind wir.
Worauf ich hinaus wollte war, dass die Betrachtung der Strecke als Teilmenge des Quadrates möglicherweise weder Maß- noch Mengen-technisch sinnig sein könnte.
Dann zurück zu Pippens letzten Post?
Pippen hat geschrieben:Hm...aber die Frage war: Kann man einer beliebigen Teilmenge von IR ein Maß zuordnen? (Maßproblem) Und weil IR überabzählbar ist, gilt kein Additionspostulat und damit kannst du nicht dahingehend einwenden, die Maßzahl aller Teilmengen von IR müsse Null sein, weil sich sonst aufgrund irgendwelcher Additionen irgendwas Sinnloses ergibt. Es ergibt sich dann vielmehr, dass die Maßzahl aller Teilmengen von IR unbestimmt sein muss, denn wenn man sie nicht durch (eine bei IR unmögliche) Addition herausfinden will, wie dann? Deshalb wundere ich mich ja auch über den doch recht komplizierten Beweis von Vitali zu diesem Thema.
Die Sache ist denke ich die, dass z.B. ]0,1[ und R gleich mächtig sind(Es existiert eine Bijektion zwischen den beiden).
So gesehen haben sie rein Mengen-technisch betrachtet exakt denselben Inhalt. Die Einführung des Inhaltes 1 für eine bestimmte festgelegte Teilmenge via Axiom ist schlicht die Festlegung einer Meßtechnischen Orientierung.
Durch die Transformation der Strecke in ein Quadrat mit Hilfe einer Abbildungsvorschrift wird auch das "Standardmaß 1"
"mittransformiert" und "verschwindet" in der Null.
Zwar hat nach der Transformation eine Strecke im Quadrat das Maß 0, das ändert aber nichts daran, dass der "Anker" welcher vorher bei 1 festgelegt wurde ursprünglich eine willkürliche Festlegung war.
Pippen hat geschrieben: Allerdings sehe ich für meinen Beweis folgendes Problem: Das o.g. Intervall wird per Axiom mit dem Maß M = 1 postuliert. Nun sind alle (überabzählbaren) Einer-Teilmengen des Intervalls [0,1] gleich diesem Intervall, so dass auch dort die Maßzahl 1 wäre. Dann klappt der Beweis nur noch für R^1...hm.
Nun stellt sich für mich die Frage, ob R eine echte Teilmenge von R² sein kann.
Die Körper R und R² bringen jeweils zwei arithmetische Verknüpfungen mit sich welche den Elementen erst eine kontextuale Bedeutung zuordnen.

Wollt ihr Quadrat und Strecke jetzt rein mengentechnisch betrachten oder innerhalb eines Körper-Kontextes?
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von seeker » 19. Jun 2016, 23:51

Müsste man nicht auch ohne Maß, rein topologisch betrachtet, verschieden-dimensionale Objekte voneinander unterscheiden können?
Wie unterscheidet man dort z.B. eine Strecke von einer Fläche von einem Volumen?

Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 20. Jun 2016, 01:57

seeker hat geschrieben: Müsste man nicht auch ohne Maß, rein topologisch betrachtet, verschieden-dimensionale Objekte voneinander unterscheiden können?
Wie unterscheidet man dort z.B. eine Strecke von einer Fläche von einem Volumen?
Hmm, gute Frage. Denke mal man kann schauen was für eine Ordnungsrelation über der Menge möglich sind.
Totalordnung => linienförmig,
Halbordnung => flächig,
usw
Wobei hier eben nicht hervorgeht, um was für ein z.B. zweidimensionales Objekt es sich handelt(Quadrat, Kreis oder sonstwas).
Das wird erst möglich, nachdem man die bereits vorhandene überabzählbare Menge mit Relationen bespannt. Dann wird z.B. erst festgelegt, ob es sich um eine Kugel oder das an ihrer Oberfläche gebildete Inverse handelt.
Was mich etwas ins Grübeln bringt ist, ob eine Strecke die Einschränkung eines höherdimensionalen Objektes durch Restriktionen ist oder ein höherdimensionales Objekt eher als eine Erweiterung der Strecke durch zusätzliche Regeln ist welche den Raum dann erst aufwerfen.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 20. Jun 2016, 07:27

