Hinweis auf die DSGVO: Auf unserer Seite werden keine Dritt-Anbieter-Cookies verwendet und nur Daten erfasst, welche für das Minimum an Board-Funktionalität notwendig sind.
Bevor Sie sich registrieren oder das Board verwenden, lesen Sie bitte zusätzlich die DSGVO-Erklärung, welche in der Navigationsleiste verlinkt ist.

Kurzfassung der unserer Meinung nach wichtigsten DSGVO-Punkte:
Es kann vorkommen, dass Benutzer eigenverantwortlich Videos oder sonstige Medien in ihren Beiträgen verlinken, welche beim Aufruf der Forenseite als Teil der Seite samt zugehörigem Material mitgeladen werden. Sollten Sie dies nicht wünschen, verwenden Sie beim Benutzen des Forums einen Blocker wie z.B. uMatrix, welcher das Laden von Inhaltsblöcken von Fremd-URLs effektiv unterbinden kann.
Wir blenden keine Werbung ein und schränken die Inhalte in keinster Weise bei Benutzung von Addblockern ein. Dadurch ist die Grundfunktionalität des Forums auch bei vollständigem Blockieren von Drittanbieter-Inhalten stets gegeben.

Cookies werden unsererseits nur verwendet um das Einloggen des Benutzers für die Dauer der Forenbenutzung zu speichern. Es steht dem Benutzer frei die Option 'Angemeldet bleiben' zu verwenden, damit der Cookie dauerhaft gespeichert bleibt und beim nächsten Besuch kein erneutes Einloggen mehr notwendig ist.
EMail-Adressen werden für Kontakt bei wichtigen Mitteilungen und zur Widerherstellung des Passwortes verwendet. Die verwendeten IPs können von uns ohne externe Hilfsmittel mit keiner realen Person in Verbindung gebracht werden und werden nach spätestens 7 Tagen gelöscht. Diese IPs werden höchstens verwendet um Neuanmeldungen unerwünschter oder gesperrter Nutzer zu identfizieren und zu unterbinden. Wir behalten uns daher vor bei Verdacht, die Frist für die IP-Löschung auf maximal 14 Tage zu verlängern.
Unsere Webseite läuft auf einem virtuellen Linux-Server, welcher von einem externen Anbieter gehostet wird. Etwaige Verstöße der DSGVO-Auflagen seitens dieses deutschen Hosters können wir nicht feststellen und somit auch nicht verfolgen.
Wir halten Backups unserer Datenbanken, welche in regelmäßigen Abständen als Schutz vor Katastrophen, Hackerangriffen und sonstigen Ausfällen erstellt werden. Sollte ein Nutzer die Löschung seiner Daten wünschen, betrachten wir es als Unzumutbar die Backups auch von den Daten zu befreien, da es sich hierbei um eine mehrtägiges Unterfangen handelt - dies ist für eine Einzelperson beim Betrieb eines privaten Forums nicht zumutbar möglich ohne das Backup komplett zu löschen.
Sollten Sie etwas gegen die dauerhafte anonyme Speicherung ihrer EMail-Adresse, ihres Pseudonyms und ihrer Beiträge in einem Backup haben, sehen Sie von der Registrierung in diesem Forum ab. Für Mitglieder, welche vor dem 25.05.2018 registriert waren steht jedoch das Recht im Raum, eine Löschung der Datenbank-Backups zu beantragen.



Wenn dies Ihr erster Besuch hier ist, lesen Sie bitte zunächst die FAQs sowie die wesentlichen Regeln zur Benutzung des Forums.
Um an den Diskussionen teilnehmen zu können, müssen Sie sich zunächst registrieren.

Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Mathematische Fragestellungen
Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 11. Jan 2016, 00:47

@Alberich:

Nochmal: Die Definition "A=B, genau dann (also nur dann!), wenn zwischen A und B keine weitere Zahl C existiert" führt bei den ganzen Zahlen (Z) zu einem Widerspruch,denn:

1. Zwischen 1 und 2 existiert keine weitere Zahl --> 1=2
2. Zwischen 2 und 3 existiert keine weitere Zahl --> 2=3 --> 1=3
3. Zwischen 1 und 3 existiert eine weitere Zahl, nämlich die 2 --> 1≠3
Widerspruch!

