1/3 = 0,333..., und der Beweis?

[Pippen]

Ich weiß nicht, ob ich diese Frage früher schonmal gestellt habe:

Kann mir jmd. beweisen, dass 1/3 = 0,333..., d.h. das in der Dezimalschreibweise dieses Bruchs niemals etwas anderes als eine 3 kommen kann? Oder anders gewendet: Kann jmd. widerlegen, dass eine Stelle a_n von 0,a1a2a3a4... mal nicht eine 3 sein könnte! Wie geht dieser mathematische Beweis?

[Skeltek]

Du willst einen mathematischen Beweis dafür, dass ein und derselbe Wert der selbe bleibt, wenn man ihn mit eine anderen Schreibweise notiert?
Oder willst du einen mathematischen Beweis, dass eine rekursive Funktion bei Eingabewert=Ausgabewert immer dasselbe Ergebniss liefert?
k*(10/3=k*(3+1/3) bleibt immer gleich, egal was für ein k du einsetzt(k vielfaches von 10).

0,3333... ist nur eine andere Schreibweise(welche eigentlich völlig ungeeignet ist, weil man 1/3 nicht mit Basis 10 arstellen kann und die Folge niemals abbricht).

[Pippen]

Aufgabe: Beweise, dass 1/3 = 0,a_1 a_2 a_3 ... und zwar dergestalt, dass kein a_n der Dezimalzahl ungleich 3 sein kann. Wann immer ich nämlich den Bruch 1/3 sehe, frage ich mich, ob sich nicht in seine Dezimalzahl nach zillionen Stellen doch mal eine 4 oder 5 "einschleicht".

[tomS]

Das ist elementares Rechnen, oder?

Berechne zunächst 3 * 0.333... = 1.

Wenn also links eine andere Ziffer als 3 vorkommen würde, dann würde rechts nicht die 1 stehen.

[Pippen]

Das ist elementares Rechnen, oder?

Berechne zunächst 3 * 0.333... = 1.

Wenn also links eine andere Ziffer als 3 vorkommen würde, dann würde rechts nicht die 1 stehen.

Ich meine natürlich, wie würde das ein Mathematiker beweisen? Ich versuchs mal so:

1. Allgemein gilt: y * x0,x1x2x3... = y * x0 + y * 0,x1 + y * 0,0x2 + y * 0,00x3 + ....
2. im speziellen Fall bedeutet das: 3 * 0,333~ = 3 * 0,3 + 3 * 0,03 + 3 * 0,003 + ... = 0,999~ = 1.
3. Sei nun angenommen eine Stelle x_n bei 2. in der Zahl 0,333... keine Zahl 3. Dann kann an der betreffenden Stelle in 2. keine '9' auftauchen. Damit wäre diese Zahl ungleich 0,999~ und (erst recht) ungleich 1. Da nur diese beiden Zahlen zur Zahl 1 gleich sind, wäre eine solche Zahl 0,333... mit 3 multipliziert nicht mehr 1 und das widerspricht 2. Daher kann es keine solche Stelle x_n geben.
4. Daher gilt: Nur 0,333~ * 3 = 1 und daraus folgt durch Umformung: 0,333~ = 1/3. [Hier verstehe ich übrigens die Umformung nicht, denn wenn ich '0,333~ * 3 = 1' auf beiden Seiten mit '3' teile, dann stünde da doch: '0,111~ * 1 = 1/3', oder?]

Bei diesem Beweis sehe ich 2 Probleme:

Nr.1: Woher wissen wir, dass es außer 0,999~ und 1 keine weitere Zahl gibt, die gleich 1 ist?
Nr.2: Woher wissen wir, dass 2. gilt?

[TheTheorist]

Ich habe mir einmal auch speziell Gedanken über solche unendlichen Reihen gemacht und es stellte sich dabei heraus, dass es möglicherweise (MÖGLICHERWEISE) nicht möglich ist (ja klar möglich 2x ) zu beweisen, dass gewisse Reihen, die gegen unendlich konvergieren, dass jene Zahlen den angenommenen Wert annehmen können. Das ist einfach nicht möglich, wie dieses
3 * 0.333 = 1 (eben nicht, sonder 0.99999.... jedoch zeigen alle Rechner dann irgendwann 1 an, auch wenn es nicht gilt!)
ich glaube sogar, du kannst das gar nicht beweisen, ähnlich dem Unvollständigkeitssatz. ansonsten kannste ja mal in die Principia Mathematica schauen, eventuell steht zu dem Thema Multiplikation irgendwas dazu
MfG

[seeker]

Angenommen 0,999.. wäre ungleich 1, dann kann ich schreiben:

1 - 0,9999... = a

dann ist:

0,999... + a = 1

Wir entwickeln die Geschichte Schritt für Schritt aus dem Endlichen:

0,9 + 0,1 = 1
0,99 + 0,01 = 1
0,999 + 0,001 = 1
0,9999 + 0,0001 = 1
...

Man kann das (beide Zahlen) jetzt als Reihen hinschreiben (mit -n-ter Potenz für jede Ziffer) , ich lass es aber mal, sonst muss ich mich mit Tex (Formelinterpreter) herumplagen...

