Zahlensysteme, rationale und reelle Zahlen

[tomS]

Im Rahmen der letzten Diskussionen um verallgemeinerte Zahlensysteme ist mir aufgefallen, dass mittels dieser Darstellungen zwar eine kompakte Notation möglich wird, dass jedoch
1) nicht immer Eindeutigkeit bzgl. der Darstellung einer Zahl in einem derartigen Zahlensystem erreichbar ist
2) nicht zwingend die ab N+1 folgenden Terme die N-Ziffer nicht beeinflussen (!)
3) anhand der Darstellung nicht mehr zwischen rationalen und irrationalen Zahlen unterschieden werden kann

Dazu eine Anmerkung: die Eulersche Konstante ist definiert als

γ = lim_N→∞(H_N - ln N)

H_N = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N

Es ist heute nicht bekannt, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Wäre sie rational, würde eine Darstellung der Form γ = m/n mit natürlichen Zahlen m,n existieren!

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler–M ... i_constant

[Skeltek]

zu 3:
Kommt das nicht auf das verwendete System an? Man sieht ja möglicherweise anhand der verwendeten Ziffern und der Stellenanzahl zu welcher Kategorie eine Zahl gehört?
Dass wir im Dezimalsystem rechnen hat uns glaube schon oft von vielen Erkentnissen abgehalten bzw uns in einige Denkmuster festgefahren.

[tomS]

Ja, natürlich kommt das auf's System an. In Systemen mit fester Basis folgt ja aus der Periodizität der Nachkommastellen die Rationalität. Im o.g. System für pi gilt dies offensichtlich nicht.

[Analytiker]

Die hyperreellen Zahlen, die in der Nichtstandardanalysis eine Rolle spielen, sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Darüber hinaus kann man surreale Zahlen konstruieren, die die hyperreellen Zahlen als Teilmenge erhalten. Mit den surrealen Zahlen kann man gut Methoden der abstrakten Algebra studieren.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl

https://de.wikipedia.org/wiki/Surreale_Zahl

Die Frage ist natürlich, braucht man sowas. Für mengentheoretische Überlegungen und zahlentheoretische Studien, denke ich schon, macht es Sinn strukturelle Zusammenhänge zu analysieren.

Für physikalische Fragestellungen ist es interessant zu wissen, was die Natur überhaupt zulässt und was man messen kann.

Man sagt, die Natur macht Sprünge, siehe Quantenmechanik. Die ART ist eine kontinuierliche Theorie. Leben wir etwa in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit? Oder ist unsere Welt diskreter Natur, werden nur bestimmte Messwerte zugelassen, und wir nur mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen auskommen, um die Welt zu beschreiben?

Gruß
Analytiker

[tomS]

Die hyperreellen Zahlen, die in der Nichtstandardanalysis eine Rolle spielen, sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Darüber hinaus kann man surreale Zahlen konstruieren, die die hyperreellen Zahlen als Teilmenge erhalten. Mit den surrealen Zahlen kann man gut Methoden der abstrakten Algebra studieren.

Ich sprach eigtl. von Zahlensystemen (Dezimalsystem, Binärsystem, ...), nicht von Zahlenmengen (natürliche, rationale, ... Zahlen).

DieFür physikalische Fragestellungen ist es interessant zu wissen, was die Natur überhaupt zulässt und was man messen kann.

Die Physik verwendet sicher mathematische Entitäten, die sich einer (direkten) Messbarkeit entziehen. Z.B. benutzen Eichtheorien sogenannte Faserbündel, die Quantenmechanik den Hilbertraum usw., die einfach dadurch "bestätigt" sind, dass die experimentell überprüfbaren Ergebnisse der Theorie "passen", ohne dass diese Entitäten selbst messbar wären.

DieMan sagt, die Natur macht Sprünge, siehe Quantenmechanik.

Das glaube ich nicht. Die Schrödingergleichung ist kontinuierlich (unitär), und der sogenannte "Kollaps" nur ein unphysikalischer, unbeobachtbarer und teilw. inkonsistenter Trick, den es zu eliminieren gilt (mein Favorit ist die Viele-Welten-Interpretation, in der kein Sprung oder Kollaps existiert).