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 11. Jan 2016, 00:55

@Tom:
In dem verlinkten Wiki-Artikel wird gar keine aktuale Unendlichkeit verwendet/vorausgesetzt:
Ordnungstheoretisch lassen sich die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen definieren. Sind , Teilmengen der rationalen Zahlen, Untermengen zu den reellen Zahlen a,b (das heißt bzw. ist die Menge aller rationalen Zahlen kleiner als a bzw. b), so ist genau dann, wenn Teilmenge von ist.

Reelle Zahlen lassen sich auch als Cauchy-Folgen rationaler Zahlen repräsentieren. Seien und rationale Cauchy-Folgen, die die reellen Zahlen a bzw. b repräsentieren. Es gelte dann genau dann, wenn a=b (also die Äquivalenz der beiden Cauchy-Folgen) oder für alle bis auf endlich viele gilt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleich ... Definition

"kleiner oder gleich", weiter kommst du alleine mit der potentiellen Unendlichkeit nicht, so wie ich das verstehe...
Das macht m. E. auch Sinn.

P.S.: Und das reicht auch um eine Ordnung der Zahlen herzustellen.

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3840
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 11. Jan 2016, 09:10

Leutz, ihr habt glaube ich den Threadopener aus de Augen verloren.
Pippen, kommst du überhaupt noch mit?
Mit welchen ansätzen kannst du hier nun eigentlich am ehesten etwas anfangen und welche sind eher nicht so nachvollziehbar?
Scheinst dich ja jetzt eine Seite lang ausgeklingt zu haben.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
Alberich
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 211
Registriert: 18. Mär 2015, 22:25
Wohnort: Bad Homburg
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 11. Jan 2016, 10:01

seeker hat geschrieben:Leute, ihr habt glaube ich den Threadopener aus den Augen verloren.
Sehe ich auch.
a=b ist identität für alle Zahlenkörper. Auch 2=2. Natürlich kein Zwischenwert.
Reeller Zahlenraum: Wenn Cauchy von links und Cauchy von rechts in a<c<b den Wert c erreichen, dann a=b
Für Konstruktivisten (jemand nannte sich so!) sind unendlich viele Schrritte nicht akzeptabel. D.h. die limes existieren nicht oder sind zumindest unerreichbar. Dann immer: a<b. Zwischenwert etwa c=(a+b)/2
Das Einschachteln verlangt ebenfalls unendlich viele Schritte.
Frage: Was ist heute Lehrmeinung? Hilbert, Brouwer, Lorenzen??? Gibt es Einigkeit in der Metamathematik über Begriff:Unendlich?
Suchend
Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3840
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 11. Jan 2016, 10:38

Also ich denke immer noch, dass
1/2+1/2 = 3/4+1/4 = 7/8+1/8 = 15/16+1/16 = ... = 0,9~ + 0,0~ = 1 ergibt...
Was ist denn nun die fehlende Differenz 0,0~ ?
Man teilt die 1 ja nur in unendlich viele 9/(10^z) auf...
Irgendwie werden meine Argumente immer einfacher und primitiver ^^
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 11. Jan 2016, 14:45

Ich denke, es ist so:


Gegeben sei:









Es folgt daraus:

A + B = D bzw. A + B = 1, für beliebige n (n >= 1)

-->

Hier könnte man noch zweifeln und evtl. überlegen, ob nicht doch A = 1 im potentiell Unendlichen gelten müsste, aber:

A + C < D bzw. A + C < 1, für beliebige n

-->

Jedoch ergibt die Epsilon-Methode, dass A beliebig nahe an 1 liegt bzw. A dorthin konvergiert.

Daher gilt allgemein:

--> , für beliebige n

bzw.