Skeltek hat geschrieben:Nun stellt sich für mich die Frage, ob R eine echte Teilmenge von R² sein kann.
Ja, natürlich, im Sinne von R = {(x,0)}, R² = {(x,y)}, d.h. R = R²|y = 0.
Skeltek hat geschrieben:Die Körper R und R² bringen jeweils zwei arithmetische Verknüpfungen mit sich welche den Elementen erst eine kontextuale Bedeutung zuordnen.
Wenn du natürlich zusätzliche Strukturen wie Addition und Multiplikation ins Spiel bringst, dann ist nicht ohne weiteres klar, welche Abbildungen welche Strukturen erhalten.
Skeltek hat geschrieben:Wollt ihr Quadrat und Strecke jetzt rein mengentechnisch betrachten oder innerhalb eines Körper-Kontextes?
Im Kontext der Maßtheorie sind Körpereigenschaften irrelevant. Insbs. ist R² kein Körper.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 20. Jun 2016, 07:45

seeker hat geschrieben:Müsste man nicht auch ohne Maß, rein topologisch betrachtet, verschieden-dimensionale Objekte voneinander unterscheiden können?
Natürlich. In der Maßtheorie wird letztlich nicht viel über Dimensionen gesagt. Zwar ist eine n-dim. Menge eine Menge bzgl. des (n+1)-dim. Maßes, aber das ist lediglich ein Spezialfall.

Vorausetzung für die Maßtheorie ist die Definition eines Mengensystems sowie der Additivität oder σ-Additivität. Vorausetzung für die Topologie ist dagegen der Umgebungsbegriff auf einem Mengensystems. Nun gibt es Mengensysteme, die beides zulassen, wie die natürlichen oder reellen Zahlen.

Man kann ein Maß über der Menge der natürlichen Zahlen N definieren, z.B. mittels beliebiger endlicher Teilmengen X ⊂ N und

μ(n) = 1 ∀n ∈ N
μ(X) = |X| ∀X ⊂ N

wobei |X| für die Anzahl der Elemente von X steht.

Allerdings sind alle diese Mengen X 0-dimensional bzgl. der topologischen Definition, der sogenannten Lebesgue’sche Überdeckungsdimension.

Andererseits kann man auf R das übliche Maß einführen, und demzufolge ist μ(n) = 0.

Andere (topologische) Dimensionsbegriffe sind die induktive Dimension]induktive Dimension, sowie fraktale Dimensionsbegriffe wir Hausdorff-Dimension, spektrale Dimension u.a.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 21. Jun 2016, 02:41

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Nun stellt sich für mich die Frage, ob R eine echte Teilmenge von R² sein kann.
Ja, natürlich, im Sinne von R = {(x,0)}, R² = {(x,y)}, d.h. R = R²|y = 0.
Ja, in dem Sinn geht das.
Aber {(x,0)} und {(x)} ist nicht dasselbe, hier überspringst du in deiner Argumentation des wesentlichen Punkt der die beiden Dimensionalitäten unterscheidet und brauchst dich somit mit dem Argument welches dagegenspricht garnicht auseinander setzen?
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 21. Jun 2016, 07:08

Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Nun stellt sich für mich die Frage, ob R eine echte Teilmenge von R² sein kann.
Ja, natürlich, im Sinne von R = {(x,0)}, R² = {(x,y)}, d.h. R = R²|y = 0.
Ja, in dem Sinn geht das.
Aber {(x,0)} und {(x)} ist nicht dasselbe, hier überspringst du in deiner Argumentation des wesentlichen Punkt der die beiden Dimensionalitäten unterscheidet und brauchst dich somit mit dem Argument welches dagegenspricht garnicht auseinander setzen?
Welches Argument spricht dann dagegen?

Ich kann auf der Menge R' = {(x,0)} alle Operationen, Strukturen, Rechenregeln (Körperaxiome, ...) definieren, die von R = {x} bekannt sind. Es gibt nichts, was R' und R diesbzgl. unterscheiden würde. Also setzt der Mathematiker R' = R.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 21. Jun 2016, 16:00

Aber nicht mit denselben Rechenregeln wie bei R²
Bei (x,0) mag das sein, aber nicht bei (x,1).
Bei (x,1) sind in R (x1,0)*(x2,0) und (x1,0)+(x2,0) völlig anders als bei R²
Dabei spielt es keine Rolle ob du R² nimmst, C oder sonst etwas, du wirst grundsätzlich für deine Argumentation andere Operatoren verwenden müssen als in deiner "Obermenge" bzw Oberkörper.

