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Dirac-Delta-Funktion

Mathematische Fragestellungen
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Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 21. Feb 2016, 14:57

Hallo allerseits,

ich versuche, eine Differentialgleichung aufzustellen, die nacheinander jeden von drei Punkten (gleichseitiges Dreieck) an der Achse durch die anderen beiden Punkte spiegelt. Dafür will ich die Dirac-Delta-Funktion verwenden, aber es klappt nicht so wie es soll.
Gibt es eine besser geeignete Alternative zur Dirac-Delta-Funktion?

Vom Prinzip her sieht das jetzt so aus:
Der Vektor zur Verschiebung eines Punktes p, der dann der Spiegelung entspricht, wird ganz einfach durch s1:=2((p2(t)+p3(t))/2-p1(t)) ermittelt; die Funktionen s2 und s3 sehen entsprechend aus.
Die Spiegelungen sollen nicht zu jedem ganzen t, sondern zu Bruchteilen davon erfolgen; die Differentialgleichung lautet also für p1 (für p2 und p3 analog, jedoch dass statt t-1/3 dort t-2/3 bzw. t-1 steht):

(Lieber wäre mir eigentlich der Dirac-Kamm, aber mit dem komme ich noch weniger klar.)

Das für mich völlig unverständliche daran ist, dass diese Gleichung für p1 und p2 funktioniert, aber nicht für p3. Damit die Gleichung für p3 funktioniert, muss ich den Faktor 1/3 (direkt nach dem Summenzeichen) weglassen, aber dann funktioniert die Gleichung für p1 und p2 nicht.

Der einzige Unterschied, den ich feststellen kann, den mir aber Mathematica automatisch berechnet ist, dass aus der Funktion DiracDelta bei p3 ein Faktor 1/3 heraus gezogen wird. D.h. Mathematica macht mir aus beispielsweise DiracDelta[-9 + 3 t] das: DiracDelta[-3 + t]/3. Bei p1 und p2 bleiben die Faktoren im DiracDelta, weil es dort z.B. DiracDelta[-7 + 3 t] heisst.

Mache ich etwas falsch? Verstehe ich die Dirac-Delta-Funktion nicht?
Oder ist das (wieder) ein Bug in Mathematica?

Gruss

positronium

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von Skeltek » 22. Feb 2016, 01:14

positronium hat geschrieben: D.h. Mathematica macht mir aus beispielsweise DiracDelta[-9 + 3 t] das: DiracDelta[-3 + t]/3.
Das ist tatsächlich komisch, da hat er ja gleich zweit mal durch 1/3 geteilt ^^
Ist -9+3t ein Übergabe-Parameter oder eine Formel? Mathematica ist bei mir bereits eine Weile her...
Habs nur überflogen; ohne Programcode kann man da wenig urteilen...
Vielleicht ist es auch etwas ganz banales, wie z.B. wenn p3 die Streckenhalbierende von p1' und p2' wird.
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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 22. Feb 2016, 06:33

Sieht komisch aus.

Andererseits verstehe ich noch nicht wirklich, was du eigtl. rechnen willst.
Gruß
Tom

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 22. Feb 2016, 11:52

Skeltek hat geschrieben:
positronium hat geschrieben: D.h. Mathematica macht mir aus beispielsweise DiracDelta[-9 + 3 t] das: DiracDelta[-3 + t]/3.
Das ist tatsächlich komisch, da hat er ja gleich zweit mal durch 1/3 geteilt ^^
Ja. Ich habe fast den Eindruck, als würden für diese Distribution falsche Rechenregeln angewandt.
Skeltek hat geschrieben:Ist -9+3t ein Übergabe-Parameter oder eine Formel?
Ja, ist aber sehr einfach, nur dass der Mathematica-Code etwas unschön ist, weil ich ihn möglichst flexibel formuliert habe.
Skeltek hat geschrieben:ohne Programcode kann man da wenig urteilen...
Vielleicht ist es auch etwas ganz banales, wie z.B. wenn p3 die Streckenhalbierende von p1' und p2' wird.
Ich glaube nicht, dass ich darin einen Fehler habe. Das Gleichungssystem, das ich an NDSolve übergebe, sieht zwar etwas unappetitlich aus, ist aber recht einfach. G steht für den Punkt, sein erster Index für die Nummer des Punktes, und sein zweiter für die Koordinaten 1=x, 2=y und 3=z; die Variable z, unten, ist die Zeit.
Alles worin sich diese Zeilen unterscheiden ist eben das Herausziehen dieses 1/3.










