Die reelle Zahl "unendlich"

[Pippen]

Wie würde man eigentlich formal beweisen, dass "unendlich" keine reelle Zahl ist?

Sei "unendlich" eine reelle Zahl, die größer als jede beliebige (reelle) Zahl (außer natürlich "unendlich") sei. Dann hat "unendlich" (genauer: die Teilmenge aller reellen Zahlen kleiner als "unendlich") das Supremum "unendlich". Gegen das Vollständigkeitsaxiom verstößt unsere Zahl "unendlich" daher schonmal nicht, oder? Welches Axiom kann man heranziehen, um zu zeigen, dass "unendlich" dagegen verstößt und daher keine reelle Zahl ist?

[Skeltek]

Das geht ganz einfach:
Unendlich ist keine Zahl => Unendlich ist keine reele Zahl

Das geht ja schon aus der Wortbedeutung hevor.

[Pippen]

Ich behaupte aber, dass "unendlich" eine reelle Zahl ist, ja ich kann sogar zeigen, dass sie ein Supremum hat und damit das Vollständigkeitsaxiom erfüllt. Auch die anderen Axiome wirken auf mich konsistent mit einer solchen Zahl, aber dazu kenne ich mich zu wenig aus, deshalb frage ich. Wie würde man als Mathematiker anhand der Axiome von IR beweisen, dass "unendlich" (=Zahl, die größer ist als jede andere Zahl und gleich zu sich selbst) nicht zu IR gehört?

[PeterKepp]

@ Skeltek

Richtig, `unendlich´ ist keine Zahl, allein von der Wortbedeutung.
Aber mit dieser, eigentlich hinreichenden Erklärung sind nicht alle Interessierten zufrieden; wie Pippen in seiner Antwort auch zeigt.


@ Pippen

Unendlich ist keine Zahl, wie Skeltek bereits ausgeführt hat. Jede berechenbare Zahl - Ordnungszahlen bilden die Ausnahme - bedeutet, Anzahl von etwas zu sein.
Alles was Anzahl ist, ist Quantität. Unendlich aber ist Qualität.

Da dies offensichtlich schwer zu verinnerlichen ist, hier eine Ergänzung:
Zahlen können Eigenschaften haben. Eigenschaften sind grundsätzlich (mit Ausnahme allumfassender) als Gegensätze ausführbar. Endlich und unendlich wären solche Gegensätze. Es sind aber eigentlich Werte einer Berechnung, die diese Eigenschaften tragen können - nicht Zahlen schlechthin.

Ein Gegenbeispiel für Deine Argumentationskunst: "Ich behaupte, dass `gross´ eine Zahl ist. Beweise bitte ob `gross´ kleiner oder größer Null ist". (Bitte nicht so ernst nehmen!)

Gruß, PeterKepp