Du kannst so vielleicht bei Untervektorräumen oder Teilkörpern argumentieren, nicht aber bei beliebigen Strecken.
Entweder du nimmst die reine Menge ohne die beiden definierten Verknüpfungen und bildest eine Teilmenge oder
du nimmst den Körper und dröselst das dort korrekt auf mit Körper-invarianten Operatoren * und +.

Die Bedeutung eines Elementes ist immer davonabhängig in welchem Kontext dieses Operator-technisch auswertbar ist.
Du verwendest zweierlei verschiedene Urbildräume und lässt implizieren sie seien gleich, nur weil sie auf denselben Bildraum abbilden.
Das einzige was die Punke (x) und (x,0) verbindet ist, dass sie unäre Operatoren haben und auf dieselbe Bildmenge abbilden.
Wenn du es nicht rein Mengen-technisch betrachtest und sagen willst, dass alle erdenklichen Punktmengen (x,y0) mit y0 element R Teilmengen von R² sind, dürfen deine Eigenschaften nicht nur für das eine Element (x,0) gelten, sondern müssen für alle (x,yi) gelten.

Ich will nicht zu lange auf dem Argument herum reiten und im Grunde können wir gerne in der Diskussion fortfahren. Mein Gedanke war eher, dass man sich möglicherweise ein Luftschloss aufbaut, nachdem man eine trivial nur scheinende Sachlage nicht sorgfältig auf Korrektheit prüft.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 21. Jun 2016, 22:20

Doch, natürlich funktioniert das für R2 mit beliebigen y:

(x1,y) + (x2,y) := (x1 + x2,y)

Alle anderen Operatoren -,*,/,^ analog.
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 29. Jun 2016, 06:54

Hier sollte evtl. auch noch die Cantormenge (Cantorsches Diskontinuum, Cantorstaub) erwähnt werden. Auch sie zeigt, dass die Maßtheorue Überraschungen bereithält. Die Cantormenge hat die selbe Mächtigkeit wie die Strecke ]0,1[, jedoch das Lebesguesche Längenmaß Null.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 2. Jul 2016, 11:36

Irgendwie wurde hier immer noch nicht richtig geklärt, wie aus einer Linien-förmigen Punktmenge eine Fläche oder Volumen wird.
Was passiert bei der Bijektion bzw dem miteinander verknüpfen mehrerer(?) Linien?
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 3. Jul 2016, 14:57

Skeltek hat geschrieben:Irgendwie wurde hier immer noch nicht richtig geklärt, wie aus einer Linien-förmigen Punktmenge eine Fläche oder Volumen wird.
Z.B. indem die Linie eine Fläche überstreicht. Aber das ist m.E. maßtheoretisch irrelevant.
Skeltek hat geschrieben:Was passiert bei der Bijektion bzw dem miteinander verknüpfen mehrerer(?) Linien?
Wie meinst du das? Eine Bijektion kann das Maß erhalten muss aber nicht.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Job » 3. Jul 2016, 17:31

Skeltek hat geschrieben:Irgendwie wurde hier immer noch nicht richtig geklärt, wie aus einer Linien-förmigen Punktmenge eine Fläche oder Volumen wird.
Was passiert bei der Bijektion bzw dem miteinander verknüpfen mehrerer(?) Linien?
Hallo Skeltek,

schau mal hier: http://www.scilogs.de/die-sankore-schri ... athematik/

Vielleicht klärt das bereits Deine Frage. Wenn nicht, dann schau mal bei Wikipedia nach Produktmaß. Das wird dann aber etwas abstrakter.