tomS hat geschrieben:Andererseits verstehe ich noch nicht wirklich, was du eigtl. rechnen willst.
Ich hab's hier geplottet:
Zum Zeitpunkt 0 habe ich ein gleichseitiges Dreieck links unten. Dann wird p1 an der Achse p2 p3 gespiegelt. Danach p2 an der Achse p1 p3. Und schliesslich sollte p3 an der Achse p1 p2 gespiegelt werden, aber es wird nur 1/3 des Weges zurück gelegt.
Ich muss erwähnen, dass ich die Spiegelung an der Achse hier etwas ungewöhnlich formuliert habe, nämlich als Punktspiegelung über den Mittelpunkt der beiden anderen Punkte, aber weil es immer ein gleichseitiges Dreieck bleiben muss, ist das OK.
ddf.gif
ddf.gif (65.09 KiB) 11405 mal betrachtet

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von Skeltek » 22. Feb 2016, 21:10

Wo hast du denn Delta definiert?
Übergibt man bei Mathematica Parameter nicht in eckigen Klammern statt in runden? Wie soll Mathematica denn Parameter von Skalaren unterscheiden, wenn bei beiden runde Klammern stehen?
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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 22. Feb 2016, 21:17

Skeltek hat geschrieben:Wo hast du denn Delta definiert?
Das ist die Dirac-Delta-Funktion, wie sie in Mathematica implementiert ist.
Skeltek hat geschrieben:Übergibt man bei Mathematica Parameter nicht in eckigen Klammern statt in runden?
Ja, aber wenn man Mathematica-Ausdrücke per "Copy As->LaTeX" kopiert, was ich mache, wenn ich es hier im Forum mit dem tex-Tag verwende, macht es automatisch aus den eckigen Klammern runde. Im Mathematica-Notebook steht also in Wirklichkeit DiracDelta[...].

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 23. Feb 2016, 18:05

Ich hatte gerade eine Idee, nämlich den Parameter von DiracDelta[] als numerischen Wert, also mit N[], zu übergeben - dadurch kann Mathematica manche symbolische Umformungen nicht durchführen. Mit DiracDelta[N[]] funktioniert die Gleichung. Deshalb bin ich mir jetzt ziemlich sicher, dass es doch wieder ein Bug ist. Ich schreibe denen gleich 'mal.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 26. Feb 2016, 17:22

Obwohl der Support das nicht explizit bestätigt hat, handelt es sich um einen Bug - man hat mir empfohlen, die Auswertung des Ausdrucks abzuschalten.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 3. Dez 2016, 23:40

Hat von Euch jemand das neue Mathematica 11?
Kürzlich haben die mir eine e-mail geschickt, in der sie schrieben, sie würden glauben, dass sie die von mir gemeldeten Bugs behoben haben.
Ich bin nicht gerade begeistert davon, die neue Version kaufen zu müssen, wenn ich denn die Bugs loswerden will, aber auf jeden Fall würde es mich interessieren, ob das jetzt tatsächlich funktioniert.
Könnte bitte jemand mit Mathematica 11 das kurz berechnen lassen?
1. DiracDelta[-9 + 3 t]
2. s3=NDSolve[A'[t]==DiracComb[t]2&&A[0]==0,A,{t,0,10}];
Animate[Graphics[Text["A",{A[t],0}]/.s3[[1]],PlotRange->{{-1,21},{-1,1}},Axes->{True,False}],{t,0,10},AnimationRunning->False]
Bewegt sich das "A" nach rechts oder hüpft es immer noch zwischen 0 und -1/2 hin und her?