--> , bei angenommener potentieller Unendlichkeit der Nachkommastellen der linken Seite des Ausdrucks

Aber:

Grenzwert von A = 1
Grenzwert von B = 0
Grenzwert von C = 0
(beisweisbar über die Epsilon-Methode mit beliebigen n)

Daher:

GW A + GW B = 1

ebenso

GW A + GW C = 1

Anm.: Der Begriff der aktualen Unendlichkeit wurde hier überall vermieden!

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 12. Jan 2016, 00:49

seeker hat geschrieben:Die Definition "A=B, genau dann (also nur dann!), wenn zwischen A und B keine weitere Zahl C existiert" führt bei den ganzen Zahlen (Z) zu einem Widerspruch,denn:

1. Zwischen 1 und 2 existiert keine weitere Zahl --> 1=2
2. Zwischen 2 und 3 existiert keine weitere Zahl --> 2=3 --> 1=3
3. Zwischen 1 und 3 existiert eine weitere Zahl, nämlich die 2 --> 1≠3
Widerspruch!
Dazu noch ein Nachtrag:
Ich kann anscheinend etwas Entsprechendes auch in R konstruieren!

Annahme:
"A=B, gilt in R genau dann, wenn zwischen A und B keine weitere Zahl C existiert!"

Nehmen wir dazu folgendes an:

A = 1/n, mit n = 1 --> +unendlich
B = 0
C = -1/n, mit n = 1 --> +unendlich

Die Grenzwerte sind die folgenden:

GW A = 0
GW C = 0

Wenn man jetzt einfach hergehen würde und die Grenzwerte von A und C mit den Zahlen A und C selbst identifizieren würde, bekäme man Probleme, denn dann ergäbe sich:

1. Zwischen A und B existiert (für n --> unendl.) keine weitere Zahl --> A=B
2. Zwischen B und C existiert (für n --> unendl.) keine weitere Zahl --> B=C --> A=C
Das ist aber ein Widerspruch, denn dann würde gelten:
1/n = -1/n (mit n=1 --> +unendlich) |x n, n>=1
--> 1 = -1
Widerspruch!

Ich meine, dass es deshalb so nicht definiert wird. Der Grenzwert einer Zahl ist nicht die Zahl selbst!
Und für die Wohlordnung von R reicht es offenbar aus, wenn man bei zwei beliebigen Zahlen nachweisen kann, dass z.B. A >= B.
D.h., dafür braucht man die aktuale Unendlichkeit nicht bemühen, es reicht hierfür die potentielle.

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 10261
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 12. Jan 2016, 23:24

Ja, du sagst es selbst, dass für die Grenzwerte bei (noch) endlichen N diese Gleichheit nicht gefolgert werden kann.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 12. Jan 2016, 23:42

Ja, da sind wir uns einig.
Ich sage nun noch, dass man für diese (eindeutige) Gleichheit (der Grenzwerte mit den entspr. Reihen) die aktuale Unendlichkeit bräuchte, jedoch kann man darauf auch leicht verzichten, wenn es einem nur darum geht die Ordnung der Zahlen im Zahlensystem sicherzustellen - dafür reicht die pot. Unendlichkeit aus. (Ich denke, das ist das, worum es dir ging?)

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
Alberich
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 211
Registriert: 18. Mär 2015, 22:25
Wohnort: Bad Homburg
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 13. Jan 2016, 08:21

Jede rationale Zahl ist in eine reelle umwandelbar. Auch
1/3 = 0,33333333333333333333333.............
Multiplikation mit 3 ergibt
1 = 0,9999999999999999999999999...................
Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 13. Jan 2016, 09:25

Alberich hat geschrieben:1/3 = 0,33333333333333333333333.............
Und das stimmt eben so schon nicht, bzw. ist ungenau/uneindeutig!

Richtig ist:



Diese in der Praxis meist angewendete Schreibweise ist aber auch etwas ungenau bzw. kann zu Missverständnissen führen, in dem, was damit genau gemeint ist.
Um es mal ganz ausführlich hinzuschreiben:



Ausgesprochen:
Der Grenzwert gegen Unendlich der Reihe ist gleich 1/3, nicht die Reihe selbst ist gleich 1/3!

