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Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Mathematische Fragestellungen
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 7. Jan 2016, 11:39

Bei den natürlichen Zahlen kann man argumentieren, dass m ungleich n genau dann, wenn m ein (nicht unmittelbarer) Nachfolger von n ist oder umgekehrt, d.h. wenn m = n'''...' oder n = m'''...'

Aber nochmal: was ist der Nutzen?
Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 7. Jan 2016, 11:53

seeker hat geschrieben:Für jedes beliebige, zuerst gewählte ε>0, ε=1-xN findet sich in der Folge xN = 0,9 + 0,09 + ... + 9 * 10-N ein N, das dazu führt, dass die Differenz zwischen 1 und xN kleiner als ε ist.

Umgekehrt findet sich aber auch für jedes zuerst gewählte N ein ε, das kleiner als die Differenz zwischen 1 und xN ist.

Warum soll ε zuerst gewählt werden dürfen?
Das muss man so festlegen, damit das herauskommt, was herauskommen soll: Damit man auf das aktual Unendliche schließen kann.

Es bleibt dabei, dass die Folge 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... die 1 erst im Unendlichen (also erst bei aktual unendlich vielen 9er-Ziffern) erreicht.

DASS das so ist zeigt der obige Beweis, eleganterweise zwar schon im Endlichen, tatsächlich beweist er aber dennoch etwas, das erst im Unendlichen geschieht. D.h. der Beweis schlussfolgert aus dem Endlichen heraus auf die Sachlage im Unendlichen.
Ich würde das nicht so sehen. Insbs. benötigt man m.E. das aktual Unendliche nicht!

Was spricht gegen die folgende Formulierung?

Wenn für beliebige reelle epsilon größer Null immer ein endliches N existiert, so dass der Abstand des N-ten Folgengliedes (sowie aller weitern Folgenglieder) von einer zuvor gewählten Zahl y kleiner als epsilon ist, dann definiert diese Folge eine Darstellung der Zahl y.

Damit wird m.E. der Begriff des Unendlichen vermieden. Ich muss dann lediglich noch beweisen, dass ich die gesamte Mathematik des Körpers der reellen Zahlen mittels derartiger Folgen aufbauen kann.
Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 7. Jan 2016, 12:01

Sagt mal,wäre es möglich, dass der relativ lange Post de ich vorgestern hier geschrieben habe versehentlich gelöscht wurde?
Da bin ich relativ deutlich auf unterschiedliche Basen von Zahlensystemen usw eingegangen.
tomS hat geschrieben: ... verallgemeinerter Basissysteme direkt zu berechnen. Benutzt man statt der Dezimalbasis [1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...] die gemischt-gebrochene Basis [1, 1/3, 2/5, 3/7, ...],...
Wie lange ist sowas bereits gesellschaftsfähig? Vielleicht erinnert sich von euch ja jemand an meinen Beitrag zur Abzählbarkeit der konstruierbaren Zahlen indem man dynamisch die vorhandene gemischte Basis um die neuen Elemente erweitert. Damals stieß so etwas noch auf völliges Unverständniss.

@Pippen:
Dir geht es doch speziel um den gedachten "Übertrag" beim Summieren zweiter Zahlen welcher sich immer weiter nach vorne schiebt?
0,9999999
+0,0000001
--------------
1,0000000
Läuft das nicht automatisch elementar darauf hinaus, dass
0,999... + 0,000... = 1+0 ?
Dein Problem ist wie gesagt, dass du beim Summieren bei der Ziffer ganz rechts anfangen musst.
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 7. Jan 2016, 12:10

Skeltek hat geschrieben:Sagt mal,wäre es möglich, dass der relativ lange Post den ich vorgestern hier geschrieben habe versehentlich gelöscht wurde?
Da bin ich relativ deutlich auf unterschiedliche Basen von Zahlensystemen usw eingegangen.
Ich denke nein. Wieso?
Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben: ... verallgemeinerter Basissysteme direkt zu berechnen. Benutzt man statt der Dezimalbasis [1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...] die gemischt-gebrochene Basis [1, 1/3, 2/5, 3/7, ...],...
Wie lange ist sowas bereits gesellschaftsfähig? Vielleicht erinnert sich von euch ja jemand an meinen Beitrag zur Abzählbarkeit der konstruierbaren Zahlen indem man dynamisch die vorhandene gemischte Basis um die neuen Elemente erweitert. Damals stieß so etwas noch auf völliges Unverständniss.
Kannst du nochmal auf diesen Beitrag verlinken? Evtl. liegt ein Missverständnis vor.

