Menge aller Mengen

[Pippen]

Wenn man mal die Axiome der Mengenlehre weglässt, spricht dann rein logisch etwas gegen o.g. Konstrukt? Ich meine: nein. Die Menge aller Mengen wäre Teilmenge ihrer selbst und sonst kein Widerspruch in Sicht. Oder? Dagegen wäre das Komplement zur Menge aller Mengen dazu widersprüchlich, weil das eine (Komplementär-)Menge wäre, aber eigentlich nicht sein dürfte. Oder?

MaW: Das absolute Alles ist denkbar, das absolute Nichts ist undenkbar (das ist der Hintergrund der Frage)?

[Skeltek]

Die Menge aller Mengen enthält keine Elemente und ist ausgewertet leer.
Ein Inhalt einer Menge erhält nur auswertbar einen Sinn, wenn man ihre Elemente als Parameter in eine über die gesammte Menge gültige Auswertfunktion packen kann.

Es gibt da sicherlich viele Betrachtungsweisen...

[tomS]

Wenn man mal die Axiome der Mengenlehre weglässt, spricht dann etwas gegen o.g. Konstrukt [= die Menge aller Mengen]

Wenn man die Axiome weglässt, betreibt man keine Mathematik mehr.

Wenn man mal die Regeln der englischen Sprache weglässt, spricht dann etwas gegen den Satz [we does Bratwurst yesterday]?
Wenn man die Regeln weglässt, handelt es sich nicht mehr zwingend um englische Sprache.

[seeker]

Die Argumentation, dass es keine Menge aller Mengen gäbe verstehe ich immer noch nicht.
Es wird argumentiert:

Angenommen R enthält sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft, mit der R definiert wurde, dass R sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht. Angenommen es gilt das Gegenteil und R enthält sich nicht selbst, dann erfüllt R die Klasseneigenschaft, so dass R sich doch selbst enthält entgegen der Annahme.

https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie

Meine Frage dazu:
Gibt es überhaupt irgendeine Menge, die sich selbst als Element enthält? Existieren solche Mengen überhaupt?

Ich glaube nicht, jedenfalls sehe ich das derzeit nicht:
Z.B. angenommen wir wollen eine Menge konstruieren, wo die leere Menge sich selbst enthalten soll.
Wir denken uns also einen Kreis der die leere Menge darstellen soll und setzen da dann als Kopie einen kleineren Kreis rein, der die leere Menge in der leeren Menge darstellt.
Sofort haben wir als von außen gesehen einen Kreis in einem Kreis, also muss auch innen drin (im kleineren Kreis) ein Kreis in einem Kreis sein, womit wir dann drei Kreise ineinander haben, dann 4, dann 5, ad infinitum.
Ergo: Mengen, die sich selbst enthalten existieren nicht.

Demzufolge müsste die Menge aller Mengen dann natürlich nur alle existierenden Mengen enthalten, nicht-existierende Mengen aber nicht - und es ergibt sich der obige Widerspruch m.M.n. dann eben nicht, denn die Annahme "R enthält sich selbst" wäre gar nicht zulässig, weil das Eigenschaftspaar "R enthält sich selbst/enthält sich nicht selbst" dann auch nicht existiert.

Falls ich falsch liege könnte es immer noch eine Allmenge geben, die alle Elemente und Mengen enthält, außer sich selbst, symmetrisch zu einer leeren Menge, die nichts enthält, auch nicht sich selbst.
Die leere Menge scheint mir übrigens auch einen Widerspruch zu beinhalten, den man akzeptieren muss: Denn wie kann etwas, das Nichts enthält noch eine Menge sein?
Worin liegt seine Existenz dann noch begründet, was ist dann noch anwesend, wo ist dort noch der Unterschied zum Nichts?

Grüße
seeker

[Pippen]

Wenn man mal die Axiome der Mengenlehre weglässt, spricht dann etwas gegen o.g. Konstrukt [= die Menge aller Mengen]

Wenn man die Axiome weglässt, betreibt man keine Mathematik mehr.