Und deshalb gilt auch:

1/3 ≠ 0,333333333... !

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3840
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 13. Jan 2016, 09:42

Alberich hat geschrieben: Jede rationale Zahl ist in eine reelle umwandelbar.
Der Satz scheint mir keinen tieferen Sinn zu haben... das ist als würde man sagen
"Jede Katze ist in ein Tier umwandelbar."
Rationale Zahlen sind alle reel, auch wenn nicht jede reele Zahl rational ist.

@Seeker:
Hatten wir bereits ohne Formelschreibweise.
An+Bn :=
0,9+0,1 = 0,9 + (0,09+0,01) = (0,9+0,09) + (0,009+0,001) = (0,09+0,009+0,0009) + (0,00009+0,00001) = ...
Zu zeigen war, dass jeder Summand größer Null, der in der rechten Klammer B latent enthalten ist, früher oder später bei A landet;
also lim Bn->unendlich = 0
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
Alberich
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 211
Registriert: 18. Mär 2015, 22:25
Wohnort: Bad Homburg
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 13. Jan 2016, 10:09

@skeltek
OK! Gemeint war: als Dezimalzahl geschrieben werden..
Alberich hat geschrieben:Der Grenzwert gegen Unendlich der Reihe ist gleich 1/3, nicht die Reihe selbst ist gleich 1/3!
0,99............... ist keine Reihe, sondern eine unendliche Dezimalzahl. Ist Pi endlich?

Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 13. Jan 2016, 10:40

Alberich hat geschrieben:0,99............... ist keine Reihe, sondern eine unendliche Dezimalzahl.
Davon hab ich's ja die ganze Zeit.
Wenn du schreibst "0,9999...", dann wird das nach allgemeinem Konsens als Reihe verstanden.
So eine Reihe wird im Endlichen definiert, anders geht es gar nicht.
Und das passt auch, denn wo wäre denn hier der Unterschied zwischen



und

0,9999....?

Und dann gilt eben 0,99999... ≠ 1.
Erst bei der Limesbetrachtung kommt man dann dazu, dass der Grenzwert der Reihe gleich 1 ist.
(D.h. aber eben noch nicht, dass auch die Reihe mit ihrem Grenzwert identisch sein muss. Es gibt ja auch Reihen, deren Grenzwerte identisch sind, ohne dass die Reihen selbst identisch wären; siehe meinen Beitrag weiter oben mit +/-.)

Nur wenn du nun (entgegen dem allg. Konsens) behauptest, dass mit "0,9999..." eigentlich gemeint sei, dass da aktual unendlich viele Nachkomma-Neuner dastehen sollen (stehen sie aber nicht...), dann würde gelten: 0,9999... = 1.
Nur: Wie willst du beweisen, dass das tatsächlich dasteht und dass das tatsächlich gilt? Das geht nicht, also müsstest du es sozusagen ad hoc postulieren bzw.definieren.
Nur: Warum sollte man? Wozu soll das gut sein? Es ist gar nicht notwendig!
(Ich könnte an der Stelle ja auch eine Gegenbehauptung aufstellen und behaupten: Nein! "0,99999...", aktual-unendlich verstanden, ist mit "1" nicht identisch. Es ist vielmehr die direkte Vorläuferzahl von 1, eine der beiden Nachbarzahlen von 1. Wie willst du mich widerlegen? Das kannst du nicht. Du kannst es nur "so oder anders" definieren und schauen was dann jeweils herauskommt, was daraus dann jeweils folgt.)
Alberich hat geschrieben:Ist Pi endlich?
Pi "an sich" ist, was es ist. Eine vollständige Darstellung von Pi in Dezimalschreibweise ist unmöglich.
Daher gilt:

3,1415... ≠ Pi, denn wie willst du hier beweisen, dass mit "3,1415..." Pi gemeint ist und nicht eine andere Zahl?
Woher soll man das wissen?

