Verständnisfrage zur Bra-Ket-Notation

Beitrag von **FKM** » 28. Sep 2015, 21:18

Ich habe gerade angefangen, in Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum zu lesen und bin dabei über einige Anwendungen der Bra-Ket Notation gestolpert.

In dem Buch und der Vorlesung von Susskind wird der Ket als alternative Notation für einen Vektor eingeführt, also, z.B.
$\vec{A} = |A\rangle, \qquad A \in \mathbb{C}^N$ ,
oder
$|u\rangle,|d\rangle, |l\rangle, |r\rangle,|i\rangle, |o\rangle$
(für up, down, left, right, in, out Spin).
So weit, so klar.

Bisher war ich es gewohnt, dass jede Variable mit einem, wie auch immer gestalteten Buchstaben repräsentiert wird. Neu für mich ist jetzt, dass innerhalb eines Bras bzw. Kets beliebige Labels, nicht nur Strings, auch Zahlen oder sonstige Symbole möglich sind, z.B.

$|in\rangle, \qquad |out\rangle, \qquad |20\rangle, \qquad |\text\sl{gute Laune}\rangle, \qquad |{\uparrow}_{z}\rangle$

Stimmt das so? Gibt es weitergehende Konventionen für die verwendeten Labels, die man lernen muss?

Verwirrt hat mich dann folgende Definition eines Kets als Summe seiner n Basisvektoren:
$|A\rangle = \sum_{i}a_i|i\rangle = \sum_{i=1}^{n}a_i|i\rangle$
Hier ist auf einmal |i> nicht eine Vektorvariable mit Namen "i", sondern offenbar ein Makro, in dem i durch 1 .. n ersetzt wird, also |1>, |2> usw.

Das Gleiche für die Definition von Eigenvektor $|\lambda\rangle$ und Eigenwert $\lambda$ einer Matrix M:
$M|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle$
Beispiel:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}, \qquad|\lambda\rangle= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad\lambda = 3$
Preisfrage: heißt der Eigenvektor (also das Label des Kets) jetzt "lambda" oder "3" in diesem Beispiel?

Der englische Wikipedia-Artikel https://en.wikipedia.org/wiki/Bra%E2%80%93ket_notation hat mir schon mal weiter geholfen, bei der deutschen Version habe ich nur Bahnhof verstanden.

P.S.: wird es mal ein Mathjax-Integration für dieses Forum geben? Unmöglich ist das jedenfalls nicht, siehe https://github.com/sergio91pt/MathJax-phpBB-Integration

Beitrag von **positronium** » 28. Sep 2015, 22:37

FKM hat geschrieben:Gibt es weitergehende Konventionen für die verwendeten Labels, die man lernen muss?

So weit ich weiss, gibt es dafür keine Konventionen, nur gebräuchliche Bezeichner. Es geht eigentlich nur darum, die betrachteten Zustände zu benennen.

FKM hat geschrieben:Verwirrt hat mich dann folgende Definition eines Kets als Summe seiner n Basisvektoren:
$|A\rangle = \sum_{i}a_i|i\rangle = \sum_{i=1}^{n}a_i|i\rangle$
Hier ist auf einmal |i> nicht eine Vektorvariable mit Namen "i", sondern offenbar ein Makro, in dem i durch 1 .. n ersetzt wird, also |1>, |2> usw.

Ja. |A> ist hier ein Zustand, der sich mit den Gewichten a[down]1[/down], a[down]2[/down] aus den Zuständen |1>, |2> usw. zusammen setzt.

FKM hat geschrieben:Das Gleiche für die Definition von Eigenvektor $|\lambda\rangle$ und Eigenwert $\lambda$ einer Matrix M:
$M|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle$
Beispiel:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}, \qquad|\lambda\rangle= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad\lambda = 3$
Preisfrage: heißt der Eigenvektor (also das Label des Kets) jetzt "lambda" oder "3" in diesem Beispiel?

