Wieso ist die leere Menge Teilmenge jeder Menge?

[Pippen]

Teilmengendefinition: X ist Teilmenge von Y <-> (x € X <-> x € Y). Die Variable x ist lediglich ein Symbol/Platzhalter für ein eigentlich dahinterstehendes Element (ein Etwas) einer Menge. Die leere Menge hat jedoch kein Element, d.h. man kann für x nichts einsetzen, wo man etwas einsetzen können müsste. Daher sind beide Aussagen des Bikonditionals (x € X <-> x € Y) falsch und damit das Bikonditional wahr. Wenn X also die leere Menge ist, dann ist sie per se Teilmenge eine beliebigen Menge Y.

Was haltet ihr von dieser Überlegung?

[seeker]

Ich halte das Konzept der "leeren Menge" allgemein für nicht ganz unproblematisch.

Hier ein paar Argumente:
http://www.vww.at/E_Leere%20Mengen.pdf
Viktor Weichbold (2011, 2012) , abgerufen am 08.09.2015

Interessant finde ich insbesondere dieses Zitat daraus:

(8) Allen diesen Problemen und Fragen weicht der Mengenrealist aus, indem einen Trick anwendet.
Er argumentiert so: Dinge, die sich nicht voneinander unterscheiden, sind identisch. Da die leeren Mengen sich nicht voneinander unterscheiden, sind sie allesamt identisch.
Mit anderen Worten: es gibt nur eine einzige leere Menge, und diese ist die leere Menge von allem: der Kobolde, der Zentauren, der quadratischen Kreise, der Heinzelmännchen, usw. –
Tatsächlich ist dies die Ansicht der Mengenrealisten: dass es nur eine einzige leere Menge gibt.

Das aber bedeutet m. E. (zusätzlich zu der dann folgenden Argumentation des obigen Autors im verlinkten PDF), dass sichergestellt sein muss, dass die leere Menge leer von allem ist, also auch leer von allen Elementen einer postulierten Allmenge sein muss und sich auch genauso nicht selbst enthalten darf.
Da aber die Allmenge nach allgemeiner Konvention nicht existiert, kann ergo auch die leere Menge nicht existieren bzw. bleibt sie zumindest genauso wenig exakt fassbar wie eine Allmenge...

Nochmal:
Diese Geschichte führt aus meiner Sicht zur Forderung: "die Menge aller Sorten von leeren Mengen ist eine Allmenge", denn wenn leere Mengen stets und eindeutig identisch sein sollen, dann muss eine Menge aller leeren Mengen erst einmal existieren und exakt und widerspruchsfrei fassbar sein.

Anders:
Man kann m. E. nicht nur salopp sagen: "Die Menge ist leer!", man muss auch sagen, von was alles sie leer ist.


Eine weitere Schwierigkeit in ähnlicher Richtung sehe ich hier:

Die Existenz der leeren Menge folgt mit dem Aussonderungsaxiom aus der Existenz irgendeiner anderen Menge.

https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Menge

Wie wird die Existenz irgendeiner anderen Menge begründet, wo soll diese herkommen, wenn alle anderen Mengen erst auf Basis der leeren Menge gebildet werden müssen?

Grüße
seeker

[Pippen]

Interessante Punkte: Die leere Menge ist für mich leer von allem. Dass sie Teilemge ihrer selbst ist, widerspricht dem nicht, weil die Teilmenge kein Element der Obermenge ist. Interessant ist aber, dass man das Nichts eigentlich nicht fassen kann, vielmehr immer nur die Negationen, d.h. genaugenommen müsste die leere Menge die Menge aller Negationen sein. Hier sieht man dann, dass eine solche leere Menge eine gutartige Allmenge ist, weil sie eben nicht alles umfasst, sondern nur alle Negationen, die es gibt.

Ist denn meine Herleitung, warum die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist standardmath. korrekt?

[seeker]

Dass sie Teilemge ihrer selbst ist, widerspricht dem nicht, weil die Teilmenge kein Element der Obermenge ist.

Dennoch kann auch die leere Menge sich nicht selbst enthalten:

M = { }

...würde sie sich nun selbst enthalten, würden wir also versuchen so etwas zu konstruieren, dann bekämen wir (im ersten Schritt) das hier:

M' = { M } = { { } }

...das ist aber die Potenzmenge der leeren Menge und wenn die leere Menge der Null entspricht, dann entspricht diese Menge gerade der Eins (da ein Element) und es gilt:

M' ist ungleich M, womit sich M nicht selbst enthalten kann.

Würden wir das Problem konstruktiv weiter verfolgen (zu lösen versuchen), dann bekämen wir im 2. Schritt das hier:

M'' = { M' } = { { { } } }

... und im 3. Schritt das hier:

M''' = { M'' } = { { { { } } } }

usw., ad infinitum...

Interessant ist aber, dass man das Nichts eigentlich nicht fassen kann, vielmehr immer nur die Negationen, d.h. genaugenommen müsste die leere Menge die Menge aller Negationen sein. Hier sieht man dann, dass eine solche leere Menge eine gutartige Allmenge ist

Darüber denke ich noch nach, ob diese "Negations-Allmenge" tatsächlich gutartig ist oder ob sich nicht auch dort dasselbe Problem wie bei der Allmenge ergibt, dass sie sich nicht selbst enthalten kann und gleichzeitig sich selbst enthalten muss um vollständig zu sein.


Das mit deiner Defninition fragst du wahrscheinlich lieber jemand anderen.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Elemente und damit Mengen machen nur im Kontext mit auswertenden Funktionen einen Sinn.
z.B. M={{},a,b,c,d,...}
Funktionen sind für die leere Menge {} "bzw" Elemente daraus nicht definiert.
Es ist auch möglich, dass das Ergebniss {} ist, also nicht in der Menge der betrachteten möglichen Zielelemente liegt.

Somit ist meiner Meinung nach interpretierbar, dass die leere Menge eine Verknüpfung heraus aus der betrachteten Menge darstellt.
z.B. ergibt sich als Ergebnis der Gleichung
x²=-1 die Lösungsmenge L={}, also die leere Menge.

Wenn man die Axiome und alles genau betrachtet ist das völlig konsistent und widerspruchsfrei, allerdings ist dies nicht die Standardinterpretation.