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
Alberich
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 211
Registriert: 18. Mär 2015, 22:25
Wohnort: Bad Homburg
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 13. Jan 2016, 13:29

@sekeltek
Nach Studium des folgenden links ist meine Unkenntnis genau so groß wie zuvor, aber auf weit höherem Niveau.
https://de.wikipedia.org/wiki/Potentiel ... ndlichkeit

Zunächst: Als Physiker habe ich 1952 weder den : als Definition noch bijektiv für ein-ein-deutige Abbildung gekannt. Aber sicher schließe ich mich dem heutigen Konsens an.

Welcher das in Beziehung zur Unendlichkeit nun ist, geht jedoch aus dem link nicht klar hervor.
Schon in der Grundschule lernten wir 1:3=0,3.. und immer so weiter. Irgendwann wurde 0,9- erwähnt.
Also das, was man aktuale Unendlichkeit nennt.

Bedeutet das Brouwers intuitive oder Hilberts formale Logik? Kann es sein, dass der konstruktive Formalismus mit Einführung von Rechenautomaten an Bedeutung gewann?

In deiner Reihenentwicklung sprichst du von latenter Eigenschaft der Klammerausdrücke. Trotz naheliegender Einsicht, muss das bewiesen werden?

Ich erinnere mich an eine Vorlesung, in der über 45 Minuten bewiesen wurde dass es nur eine Null gibt.
Ich räume ein, das meine Gedanken im Rahmen des Themas weit abschweiften.

Kleiner Epsilon ist -so meine ich- nicht nur an ein N, sondern auch an die Jahreszahl gebunden.
Du nanntest dich einmal Konstruktivist. Ich folge dir und gebe dir recht.

Freundliche Grüße
Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 13. Jan 2016, 14:35

Skeltek hat geschrieben:Hatten wir bereits ohne Formelschreibweise.
An+Bn := ...
Ja. Aber pass mit den Klammern auf, so lange du noch nicht festgestellt hast, ob die Reihe konvergiert: :)
https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28 ... .C3.A4t.29

Und nur weil B den Grenzwert Null hat, heißt das noch nicht, dass A = 1.
Es heißt nur, dass der Grenzwert von A gleich 1 ist.

Wenn man (wie weiter oben gezeigt) B so wählt, dass sogar im endlichen Bereich stets A + B < 1 gilt, dann könnte man (in einer bestimmten Sichtweise/Definition/Randbedingungen) sogar argumentieren, dass 0,999... nicht nur < 1 sei, sondern dass zwischen 0,999... und der 1 sogar noch mindestens eine weitere Zahl liegen müsse.

Es kommt eben auf die Definitionen an und auch was konsensfähig und praktikabel ist...

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 13. Jan 2016, 15:04

Alberich hat geschrieben:Aber sicher schließe ich mich dem heutigen Konsens an.

Welcher das in Beziehung zur Unendlichkeit nun ist, geht jedoch aus dem link nicht klar hervor.
Ich würde sagen das hier:
Die klassische Mathematik und gleichzeitig die überwiegende Mehrheit der heutigen Mathematiker akzeptiert das aktual Unendliche für alle Mengen, die sich auf der Grundlage der Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre definieren lassen: Das Unendlichkeitsaxiom liefert die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen, das Potenzmengenaxiom die der reellen Zahlen. Auf dieser axiomatischen Grundlage ergibt sich eine unendliche Vielzahl von Stufen der aktualen Unendlichkeit, die durch unterschiedliche Kardinalzahlen gekennzeichnet sind. Für die Kardinalzahlen lässt sich, ähnlich wie für die reellen Zahlen, kein allgemeiner Entstehungsprozess angeben, der alle erzeugen könnte. Ob die „Gesamtheit aller Kardinalzahlen“ ein sinnvoller Begriff ist, ob man sie als aktuale Unendlichkeit auffassen kann, ist auch unter Mathematikern umstritten. Diese Gesamtheit als Menge im Sinne der axiomatischen Mengenlehre aufzufassen, führt nämlich zu einem logischen Widerspruch (erste Cantorsche Antinomie).
https://de.wikipedia.org/wiki/Potentiel ... ndlichkeit

D.h. aber nicht, dass "0,9999..." tatsächlich als "aktual-unendlich" verstanden werden muss.
Ich würde sagen: Wo immer es ohne Nachteile geht, verzichtet man dennoch auf das aktual-Unendliche und bleibt beim weniger problemastischen potentiell-Unendlichen.
Das ist hier gegeben. Und "0,9999...." ist eben sowieso etwas, das -so wie es da steht- nicht aus sich heraus eindeutig aussagt, was eigentlich damit genau gemeint sein soll. Deshalb ist es hier immer besser, man verwendet einen eindeutigeren Ausdruck.

