Verständnisfrage Sigma Algebra

[Pippen]

In der Stochasik habe ich zum ersten Mal von der sog. Sigma-Algebra gehört. Ist der Sinn dieser Algebra sicherzustellen, dass nicht jemand beim Lotto auf die Idee kommt, dass es nur zwei Ereignisse gibt, nämlich "Sechser" und "Nicht-Sechser"?

[tomS]

Der Sinn ist die Axiomatisierung von Wahrscheinlichkeitsbegriffen

[tomS]

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum

Stell dir vor, du erzeugst eine reelle Zufallszahl x aus dem Intervall [0,1]. Dies definiert deine Ergebnismenge Ω = [0,1]; jede Zahl, d.h. jedes Element x ∈ [0,1] ist ein mögliches Ergebnis.

Nun möchtest du Teilmengen A ⊆ Ω betrachten und ihnen ein Wahrscheinlichkeitsmaß P(A) zuordnen, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass dein x in A liegt. Einfaches Beispiel wäre A = [0, ½] mit P(A) sowie B = [½, 1] und P(B). Beachte, dass die Mengen A nicht abzählbar sein müssen!

Wichtig ist, dass das für "alle vernünftigen" Teilmengen von Ω funktioniert, d.h. für Vereinigungen, Schnittmengen und Komplemente. Die genaue Definition findest du in Wikipedia.

Damit sind bereits bekannte, sinnvolle Betrachtungen formalisierbar, z.B.:

P(Ω) = 1, d.h. die Wahscheinlichkeit, dass eine Zufallszahl aus [0,1] in [0,1] liegt ist Eins (klingt trivial, muss aber mal gesagt werden).
P(∅) = 0

Für Vereinigungen disjunkter Mengen muss vernünftigerweise gelten: P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), d.h. die Wsk., dass x entweder in A oder in B liegt, ist die Summe dieser Einzelwahrscheinlichkeiten.

Für die Schnittmenge disjunkter Mengen muss vernünftigerweise gelten: P(A ∩ B ) = P(∅) = 0, d.h. die Wsk., dass x sowohl in A als auch in B liegt, ist Nulkl (da dies für disjunkte Mengen nicht eintreten kann).

Für Komplemente muss gelten

P(A) = p
P(Ω \ A) = 1 - p

Für das o.g. Beispiel A = [0, ½] und B = [½, 1] = [0,1] \ [0, ½] gilt sicher

P([0, ½] ∪ ]½, 1]) = P([0, 1]) = 1
P([0, ½] ∩ ]½, 1]) = P(∅) = 0
P(1 \ [0, ½]) = P(]½, 1])

Beachte, dass die Mengen A sowie die Wahrscheinlichkeiten P(A) noch gar nicht festgelegt werden, sondern nur bestimmte Grundregeln, denen sie vernünftigerweise genügen müssen.

Die σ-Algebra liefert nun eine Formalisiserung der "vernünftigen, zulässigen" Mengensysteme auf einer Ergebnismenge Ω.

Letztlich muss jeder zulässigen Teilmenge A ⊆ Ω ein Maß P(A), also eine Wsk. zugeordnet werden können (es gibt Fälle, in denen dies nicht funktioniert, und die man deswegen ausschließen muss; ein berühmtes Beispiel ist das Banach-Tarski-Paradoxon). Ein Maß ist sozusagen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis x in A fällt.

Ein Maß kann z.B. durch eine Maßfunktion festgelegt werden; diese wäre im o.g. Bsp. eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ auf [0,1]; dabei muss gelten

P(A) ≥ 0 für beliebige Teilmengen A aus [0,1]; dies erzwingt ρ(x) ≥ 0

Für das Maß P(A) einer Menge A gilt dann explizit

P(A) = ∫[down]A[/down] dx ρ(x)

Die Mathematiker schreiben dafür oft

P(A) = ∫[down]A[/down] dρ

Beachte, dass der Begriff der σ-Algebra selbst nur die prinzipiell "zulässigen" Mengensysteme definiert, noch nicht die Bedingungen für das Wahrscheinlichkeitsmaß. D.h. alle o.g. Forderungen an P sind nicht Bestandteil der Defintion der σ-Algebra, allerdings muss die σ-Algebra dafür die Grundvoraussetzungen schaffen.