Ich beziehe mich auf http://www.mathpropress.com/stan/biblio ... spigot.pdf von 1995.
Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 7. Jan 2016, 12:37

tomS hat geschrieben:Ich würde das nicht so sehen. Insbs. benötigt man m.E. das aktual Unendliche nicht!

Was spricht gegen die folgende Formulierung?

Wenn für beliebige reelle epsilon größer Null immer ein endliches N existiert, so dass der Abstand des N-ten Folgengliedes (sowie aller weitern Folgenglieder) von einer zuvor gewählten Zahl y kleiner als epsilon ist, dann definiert diese Folge eine Darstellung der Zahl y.

Damit wird m.E. der Begriff des Unendlichen vermieden. Ich muss dann lediglich noch beweisen, dass ich die gesamte Mathematik des Körpers der reellen Zahlen mittels derartiger Folgen aufbauen kann.
Man braucht hier das aktual Unendliche nicht im Beweis, ja. Dennoch ist es da.
Gegen deine Formulierung spricht m.E. gar nichts. Dennoch zielt sie auf das aktual Unendliche, ohne dies selbst zu verwenden. Das ist elegant.
Warum überhaupt sollte man das aktual Unendliche in R völlig loswerden bzw. vermeiden wollen?
Das geht doch eh nicht. Schon die Menge R "als fertig existierende Menge" enthält aktual unendlich viele Elemente.
Man kann das nur in den Formulierungen/Darstellungen/Konstruktionen der Zahlen bzw. Zahlenmengen zu vermeiden suchen.
Wenn ich aber der Ansicht bin, dass z.B. transzendente Zahlen "an sich" schon existieren, dann muss ich m. E. auch einsehen, dass das aktual Unendliche existiert.

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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 7. Jan 2016, 13:02

seeker hat geschrieben:Man braucht hier das aktual Unendliche nicht im Beweis, ja. Dennoch ist es da.
Gegen deine Formulierung spricht m.E. gar nichts. Dennoch zielt sie auf das aktual Unendliche, ohne dies selbst zu verwenden. Das ist elegant.
Wenn es nur darauf abzielt, ist es nicht da - zumindest nicht das aktual Unendliche sondern nur das potentiell Unendliche.
seeker hat geschrieben:Warum überhaupt sollte man das aktual Unendliche in R völlig loswerden bzw. vermeiden wollen?
Ich will das gar nicht.

Ich will nur zeigen, dass man in vielen Fällen darauf verzichten kann.
seeker hat geschrieben:Das geht doch eh nicht. Schon die Menge R "als fertig existierende Menge" enthält aktual unendlich viele Elemente.
Man kann das nur in den Formulierungen/Darstellungen/Konstruktionen der Zahlen bzw. Zahlenmengen zu vermeiden suchen.
Wenn ich aber der Ansicht bin, dass z.B. transzendente Zahlen "an sich" schon existieren, dann muss ich m. E. auch einsehen, dass das aktual Unendliche existiert.
Richtig.

Wenn du jedoch konkret rechnest, benötigst du es im wesentlichen nicht. Wenn du eine bestimmte reelle Zahl berechnest, dann ist diese eben berechenbar, und damit gehört sie zu einer abzählbaren Untemenge der reellen Zahlen. D.h. die aktuale Unendlichkeit taucht m.E. nur im Bereich der Mengenlehre und verwandter Gebiete auf, nicht jedoch in der praktischen Anwendung wie Algebra, Analysis, Funktionentheorie u.ä.; man kann dort alle Betrachtungen "konstruktivistisch" durchführen, wobei das natürlich mühsam und wenig nutzbringend ist. Schreibweisen wie "0.999... = 1" dürfen dort immer als Abkürzung im Sinne der von mir vorgeschlagenen ausführlichen, exakten, jedoch umständlichen Formulierung verstanden werden.