Wenn du z.B. wissen willst, was denn 1/3 ist, was machst du dann? Wie findest du es heraus?
Du rechnest natürlich!

Es ergibt sich:
1/3 = 0,3 Rest 0,1, den Rest auch durch 3 ergibt:
1/3 = 0,3 + 0,03 Rest 0,01, den Rest auch durch 3 ergibt:
1/3 = 0,3 + 0,03 + 0,003 Rest 0,001, usw.

Bis hierher gibt es nicht den geringsten Zweifel, nicht die geringste Uneinigkeit über die Richtigkeit der Rechnung, gleich welcher philosophischen Position du zuneigst.

Wenn du Ultrafintist bist, dann sagst du: Irgendwann muss ich aufhören zu rechnen. Was danach passiert, darüber weiß ich nichts mit Sicherheit!
Damit bist du zwar auf der ultrasicheren Seite, bist in deiner Mathematik aber doch arg begrenzt: Du kannst nicht einmal irgendein Integral exakt ausrechnen.

Wenn du gemäßigter Konstruktivist bist, also immerhin die potentielle Unendlichkeit akzeptierst, dann kannst du genau das, denn du kannst dann z.B. die Epsilon-Methode verwenden, einen Algorithmus angeben und exakte Grenzwerte ausrechnen: Deine dir mögliche Mathematik wird allgemein viel reichhaltiger.

Jetzt kannst du sogar noch Platonist sein, dann ist das alles eh kein Problem mehr... (und deine dir mögliche Mathematik wird noch reicher)
Aber der Punkt ist: Das ist hier gar nicht nötig!

D.h.: Der wohl maximal mögliche Konsens lässt sich beim Problem hier auf der Ebene des gemäßigten Konstruktivisten finden.

... und dann gilt 0,9999... < 1 oder = 1 (man muss das dann hier gar nicht festlegen), aber 0,999... ist sicher nicht größer 1 und der Grenzwert davon ist sicher 1. (Damit hat auch der Platoniker kein Problem.)

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3840
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 13. Jan 2016, 16:54

Alberich hat geschrieben: Du nanntest dich einmal Konstruktivist. Ich folge dir und gebe dir recht.
Danke. Ich finde es ist schon bei den natürlichen Zahlen so, wenn man schreibt:
Menge N = { 1,2,3,4,... }
Das "Klammer zu" kommt ja nie.
Aktuale mit potetieller Unendlichkeit verglichen ist wie ein den Flächeninhalt eines Quadrates mit oder ohne seine Umrandung zu betrachten...
Oder ein unendlich hohes Glas mit dem Wasser darin - einmal mit und einmal ohne den Deckel oben drauf...
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
Alberich
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 211
Registriert: 18. Mär 2015, 22:25
Wohnort: Bad Homburg
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 13. Jan 2016, 17:50

@Skeltek
Wie ist das jetzt mit dem Differentialquotienten? Wie kommt man zur Tangente? Hinweis genügt.
MfG
Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3840
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 13. Jan 2016, 19:48

Sorry Alberich, ich habe jetzt ganz grob überschlagen 7 Sachen im Kopf auf die du dich beziehen könntest.
3 Sachen von mir, 2 von Seeker und 2 andere Sachen.
Kannst du kurz zitieren oder schreiben welchen Differentialquotienten du meinst?

