Abenteuer-Universum

Ist es richtig, dass gilt: Zwei reelle Zahlen a und b sind dann verschieden (nicht-gleich), wenn gilt: a<c<b, d.h. wenn zwischen ihnen eine weitere Zahl c (ungleich Null) liegt, die größer als a, aber kleiner als b ist? Und vor allem: Woraus leitet man das wie her? Bisher bin ich aus intuitiven Gründen immer davon ausgegangen, aber nun will ich es mal genau wissen, weil ich sonst einen schönen Beweis gefunden hätte, dass 0,9~ in IR doch kleiner als 1 ist. Aber dafür darf o.g. Satz nicht gelten.

Es gibt einen Unterschied zwischen Sprache, Schrift und Bedeutung.
Man kann chinesische Schriftzeichen zum Beispiel lesen, ohne auch nur ein Wort chinesisch sprechen oder verstehen zu können; man muss nur die Bedeutung der Schriftzeichen kennen um den Inhalt des Zeitungsartikels zu verstehen - auch wenn man zu keinem einzigen Symbol die tatsächliche Aussprache kennt. Da gibt es einen Unterschied zur Lautschrift.
Du solltest 0,9~, 1 und die Bedeutung der beiden nicht durcheinander bringen. 0,9~ ist eine Schreibweise, welche von einem nicht endenden Darstellungsversuch herrührt.
Wenn du irgendwann fertig geworden bist, 0,9~ aufzuschreiben, wirst du feststellen, dass die beiden gleich sind.

@Skeltek
0,9- bedeutet wohl Periode?.
Sieh in Wikipedia.
Dedekindscher Schnitt und Cauchy-Folge
MfG
Alberich

guten Morgen
@Alberich:
Ich nehme an er meint mit 0,9~ die Periodendarstellung,sonst ergäbe die Frage kaum Sinn.
Schnittaxiom und Cauchy-Folge sind vielleicht nette Stichworte, aber ich denke nicht, dass es seinem Verständnissproblem hilft seine Frage bzw Problemstellung umzuformulieren.
Eine Folge selbst erreicht den Grenzwert nicht nach endlich vielen Schritten sondern erst im "Unendlichen".
Das ist ja gerade der Punkt, dass die Ziffernfolge unendlich ist, also in anderen Worten "niemals endet".

Skeltek hat geschrieben:guten Morgen
@Alberich:
Ich nehme an er meint mit 0,9~ die Periodendarstellung,sonst ergäbe die Frage kaum Sinn.
Schnittaxiom und Cauchy-Folge sind vielleicht nette Stichworte, aber ich denke nicht, dass es seinem Verständnissproblem hilft seine Frage bzw Problemstellung umzuformulieren.
Eine Folge selbst erreicht den Grenzwert nicht nach endlich vielen Schritten sondern erst im "Unendlichen".
Das ist ja gerade der Punkt, dass die Ziffernfolge unendlich ist, also in anderen Worten "niemals endet".

Nach wie vielen Schritten endet die Cauchy-Folge?
Übrigens: Zu meiner Zeit sprach man von der Epsilontik (Münster:Behnke). Ist der Begriff heute noch gebräuchlich?
Mfg
Alberich

Alberich hat geschrieben: Nach wie vielen Schritten endet die Cauchy-Folge?

Sie endet niemals.

Skeltek hat geschrieben:Sie endet niemals.

Das war gemeint! Du wirst nicht fertig.
Dedekind unterteilt.
Alberich

Wir müssen vorher erstmal klären:

Ist es richtig, dass gilt: Zwei reelle Zahlen a und b sind dann verschieden (nicht-gleich), wenn gilt: a<c<b, d.h. wenn zwischen ihnen eine weitere Zahl c (ungleich Null) liegt, die größer als a, aber kleiner als b ist? Und vor allem: Woraus leitet man das wie her?

richtig
alberich

@alberich: Beweis? Woraus ergibt sich das wie?

Habt ihr da nicht einen Zirkelschluss?
Dann dürft ihr das ganze ja nochmal für c beweisen...
Dachte es geht euch darum zu zeigen, ob Darstellung und Identität der zu Grunde liegenden Zahl bijektiv zueinander sind.

