Pippen hat geschrieben:
@skeltek: Meine Idee ging anders. Irgendwo habe ich mal aufgeschnappt, dass 0,333... in irgendeinem Stellenwertsystem eine endliche Zahl ist, wie zB 0,3. Also wäre meine Idee: Wir schauen nach einem Stellenwertsystem, wo 0,999... gleich sowas wie 0,9 ist und schauen dort nach, wie dort die Eins dargestellt ist und wenn es dort gleich sein sollte, dann müsste es auch im Dezimalsystem gleich sein, weil der Umrechnungsfaktor zwischen den Systemen ja gleich wäre. So wäre die (unausgegorene) Grundidee.
Im 3er-System ist 0,3~ ->0,1
Das verdreifachen ergibt 0,1+0,1+0,1 = 1,0
Man kann auch dort 1,0 = 0,2~ schreiben, allerdings ist es algorithmisch beim "hochmultiplizieren" eindeutig.
Die Sache ist die, dass beim Umwandeln der Dezimalzahl 0,3~ ins Dreiersystem -alleine wegen dem dazu verwendeten Algorithmus- leider
etwas noch viel häßlicheres heraus kommt als im Dezimalsystem.
Dort hast du dann glaube ich
0,022.002.200.220...
+0,000.210.212.111...
+0,000.002.012.001...
+...
was als Ziffernkette dann erstmal nur zunächst
ergibt.
Der Algorithmus bzw das Programm kann das jedoch nicht fertig hinschreiben, da es zu jedem Zeitpunkt erst kontrollieren muss, ob spätere Ziffern in der Summe 3 ergeben und einen Übertrag bilden, was aus den "2"ern auf einmal Nullen machen würde (Die Addition ist rekursiv und endet leider nie).
Aber es ist ein sehr gutes Beispiel, weil da dann
wirklich deutlich wird, dass man die Zahl erst hinschreiben kann, wenn man
jede Ziffernsumme rechts auf einen Übertrag hin überprüft.
Bei
ist es alleinig nur aus dem Grund möglich Zweifel zu ziehen, weil es ein so schönes und vor allem einfaches Beispiel ist mit nur 9ern, bei dem man bereits vorher weiss, dass der "Übertrag" es niemals wieder zurück ans vordere Ende der Ziffernkette schaffen wird - weil uns klar ist, dass er sich vorher "ins Unendliche" verdünnisiert hat.
Das ist aber nicht die Regel. Dass es auch andere Beispiele gibt, welche man erst bis zur letzten Ziffer (nicht existent) durchrechnen muss bevor die Ziffernkette eindeutig feststeht, zeigen uns bei der Auseinandersetzung mit ihnen deutlich, dass es sich nicht um eine Teilsummenfolge handelt, sondern um eine Summe von Differenzen.
Weiter unten habe ich auch nochmal ähnlich geschrieben was ich damit meine (Wobei ich lustigerweise das untere zuerst geschrieben hatte, es passt aber so gut zu dem Nachtrag von hier oben ^^).
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Was ich vorhin vielleicht besser hätte beschreiben sollen:
Die einzelnen Folgenglieder der "0,999..."-Darstellung sollte man als Teilsummen auffassen und nicht als Folge, welche auf die 1,0 zustrebt.
du betrachtest also nicht die Folge 0,9 -> 0,99 -> 0,999 -> 0,9999 usw
sondern die Differenzen, welche zu den Teilsummen aufsummiert werden:
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 usw
durch entsprechende Klammerung wird es intuitiv klarer, auf welchen Ursprung es zurückzuführen ist:
1 = 0,9+0,1 = 0,9+(0,09+0,01) = 0,9+(0,09+(0,009+0,001) = 0,9+(0,09+(0,009+(0,0009+0,0001)) = ...
somit erhälst du als Summe
= 0,9+0,09+0,009+0,0009+...
= 0,9999...
Die Übertragziffer "1" rückt also ans rechte Ende der Ziffernkolone.
Wenn du also 0,9~ betrachtest und mit 1,0 vergleichen möchtest, musst du ganz rechts am Ende der 9er-Kette schauen und nicht ganz links beginnen (Du willst ja wissen, was da "fehlt" oder was die beiden unterscheidet).
-> Da die "1" vorher "ins Unendliche" weg rückt, ist sie nicht mehr existent. Somit existiert die Differenz zwischen 1,0 und 0,9~ nicht mehr.
Algorithmisch passt das wunderbar ins Schema, da sich hier widerspiegelt, dass 0,9~ keine Zahl (im Sinne von "Wert") ist, sondern eine Summation an Einzelziffern mit unterschiedlichen Wertstellungen.
Man hat also die 1 in unendlich viele Stücke gespalten. Es ist wie du ja auch sagst völlig unmöglich, dass bei der Summation der Einzelwerte der Ziffern wieder 1 heraus kommt, solange man auch nur einen Summanden weg lässt.
Letztlich ist bewiese, dass keine der Teilsummen (Den Folgegliedern der Grenzwertbetrachtung) sein kann, da zu jedem Zeitpunkt mindestens ein Summand fehlt den du nicht berücksichtigt hast (der fehlende Summand ist auch gestückelt, was aber bei der Klammerung keine Rolle spielt).
Wie gesagt, für mich ist es wichtig, die Differenzen der Folgeglieder zu betrachten, welche erst in der restlosen Summe 1 ergeben.
Betrachtet man die Differenzen, stellt man schnell fest, dass es sich bei der 0,9~ Darstellung tatsächlich um eine Summe und nicht direkt um eine Zahl handelt.
Schöne Grüße, Skel