@seeker:
hol dir mal Skype, dann kannste mal mit mir und Stephen bissl mitplauschen :-D
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1810
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Pippen » 14. Jan 2016, 09:21

tomS hat geschrieben:Wenn man diese Identität annehmen will, dann benötigt man das aktual Unendliche. Wenn man es für ausreichend hält, dass die Folge als Darstellung von "etwas" steht, das sich nur "beliebig wenig" von Eins unterscheidet, dann genügt das potentiell Unendliche.
Offensichtlich vertritt die h.M. der Mathematik die Identität zwischen 0,999... und 1, denn mit der Grenzwertdogmatik und ihrer potentiellen Unendlichkeitsbeschreibung bliebe 0,999... immer kleiner als 1, wenn auch der Abstand beliebig klein würde, so bliebe er eben dennoch immer ein Abstand größer Null. Damit muss die h.M. der Mathematik mir sagen, was dieses "aktual Unendliche" sein soll - (wie) wird das definiert?

@skeltek: Gibt es ein Stellenwertsystem, wo 0,999.. eine endliche Zahl ist, so wie 0,333... im 3-er System eine 0,1 ist?

Skeltek
Site Admin
Beiträge: 3840
Registriert: 25. Mär 2008, 23:51
Wohnort: Stuttgart, Germany
Kontaktdaten:

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 14. Jan 2016, 11:44

Pippen hat geschrieben: @skeltek: Gibt es ein Stellenwertsystem, wo 0,999.. eine endliche Zahl ist, so wie 0,333... im 3-er System eine 0,1 ist?
Glaube nicht, selbst binär kann man 0,9~ es als 0,1~ schreiben.
0,333... kann übrigens im "3er"-System auch als 0,02~ statt 0,1 geschrieben werden (das hatte ich oben glaube ich nochmal korrigiert gehabt)
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 14. Jan 2016, 16:10

Pippen hat geschrieben:Gibt es ein Stellenwertsystem, wo 0,999.. eine endliche Zahl ist, so wie 0,333... im 3-er System eine 0,1 ist?
Hab ich mich auch schon gefragt, ob es Zahlensysteme gibt, wo eine Bruchzahl wie 1/3 mit endlich vielen Nachkommaziffern geschrieben werden kann.
Scheinbar hilft das aber auch nicht wirklich weiter.

0,3333... ist bei Umrechnung ins 3-er System jedenfalls nicht direkt 0,1 sondern zunächst 0,02222... (wie auch Skeltek sagt), im Prinzip wieder erst bei aktual unendlich vielen Nachkomma-3ern im 10er-System springt das dann im 3er-System zu 0,1 um (rechnerisch rundet der Algorithmus einfach irgendwann das "0,0222..." zu "0,1").

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scri ... ysteme.htm
Pippen hat geschrieben:Offensichtlich vertritt die h.M. der Mathematik die Identität zwischen 0,999... und 1
Wie ich schon geschrieben habe: Nicht unbedingt. Für die meisten Anwendungsfälle und Schlussfolgerungen (z.B. die Wohlgeordnetheit von R) kann man diese Frage wohl auch einfach offen lassen und sagen "0,999... <= 1". Nur für ganz bestimmte Fälle scheint man das entscheiden zu müssen - und da mag sich dann die Konstruktivistenminderheit mit der Platonistenmehrheit streiten, ja.

Vielleicht hilft das hier ein wenig weiter:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~nchris ... ematik.pdf
http://www.hs-kl.de/~brackly/Mathe/vork ... ematik.pdf

Mir persönlich sind zugegebenermaßen besonders die reellen Zahlen immer noch irgendwo suspekt, denn einerseits soll R ein Kontinuum sein und andererseits soll dieses Kontinuum etwas Diskretes enthalten, nämlich konkrete Zahlen. Da steckt ein Widerspruch drin, der mir nicht ganz auflösbar scheint, er kann m. E. nur "im Unendlichen versteckt" oder ignoriert werden. Pragmatisch gesehen scheint das aber alles irgendwo wiederum kein Problem zu sein.
(Etwas Kontinuierliches kann einfach nicht aus diskreten Teilen zusammengesetzt sein. Dass das mit R, so wie man R "gebaut" hat, in der Praxis dann offenbar doch funktioniert, ist eigentlich recht verwunderlich.)