Verdammt nicht einfach!
Ins Unreine gesprochen:
Eine Cauchy-Folge a-->c
Eine Cauchy-Folge b-->c
Über a-b ist eine Intervallschachtelung möglich. Nullfolge?
Dann folgt a=b?
Euren Formalismus für die math. Logik ist mir nicht so geläufig.
Ob das funktioniert?
MfG
Alberich

Alberich hat geschrieben:Verdammt nicht einfach!
Ins Unreine gesprochen:
Eine Cauchy-Folge a-->c
Eine Cauchy-Folge b-->c
Über a-b ist eine Intervallschachtelung möglich. Nullfolge?
Dann folgt a=b?

Nein, aus
a(n)-->c
b(n)-->c
und der Nullfolge
a(n)-b(n)-->0
folgt nur c=c

Du kannst aber schreiben:
a(n)-->c1 (Darstellung1 z.B. 7)
b(n)-->c2 (Darstellung2 z.B. 6,9~)
und der Nullfolge
a(n)-b(n)-->0
folgt c1=c2

Alberich hat geschrieben: Euren Formalismus für die math. Logik ist mir nicht so geläufig.
Ob das funktioniert?

In einfachen Worten versucht:
Der Grenzwertbildung der Summe über die ersten n Summanden für n->+unendlich entspricht der rekursiven Umkehrung der Division.
1=0,9+0,1=0,9+0,09+0,01=0,9+0,09+0,009+0,0009+0,0001= [0,9+...]
ist genau die Umkehrung von
[0,9+...] =0,9+0,09+0,009+0,0009+... = 0,99+0,009+0,0009+... =0,999+0,0009+...
Der einzige Streitpunkt ist, dass die Existenz der fertig abgeschlossenen Darstellung von dem eckig geklammerten nicht existiert; es ist nicht möglich unendlich lange weiterzuschreiben und dann fertig zu werden.

Skeltek hat geschrieben:Habt ihr da nicht einen Zirkelschluss?
Dann dürft ihr das ganze ja nochmal für c beweisen...

Daran hatte ich auch kurz gedacht, aber es dürfte wohl um die Konstruierbarkeit eines c gehen. - Definitionsgemäss hat man in R gegen Null gehende Zahlen z, und damit für jedes a die Möglichkeit ein z zu addieren, und doch kleiner als b zu bleiben. Erst wenn es kein z>0 gibt, gilt a=b.

Ja, darauf baute ich eben auf. Kein z>0 gibt es erst für c1=c2.
Für a(n) und b(n) existiert immer ein Wert dazwischen mit z>0 (n ist ja Element aus N, also nur endlich).
Erst für "n=unendlich" (völlig falsche Schreibweise), also für a(unendlich)=c und b(unendlich)=c gibt es kein z>0 mehr.

Erst wenn man fertig ist mit der Summation der Summanden (die 9er-Ziffern), ist man bei "n=unendlich" angekommen.

Skeltek hat geschrieben:Der einzige Streitpunkt ist, dass die Existenz der fertig abgeschlossenen Darstellung von dem eckig geklammerten nicht existiert; es ist nicht möglich unendlich lange weiterzuschreiben und dann fertig zu werden.

Ist Fortschreiten und Fertigwerden ein Kriterium? Würdest Du 0,9- als ungefähr 1 nennen? Bis 10^90 kannst Du auch nicht schreiben. Der Bereich N der ganzen Zahlen ist nach oben nicht begrenzt. Deswegen ist lim a und lim b =c.
Ist ein Kovergenzpunkt ein Punkt oder ein Bereich?
Meine Erinnerung Vorlesungen vor 65 Jahren kann mich täuschen.
MfG
Alberich

Skeltek hat geschrieben:Ja, darauf baute ich eben auf. Kein z>0 gibt es erst für c1=c2.
Für a(n) und b(n) existiert immer ein Wert dazwischen mit z>0 (n ist ja Element aus N, also nur endlich).

Woraus ergibt sich das? Aus dem Vollständigkeitsaxiom?