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 8. Dez 2016, 20:02

Hast Du schon statt einer Dirac-Function eine Gaußfunktion versucht? Man kann ja die Standardabweichung nach der Lösung gehen Null gehen lassen. Wenn es nicht den Rahmen sprengt, wäre das vielleicht ein gangbarer Weg?

Viele Grüße
Steffen

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 8. Dez 2016, 22:21

skn hat geschrieben:Hast Du schon statt einer Dirac-Function eine Gaußfunktion versucht? Man kann ja die Standardabweichung nach der Lösung gehen Null gehen lassen. Wenn es nicht den Rahmen sprengt, wäre das vielleicht ein gangbarer Weg?
Vielen Dank für den Rat!
Damit habe ich es schon versucht, aber leider ohne Erfolg.

skn
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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 12:23

Also das bei Mathematica (ich habe auch nur 9) für

DiracDelta[-9 + 3 t] == 1/3 DiracDelta[-3 + t]

True herauskommt, finde ich erschreckend. Mein Fazit ist, in Zukunft in Mathematica keine Distributionen mehr zu verwenden!

===

Die Dgl. kann man auch "zu Fuß" lösen in dem man beide Seiten integriert. Man erhält dann



Die Bedingung A(0)=0 macht etwas Probleme, weil die Heaviside-Funktion dort springt.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 10. Dez 2016, 13:06

skn hat geschrieben:Also das bei Mathematica für

DiracDelta[-9 + 3 t] == 1/3 DiracDelta[-3 + t]

True herauskommt, finde ich erschreckend.
Wieso? Das ist doch korrekt.
Gruß
Tom

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 10. Dez 2016, 13:32

skn hat geschrieben:Die Dgl. kann man auch "zu Fuß" lösen in dem man beide Seiten integriert.
Ja. Diese Gleichung ist aber gar nicht mein Problem, sondern sie zeigt nur extrem vereinfacht, wo der Bug in Mathematica liegt bzw. lag. Eigentlich will ich mit dem DiracDelta einen der wesentlichen Teile meiner Teilchendynamik formulieren, und das ist zum einen deutlich komplizierter, und zum anderen müssen auch solche Funktionen zum gleichen Zeitpunkt aber nacheinander ausgeführt werden - alles unschön, weil (teilweise) nicht kontinuierlich.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 14:26

tomS hat geschrieben:Wieso? Das ist doch korrekt.
Nicht wirklich. Es müsste stattdessen lauten

DiracDelta[-9 + 3 t] == DiracDelta[-3 + t]

denn den Dirac-Impuls kann man definieren als Grenzwertübergang der Standardabweichung einer Gaußfunktion gegen Null. In Mathematica-Code:

gauss[x_, o_] := 1/Sqrt[2 Pi o^2] Exp[-x^2/(2 o^2)]

Korrekterweise liefert

gauss[-9 + 3 t, o] == gauss[-3 + t, o] /. t->3

True. Hingegen ist

Limit[gauss[-9 + 3 t, o] == 1/3 gauss[-3 + t, o] /. t -> 3, o -> 0]

False.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 14:29

positronium hat geschrieben: Ja. Diese Gleichung ist aber gar nicht mein Problem, sondern sie zeigt nur extrem vereinfacht, wo der Bug in Mathematica liegt bzw. lag. Eigentlich will ich mit dem DiracDelta einen der wesentlichen Teile meiner Teilchendynamik formulieren, und das ist zum einen deutlich komplizierter, und zum anderen müssen auch solche Funktionen zum gleichen Zeitpunkt aber nacheinander ausgeführt werden - alles unschön, weil (teilweise) nicht kontinuierlich.
Zur Not musst Du Dir den DiracImpuls selbst in Mathematica nachbauen (Ausblendeigenschaft). Eine andere Möglichkeit wäre vielleicht noch in den Frequenzbereich zu wechseln.