Ich kenne wenig konkrete Beispiele, die auf diesen exotischen Grundlagen (wie Auswahlaxiom u.ä.) beruhen (z.B. in der Funktionalanalysis).
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 7. Jan 2016, 17:58

tomS hat geschrieben: Kannst du nochmal auf diesen Beitrag verlinken? Evtl. liegt ein Missverständnis vor.
Mit meinem Beitrag von vorgestern hatte das ja jetzt nichts zu tun.
Der Beitrag istjetzt bestimmt schon Jahre her; soweit ich mich erinnern kann ging es mir damals darum, dass man die Basis des Wertesystems dynamisch gleich um die Elemente erweitert welche man mit der vorhergehenden Basis konstrieren könnte.
So würde jede Nachkommastelle als Ziffern aus der Potenzmenge der vorhergehenden Werte und Operatoren schöpfen können.
So käme man auf eine abzählbare Mege aller konstruierbaren Zahlen.
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 7. Jan 2016, 18:41

@Tom: Ich denke, wir sind uns in fast allen Punkten einig.

Bis auf eine Kleinigkeit:
tomS hat geschrieben:Wenn es nur darauf abzielt, ist es nicht da - zumindest nicht das aktual Unendliche sondern nur das potentiell Unendliche.
Doch, das aktual Unendliche muss da sein, auch wenn ich es im Beweis selbst nicht direkt verwende.
Wenn da steht "0,9999... = 1", dann müssen auf der linken Seite der Gleichung mit dem "..." aktual unendlich viele 9er gemeint sein (also keine N 9er oder sich eine erst noch entwickelnde Reihe oder sonstwas, das noch nicht da bzw. fertig ist, sondern eine tatsächlich fertig vorhandene aktuale Unendlichkeit an Neunern) sonst dürfte da kein "=" stehen sondern ein "wird einmal" oder ein "ungefähr", o.Ä.
Da geht m. E. kein Weg dran vorbei. Alles Andere ist ungenau oder einfach pragmatisch-vernachlässigend.

Wie gesagt, der besprochene Beweis schlägt sozusagen hier eine Brücke vom Endlichen bzw. potentiell Unendlichen ins (aktual) Unendliche.
Das ist ja gerade das Geniale daran: Der Beweissprung vom Beliebigen zum Unendlichen.

Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 7. Jan 2016, 20:04

Aber in einer Formel wie

limN→∞ xN = y ∧ y = 1.

spricht man immer nur vom potentiell Unendlichen
Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 8. Jan 2016, 12:18

tomS hat geschrieben:Aber in einer Formel wie

limN→∞ xN = y ∧ y = 1.

spricht man immer nur vom potentiell Unendlichen
Ich sehe das so:

Ich würde sagen, weil wir es hier mit einem Limes und dessen Grenzwert zu tun haben. Man muss beides unterscheiden.
Der Grenzwert selbst muss ja in vielen Fällen nicht einmal unbedingt im Definitionsbereich der untersuchten Reihe oder Folge liegen.
Die Betrachtung "Limes" arbeitet im potentiell Unendlichen (beliebige Werte), der Grenzwert selbst, an sich aber liegt im aktual Unendlichen (in dem Sinne, dass er "an sich" aktual-unendlich-genau IST).

Ich sehe es so, dass ja in R (in der Dezimalschreibweise) im Grunde alle Zahlen darin aktual unendlich viele Nachkommastellen haben, auch die ganzen Zahlen (z.B "10" wäre eigentlich vollständig als "10,0000..." zu schreiben), etc.
Aktual-unendlich-genaue Zahlen kann man aber i.A. nur schwer zu fassen bekommen, deshalb arbeitet man in der Betrachtung/Analyse einer Zahl hier mit dem potentiell-Unendlichen.

Beispiel, wie ich das meine:

Ich weiß, es gibt eine Zahl, die als "0,9999..." geschrieben werden kann und möchte diese untersuchen, ihre Eigenschaften besser kennen lernen. (Dass sie existieren muss, weiß ich aus axiomatischen Überlegungen über den Gesamtkörper "R".)
Insbesondere möchte ich im Moment wissen, ob diese Zahl kleiner oder gleich "1,0000..." ist.