Ich will euch mal meine Beweisidee erstmal kursorisch präsentieren. Es ist ein atypsicher Induktionsbeweis. Ich beweise, dass 0,999... < 1. Wir nutzen dabei die Erkenntnis, dass bei 0,999... gilt: hinter jeder 9 kommt wieder eine 9, also: wenn Dezimalstelle s=9, dann s+1=9. Induktionsanfang: 0,9 < 1. Induktionsschritt: Wenn 0,9s2s3s4...sx < 1, dann auch 0,9s2s3s4...sx+1 < 1. Das dürfte ziemlich offensichtlich und leicht zu beweisen sein. Damit gilt für beliebige Dezimalstellen sx der Zahl 0,999..., dass dort die Zahl kleiner als 1 ist. Dadurch können wir generalisieren und kommen so zum Allquantor und können damit sagen: Bei allen Dezimalstellen der Zahl 0,999... gilt, dass die Zahl dort kleiner als 1 ist und damit gibt es keine Stelle, wo sie gleich 1 ist.

Dieser Beweis erscheint mir sehr plausibel, aber meine Widerlegung wäre eben: Ok, wenn du also beweisen hast, dass 0,999...< 1, dann müsste es eine Zahl z geben, die zwischen beiden liegt. Daher muss ich wissen, ob man das einwenden kann/darf bzw. warum die Zahl 0,000...1 keine reelle Zahl wäre.

Pippen hat geschrieben:

Skeltek hat geschrieben:Ja, darauf baute ich eben auf. Kein z>0 gibt es erst für c1=c2.
Für a(n) und b(n) existiert immer ein Wert dazwischen mit z>0 (n ist ja Element aus N, also nur endlich).

Woraus ergibt sich das? Aus dem Vollständigkeitsaxiom?

[a(n)-b(n)] ist eine Nullfolge; es gibt kein z>0, sodass für jedes n die [a(n)-b(n)]>=z.
Egal wie klein man z wählt, wird es immer ein n₀ geben, sodass [a(n₀)-b(n₀)]<z
Es ergibt sich schlicht daraus, dass z entweder größer 0 oder gleich 0 ist; dazwischen bibt es nichts. Entweder die Annahme ist verletzt oder z ist 0.

Pippen, Skeltek hat hier völlig Recht:

Skeltek hat geschrieben:Es gibt einen Unterschied zwischen Sprache, Schrift und Bedeutung.

Du musst streng unterscheiden zwischen einer Zahl an sich und der Darstellung einer Zahl.
Deine Analysen untersuchen nur die Darstellung höchstens noch die Konstruktion von Zahlen. So kannst du höchstens untersuchen ob die Darstellung oder Konstruktion der Eins als "0,9999..." korrekt ist oder nicht!
(Tatsächlich läuft dein Beweis nur darauf hinaus, dass die Eins nicht als endliche 0,999.. -Folge darstellbar ist, wenn die Anzahl der 9er also endlich bleibt.)

Die Eins kann ich ja darstellen als "1", als "2/2", "8/8", "0,9999...", als einen Punkt auf einer Zahlengeraden, usw. usw.
Es gibt unendlich viele Darstellungsmöglichkeiten.

Du fragst ob zwischen der "0,999..." und der "1" noch eine Zahl ist.

Gegenfrage:
Ist zwischen der "1" und der "1,000000..." noch eine Zahl?
(Woher willst du wissen, ob hinten bei den Nullen nicht doch noch irgendwann eine andere Ziffer kommt?)

Das Problem ist hier auch, dass die allermeisten Zahlen in R nicht darstellbar sind! (die allermeisten transzendenten Zahlen)
Dennoch gehen wir von deren Existenz aus, weil wir ja auch von der Existenz der darstellbaren transzendenten zahlen ausgehen (z.B. Pi).

Außerdem können wir in R von keiner einzigen Zahl die Nachfolger- oder Vorläuferzahl darstellen. Dennoch gehen wir von der Existenz der Zahlenmenge "R" aus.

Also immer schön zwischen Darstellung und dem was gemeint ist trennen!
Sinnvollerweise muss mit 0,9999..., 1, und 1,0000... dasselbe gemeint sein.

Gruß
seeker

seeker hat geschrieben:Du fragst ob zwischen der "0,999..." und der "1" noch eine Zahl ist.