Die ART ist eine kontinuierliche Theorie. Leben wir etwa in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit? Oder ist unsere Welt diskreter Natur, werden nur bestimmte Messwerte zugelassen, und wir nur mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen auskommen, um die Welt zu beschreiben?

Nur weil die Messwerte beschränkt sind, sind noch lange nicht die mathematischen Entitäten ausschließlich auf diese Messwerte festgelegt (siehe die QM).

[Analytiker]

Die Wahl eines Zahlensystems ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Idealerweise sollte eine physikalische Theorie keine unphysikalischen Lösungen zulassen. Die angewandte Mathematik sollte ein wirksames Werkzeug sein.

Die Schrödingergleichung ist nichtrelativistisch und im Gültigkeitsbereich eingeschränkt.

Gerade die Schleifenquantengravitation ist eine diskrete Theorie, die von einer fundamentalen Größenskala ausgeht. Dort gibt es z. B. keine kleinere Fläche als die Planck-Fläche.

Gruß
Analytiker

[seeker]

Idealerweise sollte eine physikalische Theorie keine unphysikalischen Lösungen zulassen.

Die Frage ist: Wie weit darf eine Theorie von diesem Ideal abweichen? (Anm.: Das ist ein Frage nach Quantität nicht nach Qualität.)
Denn es existiert m.W.n. nicht eine einzige physikalische Theorie, die keine Lösungen zulässt, die wir als unphysikalisch betrachten.

Gruß
seeker

[Analytiker]

Bei einer physikalischen Theorie mit beschränktem Gültigkeitsbereich sind unphysikalische Lösungen zu erwarten. Gefordert werden sollte, dass innerhalb des Gültigkeitsbereiches Absurditäten vermieden werden.

Man weiß nicht genau, wo der Gültigkeitsbereich der ART endet. Die ART lässt die Gödel-Metrik zu, die aber offensichtlich unphysikalisch ist.

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/gravi ... ode40.html

Gruß
Analytiker

[Skeltek]

Es ist hier irgendwie schwierig euch beiden gleichzeitig gleichzeitig recht zu geben

[seeker]

Man weiß nicht genau, wo der Gültigkeitsbereich der ART endet. Die ART lässt die Gödel-Metrik zu, die aber offensichtlich unphysikalisch ist.

Ja, in unserem beobachtbaren Bereich. Mehr wissen wir nicht, ob z.B. andere Universen existieren, wo das gegeben ist, wo das doch physikalisch ist.

Gefordert werden sollte, dass innerhalb des Gültigkeitsbereiches Absurditäten vermieden werden.

Ich weiß nicht ob das durch die Gleichungen selbst zu erreichen ist.
Ich glaube man wird niemals darum herum kommen die Gleichungen "mit Sinn und Verstand" zu verwenden.
Dieses Elemet der "Anwendung", also die menschliche Tätigkeit, der Umgang mit den Gleichungen steckt nicht in den Gleichungen selbt. Ohne Anwendung/Anwender sind Gleichungen sozusagen "nichts-sagend", weder "physikalisch" noch "unphysikalisch".
D.h.: Die Gleichungen jeder Theorie müssen notwendig vom Anwender der Theorie sinnvoll verwendet werden, also "mit Sinn gefüllt werden".
Es muss vom Menschen notwendig der sinnvolle Bezug zur physikalischen Realität hergestellt werden.

D.h.: Ich halte es für unmöglich eine mathematische Theorie zu finden, die nur unsere beobachtbare Natur abbildet.

Aber zurück zum Threadthema:

Hier noch der Link zur deutschen Wiki-Seite:
https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Mas ... -Konstante

Im Rahmen der letzten Diskussionen um verallgemeinerte Zahlensysteme ist mir aufgefallen, dass mittels dieser Darstellungen zwar eine kompakte Notation möglich wird, dass jedoch
1) nicht immer Eindeutigkeit bzgl. der Darstellung einer Zahl in einem derartigen Zahlensystem erreichbar ist
2) nicht zwingend die ab N+1 folgenden Terme die N-Ziffer nicht beeinflussen (!)
3) anhand der Darstellung nicht mehr zwischen rationalen und irrationalen Zahlen unterschieden werden kann

Was verstehst du unter einer kompakten Notation?

