Beweisrelation?

[Pippen]

Ich spiele gerade etwas mit Relationen und ihren Eigenschaften herum. Gibt es in der Mathematik eigentlich sowas wie Beweisrelationen?

Nehmen wir mal eine Relation "x beweist/~beweist y". Eine solche Relation wäre mE reflexiv, symmetrisch, transitiv und total. Es wäre also eine Äquivalenzrelation. Richtig?

Nehmen wir mal eine Relation "x beweist y". Eine solche Relation wäre mE irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und nicht-total, also eine strikte Ordnung, aber keine strikte Totalordnung, wie die "<"-Relation. Richtig?

Daran könnte man sehen, dass es zB in einer Beweistheorie bzw. einem Beweiskalkül wichtig ist, sowohl den Begriff des Beweises wie den Begriff des Nicht-Beweises zu haben, weil sonst Unvollständigkeit droht.

Ist das ein Thema für Logiker/Mathematiker?

p.s. Der Begriff des Beweises möge wie üblich als Begründung oder Rechtfertigung verstanden werden, insbesondere möge ein Zirkel kein Beweis sein.

[Skeltek]

Um es vorweg zu nehmen: Die Ausführungen welche ich unten mache halte ich selbst für unsinnig in dem Sinn, dass ich es eigentlich für sinnlos halte, da Aussagenlogik höherer Stufen ohne Axiome Aussagen ausschließlich über sich selbst zu machen keinen Wahrheitsgehalt haben kann und somit das ganze Abhandeln als Relationen unsinnig ist.
Hinzu kommt, dass es völlig unklar bleibt, wie die Elemente so einer Beweisliste überhaupt aussehen müssen, damit die Elemente überhaupt etwas beweisen können. Das geht auch schon etwas in Richtung Gödel.

Nehmen wir mal eine Relation "x beweist y". Eine solche Relation wäre mE irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und nicht-total, also eine strikte Ordnung, aber keine strikte Totalordnung, wie die "<"-Relation. Richtig?

1. reflexiv - Das kommt darauf an, ob "beweisen" den Wahrheitsgehalt oder die Existenz des anderen Beweises beweist.
Im ersten Fall (Wahrheitsgehalt) hat die Menge keine einzige Relation, da über den Wahrheitsgehalt des beweisenden Elementes keine Aussage getroffen werden kann - sowohl beweisendes als auch bewiesenes Element sind Teile derselben Menge. Das beweisende hat ohne eigenen zugesicherten ahrheitsgehalt grundsätzlich keine Beweiskraft. Also wäre sie nicht reflexiv.
Im zweiten Fall (Existenz) ist es offensichtlich, dass aus der Existenz des beweisenden Elementes seine eigene Existenz folgt (Es ist ja in der Menge enthalten, also muss es ja existieren) - also wäre sie reflexiv.
Deshalb gehe ich bei den folgenden Darstellungen davon aus, dass du oben von "Existenz" ausgehst (War eigentlich klar, ich habe den ersten Fall nur hizugenommen um absolut sicher zu stellen, dass du bei der Relation "beweist" nicht noch irgendwas hinein gemogelt hast was nicht hingehört)

2. Asymmetrisch - nein, da reflexiv

3. Antisymmetrisch - zu komplex zu beantworten. Man gerät mit Rekursionen und äquivalenten Aussagen in Konflikt.
Außerdem ist auch fraglich, was da eigentlich bewiesen wird, reicht der Bezeichner eines Elementes oder wird sein Inhalt auch bewiesen?

4. Transitiv - Ja, relativ offensichtlich bei naiver Betrachtung. Bei genauer Betrachtung beweist in so einer Menge gar nichts etwas ausser sich selbst.
Wenn es keine zwei unterschiedlichen Elemente gibt, welche in Relation zueinander stehen ist die Menge auch transitiv (z.B. die Menge M={A} ist transitiv, da sie nur ein einzelnes Element hat).

5. Strenge Ordnung würde ich nicht zustimmen - es könnten ja auch mehrere Ordnungen nebeneinander existieren, von denen kein Element ein Element der anderen Ordnung beweist. Ausserdem ist die reflexiv, und deshalb nicht assymetrisch

Zusatz: Du hast trotzdem überall das Problem, dass du mit Aussagenlogik hantierst. Da du nichts über den Wahrheitsgehalt aussagen kannst (man braucht ja Axiome oder ähnliches von dem man ausgeht) kann keine Aussage eine andere beweisen (Aus einem System heraus kann man die eigene Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit nicht zeigen); wüsste jetzt auch nicht, von welcher Art deine Beweise überhaupt sein sollen wenn sie ohne ein Axiomensystem auskommen.

[Pippen]

ME wäre eine Relation "x beweist y" zunächst irreflexiv, weil x sich nicht selbst beweisen können soll (das wäre ja ein unzulässiger Zirkel). Sie wäre asymmetrisch, weil wenn "x beweist y", dann nie "y beweist x" (sonst würde das wieder auf einen Zirkel hinauslaufen). Sie wäre weiterhin antisymmetrisch, weil sie asymmetrisch wäre. Sie wäre transitiv, weil gelten soll: wenn x y beweist und y z beweist, dann beweist x z. Damit handelt es sich bei der Beweisrelation um eine Striktordnung, wie die Kleiner/Größer-Relation. Man könnte damit diese Beweisrelation als Kleiner/Größer-Relation abbilden. (Kann man das machen, wenn also zwei Relationen A und B beide strikt geordnet sind, kann man dann quasi beide vertauschen ohne sie abstrakt gesehen zu verändern)