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Aussagenlogik

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Aussagenlogik

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2016, 09:03

Hi,
da es bei mir bereits eine Weile her ist und die Notations-Konventionen leicht differieren:
Kannmir nochmaljemand genau erklären, wo der Unterschied ist zwischen
  • dem Implikationspfeil (daraus folgt): =>
  • dem anderen Pfeil (Mengen-theoretische Betrachtung glaube ich): ->
?

Ich hatte unseren Erstsemestern über die Schulter geguckt und da ist mir dann folgende Wahrheitstabelle aufgefallen (Habe sie auf das wesentliche heruntergebrochen):
für ist wahr
gilt ist wahr

Letzterer Ausdruck ( \neg A ->A) ist eigentlich ja das genaue Gegenteil einer Tautologie.

Darauf bin ich gekommen, als ich gesehen habe, dass aus
folgt
ist wahr. (<- genau das ist der Ausdruck, der mich etwas ins Grübeln gebracht hatte, zwar nicht vom Verständniss her, sondern von der allgemeinen Betrachtungsphilosophie. Ist eine Implikation überhaupt bewertbar, wenn ihre Konditionen gar nicht erfüllt sind? Es ist ja klar, dass die Aussage keinesfalls falsch oder widerlegbar wäre, aber dadurchistsie ja nicht automatisch wahr?)
Widersprüchliche Aussagen sind automatisch falsch, aber nur weil hier kein Widerspruch vorliegt anzunehmen, dass mandemganzen einen Wahrheitsgehalt zuordnen kann macht mich etwas stutzig.
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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Pippen » 15. Apr 2016, 14:48

1. Die objektsprachliche Implikation "A -> B" (materiale Implikation, Konditional, Subjunktion) ist ein Aussagesatz, der mittels des Junktors „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist. Zum Beispiel ist „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ eine materiale Implikation; diese Implikation sagt etwas über den logischen Zusammenhang der Sätze: Nämlich dass die Wahrheit des ersten Teilsatzes (Antezedens, auch Antecedens) eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit des zweiten Teilsatzes (Konsequenz) ist.

Die metasprachliche Implikation "A => B" ist hingegen eine Aussage über Aussagen, eben eine Metaaussage. Eine metasprachliche Implikation wäre die Aussage „Aus dem Satz ‚Es regnet‘ folgt der Satz ‚Die Straße ist nass‘“. Hier wird nichts über Regen, von Nässe oder von deren Zusammenhang ausgesagt, sondern hier wird über zwei Sätze der Objektsprache und ihr logisches Verhältnis gesprochen. "=>" bedeutet soviel wie "gültiger Schluss", d.h. wenn A wahr ist, dann ist es auch B.

Letztlich braucht man zwischen "->" und "=>" nur pro forma genau unterscheiden. Jede gültige Forderung ("=>") kann auch als Implikation geschrieben werden und umgekehrt ist jede (wahre) Implikation auch irgendwo eine gültige Folgerung.

2. Aus falschen Aussagen folgt Beliebiges, d.h. wenn bei "A -> B" oder "A => B" das A falsch ist, dann ist "A -> B" immer wahr und "A => B" logisch gültig. Das ist letztlich Festlegung, weil so dass logische System reibungslos funktioniert. Ist nicht unumstritten, schau mal bei wikipeida unter "paradoxien der materialen Implikation".

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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Skeltek » 15. Apr 2016, 18:50

Widerspruchsfreiheit impliziert nicht automatisch Vollständigkeit.
Ich bemängele ja nicht die enthaltenen Aussagen, auch nicht die Aussage über die Aussage(also die Implikation), sondern die Bewertung der Implikation durch das übergeordnete System.
Das übergeordnete System kann Widersprüche aufzeigen und Aussagensysteme dadurch als unwahr/widersprüchlich aufzeigen.

Was materialistisch impliziert als "ist wahr" bezeichnet wird, wäre eher ein "es gilt", da zum Beispiel A=>A zwar immer gilt, abei keine Aussage darüber getroffen werden kann, ob A nun wirklich wahr ist.
Man muss streng unterscheiden zwischen den Aussagen, über welche Aussagen getroffen werden und den Aussagen selbst.
Wenn die Aussage A falsch ist, schützt das Implikationen der Art A=>B vor "Widerspruchs-bedingter Unwahrheit" von Außen, kann jedoch nicht verhindern, dass die Aussage A=>B von Innen heraus selbst widersprüchlich ist (z.B. in diesem Fall für "B = nicht A").

In dem Fall wird die Widerspruchsfreiheit des Aussagensystems gezeigt, auch wenn seine Axiome unwahr sind.
Ganz bestimmte Wahrheits/Unwahrheits-Kombinationen der Axiome können Widersprüche auslösen, wodurch das Aussagensystem als widersprüchlich/falsch bewertet wird.
ImEifer jedoch scheint mit vergisst man, dass sich das Aussagensystem auch als Widersprüchlich herausstellen kann, wenn sämmtliche Axiome unwahr sind bzw nicht gelten.
*Ich habe einfach einmal die elementaren Aussagen als Axiome bezeichnet, da sich die Dynamik der beiden Themen bzw Betrachtungsweisen ziemlich gleich verhält - man hat wahre oder unwahre Annahmen und baut auf ihnen axiomatisch Aussagen- und Relations-Systeme auf.