Zu 1): Du meinst, wenn man eine Zahl in (z.B.) Dezimalschreibweise darstellt, dass diese dann nicht immer eindeutig dargestellt ist?
Ich würde behaupten, dass sie das eigentlich nie ist, wenn man nur die Dezimalzahl alleine sieht. Diese Schreibweise muss man wie ich vermute als stellvertretend für die Formelschreibweise ansehen (was man wohl gerne vernachlässigt). Nur dann kann m.E. Eindeutigkeit herrschen.

Zu 2): Du meinst, dass wegen Überträgen weiter vorne ligende Ziffern in einer Dezimalzahl von noch weit hinten in der entsprechenden Reihe kommenden Summanden verändert werden können? Ja, klar.

Zu 3): Du meinst, obwohl wir eine Konstruktionsvorschrift (Gleichung) zu einer Zahl angeben können und dadurch eine gewisse (prinzipiell beliebige aber praktisch oft begrenzte) Anzahl von Ziffern (in Dezimalschreibweise) dieser Zahl ausrechnen können, wir immer noch nicht unbedingt die uns interessierenden Eigenschaften dieser Zahl kennen, nicht einmal ob sie rational ist oder nicht?
Ich würde hier sogar behaupten, dass man das, wenn man nur die Dezimalschreibweise sieht (die ja notwendig immer nur endlich viele Nachkomm-Ziffern darstellen kann), im Prinzip nie kann. Und selbst wenn man die Formelschreibweise kennt (wie bei der Euler-Mascheroni-Konstante) ist das nicht immer gegeben, wie man sieht. Das ist interessant.

Grüße
seeker

[tomS]

Die Wahl eines Zahlensystems ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Du meinst jetzt wirklich Zahlensystem, nicht Zahlenmengen? Ja, dann Zustimmung.

DIdealerweise sollte eine physikalische Theorie keine unphysikalischen Lösungen zulassen. Die angewandte Mathematik sollte ein wirksames Werkzeug sein.

Diese Forderung ist nachvollziehbar, aber nicht rational begründbar. Welches Kriterium, Axiom o.ä. definiert "physikalische Lösungen" außer der physikalischen Theorie selbst? Und was ist genau diese Theorie? Nur Gleichungen, oder auch Regeln zu deren Anwendbarkeit?

Es gibt dabei natürlich unterschiedliche Härtegrade. Im Falle einfacher DGLs steckt das Kriterium in den Anfangs- oder Randbedingungen. Im Falle der ART gibt es m.E. kein Kriterium, um "physikalisch sinnvolle Universen" auszusondern, allenfalls Ideen wir die "chronological protection conjecture", mathematische Kriterien wie die "globale Hyperbolizität"; außerdem haben wir halt nur ein Universum ...

Man weiß nicht genau, wo der Gültigkeitsbereich der ART endet. Die ART lässt die Gödel-Metrik zu, die aber offensichtlich unphysikalisch ist.

Der beschränkte Gültigkeitsbereich der ART (insbs. Singularitäten) und die physikalische Irrelevanz der Gödelmetrik (regulär!) haben nichts miteinander zu tun. Was genau ist dein Kriterium, das die Gödelmetrik ausschließt?

Die Schrödingergleichung ist nichtrelativistisch und im Gültigkeitsbereich eingeschränkt.

Das ist nicht richtig.

Auch die Dirac-Gleichung sowie relativistische Quantenfeldtheorien wir QED und QCD lassen eine kanonische Quantisierung zu. Der resultierende Hamiltonoperator tritt dann in einer Poincare-kovarianten Schrödingergleichung auf; deren Gültigkeit wird wie in der nicht-rel. QM axiomatisch gefordert.

Gerade die Schleifenquantengravitation ist eine diskrete Theorie, die von einer fundamentalen Größenskala ausgeht. Dort gibt es z. B. keine kleinere Fläche als die Planck-Fläche.