Nun ist diese zu untersuchende Zahl "an sich" ja schon da, egal was ich mit ihr anstelle, wie ich sie hinschreibe oder was bei meiner Untersuchung herauskommt. Und sie ist eben was sie ist: sie ist aktual.
Weil sie aktual schon da ist, muss sie als Element von R auch aktual unendlich viele Nachkommastellen haben.

Da ich nun aber die ja schon vorhandenen, aktual-unendlich-vielen Nachkommastellen dieser Zahl nicht direkt zu fassen bekomme behelfe ich mir, indem ich Limesbetrachtungen im beliebig Großen, also potentiell unendlichen Bereich anstelle.
Deshalb spricht man hier nur vom potentiell Unendlichen.

Dann kommt diese Beweisführung über die Epsilon-Geschichte. Ich kann damit (alles im Beliebigen, also pot.-Unendlichen) beweisen, dass in der Betrachtung der Zahl immer eine Nachkommastelle darin gefunden werden kann, wo die die Differenz zwischen der zu untersuchenden Zahl und 1 kleiner ist als irgendein noch so kleines vorher gewähltes Epsilon.

Und jetzt kommt der "Grenzsprung":

Weil das bei beliebig vielen Nachkomma-Neunern so ist, muss es auch bei allen Nachkomma-Neunern so sein!
Weil das im potentiell-Unendlichen so ist, ist es auch im aktual-Unendlichen so!

Ich meine ohne diesen letzten logischen Schritt, ohne diesen Grenzsprung wäre ja die ganze Limesbetrachtung i.A. nichts wert.
Die ganze Infinitesimalrechnung würde nicht in Exaktheit funktionieren.

Meine Erkenntnis daraus:
Man muss die Betrachtung/Analyse einer Zahl von der Zahl "an sich" unterscheiden.

Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 8. Jan 2016, 13:45

seeker hat geschrieben: Wie gesagt, der besprochene Beweis schlägt sozusagen hier eine Brücke vom Endlichen bzw. potentiell Unendlichen ins (aktual) Unendliche.
Das ist ja gerade das Geniale daran: Der Beweissprung vom Beliebigen zum Unendlichen.
Das ist auch nur die halbe Wahrheit.
Wenn man es noch genauer nimmt impliziert es nur dass eine Inversion deines ganz bestimmten "Unendlichkeitsprozesses" wieder den Ausgangszustand herstellt...
seeker hat geschrieben: Das geht doch eh nicht. Schon die Menge R "als fertig existierende Menge" enthält aktual unendlich viele Elemente.
Dabei hat man sich schon sehr weit aus dem Fenster heraus gelehnt; da wird gesagt:
"Wenn die Menge R fertig existiert, dann ethält sie unendlich viele Elemente"
Wobei man hier natürich alles was strittig ist ohne das "wenn" in den ersten Satz mogelt.
Als nächstes erzählt mir noch irgendjemand, daß das Universum "als fertiges Ganzes" existiert, obwohl es gar keinen Rand hat... :-)

Ach zurück zum Thema:
Folgen mit Konvergenz (Latein bedeutet das glaube so viel wie "sich zusammen neigen" bzw aufeinander zu bewegen/führen)
setzen a priori ja schon voraus, daß die Menge in ihrer Obermenge dicht liegt - das setzt voraus, dass man bereits vorher die Menge bei ihrer Definition als dicht festgesetzt hat.
In anderen Worten:
Der Umstand, weshalb es vorher überhaupt möglich war den Wert in potentiel unendlich viele Stücke zu teilen sorgt dafür, dass der Prozess danach überhaupt umkehrbar ist.
Es spielt deshalb keine Rolle obman eine potentiel unendliche oder aktual unendliche Vorstellung davon hat, da es einfach nur eine Umkehrung des vorherigen Vorgangs bedeutet.

limn->inf (1+1/n)n zum Beispiel zu lösen wäre mit einer aktual unendlichen Vorstellung gar nicht möglich.
Man muss deshalb denke ich sauber trennen und aktual unendlich nur dort einsetzen, wo es keinen Schaden anstellt.
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 8. Jan 2016, 14:14

