Verständnisfrage zum inversen Nullelement

[Pippen]

Bei den Körperaxiomen gibt es bei den additiven Eigenschaften eine Vorschrift, nach der jedes Element a ein inverses Element -a hat, so dass -a + a = 0. Heißt das, dass es "zwei Nullen" gibt: einmal 0 und einmal -0, so dass -0 + 0 = 0? Ich hätte gedacht, dass auch bei der Addition die Null kein Inverses hat. Würde so eine Annahme viel kaputtmachen?

[seeker]

Ich würde sagen, dass die Null das neutrale Element bezüglich der Addition ist.
Das ist kein Widerspruch zum additiv Inversen für alle Elemente aus der Grundmenge (z.B. R, einschließlich der Null), denn dann gilt:

+0 = -0 = 0

und damit natürlich auch

(-0) + 0 = 0

da

(-0) + (+0) = 0 = 0 + 0 = 0

Grüße
seeker

[Pippen]

Ja, aber damit gäbe es zwei Nullen: +0 und -0, also damit zwei leere Mengen?!? Es kann aber nur eine geben. Komisch. Ich würde gern auch bei der Addition die Null rausnehmen, ähnlich wie ja in der Multiplikation die Null kein Inverses hat.

[seeker]

Wenn gilt: +0 = -0 = 0 dann gibt es doch nur eine Null?

Ansonsten müsste man genau sagen, was mit "-0" gemeint sein soll (z.B. als Grenzwert einer Funktion f(x), da kanns dann anders aussehen).
Aber davon haben wirs ja gerade nicht, sondern nur von der Zahl, die per Axiomensystem definiert werden soll - oder?

Die Mengen würde ich im Moment da nicht mit reinnehmen.

Gruß
seeker

[Skeltek]

Das Signum hat beim Symbol Null keinerlei Sinn.

-7 und 7 sind zwei völlig unterschiedliche Elemente, welche lediglich denselben Absolutbetrag haben.
Das Minuszeichen ist nur eingeführt worden, damit man für das Inverse kein gesondertes Symbol einführen muss.

Da die 0 ihr eigenes Inverses ist bezüglich der Addition bzw ein einzelnes Ding ist, hat die Zuweisung von zwei verschiedenen Bezeichnern für dasselbe keinerlei Zweckmäßigkeit.
Simplifizierte Erklärung.