Gib mir mal ein etwas komplexeres Beispiel.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 10. Dez 2016, 14:31

Ich vermute, es wird einfach wie mit "normalen" Distributionen gerechnet, und so die Teilung durch 3 wie eine Streckung der Funktion interpretiert.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 10. Dez 2016, 14:45

skn hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Wieso? Das ist doch korrekt.
Nicht wirklich. Es müsste stattdessen lauten

DiracDelta[-9 + 3 t] == DiracDelta[-3 + t].
Das ist falsch.

Man sieht das mittels Substitution, und man kann es nachlesen.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dirac_d ... d_symmetry
Gruß
Tom

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 14:57

tomS hat geschrieben: Das ist falsch.
Du hast Recht. Der Punkt t ist überhaupt nicht wichtig, sondern die Fläche unter dem Integral.

Integrate[gauss[-9 + 3 t, o], {t, -Infinity, Infinity}] == Integrate[gauss[-3 + t, o], {t, -Infinity, Infinity}] // PowerExpand

liefert False und

Integrate[gauss[-9 + 3 t, o], {t, -Infinity, Infinity}] == Integrate[1/3 gauss[-3 + t, o], {t, -Infinity, Infinity}] // PowerExpand

True. Als rechnet Mathematica doch richtig.

Na gut, dann nehme ich alles zurück und behaupte das Gegenteil.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 10. Dez 2016, 15:13

skn hat geschrieben:Zur Not musst Du Dir den DiracImpuls selbst in Mathematica nachbauen (Ausblendeigenschaft). Eine andere Möglichkeit wäre vielleicht noch in den Frequenzbereich zu wechseln.

Gib mir mal ein etwas komplexeres Beispiel.
Leider weiss ich noch nicht, wie ich das alles per Differentialgleichung niederschreiben kann. Es geht immer um die Veränderung eines gleichseitigen Dreiecks ABC durch Spiegelung und Drehung. Spiegelungen S erfolgen für A über (B+C)/2 etc. und Drehungen D um die gegenüberliegende Achse. Dann muss das in etwa so aussehen.
DiracDelta[t-0]*S(A)
t=0..1/3: D(C, 2pi+Delta)
DiracDelta[t-1/3]*S(B)
t=1/3..2/3: D(C, 2pi+Delta)
DiracDelta[t-2/3]*S(C)
t=2/3..1: D(C, 2pi+Delta)
DiracDelta[t-1]*(1. S(C) 2. S(B) 3. S(A) und weiteres)
Gleichzeitig muss von jedem Eckpunkt immer ein Fluss ausgehen. Alles ganz verreckt. :wink:

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 10. Dez 2016, 15:19

So oder so stimmt(e) etwas in Mathematica nicht. Dann liegt es vielleicht am Integrieren. In meinem Beitrag vom 22. Feb 2016, 11:52 habe ich das Spiegeln geplottet. Das ist einfach falsch - schon allein weil es funktioniert, wenn ich das Herausziehen des Faktors 3 blockiere (, was aber keine Losung ist). Es wird nur 1/3 dessen berechnet, was mit DiracDelta[-3+t]/3 multipliziert wird. Dann müsste es doch so etwas geben, wie DiracDelta[-3+t, dreimal so breit]/3.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 15:34

Warum möchtest Du eigentlich mit Differentialgleichungen arbeiten? Ich habe mir eben oben nochmal alles durchgelesen, verstehe aber nicht, was Du erreichen willst. Schreib mal bitte alles Punkt für Punkt auf und lass nichts weg.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 10. Dez 2016, 16:23