Skeltek hat geschrieben:Dabei hat man sich schon sehr weit aus dem Fenster heraus gelehnt; da wird gesagt:
"Wenn die Menge R fertig existiert, dann ethält sie unendlich viele Elemente"
Wobei man hier natürich alles was strittig ist ohne das "wenn" in den ersten Satz mogelt.
Sie enthält genauer aktual-unendlich viele Elemente. Natürlich. Es wird hier als Grundlage die platonische Sichtweise genommen.
Wenn du konstruktivistisch denkst siehts evtl. nochmal anders aus, ja. :wink:
Skeltek hat geschrieben:Folgen mit Konvergenz (Latein bedeutet das glaube so viel wie "sich zusammen neigen" bzw aufeinander zu bewegen/führen)
setzen a priori ja schon voraus, daß die Menge in ihrer Obermenge dicht liegt - das setzt voraus, dass man bereits vorher die Menge bei ihrer Definition als dicht festgesetzt hat.
Eben!
Skeltek hat geschrieben:limn->inf (1+1/n)n zum Beispiel zu lösen wäre mit einer aktual unendlichen Vorstellung gar nicht möglich.
Versteh ich nicht.

Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 8. Jan 2016, 16:36

@seeker: du kannst das natürlich so sehen, aber ich halte das für nicht zwingend notwendig; ein Großteil der Mathematik funktioniert ohne den Begriff des "aktual Unendlichen"; rein pragmatisch ist das zumeist eh' nur eine abkürzende Schreibweise für einen Grenzwert
Gruß
Tom

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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 8. Jan 2016, 18:39

Ja, aber Tom, du bist doch meistens Platoniker. An der Stelle bist du dann Pragmatiker? :wink:
Na gut, wir Menschen sind ja vielschichtig...
:beer:

Gruß
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Grüße
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 8. Jan 2016, 19:42

seeker hat geschrieben: Na gut, wir Menschen sind ja vielschichtig...
Ich wäre trotzdem lieber eine Gurke oder Banane statt einer Zwiebel...

War Platon nicht Sokratiker? ^^
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 8. Jan 2016, 22:59

seeker hat geschrieben:Ja, aber Tom, du bist doch meistens Platoniker. An der Stelle bist du dann Pragmatiker? :wink:
Na gut, wir Menschen sind ja vielschichtig...
:beer:

Gruß
seeker
:lol:

Ich wollte eigentlich nur eine pragmatische und konsensfähige Sichtweise präsentieren.
Gruß
Tom

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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Pippen » 9. Jan 2016, 13:53

tomS hat geschrieben:Ich behaupte nicht, dass ein Folgenglied x = 1 existiert, sondern dass die Folgenglieder der Folge (xN) mit wachsendem N gegen den Grenzwert y = 1 konvergieren.
Das ist korrekt, aber der Rest ist Matheologie. Warum?

Mit o.g. hast du erstmal völlig Recht. Doch damit habe auch ich Recht, nämlich dass alle Folgeglieder xN - einzeln oder in der Summe - kleiner als 1 sind, denn N steht ja für eine natürliche - und damit endliche - Zahl, N ist ein Ausdruck für die potentielle Unendlichkeit, d.h. für ein endliches Ding, hier eine natürliche Zahl, zu der man ohne Ende immer noch +1 zählen kann (potentielle Unendlichkeit), was aber dazu führt, dass im Grunde genommen alles im Reich des Endlichen verbleibt. Um meine These zu widerlegen und zur Gleichheit mit der Eins zu kommen, brauchst du einen Trick: Du musst das N als eine aktuale Unendlichkeit ∞ interpretieren und genau hier frage ich dich bzw. die Mathematik: Wie definiert ihr ein aktuales "∞", was ihr zweifellos gebraucht, wenn ihr über/mit Grenzwerten redet (denn sonst hätte ich ja Recht und ihr würdet euer Unrecht nur kaschieren, in dem ihr einfach eine oberflächliche Gleichheit fingiert, die genaugenommen gar nicht da wäre)?