Ich meine es zu beweisen! Die Zahl 0,999... ist ja nichts anderes als die Folge: 0,9 + 0,09 + 0,009 + usw. Ich kann jetzt beweisen, dass für eine beliebige Stelle a_n dieser Folge eine Zahl zwischen der Summenfolge bis zu a_n und der Eins liegt. Das dürfte auch ohne formalen Beweis einsichtig sein. Wenn aber die Folge an beliebiger Stelle kleiner als Eins ist, dann ist sie kleiner als Eins. Das liegt an der universellen Generalisierung in PL, wonach man bei Beliebigkeit auf Allheit schließen darf. MaW: Die Eins mag mannigfaltig darstellbar sein, aber sie ist es nicht in Form der Folge 0,999... bzw. 0,9 + 0,009 + usw. und genau das behaupten ja die Mathematiker. Also muss in meinem Beweis ein Fehler sein und mich interessiert, wo der genau ist.

Pippen hat geschrieben:Das liegt an der universellen Generalisierung in PL, wonach man bei Beliebigkeit auf Allheit schließen darf.

Ich glaube nicht, dass man das hier darf, bzw. nicht in dem Sinne, ich glaube du bringst da was durcheinander.

Klar ist, dass für die Folge 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... < 1 gilt, für beliebig viele Summanden.
D.h. jede (= Schluss auf Allheit) endliche Folge dieser Art ist ungleich 1.

Jedoch gilt für genau diese Folge, wenn aktual unendlich viele Summanden vorliegen, 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 1.
(hier gilt der Schluss auf Allheit nicht)

D.h. wiederum, dass wir hier eine Konstruktionsvorschrift für die 1 angeben können, eben 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,99999... (bis ins Unendliche, aktual!), aber eben nur als Vorschrift, denn wir können diese Vorschrift nicht explizit ganz aufschreiben (da unendlich, wir werden nicht fertig).

Explizit haben wir hier nur eine Vorschrift für eine Folge, die sich der 1 beliebig (bzw. so weit, wie wir es halt aufschreiben) annähert. Die 1 ist dann der Grenzwert der Folge.

Das ist der Unterschied...



Gruß
seeker

Ja, das war wohl der Fehler, vielen Dank für die Klarstellung. Ich habe vergessen, dass hier die Mathematik mit aktual unendlichen Folgen arbeitet.

Hier übrigens ein schönes Video zur ganzes Thematik. Dabei wird dort vorausgesetzt, dass man weiß, dass die Folge: (1/10)ⁿ, also 1+0,1+0,01+0,001+..., für n = 0 bis unendlich den Grenzwert 10/9 hat. Wie beweist man das Schritt für Schritt? Weiß das jemand?

@Pippen (vorletzter Beitrag):
Mit deiner Beweismethode könnte man sonst auch beweisen, dass wenn man alle natürlichen Zahlen 1+2+3+4+5+... aufsummiert nicht unendlich herauskommt, weil egal was man addiert die Zahl endlich bleibt und es etwas größeres gibt (es wird immer eine Zahl geben die größer ist).
Also kannst du es für jedes n aus N beweisen, aber nicht für "n=unendlich".

@Pippen (letzter Beitrag):
Analog zu oben.
Du musst beweisen, dass zwischen (1+0,1+0,01+0,001+...) und (0,1~) keine weitere Zahl r existiert, weil die Folge irgendwann auf jeden Fall größer wird als (0,1~)-(r).

seeker hat geschrieben:Das Problem ist hier auch, dass die allermeisten Zahlen in R nicht darstellbar sind!

Ich denke, darstellbar sind grundsätzlich alle reellen Zahlen (z.B. mittels Intervallschchtelung oder Dedekindscher Schnitte). Allerdings sind reelle Zahlen nicht aufzählbar, und damit sind 'fast alle' reellen Zahlen auch nicht konstruierbar (wenn man unter Konstruktion eine algorithmische Konstruktion versteht, da die Menge aller Algorithmen, Programme sowie allgemein Turingmaschinen inkl. deren Inputs abzählbar und somit kleiner als die Menge der reellen Zahlen ist).