skn hat geschrieben:Warum möchtest Du eigentlich mit Differentialgleichungen arbeiten? Ich habe mir eben oben nochmal alles durchgelesen, verstehe aber nicht, was Du erreichen willst.
Obiges ist ja nur ein klitzekleiner aber wesentlicher Punkt des ganzen Problems. Differentialgleichungen will ich verwenden, weil es während dieser Drehungen einerseits wie erwähnt zu einem ständigen Fluss weg von den Eckpunkten, und andererseits zu einer Reaktion auf diesen Fluss aller anderen Teilchen kommt. Ich vermute, dass Differentialgleichungen zur Beschreibung dessen der einzig gangbare Weg sind.
Mein Ziel ist es, irgendwann, wie ich eben dazu komme, eine vollständig mathematische Beschreibung aus einem Guss zu erarbeiten, die auch jemand zu lesen und verstehen bereit ist - ich meine die Arbeit unter www.
skn hat geschrieben:Schreib mal bitte alles Punkt für Punkt auf und lass nichts weg.
Leider kann ich nicht alles aufschreiben, weil nicht einmal unter o.g. Adresse schon alles zu finden ist, und auch noch etliches fehlt. Das fehlende kann ich aber erst erarbeiten, wenn ich weiter rechnen kann.

Mein Problem ist, dass ich 1. diskrete geometrische Objekte (vom Prinzip her solche Dreiecke und deren Dynamik) mit 2. einer üblicherweise durch Differentialgleichungen beschriebenen Kopplung an ein Feld und dazu 3. nicht-lokale Zwangsbedingungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten (die "Dreiecke") in Abhängigkeit von dem/den Feldern in Einklang bringen muss.

Deshalb war/ist meine Idee, alles mit Differentialgleichungen zu formulieren, und die diskret ablaufenden Teile per DiracDelta bzw. DiracComb einzubinden.

Vielleicht kann man sich das am einfachsten wie ein klassisches Vielteilchensystem vorstellen, in dem manche Teilchen Gruppen bilden, welche in Abhängigkeit von den Feldern bestimmten Zwangsbedingungen folgen, und auch eine eigene Dynamik besitzen, welche wiederum die Felder definiert.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von skn » 10. Dez 2016, 16:52

Verstehe. Dann musst Du das Problem hier so gut es eben geht kapseln.

Schreib mal bitte die drei Differentialgleichungen in voller Länge auf, so wie Du sie gerne hättest.

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Re: Dirac-Delta-Funktion

Beitrag von positronium » 10. Dez 2016, 18:52

skn hat geschrieben:...in voller Länge auf, so wie Du sie gerne hättest.
Die unterscheiden sich für jede Teilchenart, aber für ein ruhendes, kräftefreies Elektron kann ich das skizzieren.
Die Struktur des Teilchens sieht so aus:
elektron.jpg
elektron.jpg (4.15 KiB) 9774 mal betrachtet
Und ich verkürze die Schreibweise mit:
DC[t_] := DiracComb[t]

T[] legt die Reihenfolge der Berechnung fest.
s[a,b] spiegelt den Punkt a über den Mittelpunkt von b
d[a,b,winkel] dreht den punkt a um die Achse b um einen Winkel bzw. einen der Energie entsprechenden Winkel.

ue ist eine Konstante

A bis E sind die Koordinatenfunktionen, also A=[Ax,Ay,Az]... und sind in einer 5x3-Liste zusammengefasst.









Von diesem Apparat gibt es 4*10^7 "Instanzen", und diese sollten, was ich aber erst berechnen muss, in einer Reihe per Zwangsbedingung eine vom Impuls abhängige Welle bilden. Und davon gibt es 7*10^22 Stück, welche in alle Raumrichtungen gedreht verteilt sind.
Wenn all' das überlagert wird, hoffe ich durch die Wirkung dieser Anordnung auf das/die Felder auf ein Verhalten entsprechend der QM.

Problematisch ist für mich das DiracDelta, was ja laut Wolfram in NDSolve jetzt funktionieren soll, und zum anderen die Nacheinanderausführung der Operationen in T[]. Dazu fällt mir nichts ein. Aber wer weiss: Vielleicht lässt sich das alles sowieso nicht auf diese Weise formulieren.

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