Das wird gerne so gesagt, stimmt aber im eigtl. Sinne nicht. Die Theorie geht zunächst nicht von dieser Diskretheit bzw. fundamentalen Größenskala aus, sondern versucht, diese aus der Quantisierung abzuleiten (auch die QM geht hat nicht von einer diskreten Struktur aus, leitet jedoch die Quantisierung von z.B. dem Drehimpuls ab). Die Operatoren, die auf ein diskretes Spektrum führen, sind keine Dirac-Observablen, entsprechen also keinen physikalisch messbaren Größen. Ob auch physikalische Flächen zwingend diskret sein müssen ist m.W.n. nich offen.

[Skeltek]

Wen interessiert eigentlich die Dezimaldarstellung überhaupt? Die ist doch für die Bedeutung und Analyse des Wertes völlig ohne Belang?
Bin schon länger davon überzeugt, dass wir mehr lernen und üben sollten, Algorithmen aufzulösen, miteinander zu verarbeiten und die Kombination der Algorithmen zu kürzen.
In der Praxis sind bei Input/Output-Streams ohnehin eher die analogen Größenverhltnisse von Belang.
Einen PC, Nervenzentrum oder Maschinensteuerung interessiert ohnehin eher der Wert+Größenordnung statt die genaue Dezimalschreibweise...

Ich denke eine flexiblere Zahlendarstellung würde vieles wirklich vereinfachen oder Dinge erkennen lassen, welche man so völlig aus dem Auge verliert... Das Problem wäre nur die völlig unintuitive und komplexe Notation...
Da ist eine Darstellung mit 10 relativ einfachnachzuvollziehenden Ziffern doch einfacher.

[tomS]

Wenn es möglich ist, in einem geeigneten Zahlensystem die einzelnen Ziffern einer Zahl wie pi einzeln und unabhängig zu berechnen, dann ist das schon etwas wert.

[Skeltek]

Ja, binär geht das sogar recht einfach und schnell die n-te Nachkommastelle direkt zu berechnen ohne die vorhergehenden; dannsteht sie aber ohne relativ viel Kontext da.
Kettenbruch-Darstellungen sind meiner Meinung einfach besser als Stellenwertsysteme - man hat dort dann eher eine Grenzwertfolge welche auf Multiplikation statt Addition basiert.Eindeutig ein Vorteil, da das elementarste sowohl in der Physik als auch Mathematik Größenverhältnisse sind.
Es bringt ja nicht so viel, etwas absolut akkurat dezimal parat zu haben und es dann jedes mal wieder zurück rechnen zu müssen in die echten Faktoren...

[Analytiker]

Es geht auch hexadezimal durch Umstellen der BBP-Formel.

https://de.wikipedia.org/wiki/Bailey-Bo ... ffe-Formel

Eine hexadezimale Ziffer repräsentiert eine Bitfolge der Länge 4.

Die Gödel-Metrik kann ich perse nicht ausschließen, aber sie führt durch mögliche Kausalitätsverletzungen zu Paradoxien, die man natürlich mit der Viele-Welten-Theorie umgehen kann.

Ich bin geneigt seeker Recht zugeben in dem Sinne, dass sich keine mathematische Theorie finden lässt, die nur unsere Natur abbildet.

Gleichwohl müsste es möglich sein, gute Näherungen zu finden, wenngleich beliebige Näherungen wohl ein Traum sind.

Gruß
tensor

[tomS]

Die Gödel-Metrik kann ich perse nicht ausschließen, aber sie führt durch mögliche Kausalitätsverletzungen zu Paradoxien, die man natürlich mit der Viele-Welten-Theorie umgehen kann.

Die VWI hilft da wohl nicht weiter.

Zunächst mal ist die VWI nichts weiter als eine axiomatisch reduzierte und anders interpretierte Form der QM. Zu den grundlegenden Axiomen der QM (auch der VWI) gehört die Schrödingergleichung bzw. die unitäre Zeitentwicklung. Damit diese im gesamten Universum global gültig sein kann, muss die Geometrie des Universum die Forderung der globalen Hyperbolizität erfüllen; dies ist m.W.n. für die Gödelmetrik nicht der Fall.