@skeltek: Meine Idee ging anders. Irgendwo habe ich mal aufgeschnappt, dass 0,333... in irgendeinem Stellenwertsystem eine endliche Zahl ist, wie zB 0,3. Also wäre meine Idee: Wir schauen nach einem Stellenwertsystem, wo 0,999... gleich sowas wie 0,9 ist und schauen dort nach, wie dort die Eins dargestellt ist und wenn es dort gleich sein sollte, dann müsste es auch im Dezimalsystem gleich sein, weil der Umrechnungsfaktor zwischen den Systemen ja gleich wäre. So wäre die (unausgegorene) Grundidee.

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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Skeltek » 9. Jan 2016, 14:47

Pippen hat geschrieben: @skeltek: Meine Idee ging anders. Irgendwo habe ich mal aufgeschnappt, dass 0,333... in irgendeinem Stellenwertsystem eine endliche Zahl ist, wie zB 0,3. Also wäre meine Idee: Wir schauen nach einem Stellenwertsystem, wo 0,999... gleich sowas wie 0,9 ist und schauen dort nach, wie dort die Eins dargestellt ist und wenn es dort gleich sein sollte, dann müsste es auch im Dezimalsystem gleich sein, weil der Umrechnungsfaktor zwischen den Systemen ja gleich wäre. So wäre die (unausgegorene) Grundidee.
Im 3er-System ist 0,3~ ->0,1
Das verdreifachen ergibt 0,1+0,1+0,1 = 1,0
Man kann auch dort 1,0 = 0,2~ schreiben, allerdings ist es algorithmisch beim "hochmultiplizieren" eindeutig.

Die Sache ist die, dass beim Umwandeln der Dezimalzahl 0,3~ ins Dreiersystem -alleine wegen dem dazu verwendeten Algorithmus- leider
etwas noch viel häßlicheres heraus kommt als im Dezimalsystem.
Dort hast du dann glaube ich
0,022.002.200.220...
+0,000.210.212.111...
+0,000.002.012.001...
+...
was als Ziffernkette dann erstmal nur zunächst ergibt.
Der Algorithmus bzw das Programm kann das jedoch nicht fertig hinschreiben, da es zu jedem Zeitpunkt erst kontrollieren muss, ob spätere Ziffern in der Summe 3 ergeben und einen Übertrag bilden, was aus den "2"ern auf einmal Nullen machen würde (Die Addition ist rekursiv und endet leider nie).
Aber es ist ein sehr gutes Beispiel, weil da dann wirklich deutlich wird, dass man die Zahl erst hinschreiben kann, wenn man jede Ziffernsumme rechts auf einen Übertrag hin überprüft.
Bei ist es alleinig nur aus dem Grund möglich Zweifel zu ziehen, weil es ein so schönes und vor allem einfaches Beispiel ist mit nur 9ern, bei dem man bereits vorher weiss, dass der "Übertrag" es niemals wieder zurück ans vordere Ende der Ziffernkette schaffen wird - weil uns klar ist, dass er sich vorher "ins Unendliche" verdünnisiert hat.
Das ist aber nicht die Regel. Dass es auch andere Beispiele gibt, welche man erst bis zur letzten Ziffer (nicht existent) durchrechnen muss bevor die Ziffernkette eindeutig feststeht, zeigen uns bei der Auseinandersetzung mit ihnen deutlich, dass es sich nicht um eine Teilsummenfolge handelt, sondern um eine Summe von Differenzen.
Weiter unten habe ich auch nochmal ähnlich geschrieben was ich damit meine (Wobei ich lustigerweise das untere zuerst geschrieben hatte, es passt aber so gut zu dem Nachtrag von hier oben ^^).

-

Was ich vorhin vielleicht besser hätte beschreiben sollen:
Die einzelnen Folgenglieder der "0,999..."-Darstellung sollte man als Teilsummen auffassen und nicht als Folge, welche auf die 1,0 zustrebt.
du betrachtest also nicht die Folge 0,9 -> 0,99 -> 0,999 -> 0,9999 usw
sondern die Differenzen, welche zu den Teilsummen aufsummiert werden:
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 usw
durch entsprechende Klammerung wird es intuitiv klarer, auf welchen Ursprung es zurückzuführen ist:
1 = 0,9+0,1 = 0,9+(0,09+0,01) = 0,9+(0,09+(0,009+0,001) = 0,9+(0,09+(0,009+(0,0009+0,0001)) = ...
somit erhälst du als Summe
= 0,9+0,09+0,009+0,0009+...
= 0,9999...