Man erkennt ja aber so auch schon:
Die Anzahl der 9er der ersten Zahl und die Anzahl der 0er der zweiten Zahl (vor der letzten Ziffer "1") ist immer gleich.
Daraus folgt:

0,99999... (unendlich viele Neuner) würde auf den ersten Blick zu a= 0,00000...1 (unendlich viele 0er, dann eine "1") führen.
Eine solche Zahl "a= 0,00000...1" ist aber widersinnig, denn hier würde behauptet, dass nach unendlich vielen 0ern noch eine 1 käme.
Das geht aber nicht, weil die Nuller ja nie aufhören, es gibt kein "danach"!

Daher gilt:

a= 0,00000...1 = 0,0000... = 0

und somit:

0,999... + a = 1, a = 0
0,999... + 0 = 1
0,999... = 1
q.e.d.

Grüße
seeker

[tomS]

Die Argumentation von seeker kann mittels Grenzwertbetrachtung formal exakt dargestellt werden

0.999... = 1 - 10[up]-n[/up]

Aber 10[up]-n[/up] ist eine Nullfolge, daher geht 0.999...gegen 1.

q.e.d.

[TheTheorist]

hallo,
ich habe mich noch nicht so intensiv mit der Grenzwertberechnung beschäftigt (kommt kaum in der 10. kLasse dran) aber was ist folgendes:
sei x=∞ und y=1 bis ∞
wenn ich nun das so schreibe:
∞ = 1 -> ∞ und addiere auf beiden Seiten 1, dann erhalte ich doch eigentlich
∞+1 = y+1 und damit ist doch x>y und damit könne man nicht den Wert erreichen, den man anstrebt, ist doch die gleiche Sache wie das Zenons Paradoxon. Theoretisch brauchen wir unendlich lange und praktisch aber nicht.
Was ist das also (bitte schimpft mich nicht aus, ich unterstelle niemandem, dass irgendetwas falsch ist, ich will nur meine falschen Ideen aus der Welt schaffen, doch weiß ich nicht wo der Fehler ist... )

[Pippen]

Was haltet ihr denn von diesem Beweis?

1. Allgemein gilt: y * x0,x1x2x3... = y * x0 + y * 0,x1 + y * 0,0x2 + y * 0,00x3 + ....
2. im speziellen Fall bedeutet das: 3 * 0,333~ = 3 * 0,3 + 3 * 0,03 + 3 * 0,003 + ... = 0,999~ = 1.
3. Sei nun angenommen eine Stelle x_n bei 2. in der Zahl 0,333... keine Zahl 3. Dann kann an der betreffenden Stelle in 2. keine '9' auftauchen. Damit wäre diese Zahl ungleich 0,999~ und (erst recht) ungleich 1. Da nur diese beiden Zahlen zur Zahl 1 gleich sind, wäre eine solche Zahl 0,333... mit 3 multipliziert nicht mehr 1 und das widerspricht 2. Daher kann es keine solche Stelle x_n geben.
4. Daher gilt: Nur 0,333~ * 3 = 1 und daraus folgt durch Umformung: 0,333~ = 1/3. [Hier verstehe ich übrigens die Umformung nicht, denn wenn ich '0,333~ * 3 = 1' auf beiden Seiten mit '3' teile, dann stünde da doch: '0,111~ * 1 = 1/3', oder?]

Mich interessiert vor allem die Umformung in 4., die ich wohl falsch mache, oder?

[TheTheorist]

kann sein, dass du das nicht darfst. Ich darf ja auch nicht bei
x-y = z^2
√(x)-√(y) = z schreiben ...

[seeker]

@Pippen:

3. Sei nun angenommen eine Stelle x_n bei 2. in der Zahl 0,333... keine Zahl 3. Dann kann an der betreffenden Stelle in 2. keine '9' auftauchen. Damit wäre diese Zahl ungleich 0,999~ und (erst recht) ungleich 1. Da nur diese beiden Zahlen zur Zahl 1 gleich sind, wäre eine solche Zahl 0,333... mit 3 multipliziert nicht mehr 1 und das widerspricht 2. Daher kann es keine solche Stelle x_n geben.

Also ich würde sagen, es kann keine solche Stelle geben, weil du das in 1. so festgelegt hast, dass es keine gibt.

Und hier hast du nen elementaren Rechenfehler drin:

Hier verstehe ich übrigens die Umformung nicht, denn wenn ich '0,333~ * 3 = 1' auf beiden Seiten mit '3' teile, dann stünde da doch: '0,111~ * 1 = 1/3', oder?

Nö, 0,333~ * 3 = 1 |:3 ergibt natürlich:
0,111~ * 3 = 1/3
bzw.
0,333~ * 1 = 1/3

Ansonsten müsste das in 4. passen, denke ich.

Grüße
seeker

[seeker]

ich habe mich noch nicht so intensiv mit der Grenzwertberechnung beschäftigt (kommt kaum in der 10. kLasse dran) aber was ist folgendes:
sei x=∞ und y=1 bis ∞
wenn ich nun das so schreibe:
∞ = 1 -> ∞ und addiere auf beiden Seiten 1, dann erhalte ich doch eigentlich
∞+1 = y+1 und damit ist doch x>y

Nee, eben nicht. Den Fehler, den du hier machst, ist "∞" als gewöhnliche Zahl zu behandeln. Das ist es aber nicht. Es ist ein unbestimmter Ausdruck.
Deshalb gilt hier (salopp):

∞ + a = ∞

Schau mal hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich ... _Divergenz

(Insbesondere den erklärenden Satz: "Eine solche Rechenregel muss aber stets als Aussage über uneigentliche Grenzwerte verstanden werden. ...)

Schau auch mal hier rein:
https://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimm ... hematik%29

Grüße
seeker