Problem

[Marcel]

Aufgabe: Seien M und L Mengen. Es gebe injektive Abbildungen von M nach L und von L nach M. Zeige M und L sind gleichmächtig.

So das ist unsere Aufgabe. Jetzt stellt sich uns die Frage, ob es überhaubt möglich ist, da die Injektivität nichts über die Urbildmänge aussagt. Oder haben wir da einen gehörigen Denkfehler?
Achtung bitte keine Komplettlösung?

[Skeltek]

Aufgabe: Seien M und L Mengen. Es gebe injektive Abbildungen von M nach L und von L nach M. Zeige M und L sind gleichmächtig.

Kann man davon ausgehen, dass du die Aufgabe Wort für Wort, Buchstabd für Buchstabe exakt abgeschrieben hast?

Nun, wenn es heißt, eine "Abbildung von M nach L", dann ist für gewöhnlich gemeint, dass diese Abbildung auf ganz M definiert ist. Da ist die Sprache zwar unzulänglich, aber so wird das in der Regel aufgefasst.
Andererseits ist eine injektive Funktion automatisch bijektiv, wenn man L als die Bildmenge sieht, und nicht als den Bildraum; aber normal meint man hier den Bildraum, also ist dieser Satz irrelevant. (bezüglich ihrer Bildmenge ist jede Funktion surjektiv)


In jedem Fall musst du zeigen, dass zwischen den Mengen eine bijektive Abbildung existiert. Unter der Annahme, dass keine der injektiven Funktionen von M nach L auch surjektiv ist, bedeutet das für die Menge der Abbildungen von L nach M [...]
Solche Aufgaben sind schwierig, wenn man nicht weiss, welchen Wissensstand euer Professor für eure Aufgabe voraussetzt und auf welche Art er die Lösung haben will...

Du kannst auch davon ausgehen, dass die Mengen nicht gleich mächtig sind, also keine Bijektion existiert. Das würde dann implizieren, dass [...]

[Marcel]

Danke Skaltek, deine Antwort hatte mir sehr geholfen. Hatte für die Aufgabe 3/5 punkten bekommen. Die 2 Wurden mir auf Grund von inkorrektem Aufschreiben abgezogen. Ist halt schwer am Anfang )

[Pippen]

Wenn M nach L injektiv und L nach M injektiv, liegt dann nicht Bijektivität zwischen M und L vor? Weil es ja bedeutet: Jedes Element von M trifft auf höchstens ein Element von L und jedes Element von L trifft auf höchstens ein Element von M und das heißt: jedes Element von M hat genau ein Abbild in L bzw. umgekehrt, also 1:1 Abbildungen.