Die Übertragziffer "1" rückt also ans rechte Ende der Ziffernkolone.
Wenn du also 0,9~ betrachtest und mit 1,0 vergleichen möchtest, musst du ganz rechts am Ende der 9er-Kette schauen und nicht ganz links beginnen (Du willst ja wissen, was da "fehlt" oder was die beiden unterscheidet).
-> Da die "1" vorher "ins Unendliche" weg rückt, ist sie nicht mehr existent. Somit existiert die Differenz zwischen 1,0 und 0,9~ nicht mehr.


Algorithmisch passt das wunderbar ins Schema, da sich hier widerspiegelt, dass 0,9~ keine Zahl (im Sinne von "Wert") ist, sondern eine Summation an Einzelziffern mit unterschiedlichen Wertstellungen.
Man hat also die 1 in unendlich viele Stücke gespalten. Es ist wie du ja auch sagst völlig unmöglich, dass bei der Summation der Einzelwerte der Ziffern wieder 1 heraus kommt, solange man auch nur einen Summanden weg lässt.
Letztlich ist bewiese, dass keine der Teilsummen (Den Folgegliedern der Grenzwertbetrachtung) sein kann, da zu jedem Zeitpunkt mindestens ein Summand fehlt den du nicht berücksichtigt hast (der fehlende Summand ist auch gestückelt, was aber bei der Klammerung keine Rolle spielt).

Wie gesagt, für mich ist es wichtig, die Differenzen der Folgeglieder zu betrachten, welche erst in der restlosen Summe 1 ergeben.
Betrachtet man die Differenzen, stellt man schnell fest, dass es sich bei der 0,9~ Darstellung tatsächlich um eine Summe und nicht direkt um eine Zahl handelt.

Schöne Grüße, Skel
Zuletzt geändert von Skeltek am 9. Jan 2016, 15:33, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 9. Jan 2016, 15:02

Mir ist noch etwas aufgefallen:

Man könnte ja sagen: "Zwei reelle Zahlen a und b sind genau dann gleich, wenn zwischen a und b keine weitere Zahl c liegt."

Genau dieselbe Forderung würde interessanterweise in N oder Z dazu führen, dass damit die Nachbarzahlen bzw. Nachfolgerzahlen definiert wären(!):
"Zwei ganze Zahlen a und b folgen genau dann aufeinander, wenn zwischen a und b keine weitere Zahl c liegt."

Fragt sich nun: Warum definiert man in R damit nicht auch die Nachfolgerzahlen?


Die Antwort, die mir bis jetzt darauf einfällt, lautet:
Weil dann, bei einer solchen Konstruktion, nicht das herauskommen würde, was herauskommen soll!

Interessanterweise scheint die "offizielle" Definition in R so auszusehen (und damit meinen Punkt offenzulassen?!):
Reelle Zahlen lassen sich auch als Cauchy-Folgen rationaler Zahlen repräsentieren. Seien und rationale Cauchy-Folgen, die die reellen Zahlen a bzw. b repräsentieren. Es gelte dann genau dann, wenn (also die Äquivalenz der beiden Cauchy-Folgen) oder für alle bis auf endlich viele gilt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleich ... Definition

Man beachte:
In der obigen Definition heißt es: "es gelte dann a kleiner oder gleich b genau dann,...", nicht: "es gelte dann a gleich b genau dann,..."!!
Dasselbe bei der alternativen Definition über Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen!

Was ist denn nun Sache?

Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 9. Jan 2016, 15:52

seeker hat geschrieben:"Zwei ganze Zahlen a und b folgen genau dann aufeinander, wenn zwischen a und b keine weitere Zahl c liegt."
Gilt auch der Umkehrschluss?
Wenn zwischen a und b keine andere Zahl existiert, dann a=b.
MfG
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 10. Jan 2016, 14:50

Pippen hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Ich behaupte nicht, dass ein Folgenglied x = 1 existiert, sondern dass die Folgenglieder der Folge (xN) mit wachsendem N gegen den Grenzwert y = 1 konvergieren.
Das ist korrekt, aber der Rest ist Matheologie. Warum?