Falls dir die Analogie Schwierigkeiten bereitet, kann ich auch gerne die Paralellen ausführlicher darlegen.
nichtA=>A ist ja letztlich eine versteckte multipolare Rekursion(über eine implikative Wahrheitstabelle; besser kann ich es gerade nicht ausdrücken) welche einen Widerspruch herbeiführt. Hier wird der Widerspruch nicht wie in der Regel von außen herbeigeführt, sondern ist bereits in der Aussage selbst enthalten.
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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Pippen » 15. Apr 2016, 20:11

Wenn eine Aussage widersprüchlich ist, also letztlich die Form A & ~A hat, dann ist sie erstmal semantisch falsch. Das kann man einfach mit Wahrheitswerttabellen beweisen. Weiterhin folgt semantisch (=>) und syntaktisch (hier müssten man noch ein drittes Pfeilsymbol einführen) Beliebiges, weil eben eine gültige Folgerung nur bedingt, dass aus wahren Prämissen keine falschen folgen, so dass wenn die Prämissen falsch sind, diese Defintion nicht verletzt wird. Das ist das Problem der Widersprüchlichkeit, dass nämlich jede Aussage (und eben auch ihre Negation) daraus folgt. Jedes widersprüchliche System ist daher vollständig.

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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Zausel » 16. Apr 2016, 01:44

Seid mir nicht böse, aber ich muss schon wieder meinen Senf dazu geben.
Für mich ist es Aussagelogik, dass, wenn ich mich vor einen Zug werfe, ich sterben möchte.
Hm, das war aber eben eine Aussage...Vielleicht wollte ich aber nur testen, wie es ist, von einem Zug überfahren zu werden und ich wollte gar nicht sterben.
Kann man Aussagelogik wirklich berechnen? Berechnet mal.

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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Skeltek » 17. Apr 2016, 12:40

Pippen hat geschrieben: ..., dass aus wahren Prämissen keine falschen folgen, so dass wenn die Prämissen falsch sind, diese Defintion nicht verletzt wird. Das ist das Problem der Widersprüchlichkeit, dass nämlich jede Aussage (und eben auch ihre Negation) daraus folgt. Jedes widersprüchliche System ist daher vollständig.
Das ist ja gerade der Punkt, die Aussage A*:=(A=wahr) ist selbst nicht widersprüchlich, sondern höchstens unvollständig, da nicht bewertet werden kann, ob A* selbst wahr oder falsch ist.
Die Auswertung der Wahrheitstabelle jedoch geht davon aus, dass A wahr ist, anders können wir gar nicht damit umgehen,mathematisch muss ja irgendwo der axiomatische Anker geworfen werden, es ist mindestens anzunehmen, dass die zur Aufgabe gestellten Informationen richtig sind, sonst wäre jedwede Aufgabenstellung gar nicht machbar.

Ich sehe jetzt aber trotzdem keine Möglichkeiten Aus einer völlig widerspruchsfreien Aussage A*=(A=wahr) eine falsche Aussage der Form B*=(A=falsch -> A=richtig) herzuleiten.
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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Pippen » 17. Apr 2016, 15:25

Deine Aussage "A*=(A=wahr)" hat keine aussagenlogische Form mehr, das ist bereits Prädikatenlogik und zwar sogar höherer Stufe. In der Aussagenlogik gibts nur Aussagen in der Form "p" oder "p * q" und die können natürlich falsch sein. Wenn man aber die AL durch Kalküle axiomatisiert, dann sind da in der Tat alle daraus ableitbaren Aussagen wahr (Widerspruchsfreiheit) und es sind auch alle wahren Aussagen ableitbar (Vollständigkeit).

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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Skeltek » 18. Apr 2016, 15:29

Pippen hat geschrieben: Deine Aussage "A*=(A=wahr)" hat keine aussagenlogische Form mehr, das ist bereits Prädikatenlogik und zwar sogar höherer Stufe.
Ja, genau so habe ich das gesagt und darauf hingewiesen, dass genau dieser Umstand nicht zur Diskussion gestellt wurde.
Das sollte vorbeugen, dass sich das Thema auf Prädikatenlogik ausweitet.

Sprich:
Man geht davon aus, dass die gegebene Information der Aufgabenstellung richtig ist und stellt diese nicht in Zweifel.
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  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Aussagenlogik

Beitrag von Pippen » 18. Apr 2016, 18:36

Um nochmal darauf zurückzukommen: In AL-Kalkülen sind alle Axiome logisch wahr (Tautologien), die Schlussregeln wahrheitserhaltend, so dass dort alle korrekten Ableitungen wieder logisch Wahres hervorbringen. Das gilt im Ergebnis auch für KNS, auch wenn's dort keine Axiome gibt. Alles was du aus diesen Kalkülen nicht ableiten kannst, ist kontigent oder widersprüchlich.

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