M als Matrix zu bezeichnen ist nicht korrekt - es ist ein Operator, der auf eine Wellenfunktion wirkt. Mag sein, dass das in dem Buch aus didaktischen Gründen vorerst anders dargestellt wird.
Diese Eigenwertgleichung ist so zu verstehen, dass die Kets |lambda> für Wellenfunktionen z.B. phi stehen. Dann sieht das mit dem Operator M so aus:
$M \phi_{\lambda}(parameter) = \lambda \phi_{\lambda}(parameter)$
"parameter" steht dann z.B. für t, x, y und z. Und der Index lambda steht für verschiedene Lösungen, für verschiedene Faktoren lambda.

Beitrag von **tomS** » 28. Sep 2015, 22:58

Man verwendet manchmal gern symbolische Notationen wie "in", "out", "alive", "dead", ... "bratwurst", ...

Egal! Es handelt sich um Schreibweise für Vektoren, mehr nicht.

Also |alive> + |dead> ist genauso gut wie e[down]alive[/down] + e[down]dead[/down].

Und |i> entspricht e[down]i[/down].

Ganz simpel.

Beitrag von **deltaxp** » 29. Sep 2015, 12:14

Das sind nur Bezeichnungen, die einen quantenmechanischen Zustand oder einen Basis-Vektor im Hilbertraum beschreiben, der i.a. unendlich viele Dimensionen hat. mit der bedinung, daß die Längen der quantenmechanischen Vektoren darin normiert sind auf 1 (Wahrscheinlichkeit ist halt 1 ein im Zustandsraum beschriebenen Teilchen zu finden).

also für einen beliebigen Zustand |A>=sum_i a_i |i>, wenn |1>,|2>, ...|i>, ...|unendlich> eine orthonormale Basis ist (<k|i>=Delta_ki)
so muss also gelten <A|A>=sum |a_i|^2=1 , als die Unendliche summe der Koeffizienten muss konvergieren. wenn der Zustandsraum endlich ist, dann halt normieren.

Das sind nur Namen. die sogenannte Bra - Ket -Schreibweise, die sich von nichts anderem als dem wort bracket also Klammer ableitet <A|A> die Klammer bezeichnet das skalarprodukt) ist eben eine Notation, die sich in der QM einfach als zweckmässig erwiesen hat, weil sie sehr allgemein ist.

Beitrag von **FKM** » 29. Sep 2015, 22:25

Danke an alle für die Erläuterungen.

positronium hat geschrieben:
FKM hat geschrieben:Das Gleiche für die Definition von Eigenvektor $|\lambda\rangle$ und Eigenwert $\lambda$ einer Matrix M:
$M|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle$
Beispiel:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}, \qquad|\lambda\rangle= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad\lambda = 3$
Preisfrage: heißt der Eigenvektor (also das Label des Kets) jetzt "lambda" oder "3" in diesem Beispiel?
M als Matrix zu bezeichnen ist nicht korrekt - es ist ein Operator, der auf eine Wellenfunktion wirkt. Mag sein, dass das in dem Buch aus didaktischen Gründen vorerst anders dargestellt wird.

In dem Buch wird schon an der Stelle der Begriff "linearer Operator" eingeführt. Die o.g. Matrix wäre dann eine "beispielhafte, konkrete Repräsentation des Operators M". Die Begriffe "Eigenvektor" und "Eigenwert" sind ja auch aus der linearen Algebra bekannt - sogar mir, da vor 30-40 Jahren irgendwann im Mathe-Unterricht behandelt. Neu ist für mich nur die Schreibweise in Bra-Ket Notation.

Beitrag von **tomS** » 30. Sep 2015, 06:51

FKM hat geschrieben:... neu ist für mich nur die Schreibweise in Bra-Ket Notation.

Neu st im wesentlichen noch die Tatsache, dass der Hilbertraum unendlich-dimensional wird; daraus resultieren manchmal technisch anspruchsvollere Methoden; konzeptionell besteht jedoch kaum ein Unterschied

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