Mit o.g. hast du erstmal völlig Recht. Doch damit habe auch ich Recht, nämlich dass alle Folgeglieder xN - einzeln oder in der Summe - kleiner als 1 sind, denn N steht ja für eine natürliche - und damit endliche - Zahl, N ist ein Ausdruck für die potentielle Unendlichkeit, d.h. für ein endliches Ding, hier eine natürliche Zahl, zu der man ohne Ende immer noch +1 zählen kann (potentielle Unendlichkeit), was aber dazu führt, dass im Grunde genommen alles im Reich des Endlichen verbleibt. Um meine These zu widerlegen und zur Gleichheit mit der Eins zu kommen, brauchst du einen Trick: Du musst das N als eine aktuale Unendlichkeit ∞ interpretieren ...
Nein, genau diese Gleichheit mit der Eins fordere ich nicht, und damit benötige ich auch keinen Trick.

Nochmal:
tomS hat geschrieben:Ich behaupte nicht, dass ein Folgenglied x = 1 existiert, sondern dass die Folgenglieder der Folge (xN) mit wachsendem N gegen den Grenzwert y = 1 konvergieren.
Es reicht, anzunehmen, dass für jedes beliebig kleine epsilon > 0 ein N < ∞ existiert, so dass die Folgenglieder für N, N+1, ... näher an y = 1 liegen als das vorgegebene epsilon. Das verbirgt sich hinter den Begriff der Konvergenz. Für die Folgenglieder benötige bzw. fordere ich keine "Gleichheit mit der Eins", und damit benötige ich auch das aktual Unendliche für N nicht.
Gruß
Tom

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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 10. Jan 2016, 16:35

tomS hat geschrieben:Es reicht, anzunehmen, dass für jedes beliebig kleine epsilon > 0 ein N < ∞ existiert...
Es reicht für was genau?
Scheinbar (nachdem ich mir das obige von meinem letzen Beitrag nochmals angeschaut und durchdacht habe), reicht es unter diesen Voraussetzungen nur dafür aus, um sagen zu können:



nicht aber, um sagen zu können:



Und das ist m. E. ja eigentlich genau der Punkt von Pippen.

Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von seeker » 10. Jan 2016, 16:41

Alberich hat geschrieben:Gilt auch der Umkehrschluss?
Wenn zwischen a und b keine andere Zahl existiert, dann a=b.
Was für eine Zahl, Element was für einer Menge?
In N oder Z eben nicht! Das würde dort zu einem Widerspruch führen.
Und in R habe ich ja schon zur Diskussion gestellt, ob bzw. was dann gelten soll: a=b oder a <= b oder a ist direkter Nachbar von b?

Gruß
seeker
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von tomS » 10. Jan 2016, 18:47

seeker hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Es reicht, anzunehmen, dass für jedes beliebig kleine epsilon > 0 ein N < ∞ existiert...
Es reicht für was genau?
Scheinbar (nachdem ich mir das obige von meinem letzen Beitrag nochmals angeschaut und durchdacht habe), reicht es unter diesen Voraussetzungen nur dafür aus, um sagen zu können:



nicht aber, um sagen zu können:



Und das ist m. E. ja eigentlich genau der Punkt von Pippen.

Gruß
seeker
Ja, aber nicht meiner :-)

Wenn man diese Identität annehmen will, dann benötigt man das aktual Unendliche. Wenn man es für ausreichend hält, dass die Folge als Darstellung von "etwas" steht, das sich nur "beliebig wenig" von Eins unterscheidet, dann genügt das potentiell Unendliche.

D.h. man muss es sich gar nicht so schwer machen, wenn man nicht will ...
Gruß
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Re: Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

Beitrag von Alberich » 10. Jan 2016, 21:53

seeker hat geschrieben:
Alberich hat geschrieben:Gilt auch der Umkehrschluss?
Wenn zwischen a und b keine andere Zahl existiert, dann a=b.
Was für eine Zahl, Element was für einer Menge?
In N oder Z eben nicht! Das würde dort zu einem Widerspruch führen.
Und in R habe ich ja schon zur Diskussion gestellt, ob bzw. was dann gelten soll: a=b oder a <= b oder a ist direkter Nachbar von b?

Gruß
seeker
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