Die Gödelmetrik alleine führt nicht zu Kausalitätsverletzungen, sie schließt sie jedoch im Gegensatz zu anderen Metriken nicht explizit aus (wobei man berücksichtigen muss, dass das Einbringen von Materie und handelnden Personen in die Gödelmetrik natürlich eine Auswirkung auf die Geometrie hat). Zum einen könnte die Gödelmetrik eine entartete Metrik sein, deren grundlegenden Eigenschaften bei Anwesendheit weiterer Materie nicht mehr gültig wären, die mit der Dynamik von Materie i.A. unverträglich ist. Zum anderen könnte die Schrödingergleichung (aller Felder) so modifiziert werden, dass sie mit einer "in sich geschlossenen zeitartigen Richtung" d.h. einer Art zyklischen Zeit der Gödelmetrik verträglich wäre; damit würde die Schrödingergleichung auf der Gödelmetrik selbst dafür sorgen, dass keine inkonsistenten Ereignisse, Paradoxien und Kausalitätsverletzungen auftreten.

Der selbstadjungierte Differentialoperator i d/dt kann auf einer "kompakten" d.h. zyklischen Zeitkoordinate definiert werden. Es wäre mathematisch äußerst interessant, ob dies auch auf der Gödelmetrik selbst funktionieren beweisbar würde.

[Analytiker]

Natürlich ist die Schrödingergleichung erweiterbar, sie selbst ist jedoch nur auf das Regime der klassischen Quantenmechanik anwendbar.

An dieser Stelle muss ich bekennen, dass tomS über ein Höchstmaß an Kompetenz bezüglich physikalischer Fragestellungen verfügt und ich dieses anerkenne, aber ich gehe nicht immer mit ihm konform.

Der gute Gödel hat die Grenzen der Mathematik aufgezeigt und es auch bewiesen, was eine grandiose Leistung ist.

Die erwähnte Gödel-Metrik hat er Einstein zu seinem Geburtstag gewidmet.

Ich verneige mich vor Gödel und widersetze mich, irgendwelchen abgehobenen Stringtheorien hinterher zu hecheln.

Jedoch bin ich offen für konstruktive Vorschläge, z.B. kausale dynamische Triangulation etc.

Gruß
Analytiker

[tomS]

Natürlich ist die Schrödingergleichung erweiterbar, sie selbst ist jedoch nur auf das Regime der klassischen Quantenmechanik anwendbar.

Warum sollte das so sein?

Die kanonische Quantisierung von Feldtheorien führt ebenfalls auf die Schrödingergleichung.

Skizze: du startest mit der Lagrangedichte und bestimmst die kanonisch konjugierten Impulse zu den Feldern. Für die Feldoperatoren forderst du kanonische Vertauschungsrelationen. Dann führst die Legendre-Trf. durch und bestimmst den Hamiltonoperator. Du forderst, dass dieser Hamiltopnoperator in der zeitabhängigen Schrödingergleichung auftritt, die damit die Dynamik bestimmt. Diese Gleichung wird teilweise auch als Tomonaga-Schwinger-Gleichung bezeichnet. Daraus folgt u.a. ein unitärer Zeitentwicklungsoperator, im Wechselwirkungsbild Dysonoperator genannt, den du in die Dysonreihe entwickeln kannst (m.W.n. vor Feynmans Entwicklung seiner Diagramme). Der Zeitentwicklungsoperator

U(t,t₀) = exp[-iH(t-t₀)]

und die unitäre Zeitentwicklung der Zustände

|ψ,t> = U(t,t₀) |ψ,t₀>

entspricht exakt einer quantenfeldtheoretische Formulierung der Schrödingergleichung.

Für stationäre Zustände gilt eine zeitunabängige Schrödingergleichung

(H-E)|ψ>_E = 0

aus der die Energie-Eigenzustände der Theorie folgen, in der QCD z.B. die Nukleonen (tatsächlich wird in der QCD gerade im Niederenergienübereich und insbs. zur Berechnung der Hadronenspektra u.a. Eigenschaften gebundener Zustände häufig die kanonische Formulierung der QCD verwendet).

An dieser Stelle muss ich bekennen, dass tomS über ein Höchstmaß an Kompetenz bezüglich physikalischer Fragestellungen verfügt und ich dieses anerkenne, aber ich gehe nicht immer mit ihm konform.

Ersteres freut mich natürlich sehr - auch wenn mein Wissen nach langer Abwesendheit aus der Forschung inzwischen etwas angestaubt sein dürfte; und letzteres stört nicht, denn zum diskutieren sind wir ja da ...