Viele Grüße
Job
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
J.W. von Goethe

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 4. Jul 2016, 17:37

tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Irgendwie wurde hier immer noch nicht richtig geklärt, wie aus einer Linien-förmigen Punktmenge eine Fläche oder Volumen wird.
Z.B. indem die Linie eine Fläche überstreicht. Aber das ist m.E. maßtheoretisch irrelevant.
Ja, eben leider.
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Was passiert bei der Bijektion bzw dem miteinander verknüpfen mehrerer(?) Linien?
Wie meinst du das? Eine Bijektion kann das Maß erhalten muss aber nicht.
Das tut sie ja in dem Fall nicht; man kriegt ein anderes Maß

@Job:
In so eine ähnliche Richtung versuche ich gerade hinzuführen, ohne die Antworten jedoch bereits selbst vorzugeben.
In der Regel wird das möglicherweise einfach völlig falsch angepackt.
Meiner Meinung nach geht man von einem Maß1 aus und konstruiert dann davon durch Segmentierung, frakturisierung und Clusterbildung die Menge in kleinere Segmente.
Das größere Gebilde besteht so gesehen nicht aus den kleineren, sondern die kleineren entstehen aus der maßtheoretischen Einteilung des überdimensionalen Objektes.
Erst die Vorstellung, man könne z.B. einen m² beliebig oft schneiden führt erst in der Grenzbetrachtung zu vielen Linien. Diese "Grenzbetrachtung" ist jedoch wie wir es aus anderen Diskussionen kennen niemals abgeschlossen, da es überabzählbare Linien gibt die man in die Map des m² hineinkonstruieren kann.
Das wäre als würde man aus dem Unendlichen wieder in endlicher Zeit zur Null zurückkehren wollen.
Man kann analog ja auch nicht von Cantors Diagonalzahl ausgehen und daraus die Menge bzw Liste an unendlichen Zahlen rekonstruieren aus derer die diagonalzahl gebildet wurde.
So gibt es auch von der überabzählbaren Menge Linien keinen Weg zurück zur Fläche; es ist einfach sinnfrei.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von VolkerAvenarius » 6. Jul 2016, 19:30

Pippen hat geschrieben:Ich verstehe mal wieder etwas Grundsätzliches nicht: Eine Linie hat keine Ausdehnung, ein Dreieck besteht aus drei Begrenzungslinien und unendlich vielen Linien im Inneren des Dreiecks, die zwischen den Begrenzungslinien verlaufen. Wie kann ein Dreieck einen Flächeninhalt haben, wenn dessen "Elemente" - die Linien - jeweils keine Ausdehnung haben? Wenn ich 0 noch so oft mit 0 addiere/multipliziere kommt trotzdem 0 raus?!?
Die Ausdehnung einer Linie ist ihre Länge.
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel hat die Fläche (Länge a mal Länge b ) / 2.
Was aber ist eine Länge?
Was aber ist eine Fläche?

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von seeker » 7. Jul 2016, 13:09

Eine Länge oder eine Fläche ist das, was man als "Länge" oder als "Fläche" definiert - und was so auch unsere Anforderungen/Bedürfnisse erfüllt, z.B. Widerspruchsfreiheit, sich also in dem Sinne auch definieren lässt.
Diese Anforderungen können in versch. Fachbereichen bzw. Perspektiven bzw. zu verschiedenen Zwecken durchaus unterschiedlich sein.
Es gibt keine Länge, Fläche, etc. "an sich", über die wir reden bzw. irgendetwas sagen könnten.

Gruß
seeker
Grüße
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 8. Jul 2016, 07:17

Zunächst mal hat seeker Recht; eine Länge bzw. Fläche ist das, was man als Länge oder Fläche definiert.

Dann zur eigtl. Frage: geht es jetzt um den Begriff Fläche im maßtheoretischen Sinn, also um die Zuordnung eines Flächeninhaltes zu einem Objekt? Dann ist dazu bereits alles gesagt bzw. verlinkt.

Oder geht es um den Begriff Fläche als Charakterisierung eines zweidimensionalen Gebildes? Dann muss an einen Schritt zurücktreten und sich (zunächst) mit der Topologie befassen. Eine Fläche ist dann eine 2-dim. topologische Mannigfaltigkeit, d.h. ein sogenannter Hausdorff-Raum, der lokal homöomorph zum R2 ist. Ein Hausdorff-Raum M erfüllt das Hausdorff’sches Trennungsaxiom: für alle paarweise verschiedene x,y aus M existieren disjunkten Umgebungen Ux, Uy in M. Man bezeichnet dies auch als (durch Umgebungen) separierten Raum. Zwei Mannigfaltigkeiten, hier M und R2 sind homöomorph, wenn für alle Umgebungen in M Abbildungen auf Umgebungen in R2 existieren, die bijektiv, stetig und stetig umkehrbar sind. Ein Homöomorphismus zeichnet sich gerade dadurch aus, dass er topologische Eigenschaften wie Kompaktheit, Zusammenhang, und Trennungseigenschaften erhält. Man kann demnach auch sagen, dass ein mathematisches Objekt genau eine Fläche im Sinne der Topologie ist, wenn sie sich in keiner topologischen Eigenschaft von einer beliebigen Untermenge des R2 unterscheidet.