Ja, ich will eben wissen, ob eine Menge aller Mengen gegen die Logik verstößt, also allein durch ihre Begrifflichkeit widersprüchlich ist. Dass sie gegen die Mathematik verstößt ist ja beweisbar.

[Skeltek]

Das Problem ist die "moderne" Mathematik, welche mit der Unendlichkeit und R gekünstelt umgeht.
Unendliche Mengen sind nicht abgeschlossen.
[0,unendlich[ statt [0,unendlich]

Daher ist egal worin sowas auch immer eingebettet ist auch nicht in allen Dimensionen abgeschlossen.
Deshalb ergeben solche Ausdrücke wie "Die Menge aller Mengen, welche sich selbst nicht enthalten" nach meiner Meinung relativ wenig Sinn.

[seeker]

Ja, ich will eben wissen, ob eine Menge aller Mengen gegen die Logik verstößt

Was ist DIE Logik?
Ich habe eher den Eindruck, dass das gegen die von uns gewählte und etablierte/von der Mehrheit akzeptierte Logik verstößt, bzw. dass man, wenn man von der leeren Menge ausgeht, so wie wir sie definiert haben, sich ein Problem mit einer Allmenge einfängt.
Sicher könnte man auch eine Allmenge definieren, die innerhalb der dazu nötigen (anderen) Regeln widerspruchsfrei bleibt (das kommt eben drauf an, denn sonst, ohne exakte Regeln ist "Allmenge" nur ein inhaltsleeres Wort, es gibt ja immerhin auch eine Allklasse, die wir widerspruchsfrei definieren können), jedoch hätte das wohl seinen Preis an anderen Stellen.

Zu den Mengen, die sich selbst enthalten:
Ich habe nachgeschaut. In ZFC wird so etwas durch das Fundierungsaxiom explizit ausgeschlossen.
Ebenso auch zyklische Mengen der Form: A e B e C e D e A
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundierungsaxiom

Es wird zwar auch gesagt, dass das dennoch definierbar wäre, dass auch Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom funktionieren, jedoch verstehe ich immer noch nicht was das dann für Objekte geben soll, wenn man z.B. sagt: X e X
...bzw. ob das noch irgendwie sinnvolle Objekte sein können (wegen der m.E. unendlichen Verschachtelung).

Und was mir grad noch einfällt:
Wenn man ein schärferes Fundierungsaxiom folgender Form verwenden würde, wenn man statt:
"Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind."
definieren würde:
"Jede Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind."
...dann würde es keine leere Menge mehr geben (und wohl auch keine Menge mit nur einem Element), jedoch -wenn ich mich nicht irre- eine Allmenge.

Konstruieren kann man wie man will, es kommt eben immer darauf an was man haben will und was man mit dem Erhaltenen anfangen will und ob dieses Erhaltene dann auch das leistet, was man möchte oder nicht.

Grüße
seeker

[Pippen]

Ja, ich will eben wissen, ob eine Menge aller Mengen gegen die Logik verstößt

Was ist DIE Logik?

Ich präzisiere mal: Ist die Menge aller Mengen - ausschließlich aussagen- und prädikatenlogisch betrachtet - konsistent? Meine vorläufige Meinung: Ja. (Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, wäre übrigens auch nur mit Logik und ohne Mathematik/naive Mengenlehre inkonsistent).

[tomS]

Wie willst du alleine im Rahmen der Logik über Mengen reden? Du kannst sie nicht mal definieren!

[Pippen]

Wie willst du alleine im Rahmen der Logik über Mengen reden? Du kannst sie nicht mal definieren!

Dann frage ich mal so: Ist die Allmenge konsistent, wenn das Potenzmengenaxiom nicht gilt? Ich meine ja, im Kontrast zur Menge aller Nicht-Mengen, die auch dann widersprüchlich ist.