[seeker]

Ich bin geneigt seeker Recht zugeben in dem Sinne, dass sich keine mathematische Theorie finden lässt, die nur unsere Natur abbildet.

Gleichwohl müsste es möglich sein, gute Näherungen zu finden, wenngleich beliebige Näherungen wohl ein Traum sind.

Gute Näherungen unserer Modelle zur Natur? Sicher!
Aber gute Näherungen hierzu: "Gefordert werden sollte, dass innerhalb des Gültigkeitsbereiches (der Modelle) Absurditäten vermieden werden."?
Kommt darauf an würde ich sagen, was man genau meint:

Unsere Theorien sind Modelle der Natur.
Wenn wir modellieren, dann soll das ja kein Flickenteppich sein; wir fordern an diesem Punkt stets, dass die Theorie/das Modell möglichst "aus einem Guss" sein soll.
D.h. aber, dass wir, wenn wir mit einem neuen Modell anfangen, also in erster Näherung, den Kern einer jeglichen Theorie möglichst weit fassen müssen.
Weil er im Kern möglichst weit sein muss, ergeben sich daraus zwangsläufig zunächst auch alle möglichen unphysikalischen Dinge.
Diese Dinge sortieren wir dann sozusagen erst im zweiten Schritt aus, indem wir das Modell verfeinern: die zweite Näherung.
usw.

D.h., dass ich glaube, dass die moderne NW insofern gerade den umgekehrten Weg geht, ja gehen muss: Neue, moderne Ansätze müssen geradezu am Anfang zunehmend weiter gefasst werden, damit sie (die immer mehr zunehmende) empirische Datenlage schon zu Beginn wenigstens prinzipiell zu umfassen in der Lage sind. Damit einher geht aber auch notwendig (zumindest zu Beginn) ein immer mehr zunehmender Teil der Theorie, der als unphysikalisch verstanden werden kann, insofern er nicht beobachtbar ist bzw. zu logischen Problemen führt bzw. zu Kollisionen mit unseren elementaren Grundannahmen über die Natur.

Kurz:
Moderne naturwissenschaftliche Theorien müssen in ihrem Kernbereich, in ihren sparsamsten Versionen allerlei Unphysikalsisches enthalten/zulassen.
Die mathematische Theorie muss im Kern immer weiter gefasst werden als die Natur.

Bildlich:
Wenn ich einen Baum 1:1 mit einem Stein abmodellieren will, dann muss der gewählte Stein zu Beginn notwendig größer als der Baum sein, weil ich dem Stein beim modellieren ja nichts mehr ankleben will, ich will nur Überflüssiges weghämmern, damit das Modell "aus einem Guss" bleibt.
Wenn ich den Baum in seiner Größe und Gestalt noch gar nicht genau sehe, weil er z.B. weit weg und im Nebel steht, dann muss ich zur Sicherheit einen noch viel größeren Stein wählen.


Das Schwierige ist dann bei der "Verfeinerung", das Ausschließen des (offenbar, oder scheinbar?) Unphysikalischen aus der Theorie:
Man möchte das nicht per ad hoc Annahme tun, man möchte das aufgrund der Untersuchung bzw. Generierung von empirischen Befunden tun - und, heute immer mehr zunehmend, aufgrund von rein mathematischen Überlegungen/Analysen/Schlussfolgerungen/Forschungsarbeiten tun könnnen.
Insofern erscheint es mir dann vernünftig zu fordern Absurditäten möglichst zu eliminieren - aber nur soweit es notwendig und plausibel erscheint, nicht weiter. Das ist sehr, sehr schwierig; inzwischen scheint es zunehmend gar schier unmöglich zu werden bzw. scheint es hier an manchen Fronten bald nur noch um den Preis der Aufgabe oder Aufweichung von uns bisher sehr wichtigen Grundprinzipien überhaupt wirklich weitergehen zu können (z.B. die Aufgabe der Forderung nach tatsächlicher empirischer Falsifikation, ob solches überhaupt noch als "weitergehen" bezeichnet werden kann oder nicht, wird heute schon diskutiert).

Grüße
seeker