Man beachte, dass diese topologische Betrachtung noch nichts über geometrische Eigenschaften wir Abstände (Metrik) oder maßtheoretische Eigenschaften aussagt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Homöomorphismus
https://de.wikipedia.org/wiki/Trennungsaxiom
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von VolkerAvenarius » 8. Jul 2016, 22:42

tomS hat geschrieben:Zunächst mal hat seeker Recht; eine Länge bzw. Fläche ist das, was man als Länge oder Fläche definiert.
Als Philosoph bezweifle ich das. Ich fühle mich wohler bei dem Versuch, Länge und Fläche aus Gegebenheiten in der Natur abzuleiten.

Hierbei denke ich vor allem an die Elementarlänge und das Elementarvolumen.

Schließlich existiert ein Punkt als ausdehnungslose Einheit, die man "nicht teilen" kann, nicht.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 8. Jul 2016, 22:49

VolkerAvenarius hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Zunächst mal hat seeker Recht; eine Länge bzw. Fläche ist das, was man als Länge oder Fläche definiert.
Als Philosoph bezweifle ich das.
Na, das kommt auf den Kontext und deine Haltung an. Als Platonist würdest du eine Art Idee der Fäche einführen; jede tatsächliche Fläche ist dann eine Realisierung dieser Idee; und die mathematische Definition einer Fläche ist der Versuch, dieser Idee der Fäche möglichst nahezukommen.
VolkerAvenarius hat geschrieben:Hierbei denke ich vor allem an die Elementarlänge und das Elementarvolumen.
Wobei wir heute nicht sagen können, dass es das "wirklich gibt".
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von VolkerAvenarius » 8. Jul 2016, 22:53

tomS hat geschrieben:
VolkerAvenarius hat geschrieben:Hierbei denke ich vor allem an die Elementarlänge und das Elementarvolumen.
Wobei wir heute nicht sagen können, dass es das "wirklich gibt".
Auch das bezweifle ich, weil die Quantentheorie diese Existenzen nahelegt.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von VolkerAvenarius » 8. Jul 2016, 22:56

tomS hat geschrieben:Als Platonist würdest du eine Art Idee der Fäche einführen
Das ist nicht meine Absicht. Ich suche mit Hilfe der Quantentheorie die Quantisierung des Raums.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 9. Jul 2016, 00:04

VolkerAvenarius hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
VolkerAvenarius hat geschrieben:Hierbei denke ich vor allem an die Elementarlänge und das Elementarvolumen.
Wobei wir heute nicht sagen können, dass es das "wirklich gibt".
Auch das bezweifle ich, weil die Quantentheorie diese Existenzen nahelegt.
Tut sie das?

Die Schleifenquantengravitation führt auf ein diskretes Spektrum, allerdings zunächst für unphysikalische Operatoren. Die Stringtheorie führt auf eine Art minimale Länge, jedoch nicht auf diskrete Werte. Im Rahmen des asymptotic Safety Ansatzes erkennt man keinerlei Diskretisierung ...
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von VolkerAvenarius » 9. Jul 2016, 05:28

tomS hat geschrieben:
VolkerAvenarius hat geschrieben:
tomS hat geschrieben: Wobei wir heute nicht sagen können, dass es das "wirklich gibt".
Auch das bezweifle ich, weil die Quantentheorie diese Existenzen nahelegt.
Tut sie das?

Die Schleifenquantengravitation führt auf ein diskretes Spektrum, allerdings zunächst für unphysikalische Operatoren. Die Stringtheorie führt auf eine Art minimale Länge, jedoch nicht auf diskrete Werte. Im Rahmen des asymptotic Safety Ansatzes erkennt man keinerlei Diskretisierung ...
Ja, sie tut das. All diese Theorien sind ja ganz nett. Die Klassik wirkt jedoch am überzeugendsten. Dass bei der Quantentheorie die Energie nur in ganzzahligen Portionen auftritt, legt nahe, dass dieses Prinzip auch anderweitig angewendet wird.

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