[tomS]

In der Stochasik habe ich zum ersten Mal von der sog. Sigma-Algebra gehört. Ist der Sinn dieser Algebra sicherzustellen, dass nicht jemand beim Lotto auf die Idee kommt, dass es nur zwei Ereignisse gibt, nämlich "Sechser" und "Nicht-Sechser"?

Nee.

Die möglichen Ergebnisse beim Lotto sind 6-Tupel a = (a1, a2, a3, a4, a5, a6).

Die Menge Ω aller möglichen Ergebnisse ist abzählbar; sie lautet Ω = {(1,1,1,1,1,1), (1,1,1,1,1,2), ... (49,49,49,49,49,49)}.

Auf dieser Menge Ω wird eine Gleichverteilung angenommen, d.h.

P(1,1,1,1,1,1) = P(1,1,1,1,1,2) = P(49,49,49,49,49,49) = 1/|Ω|

Dabei bedeutet |Ω| die Mächtigkeit von Ω, also die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

Für einen Sechser gilt also p = 1/|Ω|; für einen nicht-Sechser damit q = 1 - p = 1 - 1/|Ω|.

Wie oben gesagt liefert die sigma-Algebra eine Grundstruktur, konsistente Wahrscheinlichkeitsmaße zu konstruieren

[Pippen]

Wie konstruierst du eine Sigma-Algebra F?

Münzwurf:

Ω = {∅, K, Z}
A = {K} ...die uns interessierende Menge, hier interpretiert als: Münzwurf mit K als Ergebnis
F = {∅, Ω, A, ~A}

Dass die leere Menge und die Ergebnismenge in F ist, ist definiert, genauso wie, dass A und A's Komplement in F sind, also K und Z. Kann man allein daraus schon eine Wahrscheinlichkeit für A ersehen oder muss man noch eine W-Verteilung annehmen, und gibt es dazu formale Vorgaben oder könnte man theoretisch auch eine ganz komische W-Verteilung annehmen, zB eine, die K mit 0,9 und Z mit 0,1 annimmt?

Nun nehmen wir den Würfel:

Ω = {∅, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1}
F = {∅, Ω, A, ~A} = {∅, Ω, 1, (2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6)}

Stimmt das?

[tomS]

Bleiben wir bei der Münze.

Die Grundmenge bzw. die Elementarereignisse sind Ω = {K, Z}.

Die σ-Algebra ist ein zulässiges Mengensystem auf dieser Menge. Sie ist nicht eindeutig definiert, sondern wird passend konstruiert.

Die kleinstmögliche σ-Algebra ist A' = { ∅, Ω } = { ∅, {K,Z} }

Die größtmögliche σ-Algebra ist die Potenzmenge von Ω, d.h. A = P(Ω) = { ∅, {K}, {Z}, {K,Z} }. Offensichtlich ist |P(Ω)| = 2[up]2[/up] = 4.

Damit ist noch kein Maß definiert!

Ein zulässiges Maß auf A' wäre

P(∅) = 0
P({K,Z}) = 1

Ein zulässiges Maß auf A wäre

P(∅) = 0
P({K}) = p
P({Z}) = 1-p
P({K,Z}) = P({K} ∪ {Z}) = P({K}) + P{Z}) = p + (1-p) + 1

Im Falle einer fairen Münze ist p = 1/2, aber das ist nicht per Axiom vorgegeben.

D.h. das von dir angenommene "komische Maß" ist natürlich erlaubt. Die Konstruktion deines Omega ist falsch, ebenso die von A. A ist ein Mensystem, d.h. eine Teilmenge der Potenzmenge. A muss mindestens die leere Menge als auch die Grundmenge enthalten (s.o.: minimales A). Insbs. muss A abgeschlossen bzgl. Vereinigungs- und Schnittmengen- bzw. Komplementbildung sein.

Beachte, dass dein Maß auf der Algebra definiert ist.

EDIT: ich sehe gerade, dass du F statt A benutzt; ja, deine F's sind OK, außer dass du die geschweiften Klammern vergessen hast. Allerdings ist dein F beim Würfel nicht maximal.