2²²²² ?

[Pippen]

Wie beweist man formal, dass 2²²²² eine natürliche Zahl ist? ME geht das technisch nur, in dem man beweist, dass deren Vorgänger eine natürliche Zahl ist und dann deren Vorgänger usw. usf. bis man irgendwann auf 0 kommt. Man kommt also bei einem Beweis nicht umhin, eine vollständige Liste von nat. Zahlen von 0 bis 2²²²² zu erstellen. Da das selbst mit Computerhilfe unmöglich ist, wäre 2²²²² als natürliche Zahl zZ unbeweisbar! Oder übersehe ich einen eleganten Beweisweg?

[tomS]

Man weiß, dass die natürlichen Zahlen bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sind, dass also für zwei natürliche Zahlen m,n auch m * n eine natürliche Zahl ist. Fertig!

[Pippen]

Man weiß, dass die natürlichen Zahlen bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sind, dass also für zwei natürliche Zahlen m,n auch m * n eine natürliche Zahl ist. Fertig!

Wir wissen nicht, ob 2²²²² eine natürliche Zahl ist. Dein Beweis klappt nur, wenn wir wüßten, dass m * n = 2²²²² und m,n € IN, aber genau das wissen wir nicht.

[belgariath]

Was genau meinst du mit 2²²²²? Meinst du 2^2222 oder 2^(2^(2^(2^2)))?
Aber egal, tomS hat schon recht, man weiß dass 2 eine natürliche Zahl ist. 2^p ist eine Potenz von 2. Potenzierung von 2 (egal mit welchem Exponenten p, solange p auch eine natürliche Zahl ist) bedeutet (p-1)-malige Multiplikation von 2 mit sich selber. Wegen der Abgeschlossenheit der natürlichen Zahlen bei der Multiplikation führt 2^p also nicht aus dem Körper hinaus.
In deinem Beispiel ist also m=2 und n lässt sich wieder zerlegen in n=2*n₂, wobei wieder n₂=2*n₃. Das geht so weiter bis irgendwann n_...=2 ist.

[Pippen]

Ach verdammt, das stimmt ja, m^n = m*m*m...n-mal, d.h. das ist ein Kettenprodukt nur aus nat. Zahlen und dann passt das Körperaxiom, dass die Mult. zweier nat. Zahlen wieder eine nat. Zahl ergibt. Danke für die Klarstellung belgariath.

Aber was ist, wenn wir nur die Peano-Axiome hernehmen? Wäre dann mein Einwand aus dem Ausgangsthread gerechtfertigt oder übersehe ich auch da was?