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1810
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Pippen » 19. Jan 2016, 17:10

Naja, ich finde es schon dreist, dass man die Gleichheit von 0,999... und 1 per Grenzwerte beweist, wo doch diese gerade so definiert sind, dass offen bleibt, ob eine Folge den Grenzwert erreicht oder nicht, weil ja das Epsilon immer größer Null sein muss. So ist zB der Grenzwert der Folgen "0,0,0,..." und 1/n beide Male Null, aber die eigentliche Frage nach der Gleichheit wird damit gar nicht berührt.

Das beste Argument wäre noch, dass zwischen 0,999... und 1 eine Zahl liegen müßte, die unendlich viele Nullen haben müsste und damit von Null ununterscheidbar - und ich weiß gar nicht mehr: hatten wir für IR geklärt, dass zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen a und b IMMER eine Zahl c liegen muss für die gilt: a < c < b? Müsste aber so sein, denn schon in Q gilt ja: a+b/2 = c => a < c < b (sind a und b gleich, so ist c gleich a und b).

Also am Ende doch 0,9~ = 1, aber die Begründung ist doch eine ganz andere als die üblichen Verdächtigen.

Benutzeravatar
seeker
Site Admin
Beiträge: 6185
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 19. Jan 2016, 20:14

Also nochmal...
Ich fasse zusammen:

Die Frage "IST 0,9999... = 1 ?" ist die falsche Frage bzw. ist sie nicht voraussetzungslos beantwortbar!

Sie setzt nämlich zweierlei voraus:

a) Die reellen Zahlen R (bzw. die rationalen Zahlen Q) existieren auch unabhängig von uns (und unseren Definitionen).
Das kann man annehmen, aber man muss es nicht. Fakt ist: Wir wissen nicht, ob das so ist.

b) Die reelen Zahlen existieren genau in der Art und Weise, wie wir sie heute definitionsgemäß erfasst haben, auch unabhängig von uns.
Das wissen wir nun wirklich nicht! Auch das könnte man annehmen, muss es aber keineswegs.

Deshalb sind die richtigen Fragen die:

1. Ist es widerspruchsfrei möglich zu sagen: "0,9999... < 1" ?
Anwort: Ja, das ist möglich!

2. Ist es widerspruchsfrei möglich zu sagen: "0,9999... = 1" ?
Antwort: Ja, auch das ist möglich! Allerdings muss man in dem Fall annehmen/voraussetzen, dass aktuale Unendlichkeiten existieren.

3. Ist es widerspruchsfrei möglich zu sagen: "0,9999... <= 1" ?
Anwort: Auch das ist möglich!

4. Ist es widerspruchsfrei möglich zu sagen: "0,9999... > 1" ?
Antwort: Nein, das ist nicht möglich!

Weißt du, ich glaube, wenn du einen Mathematiker fragen würdest "Ist 0,9999... = 1 ?", dann würde der wahrscheinlich mit einer Gegenfrage antworten:
"Für welches mathematische Problem ist das relevant? Bitte nenne es!"

Kurz:
Es kann hier, ohne in Glaubensfragen abzudriften, nicht darum gehen was hier "an sich" IST, sondern nur darum, was von uns widerspruchsfrei definierbar ist.

Man kann dann noch fragen, wie es denn heute von uns gewöhnlich gehandhabt wird?
Antwort: Offenbar lässt man das Problem gewöhnlich einfach offen, zumindest dann, wenn man es gar nicht entscheiden muss - und das ist fast immer der Fall.

Und das stimmt doch nicht:
Pippen hat geschrieben:Naja, ich finde es schon dreist, dass man die Gleichheit von 0,999... und 1 per Grenzwerte beweist
Man beweist hier eben nicht, dass 0,9999... gleich Eins sei.
Man beweist nur, dass die Folge 0,9999... den Grenzwert 1 hat, in dem Sinne, dass sie sich der 1 beliebig annähert.
Nicht mehr, nicht weniger.

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Antworten